\documentclass{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[IL2]{czech}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\textheight}{6.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
%\usepackage{a4wide}
\usepackage{dsfont}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
\newcommand{\ndivides}{\nmid}
\newcommand{\divides}{\mid}
\DeclareMathOperator{\aut}{Aut}


\begin{document}
\textit{Není-li stanoveno jinak, dostává první, kdo odevzdá správně
  vyřešený úkol, uvedený počet bodů, každý další vždy o bod méně než předchozí.}

\begin{enumerate}
\item (5b.)  Dokažte, že pro každé liché prvočíslo $p$ existuje
  nekonečně mnoho  přirozených čísel $n$, splňujících $p\mid n\cdot 2^n+1$. (\textbf{body přiděleny})
\item (2b. --- \textit{pouze pro prvního v pořadí}) Najděte nejmenší prvočíslo
  tvaru $n\cdot 2^n+1$.  (\textbf{vyřešeno --- $n=141$})
\item (3b.) Nechť $a\in\Z, m\in\N$, kde $(a,m)=1$.  Dokažte, že je-li
  řád čísla  $a$ modulo $m$ roven $r$, je pro libovolné $n\in\N $ 
 řád čísla $a^n$ modulo $m$ roven $\frac{r}{(r,n)}$.  (\textbf{body přiděleny})
\item (5b.) Dokažte, že existuje nekonečně mnoho lichých přirozených
  čísel $k$ s vlastností, že  čísla $2^{2^n}+k$ jsou složená pro všechna $n\in\N$.
\item (10b. --- \textit{pouze pro prvního}) Dokažte, že pro každé celé číslo $k\neq1$ existuje
  nekonečně mnoho  přirozených  čísel $n$ s vlastností, že  číslo
  $2^{2^n}+k$ je složené.
\item (5b.) Dokažte, že pro žádné $n\in\N, n>1$ neplatí $n\mid 2^n-1$.
\end{enumerate}
\end{document}
