Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 4 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 1/9	Obsah přednášky Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 2/9
Čísla     Čísla — znalosti ze SS Čísla - znalosti ze SS ► Číselné množiny ► přirozená čísla N = {0,1,...} ► celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ► racionálni čísla Q = {r/s   r, s e Z A s / 0} ► reálná čísla - ,,celá číselná osa" ► komplexní čísla - ,,pokrývají rovinu" ► Náš cíl ► všechny objekty v matematice jsou množiny ► —> definice čísel s pomocí množin ► definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 3/9	Přirozená čísla     Přirozená čísla Přirozená čísla ► Přirozená čísla ► formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ► tzv. Peanova aritmetika ► Axiomy přirozených čísel ► existuje nula ► každé číslo x má následníka S(x) ► nula není následníkem žádného čísla ► různá čísla mají různé následníky: a ^ b => S(a) ^ S(b) ► všechna čísla jsou "potomky" nuly Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 4/9
Přirozená čísla      Přirozená čísla Axiomy přirozených čísel ► Ve formální logice ► 3x(x = 0) ► Vx(3y(y = S(x))) ► Vx(0 ^ S(x)) ► Va,b(a ^ b     S(a) ^ S(b)) ► VK(0 e K A Vx(x ěK^ S(x) ěK)^ Vy(y e K)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 5/9	Přirozená čísla      Konstrukce přirozených čísel Konstrukce přirozených čísel ► Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ► 0 = 0 ► S(x) exU{x) ► Jak tedy čísla vypadají? ► 0 = 0 ► 1 = {0} ► 2 = {0,{0}} ► 3 = {0,{0},{0,{0}}} ► atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 6/9
Přirozená čísla     Číselné operace v Číselné operace ► Definovány induktivně ► Sčítání ► a + 0 = a ► a + S(b) = S(a + b) ► Násobení ► a * 0 = 0 ► a * S(b) = (a * b) + a Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 7/9	Přirozená čísla Příklad Příklad - sčítání podle definice ► Definice sčítání ► a + 0 = a ► a + S(b) = S(a+b) ► 1 + 2 ► 1 = S(0), 2 = S(l) = S(S(0)) ► 1 + 2 ► 1 + S(l) ► S(l + 1) ► S(l + S(0)) ► S(S(1 + 0)) ► S(S(1)) ► S(S(S(0))) ► = 3 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                              část 4 8/9
Další číselné množiny	
Další číselné množiny	
► Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí	
► pojmy, které ,,neznáme"	
► —> v následujících přednáškách	
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004	část 4 9/9