Obsah přednášky	Funkce	Velikost množin	Posloupnosti
	oooooo	O	oo
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory
Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
{pary, xkovar3}@fi.muni.cz
část 6
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky Funkce oooooo	Velikost množin O	Posloupnosti oo
		
Obsah přednášky		
Funkce
Velikost množin
Posloupnosti
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
•ooooo o oo
Fu n kce
Funkce
■ Funkce
■ speciální typ relace
■ tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne)
■ Alternativní pohled na relaci
■ prvních n-1 hodnot uspořádané n-tice jsou argumenty relace (vstup)
■ poslední hodnota je hodnota funkce (výstup)
■ zápis - např.: (a, b, c) £ + = +(a, b) — c
■ Funkce
■ taková relace, kde výstup je jednoznačný
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
o«oooo o oo
Fu n kce
Definice funkce
■ Funkce
■ taková relace, kde výstup je jednoznačný
■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí:
■ Va, b, c e A ( (a, b) e f A (a, c) e f =4> b = c )
■ —>> unární funkce je binární relace
■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud:
■ Va, b, c, cf e >A ( (a, b, c) e f A (a, b, cf) e f =4> c = cf)
■ —>> binární funkce je ternární relace
■ podobně funkce více proměnných
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
oo«ooo o oo
Fu n kce
Funkce - varianty zápisu
■ Často říkáme „funkce z A do B"
■ případně „zobrazení z A do B"
■ zapisujeme f : A —> B
■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B
m A — definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B — obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f (A)
■ Funkční hodnota
■ zapisujeme f (a) = b
■ totéž jako: (a, b) G f
m také ,,b je obraz prvku a"
■ také ,,a je vzor prvku b"
Obsah přednášky Vlastnosti funkcí
Funkce OOO0OO
Velikost množin O
Posloupnosti oo
Vlastnosti funkcí
■ Injektivita
■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když
■ Va, b e 4 ( f (a) = f(b)     a = b )
■ —> ,,žádné dva prvky nemají stejný obraz"
■ Surjektivita
■ f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když
■ Vb G B ( 3a G A (b = f (a) )
■ —>> ,,každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor"
■ —> „celý obor hodnot je pokrytý"
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
OOOO0O o oo
Vlastnosti funkcí
Vlastnosti funkcí (2)
Úplnost
f : A —> B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) )
—>» ,,každý prvek definičního oboru má nějaký obraz"
—>» ,,celý definiční obor je pokrytý"
pojmem ,,funkce" se často myslí úplná funkce
Bijekce
f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná
—> množiny A a B jsou ,,stejně velké"
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
ooooo* o oo
Vlastnosti funkcí
nverzní funkce
■ Inverzní funkce
■ pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci
■ f'1 : B -> A
■ f~\b) = a = f (a) = b
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
■\ MU Brno
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
oooooo • oo
Velikost množin
Definice velikosti množiny
Velikost množiny A: A
■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A
■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin
Nekonečné množiny
■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f:N^A
■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla
■ N, Z, Q jsou spočetné množiny
■ R (reálná čísla) není spočetná množina
■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R —>► A
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
:l MU Brno
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
oooooo o mo
Posloupnosti
Posloupnosti
■ Záleží na pořadí prvků
■ Konečné posloupnosti
■ = uspořádané n-tice
■ Nekonečné posloupnosti
■ = funkce na přirozených číslech
■ ao, si,an,... je jen jiný zápis ^(0), ^(1),f(n),...
■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti
■ vypíšeme první člen (prvních několik členů)
■ určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí an-i (případně an-2 apod.)
Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti
oooooo o om
Posloupnosti
Posloupnosti - příklad
Fibonacciho posloupnost
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 30 = 0 ai = l
3n — 3n-i + 3n-2
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
■\ MU Brno