9. Neparametrické testy o mediánech

9.1. Motivace

    Při používání t-testů či analýzy rozptylu by měl být
splněn předpoklad normality dat. Pro výběry větších rozsahů (n
? 30) nemá mírné porušení normality závažný dopad na výsledky.
Někdy se však setkáváme s výběry malých rozsahů, které
pocházejí z výrazně nenormálních rozložení. Pro práci s nimi
byly vytvořeny tzv. neparametrické testy, které nevyžadují
předpoklad o konkrétním typu rozložení (např. normálním), stačí
např. předpokládat, že distribuční funkce rozložení, z něhož
náhodný výběr pochází, je spojitá.
    Tyto neparametrické testy se rovněž používají v situacích,
kdy zkoumaná data nemají intervalový či poměrový charakter, ale
pouze ordinální charakter.
    Ve srovnání s klasickými parametrickými testy jsou však
neparametrické testy slabší, tzn., že nepravdivou hypotézu
zamítají s menší pravděpodobností než testy parametrické.
    V této kapitole se omezíme na ty neparametrické testy,
které jsou založeny na pořadí a týkají se mediánů. Nazývají se
pořadové testy.

9.2. Uspořádaný náhodný výběr, vektor pořadí a jeho vlastnosti

    Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr.
  a)  Vektor (X(1), ...., X(n)), kde X(1) ? ... ? X(n) se nazývá
     uspořádaný náhodný výběr a statistika X(i) se nazývá i-tá
     pořádková statistika, i = 1, ..., n.
  b)  Pořadím Ri statistiky Xi rozumíme počet těch náhodných
     veličin X1, ..., Xn, které nabývají hodnoty menší nebo rovné
     Xi, tj. . Zavedeme-li funkci , pak . Náhodný vektor R = (R1,
     ..., Rn) se nazývá vektor pořadí.
c)  Pokud neuvažujeme shodná pozorování (tj. když náhodný
výběr pochází ze spojitého rozložení -- pak se shodná pozorování
vyskytují s pravděpodobností 0), je vektor pořadí permutací
posloupnosti (1, ..., n) a má rovnoměrné diskrétní rozložení na
množině všech permutací posloupnosti (1, ..., n). Náhodná
veličina Ri má rovnoměrné diskrétní rozložení na množině {1, ...,
n}, tedy E(Ri) = (n+1)/2, D(Ri) = (n2-1)/12.
  Upozornění: V praxi se může stát, že některá pozorování jsou
  si rovna a vytvářejí skupiny shodných čísel. Pak těmto
  shodným číslům přiřadíme průměrné pořadí odpovídající takové
  skupině.

9.3. Jednovýběrové pořadové testy (neparametrické obdoby
jednovýběrových a párových t-testů)

9.3.1. Znaménkový test
    Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení
se spojitou distribuční funkcí Ö(x). Nechť  x0,50  je mediánem
tohoto rozložení, tj. Ö(x0,50) = 0,5. Nechť c je reálná
konstanta. Testujeme hypotézu H0: x0,50 = c proti oboustranné
alternativě H1: x0,50 ? c (resp. proti levostranné alternativě
H1: x0,50 < c resp. proti pravostranné alternativě H1: x0,50 >
c). Utvoříme rozdíly Yi = Xi -- c, i = 1, ..., n. (Jsou-li
některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových
hodnot.)
    Zavedeme statistiku SZ+, která udává počet těch rozdílů,
které jsou kladné. Platí-li H0, pak SZ+ ~ Bi(n,˝), tedy E(SZ+)
= n/2, D(SZ+) = n/4. Kritický obor budou tvořit ty hodnoty
testové statistiky SZ+, které jsou blízké 0 nebo n, tedy . Pro
n ? 20 a á = 0,05 či 0,01 jsou tabelované kritické hodnoty k1,
k2. H0 zamítáme na hladině významnosti á, když .
    Pro velká n (prakticky n > 20) lze využít asymptotické
normality statistiky SZ+. Testová statistika  má za platnosti
H0 asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor pro
oboustrannou alternativu má tvar W = . (Analogicky pro
jednostranné alternativy.) H0 zamítáme na asymptotické hladině
významnosti á, když .
    Aproximace rozložením N(0,1) se zlepší, když použijeme
tzv. korekci na nespojitost. Testová statistika pak má tvar,
přičemž ˝ přičteme, když SZ+ < n/2 a odečteme v opačném
případě.

Postup při párovém testu: Nechť (X1, Y1), ..., (Xn Yn) je
náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení. Testujeme
H0: x0,50 - y,50 = c proti H1: x0,50 - y0,50 ? c (resp. proti
jednostranným alternativám). Utvoříme rozdíly Zi = Xi -- Yi, i =
1, ..., n a testujeme hypotézu o mediánu z0,50, tj. H0: z0,50
= c proti H1: z0,50 ? c.

Příklad: K zjištění cenových rozdílů mezi určitými dvěma druhy
zboží bylo náhodně vybráno 15 prodejen. Na hladině významnosti
0,05 je třeba testovat hypotézu, že medián cenových rozdílů
činí 3 Kč.

č. prodejny   cena zboží A  cena zboží B  rozdíl   rozdíl-
medián
   1       10,00        11,00        1,00     -2,00
   2       11,00        14,00        3,00      0,00
   3        8,60        11,40        2,80     -0,20
   4        9,50        13,00        3,50      0,50
   5        8,50        11,00        2,50     -0,50
   6        9,00        10,00        1,00     -2,00
   7        9,00        11,90        2,90     -0,10
   8        8,50        10,50        2,00     -1,00
   9       11,00        12,00        1,00     -2,00
  10       9,40        11,50        2,10-0,90
  11      10,50        13,50        3,00      0,00
  12      10,20        13,60        3,40      0,40
  13      12,00        14,70        2,70     -0,30
  14      15,00        18,60        3,60      0,60
  15      12,20        14,40        2,20     -0,80
  
  Řešení: Jedná se o párový test. Testová statistika SZ+nabývá
  hodnoty 3, počet nenulových rozdílů je 13. Ve statistických
  tabulkách najdeme pro n = 13 a á = 0,05 kritické hodnoty
  k1 = 2, k2 = 11. Protože kritický obor  neobsahuje hodnotu 3,
  nemůžeme H0 zamítnout na hladině významnosti 0,05.


9.3.2. Jednovýběrový Wilcoxonův test
    Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení
s hustotou ö(x), která je symetrická kolem mediánu x0,50, tj.
ö(x0,50 + x) = ö(x0,50 - x). Nechť c je reálná konstanta.
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = c proti oboustranné alternativě
H1: x0,50 ? c (resp. proti levostranné alternativě H1: x0,50 <
c resp. proti pravostranné alternativě H1: x0,50 > c).
    Utvoříme rozdíly Yi = Xi -- c, i = 1, ..., n. (Jsou-li
některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových
hodnot.)
    Absolutní hodnoty -Yi-uspořádáme vzestupně podle velikosti
a spočteme pořadí Ri.
    Zavedeme statistiku , což je součet pořadí přes kladné
hodnoty Yi. Analogicky zavedeme statistiku , což je součet
pořadí přes záporné hodnoty Yi. Přitom platí, že součet  SW+ +
SW- = n(n+1)/2. Za platnosti H0 statistika SW+ má střední
hodnotu E(SW+) = n(n+1)/4 a rozptyl D(SW+) = n(n+1)(2n+1)/24.
    H0 zamítáme na hladině významnosti á, když testová
statistika je menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě.
Testová statistika = min(SW+, SW-) pro oboustrannou
alternativu, = SW+ pro levostrannou alternativu, = SW- pro
pravostrannou alternativu.
    Pro n ? 30 lze využít asymptotické normality statistiky
SW+. Platí-li H0, pak  ? N(0,1). Kritický obor pro oboustrannou
alternativu má tvar: W = . (Analogicky pro jednostranné
alternativy.) H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti
á, když .
    Jednovýběrový Wilcoxonův test lze snadno modifikovat i na
test párový stejným způsobem jak bylo popsáno u znaménkového
testu.
    Ve srovnání se znaménkovým testem je Wilcoxonův test
silnější. Hodí se však jen pro výběr ze symetrického rozložení.

Příklad: Pro data z předešlého příkladu použijte párový
Wilcoxonův test.

Řešení:
č. prodejny   cena zboží A  cena zboží B  rozdíl
-rozdíl-medián-           pořadí
   1       10,00        11,00        1,00         2,00
   12
   2       11,00        14,00        3,00         0,00
   -
   3        8,60        11,40        2,80         0,20
   2
   4        9,50        13,00        3,50         0,50
   5,5
   5        8,50        11,00        2,50         0,50
   5,5
   6        9,00        10,00        1,00         2,00
   12
   7        9,00        11,90        2,90         0,10
   1
   8        8,50        10,50        2,00         1,00
   10
   9       11,00        12,00        1,00         2,00
   12
  10       9,40        11,50        2,10    0,90
  9
  11      10,50        13,50        3,00         0,00
  -
  12      10,20        13,60        3,40         0,40
  4
  13      12,00        14,70        2,70         0,30
  3
  14      15,00        18,60        3,60         0,60
  7
  15      12,20        14,40        2,20         0,80
  8

Tučně jsou vytištěna pořadí pro kladné hodnoty rozdíl-medián.
SW+ = 16,5, SW- = 74,5, n = 13, á = 0,05, tabelovaná kritická
hodnota = 17, testová statistika = min(SW+, SW-) = min(16,5;
74,5) = 16,5. Protože 16,5 ? 17, H0 zamítáme na hladině
významnosti 0,05.


9.4. Dvouvýběrové pořadové testy (neparametrické obdoby
dvouvýběrového t-testu)

9.4.1. Dvouvýběrový Wilcoxonův test
    Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné
výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce
se mohou lišit pouze posunutím. Označme x0,50 medián prvního
rozložení a y0,50 medián druhého rozložení. Testujeme hypotézu,
že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli
mediány jsou shodné proti alternativě, že jsou rozdílné.
    Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme
vzestupně podle velikosti. Zjistíme součet pořadí hodnot X1,
..., Xn a označíme ho T1. Součet pořadí hodnot Y1, ..., Ym
označíme T2. Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 -- T1 , U2
= mn + m(m+1)/2 - T2.
Přitom platí U1 + U2 = mn. Pokud min(U1,U2) ? tabelovaná
kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m, n a dané á), pak
nulovou hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí
zamítáme na hladině významnosti á.
    Pro velká n, m (prakticky n, m > 30) lze využít
asymptotické normality statistiky U1. V případě platnosti H0 má
statistika  asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor pro
oboustrannou alternativu má tvar: W = . (Analogicky pro
jednostranné alternativy.) H0 zamítáme na asymptotické hladině
významnosti á, když .

Příklad: Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich
se zkoušel nový způsob hnojení, zbylých šest bylo ošetřeno
starým způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její
hektarový výnos. Je třeba zjistit, zda nový způsob hnojení má
týž vliv na průměrné hektarové výnosy pšenice jako starý způsob
hnojení.
hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55
hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50

Řešení:
usp. hodnoty        44     45  48  49  50  51  52  53
54  55
pořadí x-ových hodnot            4       6   7
10
pořadí y-ových hodnot  1      2   3       5           8
9

T1 = 4 + 6 + 7 + 10 = 27, T2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 9 = 28
U1 = 4.6 + 4.5/2 - 27 = 7, U2 = 4.6 + 6.7/2 - 28 = 17
Kritická hodnota pro á = 0,05, min(4,6) = 4, max(4,6) = 6 je 2.
Protože min(7,17) > 2, nemůžeme na hladině významnosti 0,05
zamítnout hypotézu, že nový způsob hnojení má na hektarové
výnosy pšenice stejný vliv jako starý způsob.

Upozornění: Ve STATISTICE je dvouvýběrový Wilcoxonův test
uveden pod názvem Mannův -- Whitneyův test.

9.4.2. Waldův -- Wolfowitzův test
    Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné
výběry ze dvou spojitých rozložení. Testujeme hypotézu, že oba
výběry pocházejí z téhož rozložení proti alternativě, že
pocházejí z různých rozložení.
    Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme
vzestupně podle velikosti. Testovou statistikou je počet itercí
R, tj. počet posloupností za sebou následujících hodnot
patřících do téhož výběru. Jestliže R ? tabelovaná kritická
hodnota (pro dané n,m a á), pak nulovou hypotézu zamítáme na
hladině významnosti á.
    Pro větší rozsahy výběrů (n, m > 20) lze využít
asymptotické normality statistiky R. Platí-li nulová hypotéza,
pak . Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině
významnosti á, když U0 ? u1-á/2.
    Ve srovnání s dvouvýběrovým Wilcoxonovým testwm je Waldův
-- Wolfowitzův test slabší, ale dá se použít i v situacích, kdy
se obě rozložení liší nejenom posunutím, ale např. také
variabilitou, šikmostí či špičatostí.

Příklad: Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích 10
a 12.
Hodnoty 1. výběru: 5  5  7  7  8  10  11  15  18  101
Hodnoty 2. výběru: 12  12  13  13  13  14  17  22  23  24  28
30.
Na hladině významnosti 0,05 rozhodněte Waldovým -- Wolfowitzovým
testem, zda oba výběry pocházejí z téhož rozložení.

Řešení:
Usp. 5    5   7    7   8    10  11   12  12   13  13   13   14
h.
Č.vý 1    1   1    1   1    1   1    2   2    2   2    2    2
b.
Č.it                1                            2
er.

Usp.h 15    17     18    22     23     24    28     30    101
.
Č.výb 1     2      1     2      2      2     2      2     1
.
Č.ite   3     4      5                  6                  7
r.

Počet iterací: R = 7, n =10, m = 12, á = 0,05, tabelovaná
kritická hodnota = 7. Protože testová statistika je rovna
kritické hodnotě, zamítáme na hladině významnosti 0,05
hypotézu, že oba výběry pocházejí z téhož rozložení.

9.4.3. Dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test
    Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné
výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce
se mohou lišit nejenom posunutím, ale také tvarem. Testujeme
hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné,
tj., že všech n+m veličin pochází z téhož rozložení proti
alternativě, že distribuční funkce jsou rozdílné.
    Nechť  je empirická distribuční funkce 1. výběru a   je
empirická distribuční funkce 2. výběru. Jako testová statistika
slouží . H0 zamítáme na hladině významnosti á, když D ?
Dn,m(á), kde Dn,m(á) je tabelovaná kritická hodnota. Pro větší
rozsahy n,m lze kritickou hodnotu aproximovat vzorcem .


9.5. Kruskalův -- Wallisův test a mediánový test (neparametrické
obdoby analýzy rozptylu jednoduchého třídění)

9.5.1. Formulace problému
    Nechť je dáno r nezávislých náhodných výběrů o rozsazích
n1, ... , nr. Předpokládáme, že tyto výběry pocházejí ze
spojitých rozložení. Označme n = n1 + ... + nr. Chceme testovat
hypotézu, že všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení.

9.5.2. Kruskalův -- Wallisův test
    Všech n hodnot seřadíme do rostoucí posloupnosti a určíme
pořadí každé hodnoty. Označme Tj součet pořadí těch hodnot,
které patří do j-tého výběru, j = 1, ..., r (kontrola: musí
platit T1 + ... + Tr = n(n+1)/2). Testová statistika má tvar: .
Platí-li H0, má statistika Q asymptoticky rozložení ÷2(r-1). H0
tedy zamítneme na asymptotické hladině významnosti á, když Q ?
÷1-á 2(r-1).

9.5.3. Mediánový test
    Testová statistika má tvar , kde Pj je počet hodnot v j-
tém výběru, které jsou větší nebo rovny mediánu vypočtenému ze
všech n hodnot. Platí-li H0, má statistika QM asymptoticky
rozložení ÷2(r-1). H0 tedy zamítneme na asymptotické hladině
významnosti á, když QM ? ÷1-á 2(r-1).

    
9.5.4. Metody mnohonásobného porovnávání
    Zamítneme-li H0, zajímá nás, které dvojice náhodných
výběrů se liší na zvolené hladině významnosti.
a) Neményiho metoda
Používá se v případě, že všechny výběry mají týž rozsah p. Je-
li -Tl - Tk-? tabelovaná kritická hodnota (pro dané p, r, á ),
pak na hladině významnosti á zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý
výběr pocházejí z téhož rozložení.
b) Obecná metoda mnohonásobného porovnávání
Jestliže , pak na hladině významnosti á zamítáme hypotézu, že l-
tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení. Kritickou hodnotu
hKW(á) najdeme ve speciálních statistických tabulkách. Při
větších rozsazích výběrů je možno ji nahradit kvantilem ÷1-á
2(r-1).


9.5.5. Příklad
    V roce 1980 byly získány tři nezávislé výběry obsahující
údaje o průměrných ročních příjmech (v tisících dolarů) čtyř
sociálních skupin ve třech různých oblastech USA.
jižní oblast: 6 10 15 29
pacifická oblast: 11 13 17 131
severovýchodní oblast: 7 14 28 25
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že příjmy v
těchto oblastech se neliší. Zamítnete-li nulovou hypotézu,
vyšetřete, které dvojice výběrů se od sebe liší na hladině
významnosti 0,05.

Řešení:
Kruskalův -- Wallisův test

Usp.hodnoty  6    7    10   11   13  14 15  17   25  28  29 131
Pořadí       1         3                7                11 
1.výběru
Pořadí                      4    5          8               12
2.výběru
Pořadí            2                  6           9   10     
3.výběru

T1 = 22, T2 = 29, T3 = 27 , , ÷0,95 2(2) = 5,991. Protože Q <
5,991, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Rozdíly mezi průměrnými ročními příjmy v uvedených třech
oblastech se neprokázaly.
Mediánový test

Medián všech 12 hodnot je 14,5. V 1. výběru leží nad mediánem 2
hodnoty, ve 2. výběru 2 hodnoty, ve 3. výběru 2 hodnoty. ,
÷0,95 2(2) = 5,991. Protože QM < 5,991, H0 nezamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.

Příklady k 9. kapitole

Příklad 1.: U 10 náhodně vybraných vzorků benzínu byly zjištěny
následující hodnoty oktanového čísla: 98,2   96,8   96,3   99,8
96,9   98,6   95,6   97,1   97,7   98,0. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu, že medián oktanového čísla je 98 proti
oboustranné alternativě.
Řešení:
Znaménkový test
rozdíly xi -- 98: 0,2   -1,2   -1,7   1,8   -1,1   0,6   -2,4
-0,9   -0,3   0,0
SZ+ = 3, nenulových rozdílů je 9. Ve statistických tabulkách
najdeme pro n = 9 a á = 0,05 kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 8.
Protože kritický obor  neobsahuje hodnotu 3, nemůžeme H0
zamítnout na hladině významnosti 0,05.
Wilcoxonův test
usp. - xi -- 98-  0,2   0,3   0,6   0,9   1,1   1,2   1,7   1,8
2,4
pořadí                 1       2     3      4      5      6
7      8      9
SW+ = 12, SW- = 33, n = 9, á = 0,05, tabelovaná kritická
hodnota = 5, testová statistika = min(SW+, SW-) = min(12,33) =
12. Protože 12 > 5, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.

Příklad 2.: Výrobce určitého výrobku se má rozhodnout mezi
dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je různými
technologiemi. Rozhodující je procentní obsah určité látky.
1. technologie: 1,52   1,57   1,71   1,34   1,68
2. technologie:  1,75  1,67   1,56   1,66   1,72   1,79   1,64
1,55
Na hladině významnosti 0,05 posuďte pomocí dvouvýběrového
Wilcoxonova testu, zda je oprávněný předpoklad, že obě
technologie poskytují stejné procento účinné látky.
Řešení:
usp.h. 1,34   1,52   1,55   1,56   1,57   1,64   1,66   1,67
1,68   1,71   1,72   1,75   1,79
pořadí 1        2        3        4        5        6        7
8        9        10      11      12      13
T1 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 = 27, T2 = 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 11 + 12
+ 13 = 64
U1 = 5.8 + 5.6/2 - 27 = 28, U2 = 5.8 + 8.9/2 - 64 = 12
Kritická hodnota pro á = 0,05, min(5,8) = 5, max(5,8) = 8 je 6.
Protože min(28,12) > 2, nemůžeme na hladině významnosti 0,05
zamítnout hypotézu, že obě technologie poskytují stejné
procento účinné látky.

Příklad 3.: Výrobce koláčů v prášku má 4 nové recepty a chce
zjistit, zda se jejich kvalita liší. Upekl proto 5 koláčů
z každého druhu a dal je porotě k ohodnocení.
recept A: 72   88   70   87   71, recept B: 85   89   86   82
88, recept C: 94   94   88   87   89, recept D: 91   93   92
95   94.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že recepty se
neliší.
Řešení: Použijeme Kruskalův -- Wallisův test. Všech 20 hodnot
uspořádáme vzestupně podle velikosti a stanovíme součet pořadí
pro recepty A, B, C, D: T1 = 23,5, T2 = 37,5, T3 = 66, T4 = 83.
Testová statistika:
, ÷0,95 2(3) = 7,81. Protože Q ? 7,81, H0 zamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.

Práce se systémem STATISTICA

Téma: Neparametrické úlohy o mediánech

Příklad 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test
Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě
metody označené A a B. Výsledky:
Vzore 1   2    3    4    5    6    7    8    9    10   11   12
k
A     0,2 0,3  0,2  0,3  0,3  0,2  0,3  0,3  0,2  0,3  0,3  0,3
      75  12   84        65   98   12   15   42   21   35   07
B     0,2 0,3  0,2  0,2  0,3  0,3  0,3  0,3  0,2  0,3  0,3  0,3
      8   12   88   98   61   07   19   15   42   23   41   15
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že metody A a B
dávají stejné výsledky.
Návod: Vytvořte datový soubor se dvěma proměnnými A a B a 12
případy. Statistics --Nonparametrics - Comparing two dependent
samples(variables) -- OK -- First variable list A, Second
variable list B -- OK -- Sign test. Ve výstupní tabulce se objeví
p-hodnota 0,182422, tedy nulová hypotéza se nezamítá na hladině
významnosti 0,05. Grafické znázornění výsledků: Návrat do
Comparing two variables - Box & Whisker plots for all variables
-- OK - Box & Whisker Type: Median/Quart/Range -- OK.
Z krabicových diagramů je vidět, že obě metody se poněkud liší
v úrovni, ale neliší se ve variabilitě.
Provedení Wilcoxonova testu: Návrat do Comparing two variables
Wilcoxon matched pair test. Výstupní tabulka poskytne hodnotu
testové statistiky (ozn. T), hodnotu asymptotické testové
statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. (STATISTICA tedy nezohledňuje
omezení n ? 30 pro použití U0.) V tomto případě je p-hodnota
0,038153, tedy nulová hypotéza se zamítá na hladině významnosti
0,05. Ze srovnání p-hodnot pro znaménkový test a pro Wilcoxonův
test plyne, že Wilcoxonův test je silnější.

Příklad 2.: Znaménkový test a jednovýběrový Wilcoxonův test
Vyráběné ocelové tyče mají kolísavou délku s předpokládanou
hodnotou mediánu 10 m. Náhodný výběr 10 tyčí poskytl tyto
výsledky:
9,83  10,10  9,72  9,91  10,04  9,95  9,82  9,73  9,81  9,90
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že předpoklad o
mediánu délky tyčí je oprávněný.
Návod: Vytvořte datový soubor se dvěma proměnnými X a Y a 10
případy. Do proměnné X napište změřené hodnoty, proměnná Y bude
obsahovat konstantu 10. Provedení znaménkového a Wilcoxonova
testu je nyní stejné jako v předešlém případě. Znaménkový test:
p-hodnota = 0,113846, tedy nulová hypotéza se nezamítá na
hladině významnosti 0,05. Wilcoxonův test: p-hodnota =
0,024933, tedy nulová hypotéza se zamítá na hladině významnosti
0,05.

Příklad 3.: Dvouvýběrový  Wilcoxonův test, Waldův -- Wolfowitzův
test, dvouvýběrový K-S test
Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se
zkoušel nový způsob hnojení, zbylých šest bylo ošetřeno starým
způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její hektarový
výnos. Je třeba testovat na hladině významnosti 0,05, zda nový
způsob hnojení má týž vliv na průměrné hektarové výnosy pšenice
jako starý způsob hnojení.
hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55
hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50
Návod: Vytvořte datový soubor o dvou proměnných (X a ID) a
deseti případech. Do X napište výnosy pšenice při obou
způsobech hnojení, do ID čtyřikrát jedničku a šestkrát dvojku.
Statistics -- Nonparametric -- Comparing two independent samples
(groups) -- OK - Dependent variable X, Grouping variable ID, OK
- Mann -- Whitney U test. Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí
T1, T2, hodnota testové statistiky min(U1, U2) ozn. U, hodnota
asymptotické testové statistiky U0 (ozn. Z), p-hodnota pro U0 a
přesná p-hodnota (ozn. 2*1 sided exact p -- ta se používá pro
rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota =
0,352381, tedy H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem typu
Median/Quart/Range.
Provedeme-li Waldův -- Wolfowitzův test, dostaneme ve výstupní
tabulce rozsahy a průměry obou výběrů, hodnotu asymptotické
testové statistiky U0 (ozn. Z), p-hodnotu pro U0 (p =
0,888275), hodnotu asymptotické testové statistiky s opravou na
spojitost (Zadj), p-hodnotu pro Zadj, (p = 0,833097), počet
iterací (No. of  Runs) a počet shodných pozorování. Ani tento
test nezamítá na asymptotické hladině významnosti nulovou
hypotézu.
Ve výstupní tabulce pro dvouvýběrový K-S test dostaneme
maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami obou
výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p
> 0,1), průměry, směrodatné odchylky a rozsahy obou výběrů.
Protože p > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.

Příklad 4.: Kruskalův -- Wallisův test a mediánový test
Voda po holení jisté značky se prodává ve čtyřech různých
lahvičkách stejného obsahu. Údaje o počtu prodaných lahviček za
týden v různých obchodech:
1.typ: 50 35 43 30 62 52 43 57 33 70 64 58 53 65 39
2.typ: 31 37 59 67 44 49 54 62 34 42 40
3.typ: 27 19 32 20 18 23
4.typ: 35 39 37 38 28 33.
Posuďte na 5% hladině významnosti, zda typ lahvičky ovlivňuje
úroveň prodeje vyjádřenou mediánem.
Návod: Vytvořte nový datový soubor o dvou proměnných X a ID a
38 případech. Do proměnné X napište zjištěné údaje o prodeji,
do proměnné ID 15 x jedničku, 11 x dvojku, 6 x trojku a 6 x
čtyřku. Statistics -- Nonparametrics -- Comparing multiple
independent samples(groups) -- OK -- Dependent varaible VÝKON,
Grouping varaible SKUPINA -- OK -- Summary: Kruskal-Wallis ANOVA
& Median test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky
mediánového testu a K-W testu. Oba testy zamítají hypotézu o
shodě mediánů v daných čtyřech skupinách, ale K-W test je
poněkud silnější (p-hodnota = 0,0003, zatímco  p-hodnota pro
mediánový test je 0,0005). Grafické znázornění výsledků: návrat
do Kruskal-Wallis ANOVA & Median test -- Box & Whisker -- Select
variable X -- OK - Box & Whisker Type: Median/Quart/Range -- OK.
Je vidět, že úroveň prodeje pro 1. typ je nevyšší, zatímco pro
3. typ nejnižší. Dále je možno vytvořit histogramy proměnné X
ve všech čtyřech skupinách: návrat do Kruskal-Wallis ANOVA &
Median test -- Categorized histogram - Select variable X -- OK.

Poznámka: STATISTICA neumožňuje provedení metody mnohonásobného
porovnávání. Lze zjistit, že na hladině významnosti 0,05 se
liší 1. a 3. typ, 1. a 4. typ a 2. a 3. typ.

Příklady k samostatnému řešení
1. U osmi osob byl změřen systolický krevní tlak před pokusem a
po něm.
č. osoby     1        2        3        4        5        6
7        8
tlak před    130     185    162    136    147    181    128
139
tlak po        139     190    175    135    155    175    158
149
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pokus
neovlivní systolický krevní tlak

2. Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost nákupů (v
dolarech) placených kreditními kartami Master/EuroCard a Visa
jsou přibližně stejné. Náhodně vybral 7 nákupů placených
Master/EuroCard: 42  77  46  73  78  33  37 a 9 placených
Visou: 39  10  119  68  76  126  53  79  102. Lze na hladině
významnosti 0,05 tvrdit, že nákupů placených těmito dvěma typy
karet se shodují?

3. Z produkce tří podniků vyrábějících televizory bylo
vylosováno 10, 8 a 12 kusů. Byly získány následující výsledky
zjišťování citlivosti těchto televizorů v mikrovoltech:
1.podnik: 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460
2.podnik: 400 420 580 470 470 500 520 530
3.podnik: 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 670
Ověřte na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě úrovně
citlivosti televizorů v jednotlivých podnicích.