Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky O ooo oo ooooooo Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic xkovar3@fi.muni.cz část 1 Obsah přednášky Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky ooooooo Obsah přednášky Q Informace o předmětu Q Motivace Q Principy matematiky Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu •oo Motivace oo Principy matematiky ooooooo Informace o předmětu Informace o předmětu ■ Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ■ Ukončení předmětu ■ zkouška formou 2 písemek ■ vnitrosemestrální písemka 8.11. —> 25 bodů ■ zkoušková písemka —> 75 bodů ■ úspěšné ukončení —> alespoň 60 bodů z písemek ■ Odpadající přednášky ■ 4.10., 15.11. (reading week) Obsah přednášky O Informace o předmětu omo Motivace oo Principy matematiky ooooooo Obsah předmětu Obsah předmětu ■ Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu Motivace oo Principy matematiky ooooooo Obsah předmětu Obsah předmětu ■ Zdroje informací ■ slidy a příklady ve studijních materiálech ■ studijní text k předmětu ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ osobní konzultace (naživo i on-line) ■ přednášky na YouTube z minulých semestrů https://youtube.com/playlist?list=PLifvhlXnhUAkVIN2Hub4BfKGrBQEjfH4d ■ diskusní fórum - současné i z časů lockdownu https://is.muni.cz/auth/discussion/predmetove/phil/podzim2020/PLIN004/ ?fakulta=1421;obdobi=7923;predmet=1298559 Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky O Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Informace o předmětu ooo Motivace •o Principy matematiky ooooooo Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —^ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> proč, proč? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace Principy matematiky ooooooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte □ — = Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky •oooooo Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky •oooooo Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky •oooooo Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ tedy existuje takové celé y, že y * 2 = x (y = 5) ■ tedy 10 je sudé Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky o»ooooo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ priste Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky oo«oooo Ukázky důkazů Ukázky důkazů ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OO0OOOO Ukázky důkazů Ukázky důkazů ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud existuje takové celé y, že y * x = a) Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OO0OOOO Ukázky důkazů Ukázky důkazů ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud existuje takové celé y, že y * x = a) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = = -O ci (~v Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OO0OOOO Ukázky důkazů Ukázky důkazů ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud existuje takové celé y, že y * x = a) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) = -O ci (~v Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OO0OOOO Ukázky důkazů Ukázky důkazů ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud existuje takové celé y, že y * x = a) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) ■ druhou odmocninu (y^ = n, pokud Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky oo«oooo Ukázky důkazů Ukázky důkazů ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud existuje takové celé y, že y * x = a) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) ■ druhou odmocninu (y^ = n, pokud n * n = a) Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOO0OOO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Věta ■ pro libovolná celá x,y platí, že ■ pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Pokud 2 * x — y , pak y je sudé ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Pokud 2 * x — y , pak y je sudé ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Pokud 2 * x — y , pak y je sudé ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ■ dosazením do původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) □ s Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Pokud 2 * x — y , pak y je sudé ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ■ dosazením do původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Pokud 2 * x — y , pak y je sudé ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ dosazením do původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2/c2 + 2/c) + 1 Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Pokud 2 * x — y , pak y je sudé ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ dosazením do původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2/c2 + 2/c) + 1 ■ odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2/c) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2 * (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky OOOO0OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu Pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ dosazením do původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2/c2 + 2/c) + l ■ odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2/c) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2 * (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky ooooo«o Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Věta ■ V2 není racionální číslo. Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I :l MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky O OOO OO 000000» Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy V2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ S1 Fl MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu O ooo Motivace oo Principy matematiky 000000» Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r — 2 * c pro nějaké celé c Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ [S Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno Obsah přednášky O Ukázky důkazů Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 — r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r — 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ S1 Fl MU Brno Obsah přednášky O Informace o předmětu ooo Motivace oo Principy matematiky 000000« Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brno