Vlny - 4
Rychlost šíření vlny na struně a v plynu.
Vlastní kmity na struně a v trubici. Zvukové vlny.
Princip strunných a dechových nástrojů.
Rychlost šíření vln na struně a v plynu
Napětí struny – charakterizuje pružnost systému
Lineární hustota m = m/L – charakterizuje setrvačnost systému
[m] = kg m-1
[t] = N
[K] = Pa
r ..objemová hustota; [r] = kg m-3
Rychlost šíření mechanické vlny je závislá na elastických
(pružnost) a setrvačných vlastnostech prostředí
Struna:
Plyn - vzduch (případně pevná látka):
Vlastní kmity
    tkxytxy m cossin2, =
  kxyxA m sin2=
Stojaté vlny v ohraničeném prostředí (upevněná struna, vzduchový sloupec v
píšťale, membrána bubnu,…) se vytvoří pouze pro určité frekvence - rezonance
Vlastní kmity struny délky L – vznikne stojatá vlna popsaná rovnicí
𝑘𝑥 = 𝑛𝜋 ⟹ 𝑥 𝑛 = 𝑛
𝜆
2
𝑛 = 1, 2, 3. . vzdálenost uzlů
Amplituda kmitů závisí na souřadnici:
Stále nulová výchylka → uzly → sin (kx) = 0
Vlastní kmity
n
L
n
2
=
..3,2,1,,
2
=== n
L
v
n
v
f
n
n

Vlastní (harmonické) frekvence:
Stojaté vlny v ohraničeném prostředí (upevněná struna, vzduchový sloupec v
píšťale, membrána bubnu,…) se vytvoří pouze pro určité frekvence - rezonance
U struny délky L se vytvoří stojatá vlna s největší
vlnovou délkou  = 2L → vlastní vlnové délky:
2
n
nL

=
n = 1 .. první (základní) harmonická frekvence
n = 2, 3 … vyšší harmonické frekvence příslušné dané struně
HRW 17.45
a) f3‘ = 2 f3;
b) b) 3‘ = 3
Návod: délka struny se nemění → nemění se ani vlnová délka pro
třetí vlastní frekvenci.
33
3
3
3
3
33
'kde,
'
'
'2'4;potom
;a
3
2
jeprodélkavlnováPotom.3kde,
2

m
t
m
t
tt

m
t


======
====
v
fv
v
f
vLfnnL
ab
ab
an
Vlastní kmity
..;5;3;1
4
4
=
==
n
n
L
nL n
n


..3;2;;1
2
2
=
==
n
n
L
nL n
n


píšťal
Jeden konec volný:
pouze liché harmonické frekvence
L
v
n
v
f
n
n
4
==

Dva konce volné:
všechny harmonické frekvence
L
v
n
v
f
n
n
2
==

Liché násobky
čtvrtiny vlnové
délky
Násobky
poloviny
vlnové délky
Př. HRW 18.50
Varhanní píšťala A je na obou koncích otevřena a má základní frekvenci 300 Hz.
Píšťala B je otevřena na jednom konci a její třetí harmonická frekvence je stejná jako
druhá harmonická píšťaly A. Jaká je délka (a) píšťaly A a (b) píšťaly B?
..;5;3;1
4
4
=
==
n
n
L
nL n
n


..3;2;;1
2
2
=
==
n
n
L
nL n
n


L
v
n
v
f
n
n
4
==
L
v
n
v
f
n
n
2
==

A: B:
Vlastní kmity
Vznikají tzv. Chladniho obrazce
Rezonance (vlastní kmity) na membráně (dvojrozměrné těleso)
https://www.youtube.
com/watch?v=OLNF
rxgMJ6E
zvuk ve vzduchu:
podélná vlna s rychlostí
zvuk v krystalech:
směsice podélných a
příčných vln. Energie
se mění skokem, který
si můžeme představit
jako kvazičástici, tzv.
fonon.
seismická vlna:
směsice podélných a příčných
vln šířících se jak po povrchu
(S a P vlna) tak v hloubce
(Rayleighova a Loveho vlna).
magnetoakustická vlna:
silně anizotropní komplex
zvukových vln šířících se
plazmatem v přítomnosti
magnetického pole. Skládá se
z Alfvénovy vlny, rychlé a
pomalé vlny.
infrazvuk:
zvuk nezaznamenatelný
sluchem s frekvencí
nižší než 20 Hz.
Přirozeně vzniká při
pádech lavin,
zemětřesení, sopečné
činnosti a průletu
meteoru.
ultrazvuk:
zvuk nezaznamenatelný
sluchem s frekvencí
vyšší než 20 kHz.
Využitelný v lékařské
diagnostice a k čištění
nástrojů, čoček,
klenotů...
Zvukové vlnění
r
K
v =
Zvukové vlnění
Zvuková vlna se ve vzduchu šíří jako podélná vlna. Skládá se z pohybujících se a
periodicky se opakujících oblastí s nízkým a vysokým tlakem.
Změna tlaku Dp je popsána harmonickou funkcí s amplitudou Dpm.
Amplituda výchylek sm jednotlivých bodů je o hodně menší než vlnová délka.
Kladná hodnota výchylky tlaku odpovídá zmenšení objemu (zhuštění) vrstvy.
Záporná hodnota výchylky tlaku odpovídá zvětšení objemu (zředění) vrstvy
Platí vztah mezi amplitudou tlaku a amplitudou výchylky:
𝜟𝒑 𝒎 = (𝒗𝝔𝝎)𝒔 𝒎 , kde v je fázová rychlost vlny; r je hustota prostředí,  je úhlová
frekvence vlny
Zdroje hudebního zvuku
 Kmity strun (kytary, housle, klavír, cimbál,…)
 Kmity membrán (buben,…)
 Kmity vzduchového sloupce (flétna, hoboj, varhany,…)
 Kmity kovových tyčí (xylofon,…)
Zvukové vlnění
Většina nástrojů obsahuje víc než jednu kmitající část – např. vedle strun může
kmitat i korpus nástroje.
Velikost hudebního nástroje je dána rozsahem frekvencí, pro které byl stavěn.
Menší nástroj → vyšší frekvence; větší nástroj → nižší frekvence
Basa – violoncello – viola – housle
nižší frekvence → vyšší frekvence / frekvenční rozsahy se překrývají
Základní frekvence – výška tónu, vyšší harmonické – barva tónu
Vyšší harmonické o různé intenzitě = důvod, proč různé nástroje mají různé
zabarvení téhož tónu
Zdroje hudebního zvuku
Zvukové vlnění
Struna/membrána/sloupec/kovová tyč se rozkmitá na vlastní frekvenci fn →
dojde k rozkmitání vrstvy vzduchu s frekvencí rovnou vlastní frekvenci → vzniká
zvuková vlna šířící se vzduchem rychlostí vz s vlnovou délkou z
L
v
n
v
f
n
n
4
==
L
v
n
v
f
n
n
2
==

n
L
n
4
=
n
L
n
2
=
n
L
n
2
=
L
v
n
v
f
n
n
2
==

n
z
z
f
v
=
n = 1, 2, 3, .. všechny harmonické n = 1, 3, 5, .. pouze liché harmonické
Druhá harmonická
n
L
n
2
=
HRW 18.49
Řešení: 4x
n
z
z
f
v
=
L
v
n
v
f
n
n
2
==

HRW 18.49
Řešení: 4x
Návod: Vlna ve struně se šíří rychlostí v danou parametry struny.
Vlnová délka vlny na struně je  = 2L (L je délka struny). Struna kmitá
s frekvencí f → vznikne zvuková vlna se stejnou frekvencí šířící se
rychlostí vz (zvuk ve vzduchu) se zadanou vlnovou délkou z.
Při změně napětí ve struně → kmity s frekvencí f‘→ zvuková vlna s
frekvencí z´ = z/2.
tttt
m
t

m
t

m
t

m
t

m
t
m
t
4´2'
2
2
2'
2
'
2
2
vlnazvuková;
2
;
=====
======
zzz
z
z
z
z
z
LvLv
Lv
L
v
f
L
v
fv
n
z
z
f
v
=
L
v
n
v
f
n
n
2
==
