Obsah přednášky	Čísla	Přirozená čísla	Další číselné množiny
O	O	ooooo	O
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory
Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
{pary, xkovar3}@fi.muni.cz
část 4
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky
Čísla O
Přirozená čísla ooooo
Další číselné množiny O
Obsah přednášky
Q Čísla
B Přirozená čísla
H Další číselné množiny
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny
O • ooooo o
Čísla - znalosti ze SŠ
Cŕsla - znalosti ze SS
■v
Číselné množiny
■ přirozená čísla N = {0,1,...}
■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...}
■ racionálni čísla Q = {r/s | r, s G Z A s^O}
■ reálná čísla - ,,celá číselná osa"
■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu"
Náš cíl
■ všechny objekty v matematice jsou množiny
■ —> definice čísel s pomocí množin
■ definice číselných operací
Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny
O o •oooo o
Přirozená čísla
Přirozená čísla
■ Přirozená čísla
■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy
■ tzv. Peanova aritmetika
■ Axiomy přirozených čísel
■ existuje nula
■ každé číslo x má následníka S(x)
■ nula není následníkem žádného čísla
■ různá čísla mají různé následníky: a ^ b    S (a) ŕ S(b)
■ všechna čísla jsou "potomky" nuly
Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny
o o o»ooo o
Přirozená čísla
Axiomy přirozených čísel
■ Ve formální logice
■ 3x(x = 0)
. Vx(3y(y = S(x)))
■ Vx(0 jí S(x))
■ Va, b(a jí b    S(a) jí S(b))
m VK(0 E K A Vx(x e K ^ S(x) eK)^> Vy(y G K))
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny
o o oo»oo o
Konstrukce přirozených čísel
Konstrukce přirozených čísel
■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy
■ 0 = 0
■ S (x) exU {x}
■ Jak tedy čísla vypadají?
■ 0 = 0
■ 1 = {0}
■ 2 = {0,{0}}
■ 3 = {0,{0},{0,{0}}}
■ atd. - vždy n = {0,n — 1}
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
□        i5P - -
:l MU Brno
Obsah přednášky Čísla o o
Číselné operace
Číselné operace
■ Definovány induktivně
■ Sčítaní
■ a + 0 = a
■ a + S(b) = S(a + b)
■ Násobení
■ a*0 = 0
■ a * S(b) = (a * b) + a
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brno
Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny
o o oooo» o
Příklad
Příklad - sčítaní podle definice
Definice sčítání
1 + 2
1 + 2
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
1 = S(0), 2 = S(l) = S(S(0))
1 + S(l) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0))
S(S(1)) S(S(S(0)))
= 3
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny
O o ooooo •
Další číselné množiny
■ Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí
■ pojmy, které neznáme"
■ —> v následujících přednáškách
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno