3. Popis časových řad

3.1. Motivace

Ke srovnání hodnot ukazatelů ve dvou obdobích slouží metody
indexní analýzy. Chceme-li však poznat určité zákonitosti ve
vývoji daného ukazatele, musíme mít k dispozici jeho hodnoty za
více období ve formě časové řady. Časové řady vznikají
v přírodních vědách nebo technice (např. seismický záznam
v geofyzice, údaje o průměrných ročních teplotách
v klimatologii), v biologických vědách (četnosti výskytu
určitého škůdce v několika po sobě jdoucích letech),
v sociologii (vývoj rozvodovosti), v ekonomii (objem zemědělské
produkce v několika po sobě jdoucích letech, vývoj směnného
kurzu) atd.

3.2. Pojem časové řady, její druhy a grafické znázornění

3.2.1. Pojem časové řady: Časovou řadou rozumíme řadu hodnot
určitého ukazatele uspořádanou podle přirozené časové
posloupnosti t1 < ... < tn. Přitom je nutné dbát na to, aby
věcná náplň ukazatele i jeho prostorové vymezení byly shodné
v celém sledovaném časovém období. Jsou-li časové intervaly
(t1, t2), ..., (tn-1, tn) stejně dlouhé (ekvidistantní),
zjednodušeně zapisujeme časovou řadu jako y1, ..., yn.

3.2.2. Druhy časových řad
a) Časová řada okamžiková: příslušný ukazatel udává, kolik jevů
existuje v daném časovém okamžiku (např. počet obyvatelstva
k určitému dnu).
b) Časová řada intervalová: příslušný ukazatel udává, kolik
jevů vzniklo či zaniklo v určitém časovém intervalu (např.
počet sňatků během roku). Nejsou-li jednotlivé časové intervaly
ekvidistantní, musíme provést očištění časové řady od důsledků
kalendářních variací.

Příklad 1.: Máme k dispozici údaje o tržbě obchodní organizace
(v tis. Kč) v jednotlivých měsících roku 1995: 2400, 2134,
2407, 2445, 2894, 3354, 3515, 3515, 3225, 3063, 2694, 2600.
Vypočtěte očištěné údaje.

Řešení: Průměrná délka měsíce je 365/12 dne. Očištěná hodnota
pro leden je tedy , pro únor . Pro ostatní měsíce analogicky
dostaneme 2361,71; 2478,96; 2839,54; 3400,58, 3448,86; 3448,86;
3269,79;  3005,36; 2731,42; 2551,08.

3.2.3. Grafické znázornění časové řady
a) Okamžikovou časovou řadu graficky znázorňujeme pomocí
spojnicového diagramu. Na vodorovnou osu vynášíme časové
okamžiky t1, ..., tn, na svislou osu odpovídající hodnoty y1,
..., yn. Dvojice bodů (ti, yi), i = 1, ..., n spojíme úsečkami.

Příklad 2.: Časová řada obsahuje údaje o počtu zaměstnanců
určité akciové společnosti v letech 1989 -- 1996 vždy k 31.12.
   198  1990 199  199  199  199 199  199
    9         1    2    3    4   5    6
   622  627  631  635  641  641 632  625
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.


Řešení:



b) Intervalovou časovou řadu nejčastěji znázorňujeme sloupkovým
diagramem. Je to soustava obdélníků, kde šířka obdélníku je
rovna délce intervalu a výška odpovídá hodnotě ukazatele
v daném intervalu. Ke znázornění intervalové časové řady lze
použít i spojnicový diagram, přičemž na vodorovnou osu vynášíme
středy příslušných intervalů.

Příklad 3.: Máme k dispozici údaje o produkci určitého podniku
(v tisících výrobků) v letech 1991-1996.
   199  199  199  199  199  199
    1    2    3    4    5    6
   114  106  107  102  116  137
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.

Řešení:



3.3. Popisné charakteristiky časových řad

3.3.1. Průměr okamžikové časové řady
Nejprve vypočteme průměry pro jednotlivé dílčí intervaly (t1,
t2), (t2, t3), ..., (tn-1, tn): . Jsou-li všechny tyto
intervaly stejně dlouhé, vypočteme prostý chronologický průměr
okamžikové časové řady:
.
Nemají-li intervaly stejnou délku, vypočteme di = ti -- ti-1, i
= 2, ..., n a použijeme vážený chronologický průměr okamžikové
časové řady:
.

Příklad 4.: Časová řada vyjadřuje počet obyvatelstva ČSSR (v
tisících) v letech 1965 až 1974 vždy ke dni 31.12.
Rok  1965  1966  1967  1968  1969  1970  1971  1972  1973 1974
poče 1419  1427  1433  1438  1444  1434  1441  1457  1463 1473
t    4     1     3     7     3     5     9     6     1    8
Charakterizujte tuto časovou řadu chronologickým průměrem.

Řešení: .

3.3.2. Průměr intervalové časové řady
.

Příklad 5.: Vypočtěte průměrnou hodnotu roční časové řady HDP
ČR (v miliardách Kč) v letech 1994 až 2000.

   1994  1995  1996  1997  1998  1999   2000
   1303, 1381, 1447, 1432, 1401, 1390, 1433,
     6     1     7     8     3     6     8

Řešení: .


3.4. Dynamické charakteristiky časových řad

3.4.1. Absolutní přírůstky
1. diference:
2. diference:
atd.
(Diferencování má velký význam při odhadu trendu časové řady
regresními metodami.)
Průměrný absolutní přírůstek:

3.4.2. Relativní přírůstek

(Relativní přírůstek po vynásobení 100 udává, o kolik procent
se změnila hodnota v čase ti oproti času ti-1.)

3.4.3. Koeficient růstu (tempo růstu)

(Koeficient růstu po vynásobení 100 udává, na kolik procent
hodnoty v čase ti-1 vzrostla či poklesla hodnota v čase ti.)

Průměrný koeficient růstu

Průměrný relativní přírůstek


Příklad 6.: Pro časovou řadu HDP ČR v letech 1994 až 2000 (v
miliardách Kč) vypočtěte základní charakteristiky dynamiky a
graficky znázorněte 1. diference a koeficienty růstu.
Řešení:
rok         HDP          Äyi          ki           äi
1994        1303,6       x            x            x
1995        1381,1       77,5         1,059        0,059
1996        1447,7       66,6         1,048        0,048
1997        1432,8       -14,7        0,990        -0,010
1998        1401,3       -31,5        0,978        -0,022
1999        1390,6       -10,7        0,992        -0,008
2000        1433,8       43,2         1,031        0,031
Průměrný absolutní přírůstek: , tzn., že v období 1994 -- 2000
rostl HDP průměrně o 21,7 miliard Kč ročně.
Průměrný koeficient růstu: , tzn., že v období 1994 -- 2000
rostl HDP průměrně o 1,6% ročně.

Graf 1. diferencí:                         Graf koeficientů
růstu:


3.5. Odhad trendu časové řady pomocí regrese

3.5.1. Aditivní model časové řady
Předpokládejme, že pro časovou řadu y1, ..., yn platí model yt
= f(t) + ĺt, t = 1, ..., n, kde f(t) je neznámá trendová funkce
(trend), kterou považujeme za systematickou (deterministickou)
složku časové řady (popisuje hlavní tendenci dlouhodobého
vývoje časové řady) a ĺt je náhodná složka časové řady
zahrnující odchylky od trendu. Náhodná složka splňuje
předpoklady E(ĺt) = 0, D(ĺt) = ó2, C(ĺt, ĺt+h) = 0, ĺt ~ N(0,
ó2) (říkáme, že ĺt je bílý šum).

3.5.2. Cíl regresní analýzy trendu
Regresní analýza trendu má objasnit vztah mezi závisle
proměnnou veličinou yt a časem t. Předpokládáme, že trend f(t)
závisí (lineárně či nelineárně) na neznámých parametrech
â0, â1, ..., âk a známých funkcích ö0(t), ö1(t), ...., ök(t),
které již neobsahují žádné neznámé parametry, tj. f(t) = g(â0,
â1, ..., âk; ö0(t), ö1(t), ...., ök(t)). Odhady b0, b1, ..., bk
neznámých parametrů â0, â1, ..., âk lze získat např. metodou
nejmenších čtverců a pak vyjádřit odhad  neznámého trendu
v bodě t pomocí odhadů b0, b1, ..., bk a funkcí ö0(t), ö1(t),
...., ök(t), tj.
 = g(b0, b1, ..., bk; ö0(t), ö1(t), ...., ök(t)).

3.5.3. Nejdůležitější typy trendových funkcí
Volba typu trendové funkce se provádí
- na základě teoretických znalostí a zkušeností se zkoumanou
veličinou yt
- pomocí grafu časové řady
- pomocí informativních testů založených na jednoduchých
charakteristikách časové řady
a) Lineární trend
    Analytické vyjádření:
    Informativní test: 1. diference jsou přibližně konstantní

b) Kvadratický trend
    Analytické vyjádření:
    Informativní test: 1. diference mají přibližně lineární
trend, 2. diference jsou přibližně    konstantní.

c) Exponenciální trend
    Analytické vyjádření: .
    Model lze linearizovat logaritmickou transformací:
    Informativní test: koeficienty růstu jsou přibližně
konstantní.

d) Modifikovaný exponenciální trend
    Analytické vyjádření: .
    Informativní test: řada podílů sousedních 1. diferencí je
přibližně konstatní.

e) Logistický trend
    Analytické vyjádření:
    Informativní test: průběh 1. diferencí je podobný Gaussově
křivce a podíly  jsou přibližně konstantní.

f) Gompertzova křivka
    Analytické vyjádření:
    Informativní test: podíly  jsou přibližně konstantní.

Modely (a), (b), (c) jsou lineární nebo se dají linearizovat a
odhady parametrů získáme metodou nejmenších čtverců. Modely
(d), (e), (f) jsou nelineární a odhady parametrů se získávají
speciálními numerickými metodami.

3.5.4. Orientační ověřování kvality modelu
- Index determinace (tj. podíl vysvětlené a celkové variability
závisle proměnné veličiny) by měl být blízký 1.
- Body grafu , t = 1, 2, ..., n by se měly řadit do přímky se
směrnicí 1.

Příklad 7.: Časová řada 112, 149, 238, 354, 580, 867 udává zisk
(v tisících dolarů) jisté společnosti v prvních šesti letech
její existence.
a) Graficky znázorněte průběh této časové řady.
b) Vypočtěte koeficienty růstu
c) Z grafu časové řady a chování koeficientů růstu lze usoudit,
že časová řada má exponenciální trend . Odhadněte jeho
parametry.
d) Najděte odhad zisku společnosti v 7. a 8. roce její
existence.
e) Zjistěte index determinace a sestrojte graf  , t = 1, ...,
6.

Řešení:
ad a)

ad b) Koeficienty růstu: 149/112 = 1,33, 238/149 = 1,597,
354/238 = 1,487, 580/354 = 1,628, 867/580 = 1,495. Vidíme, že
koeficienty růstu jsou přibližně konstantní.

ad c) Model  linearizujeme a metodou nejmenších čtverců získáme
odhady ln b0 = 4, 227983, ln b1 = 0,420199. Odlogaritmováním
dostaneme b0 = 68,57875, b1 = 1,522265.

ad d)

ad e) ID2  = 0,996

Jak index determinace, tak graf  svědčí o tom, že model byl
zvolen správně.

3.6. Odhad trendu časové řady pomocí klouzavých průměrů

3.6.1. Podstata klouzavých průměrů
Předpokládáme, že časová řada se řídí aditivním modelem
popsaným v 3.5.1. Odhad trendu v bodě t získáme určitým
zprůměrováním původních pozorování z jistého okolí uvažovaného
časového okamžiku t. Můžeme si představit, že podél dané časové
řady klouže okénko, v jehož rámci se průměruje. Nechť toto
okénko zahrnuje d členů nalevo od bodu t a d členů napravo od
bodu t. Hovoříme pak o vyhlazovacím okénku šířky h = 2d + 1.
Prvních a posledních d hodnot trendu neodhadujeme, protože pro
není vyhlazovací okénko symetrické. Odhad trendu ve středu
vyhlazovacího okénka je dán vztahem: , t = d+1, ..., n-d.

3.6.2. Šířka vyhlazovacího okénka
Velmi důležitou otázkou je stanovení šířky vyhlazovacího
okénka. Je-li okénko příliš široké, bude se odhad trendu blížit
přímce (říkáme, že je přehlazen) a zároveň se ztratí velký
počet členů na začátku a na konci časové řady. Je-li naopak
okénko úzké, bude se odhad trendu blížit původním hodnotám
(říkáme, že odhad je podhlazen). Nejčastěji se volí šířka
okénka
h = 3, 5, 7.

Příklad 8.: Časová řada 215, 219, 222, 235, 202, 207, 187, 204,
174, 172, 201, 272 udává roční objemy vývozu piva (v miliónech
litrů) z Československa v letech 1980 až 1991.
  a)  Odhadněte trend této časové řady pomocí klouzavých průměrů
     s vyhlazovacím okénkem šířky 3 a poté 5.
  b)  Graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým
     trendem.

Řešení:
rok   vývoz  kp3    kp5
 1980    215  x      x
 1981    219  218,6  x
                 67
 1982    222  225,3 218,6
                 33
 1983    235  219,6   217
                 67
 1984    202  214,6 210,6
                 67
 1985    207  198,6   207
                 67
 1986    187  199,3 194,8
                 33
 1987    204  188,3 188,8
                 33
 1988    174  183,3 187,6
                 33
 1989    172  182,3 204,6
                 33
 1990    201    215  x
 1991    272  x      x

Grafické znázornění časové řady s odhadnutým trendem
h = 3
h = 5

Příklady ke 3. kapitole

Příklad 1. : V tabulce jsou uvedeny stavy pracovníků stavebního
podniku v období od 1. ledna do 1. května. Vypočtěte průměrný
stav pracovníků za toto období.

Datum          1.1. 1.2  1.3 1.4 1.5.
                    .    .   .
Počet          178  170  180 150 162
pracovníků

¨Đňůměr činí 167,41)

Příklad 2. : Pro časovou řadu hodnot měsíční hrubé mzdy v ČR
v letech 1989 -- 1997 vypočtěte a interpretujte průměrný
absolutní přírůstek a průměrný koeficient růstu.

rok   1989  1990   1991  1992   1993   1994  1995   1996  1997
mzda  3170  3286   3792  4644   5817   6894  8172   9676  10696

(Průměrný absolutní přírůstek je 940,75 Kč, tzn., že průměrná
hrubá měsíční mzda stoupala v letech 1989 -- 1997 průměrně o
940,75 Kč ročně. Průměrný koeficient růstu je 1,164, že
průměrná hrubá měsíční mzda stoupala v letech 1989 -- 1997
průměrně o 16,4% ročně.)

Příklad 3. : Je známa časová řada spotřeby mléka v ČR v letech
1989 -- 1996 (v l na obyvatele za rok).

rok    1989  1990  1991   1992  1993   1994  1995  1996
spotře 91,4  91,5  87,2   74,4  72,8   77,3  64,6  58,5
ba

  a)  Časovou řadu znázorněte graficky.
  b)  Vypočtěte 1. diference.
c)  Z grafu časové řady a chování 1. diferencí lze usoudit na
lineární trend
    . Odhadněte jeho parametry. Pro úsporu času máte uvedeny
    tyto charakteristiky: .
  d)  Za předpokladu, že se dosavadní charakter vývoje spotřeby
     mléka nezmění, odhadněte spotřebu mléka v roce 2000.
e)  Vhodnost modelu posuďte pomocí indexu determinace.

(ad c) Odhadnutý trend: , ad d) 41,85 , ad e) 0,8964)

Práce se systémem STATISTICA

Téma: popisné a dynamické charakteristiky časových řad,
regresní odhad trendu, klouzavé průměry

Příklad 1.: Grafické znázornění okamžikové časové řady
Časová řada obsahuje údaje o počtu zaměstnanců určité akciové
společnosti v letech 1989 -- 1996 vždy k 31.12.
   198  1990 199  199  199  199 199  199
    9         1    2    3    4   5    6
   622  627  631  635  641  641 632  625
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a osmi
případech. První proměnnou nazveme ROK, druhou POCET.
Graphs -- Scatterplots -- Variables X ROK, Y POCET -- OK -- vypneme
Linear fit -- OK. Format -- All options -- Plot: General --
zaškrtneme Line -- OK. Vznikne spojnicový diagram.

Příklad 2.: Grafické znázornění intervalové časové řady
Máme k dispozici údaje o produkci určitého podniku (v tisících
výrobků) v letech 1991-1996.
   199  199  199  199  199  199
    1    2    3    4    5    6
   114  106  107  102  116  137
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a šesti
případech. První proměnnou nazveme ROK, druhou PRODUKCE.
Graphs -- Scatterplots -- Variables X ROK, Y PRODUKCE -- OK --
vypneme Linear fit -- OK.
Format -- All options -- Plot: General -- zaškrtneme Line -- Add
new plot -- Type Bar plot -- Name bar -- OK. Do sloupců označených
jako bar okopírujeme hodnoty proměnných ROK a PRODUKCE. V All
Options Plot:bar upravíme šířku sloupce na 1.

Příklad 3.: Výpočet chronologického průměru okamžikové časové
řady
Vypočtěte chronologický průměr časové řady počtu zaměstnanců
akciové společnosti. Zadání viz příklad 1.
Návod: Použijeme datový soubor vytvořený v příkladě 1. Vymažeme
proměnnou ROK a datový soubor transponujeme. K nově vzniklému
souboru přidáme proměnnou PRUMER a do jejího Long Name napíšeme
vzorec:
=(v1/2+sum(v2:v7)+v8/2)/7.

Výpočet průměru intervalové časové řady -- použijeme volbu Mean
z Descriptive statistics.

Příklad 4.: Výpočet dynamických charakteristik časové řady
Pro časovou řadu HDP ČR v letech 1994 -- 2000 (v miliardách Kč)
vypočtěte 1. diference, relativní přírůstky a koeficienty
růstu. Tyto charakteristiky znázorněte graficky. Vypočtěte také
průměrný absolutní přírůstek a průměrný koeficient růstu.
   1994  1995  1996  1997  1998  1999   2000
   1303, 1381, 1447, 1432, 1401, 1390, 1433,
     6     1     7     8     3     6     8
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a šesti
případech. První proměnnou nazveme ROK, druhou HDP.
    Výpočet 1. diferencí: Statistics -- Advanced Linear-
Nonlinear Models -- Time Series-Forecasting -- Variables HDP -- OK
-- OK(transformations, autocorelations, crosscorrelations,
plots) -- vybereme Difference, integrate -- zaškrtneme
Differencing, lag = 1 -- OK(Transform selected series) --
vykreslí se graf, vrátíme se do Transformations of Variables --
Save variables. Otevře se nový spreadsheet, kde v proměnné
HDP_1 jsou uloženy 1. diference. Pomocí Line Plots vykreslíme
průběh 1. diferencí,
    Výpočet relativních přírůstků: Vrátíme se do
Transformations of Variables -- vybereme Shift -- zaškrtneme
Shift (lag) series forward -- lag = 1 - OK(Transform selected
series) -- vykreslí se graf, vrátíme se do Transformations of
Variables -- Save variables. Tato transformovaná veličina se
uloží do spreadsheetu pod názvem HDP_1 (proměnná s 1.
diferencemi se přejmenuje na HDP_2). Přidáme novou proměnnou RP
a do jejího Long Name napíšeme vzorec =HDP_2/HDP_1. Pomocí Line
Plots vykreslíme průběh relativních přírůstků.
    Výpočet koeficientů růstu: Do spreadsheetu přidáme
proměnnou KR a do jejího Long Name napíšeme vzorec =HDP/HDP_1.
Pomocí Line Plots vykreslíme průběh koeficientů růstu.
    Průměrný absolutní přírůstek a průměrný koeficient růstu
vypočteme na kalkulačce.

Pzorový rakteristik časové řadyříklad 5.: Regresní odhad trendu
Časová řada 112, 149, 238, 354, 580, 867 udává zisk (v tisících
dolarů) jisté společnosti v prvních šesti letech její
existence.
  a)  Znázorněte časovou řadu graficky.
b)  Vypočtěte koeficienty růstu této časové řady.
  c)  Předpokládejte, že časová řada má exponenciální trend.
     Odhadněte jeho parametry a graficky znázorněte průběh časové
     řady s odhadnutým trendem.
  d)  Sestrojte graf
e)  Najděte odhady zisku společnosti v následujících dvou
letech.
Návod: Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných CAS a ZISK a
šesti případech. Úkoly (a) a (b) vypracujeme podle návodu ze
vzorových příkladů 1 a 4. Úkol (c): Přidáme proměnnou LNZISK a
do jejího Long Name napíšeme vzorec =log(ZISK). Statistics --
Multiple Regression -- Variables Dependent LNZISK, Independent
CAS -- OK -- OK -- Quick -- Summary Regression Results. Ve výstupní
tabulce ve sloupci B jsou odhady parametrů linearizovaného
modelu. Přidáme novou proměnnou EXPB a do jejího Long Name
napíšeme =exp(B). Tím získáme odhady parametrů exponenciálního
trendu  (b0 = 68,579, b1 = 1,522). Do původního datového
souboru přidáme proměnnou ODHAD a do jejího Long Name napíšeme
=68.579*1.522^CAS. Pomocí Scatterplots graficky znázorníme
časovou řadu s proloženým exponenciálním trendem.
Úkol (d): Graf  vytvoříme pomocí Scatterplots proměnných  ZISK
a ODHAD.
Úkol (e): Odhady zisku společnosti v 7. a 8. roce její
existence vypočteme na kalkulačce.

Příklad 6.: Odhad trendu klouzavými průměry
Časová řada 215, 219, 222, 235, 202, 207, 187, 204, 174, 172,
201, 272 udává roční objemy vývozu piva (v miliónech litrů)
z Československa v letech 1980 až 1991.
  c)  Odhadněte trend této časové řady pomocí klouzavých průměrů
     s vyhlazovacím okénkem šířky 3 a poté 5.
  d)  Graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým
     trendem.
Návod: Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných CAS a VYVOZ a
dvanácti případech. Statistics -  Advanced Linear-Nonlinear
Models -- Time Series-Forecasting -- Variables VYVOZ -- OK --
OK(transformations, autocorelations, crosscorrelations, plots)
-- vybereme Smoothing -- zaškrtneme N-pts mov. averg., N = 3 --
OK(Transform selected series) -- vykreslí se graf, vrátíme se do
Transformations of Variables -- Save variables. Otevře se nový
spreadsheet, kde v proměnné VYVOZ_1 jsou uloženy klouzavé
průměry. Proměnnou VYVOZ_1 okopírujeme do původního datového
souboru do nové proměnné ODHAD3 (pozor -- roky 1980 a 1991
nemají přiřazený odhad). Grafické znázornění časové řady
s odhadnutým trendem získáme pomocí Scatterplots, kde vybereme
Graph type Multiple. Analogicky postupujeme pro pětičlenné
klouzavé průměry.


Příklady k samostatnému řešení
1.  Časová řada obsahuje údaje o počtu žen (v tisících)
  pracujících v národním hospodářství ČSSR v letech 1967 -- 1974.
  Údaje jsou uvedeny vždy k 1.1.
   196  1968 196  197  197  197 197  197
    7         9    0    1    2   3    4
   299  3053 314  321  328  334 340  345
    7         1    1    6    6   0    0
  a)  Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
  b)  Vypočtěte chronologický průměr.
c)  Vypočtěte a graficky znázorněte 1. diference, relativní
přírůstky a koeficienty růstu.
  d)  Zjistěte průměrný absolutní přírůstek a průměrný
     koeficient růstu.
  Výsledky: chronologický průměr = 3234,6, průměrný absolutní
  přírůstek = 64,714, průměrný relativní přírůstek = 1,02.

2.  V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu sňatků v ČR v letech
  1990 -- 1999.
   1990  1991 1992  1993  1994 1995  1996  1997 1998  1999
   9094  7197 7406  6603  5844 5495  5389  5780 5502  5352
     3    3     0     3    0     6     6    4     7     3
  a)  Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
  b)  Vypočtěte průměr.
c)  Vypočtěte a graficky znázorněte 1. diference, relativní
přírůstky a koeficienty růstu.
  d)  Zjistěte průměrný absolutní přírůstek a průměrný
     koeficient růstu.
  Výsledky: průměr = 63666,5, průměrný absolutní přírůstek = -
  4158,9, průměrný koeficient růstu = 0,943.

3.  Je dána časová řada potratů (v tisících) v ČR v letech
  1986 až 1996: 99,5  126,7  129,3  126,5  126,1  120,1  109,3
  85,4  67,4  61,6  60. Předpokládejte, že tato časová řada má
  kvadratický trend. Odhadněte parametry trendové funkce a
  graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým trendem.

4.  Máte k dispozici údaje o počtu bytů předaných do užívání
  v Československu v letech 1960 až 1970: 73 766   86 032
  85 221   82 189   77 301  77 818   75 576   79 297   86 571
  85 656   112 135. Odhadněte trend této časové řady pomocí
  klouzavých průměrů s vyhlazovacím okénkem šířky 5 a graficky
  znázorněte...