Vlny - 2 Rychlost vlny na struně. Rychlost zvukové vlny. Tvar vln, difrakce odraz a lom. Energie a intenzita vlnění. Hladiny intenzity zvuku Interference vln Opakování: VLNĚNÍ - zvláštní druh pohybu, při kterém se přenášejí kmity. Prostředím postupuje pouze rozruch a spolu s ním energie kmitů. Částice prostředí zůstávají na místě a pouze kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Kmity - periodicky se opakující změny stavu Šíření kmitů od místa svého vzniku do okolí - vzniká děj nazvaný vlnění Vlnění je děj závislý na čase, jehož podstatou je šíření periodických změn fyzikálních veličin (např. mechanických výchylek, nebo změn vektorů intenzity elektrické nebo magnetické složky elektromagnetického pole, apod.) Opakování: Harmonická postupná vlna Harmonická vlna: jednotlivé body vlákna (prostoru) harmonicky kmitají, tj. jejich výchylku z rovnovážného stavu popíšeme pomocí funkce sinus (nebo cosinus) ( A t— V v) co + <{> — = ym sin {a>t-kx+(f) CO POZOR! Toto k není tuhost Výchylku z rovnovážné polohy bodu se souřadnicí x lze popsat: y(t) = y,„ sin(c> At + ý)= ym sin(řy (ř - tx0) + platí: x = vtx0 tx0 = x/vprobod x & = t-txí / x t- — V ypieká hmotná částice provazu se při průchodu vlny pohybuje nepřetržitě střídavě nahoru a dolů. pricna Opakování: Harmonická postupná vlna Fyzikální význam veličin: y(x, ť) = ym sm(kx — cůt + cp) u(x, ť) = um sin(/cx — cůt + cp) y, u - okamžitá výchylka z rovnovážné polohy bodu v prostoru, v němž se šíří vlnění; jednotky [y] = [u] = m ym, um- amplituda výchylky; jednotky [yj = [uj = m kx-cot + cp - okamžitá fáze vlny; cp - počáteční fáze. [kx -a>t + (p\ = \p\ = rad co - úhlová frekvence kmitavého pohybu zdroje i všech bodů prostředí, v němž se vlnění šíří - úhlová frekvence vlnění; jednotky [co] = rad-s-1 /- frekvence vlnění; jednotky \f\ = Hz = s_1 co = 2nf 1 — = j - perioda ; jednotky [T] = s / dy(x,t) Příčná rychlost vlnění - jak rychle se mění velikost výchylky vp(x,t) = — daného bodu. Pro: y(x, ť) = ym sin(/ex - (úť) vp (x, t) = -co • ym cos(kx - coť) Opakování: Harmonická postupná vlna Vzdálenost, kterou urazí vlnění za dobu jedné periody - vlnová délka A - vlnová délka, jednotky [A] = m v - fázová rychlost šíření vlnění, jednotky [v] = ms1 (vlnová délka = neimenší vzdálenost dvou bodů, které kmitají ve stejné fázi) Snímek struny, kterou se šíří sinusová vlna, v daném okamžiku t 1 — - prostý vlnočet, který určuje, kolik vln se vytvoří na úseku dlouhém 1metr. ä _ 2n - úhlový vlnočet, určuje, o kolik radiánů se změní fáze vlny na délce 1 m ~~ ji ve směru šíření vlny, jednotky [k] = rad-nr1 A = vT = — f Rychlost šíření vln na struně a v plynu Napětí struny - charakterizuje pružnost systému [T]=N [ju] = kg m1 Lineární hustota ju = m/L - charakterizuje setrvačnost systému [K] = Pa ä: = (definice ^) modul objemové pružnosti p ..objemová hustota; [p] = kg m-3 Tabulka 18.1 Rychlost zvuku Prostředí v Prostředí v Prostředí v ms_1 Plyny* Pevné íátkya Kapaliny0 Vzduch (0°C) 331 Hliník 6420 Voda (0 °C) 1402 Vzduch (20 °C) 343 Ocel 5 941 Voda (20 °C) 1482 Helium 965 Zula 60(H) Mořská voda'7 1 522 Vodík 1 284 3D vlnoplochy Tvar vlny Vlny rovinné Vlny kulové paprsek Zdroj vlnění vlnoplochy paprsek paprsek vlnoplochy - místa se stejnou fází, tj. vzdálenost dvou sousedních vlnoploch je rovna vlnové délce paprsek - určuje směr šíření vlny, paprsek a vlnoplocha jsou na sebe navzájem kolmé v každém bodě vlnoplochy V dostatečné vzdálenosti od zdroje („v nekonečnu") lze kulovou vlnu považovat za vlnu rovinnou Vlny rovinné vlnoplochy vlnoplochy - místa se stejnou fází paprsek - určuje směr šíření vlny Výchylka u(ř, ť) bodu popsaného polohovým vektorem r v čase t: u(r, ť) = A sin(/c • r — a)t + cp) u(r, ť) = A exp[i(/c • r — (út + cp)\ k je vlnový vektor (jeho velikost udává úhlový vlnočet, vektor je kolmý na vlnoplochu, pro izotropní prostředí má směr shodný se směrem šíření) cd]q úhlová frekvence vlnění A je amplituda vlny - konstantní v čase a prostoru (nezávisí na čase ani na prostorové souřadnici) Vlny kulové vlnění paprsek deposi tphotos Výchylka u(r,t) bodu ležícího ve vlnoplochy vzdálenosti r od zdroje v čase t: u(r,t)= —sm(kr-cot + (p) paprsek ľ u(r,t)= — exp[i(^r- cot + sin(cť) = sin(cť) — v v v Mění se rychlost šíření —► mění se úhel lomu; frekvence se zachovává —► mění se vlnová délka: V V x=rK=i v' > v -> X > A; v' < v -> X < A a > a Normála = kolmice k rozhraní v'< v —> ď < a Odraz a lom vlny Totálni odraz: může nastat v případě, že je v < vPokud vlnění dopadne na rozhraní pod úhlem větším nezje mezní úhel am, nedojde k lomu, ale pouze k odrazu. sm(am) sin(90°) . v v -=-;--> sinOm) = 1 — = — v v v v Pro úhel dopadu větší (nebo rovno) meznímu úhlu se vlna pouze odrazí -energie odražené vlny je stejná jako energie vlny dopadající - při totálním odrazu zvukové vlny se nezmění její hlasitost. Normála = kolmice k rozhraní Odraz a lom vlny Vlny dopadající kolmo na rozhraní: dochází k odrazu od rozhraní zpět a k průchodu vlny do prostředí za rozhraní. Pro v < v' (např. zvuková vlna prochází ze vzduchu do vody) se vlna odráží v protifázi - mluvíme o odrazu na pevném konci. Pro v > v' se vlna odráží ve fázi mluvíme o odrazu na volném konci. Vlna Vlna odražená dopadající v protifázi v < vr v > vr ve fázi Při odrazu i průchodu vlny se frekvence vlnění zachovává —► mění se vlnová délka: V ^Vlna prošlá V > V' -> A > X V < V' -> X < X Normála = kolmice k rozhraní Odraz vlny - okrajové podmínky Pokud postupná vlna dopadne na ohraničené prostředí, dochází k odrazu vlny. Vlna se odrazí ve fázi s dopadající vlnou (pň odrazu „na volném konci") nebo v protifázi (odraz „na pevném konci") odraz na pevném konci v protifázi odraz na volném konci ôy(x, t) = 0 x=0 dx ve fázi Energie a intenzita vlny Vlnivý pohyb přenáší energii. dE Výkon vlny (Tok energie plochou): dP = —— číselně je roven energii, kterou vlnění za 1 sekundu pronese pomyslnou plochou. Abychom mohli porovnávat množství energie přenášené různými vlnami, definujeme veličinu Intenzita vlnění / [/] = W.nr2 Intenzita vlnění I je číselně rovna energii, která za 1 sekundu v daném místě projde plochou jednotkové velikosti, nastavenou kolmo ke směru šíření vlnění. Vektor intenzity vlnění / má orientaci ve směru šíření vlny (paprsku). Výkon vlny (tok energie plochou) procházející plochou dS, jejíž normála svírá se směrem šíření vlnění úhel a potom vypočítáme podle vztahu: dP = I • dS = I • dS • cos a Energie a intenzita vlny Intenzita vlnění / - výpočet Kmitající částice o hmotnosti m má celkovou energii (viz. kmity - celková energie oscilátoru): 1 co - úhlová frekvence vlny mco 2 2 2 £" = — mco um = Ek + Ep Ujn- amplituda výchylky vlny > Objemová hustota energie, která je přenášena postupným vlněním E 1 /72 1 w = — =--co2u2 = — oco2u2 w - energie „uschovaná" v objemu 1 m3 y 2y m 2 Za 1 sekundu se energie presune o vzdálenost o velikosti \v\ (v je rychlost sireni vlnení). lm W f lm Energie a intenzita vlny Energie, která projde plochou 1 m2 za 1 sekundu lm lm ✓ ✓ y I / i ' i w P i i r i ✓ ✓ / ✓ ✓ í-1 ✓ ✓ ✓ lm -^r- Vzdálenost |i;| metrů urazí čelo vlny za 1 sekundu Energie, která za 1 sekundu projde pomyslnou plochou 1m2, postavenou kolmo na směr šíření vlnění = intenzita vlnění: / = w-v = -vpcd2u2m Střední výkon přenášený vlnou ve struně: Energie a intenzita vlny U kulových vln (od zdroje se šíří rozruch všemi směry v izotropním prostredí) klesá intenzita se čtvercem vzdálenosti rod zdroje kde Pz je výkon zdroje kulových vln. Vlna postupuje izotropním prostredím do všech směrů - ve vzdálenosti rod zdroje je vyzářená energie (celý výkon zdroje) „rozprostřena" do povrchu koule o poloměru r. Povrch koule: 5(r) = Aur2 Intenzita vlny ve vzdálenosti rod zdroje: /(r) = 5(r) Aur2 Výkon, který projde plochou S ve vzdálenosti rod bodového zdroje: P(r) = I(r) • 5 Intenzita zvuku a její hladiny Celková energie vlny závisí na amplitudě výchylky kmitajících částic prostredí. Amplitudy polohové výchylky zvukové vlny, kterou může zaznamenat lidské ucho, leží v rozmezí 1011 m (nejslabší slyšitelný zvuk) a 105 m (nejhlasitější snesitelný zvuk) —> 6 řádů = 106x. Intenzita zvuku - úměrná druhé mocnině amplitudy —> 12 řádů = 1012x. Zavedeme veličinu hladina intenzity zvuku /?: ;0 = (lOdB)logy- ^0 Kde dB je zkratka jednotky decibel, /je intenzita zvuku. Intenzita vzroste 10x —> hodnota p vzroste o 10 dB 70 je referenční hodnota intenzity, odpovídající nejnižší lidským uchem slyšitelné úrovni zvuku. (I0 = 1012 Wrrr2). Pro funkci logaritmus (log) platí: y = log x x = lQy ; např. y = log 100 = log 102= 2 x = W= 102 = 100 Intenzita zvuku a její hladiny y# = (10dB)log o (70= 10"12 Wm-2) Některé hladiny intenzity zvuku v dB: Práh slyšitelnosti, p = 0 dB (/ = i0 = 1012 Wm2) Ševelení listů p = 10 dB (/ = 10 11 Wm2) Běžný hovor p = 60 d B (/ = 106 Wm2) Rockový koncert p = 110 dB (/= 701 Wm2) Práh bolesti p = 120 dB (/ = 10° Wrrv2 = 1 Wm2) Proudový motor p = 130 dB (/ = 101 Wm2 = 10 Wm2) Hlasitost zvuku, kterou vnímáme, souvisí s hladinou intenzity zvuku. Princip superpozice Prostředím postupují současně dvě (nebo více) různé vlny. /(x, ř) = yi(x, ř) + V2(.v, f) U překrývajících se vln se výchylky algebraicky sčítají a vytvářejí jednu výslednou vlnu. Překrývající s e vln v s e při svém postupu navzájem neovlivňují. = 1 3 1 G 1 4 1 2 1 Ů 3 Ů 6 0 4 Ú 2 0 t Q 0.1 Interference vln Dvě harmonické vlny o stejné amplitudě, stejné frekvenci a stejné vlnové délce vzájemně fázově posunuté o cp postupující ve stejném směru: Ji (*> 0 = ym sin (^ř-^ y2 (x91) = ymsm(jt- 1fx+p) Výsledná vlna se vypotjtá jako součet výchylek ystupnící/ vln:_ \ 7 / I V \ ( i y = yl + y2 = ym sin(&>ř-&x)+jv sin (&> ř - o>k^) = 2ymcos — (p/sm\^Dt-kx+ — (p J (užije se vzorec pro součet dvou funk . . a+p a-sin a + sin p = 2 sin-cos Vzniká sinusová vlna stejné frekvence (stejné cd) a vlnovp délky (stejné k) postupující ve směru původních vln Amplituda výsledné vlny: Závisí na vzájemném fázovém posuvu původních vln Interference vln Pro cp = 2ttra, m = (),± 1,±2,... (vlny ve fázi) je ym = 2ym cosO = 2ym (maximální zesílení) Konstruktivní interference 3*2 CM) Pro ^ = ;r {im +1), m = 0, +1, + 2, (vlny v opačné fázi) je y'= 2ym cos— = 0 (maximální zeslabení) Destruktivní interference v Interference vln Fázový rozdíl muže vzniknout i tak, že se dvě vlny šíří po různě dlouhých drahách Příklad - dva bodové zdroje Zr, Z2 zvukového vlnění o vlnové délce A a frekvenci co, které jsou ve fázi. V bodě P dochází k interferenci vlnění Platí q> AL 2n A AL\e dráhový rozdíl vln, q> je jejich fázový rozdíl v bodě P Konstruktivní interference

= n (2 m +1), m = 0, ± 1,± 2, AL = m/L, m = 0, ± 1,± 2,... AL = (2m + l)—, m = 0,±l,±2,. Interference vln Tabulka 17.1 Fázovú rozdíly a jim odpovídající druh interference'' FÁZOVÝ ROZDÍL FÁZOVÝ ROZDÍL DRÁHOVÝ ROZDÍL AMPLITUDA DRUH VE STUPNÍCH V RADIÁNECH VE VLN, DÉLKÁCH VÝSLEDNÉ VLNY INTERFERENCE 0 0 0 2_ľm úplně konstruktivní 120 2jt/3 0,33 částečná 1K0 ,T 0,50 (1 úplně destruktivní 24« 4:i/3 0,67 Vm částečná 36« 2:r 1,00 2vm úplně konstruktivní H65 15,1 2,40 0,60ým částečná y (x, i) — \2ym cos(p/2)] sin (kx— cot + cpj2)