Neni-li stanoveno jinak, dostává první, kdo odevzdá správně vyřešený úkol, uvedený počet bodů, každý
další vždy o bod méně než předchozí.
1. (5b.) Dokažte, že pro každé liché prvočíslo p existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n, splňujících
p | n ˇ 2TM + 1. (body přiděleny)
2. (2b. -- pouze pro prvního v pořadí) Najděte nejmenší prvočíslo tvaru n ˇ 2TM + 1. (vyřešeno --
n= 141)
3. (3b.) Nechť a G Z, m G N, kde (a, m) = 1. Dokažte, že je-li řád čísla a modulo m roven r, je pro
libovolné n G N řád čísla an
modulo m roven T^T- (body přiděleny)
4. (5b.) Dokažte, že existuje nekonečně mnoho lichých přirozených čísel k s vlastností, že čísla 22
+ k
jsou složená pro všechna n G N.
5. (10b. -- pouze pro prvního) Dokažte, že pro každé celé číslo k ^ 1 existuje nekonečně mnoho
přirozených čísel n s vlastností, že číslo 22
+ k je složené.
6. (5b.) Dokažte, že pro žádné n G N, n > 1 neplatí n \ 2TM -- 1.