Modely s rozloženými zpožděními II 1) Koyckův model [ Koyck L, M.1954 ] je (naopak) příkladem modelu s rozloženým zpožděním o nekonečné délce. Má-li být zachována možnost statisticky odhadnout parametry takovýchto modelů, musí být dáno nějaké pravidlo o souvislostech mezi nimi. V případě modelu navrženého Koyckem klesají váhy u jednotlivých vysvětlujících zpožděných proměnných podle schématu popsaného geometrickou posloupností. Zapíšeme-li základní rovnici modelu s nekonečně rozloženým zpožděním ve tvaru (1.1) Y[t] = b[0] X[t] + b[1] X[t-1]+ b[2] X[t-2]+ ..... + b[k] X[t-k] + ....... + e[t ] YEN neboli ve zkráceném zápisu Y[t] = aa b[i] X[t-j] + e[t] , j=0 je ihned patrné, že takto obecně vyjádřený model nelze prakticky použít (nelze odhadnout nekonečný počet parametrů). Dle Koyckem navržené konkretizace přijímají parametry tuto apriorní váhovou strukturu : (1.2) b[j] = b. w[j ] j = 0, 1, 2, .... , ... kde váhy/koeficienty w[j] jsou prvky geometrické posloupnosti (1.2a) w[j] = (1-q) . q^j 0 < ^ q < 1 , která je pro danou hodnotu kvocientu q klesající. Tímto způsobem lze převést původně nekonečný počet parametrů pouze na dva parametry b a q , přičemž v konečné podobě model nabude tvar (1.3) Y[t] -- q.Y[t-1] = b (1-q) X[t] + ( e [t] -- q. e [t-1]) , což lze upravit na (1.4) Y[t] = q.Y[t-1] + b. (1-q) X[t] + v[t ] , který je nazýván autoregresním tvarem modelu (nekonečného) rozloženého zpoždění. Všimněme si zde zejména dvou věcí : a) do modelu se na pravou stranu dostala (jediná) zpožděná závisle proměnná (se zpožděním o 1 krok) b) náhodné složky modelu v[t] = e[t] --q. e[t-1] již (bohužel) nebudou vzájemně nekorelované, a to ani tehdy, jestliže jsme předpokládali nekorelovanost původních náhodných složek e[t]. Příčinou toho je skutečnost, že "nová" vysvětlující proměnná Y[t-1] není nekorelovaná s náhodnými složkami v[t]. Platí totiž : E[Y[t-1].( e[t] --q. e[t-1])]= E[e[t-1].( e[t] --q. e[t-1])]= E[e[t-1]. e[t] ]-- E [e[t-1](q. e[t-1])] = - q.s^2 kde s^2 je rozptyl náhodných složek e[t] . Oproti klasickému lineárnímu regresnímu modelu tedy zde zřejmě nejsou splněny dva předpoklady : - vysvětlující proměnná Y[t-1] není nekorelovaná s náhodnou složkou v[t ]- vysvětlující proměnná Y[t-1] není nestochastická (její součástí je náhodná složka e[t-1]), což je hned vidět, zapíšeme-li model se zpožděním o 1 krok. Odhad parametrů Koyckovy rovnice (v autoregresním tvaru) je jinak technicky velmi jednoduchý -- jde o regresní model se dvěma regresory bez jedničkového vektoru -- snadno proveditelný metodou OLS, která však bude postrádat optimální vlastnosti (stejně jako např. odhad pomocí WLS). Odhadnutými parametry budou q* (přímý odhad q) a c*= b*(1-q*) (odkud odhad b* snadno určíme jako b* = c*/(1-q*) . ) Z uvedených důvodů nemohou mít odhady parametrů (provedené obyčejnou metodou nejmenších čtverců) uspokojivé vlastnosti, nemusí být dokonce ani konzistentní. Literatura uvádí pro tuto a podobné situace některé speciální odhadové postupy (vedoucí ke konzistentním, případně i vydatným odhadům parametrů). Předpoklady o chování náhodných složek podmiňující nasazení těchto postupů jsou však obvykle málo realistické . S ohledem na vlastnosti geometrického rozdělení přijatého v Koyckově modelu činí průměrná délka zpoždění hodnotu q/(1-q) a rozptyl q/(1-q)^2. Při q = 1/3 bude EX = 1/3 : 2/3 = 1/2 Při q = 1/2 bude EX = 1/2 : 1/2 = 1 Při q = 2/3 bude EX = 2/3 : 1/3 = 2 Interpretačně to znamená, že agregovaný účinek všech v modelu uvažovaných zpožděných vysvětlujících veličin (jichž je nekonečně mnoho) se projeví zhruba stejně jako jediná zpožděná vysvětlující proměnná, která bude mít zpoždění 0,5 roku resp. 1 rok, resp. 2 roky. Následující trojice modelů s rozloženými zpožděními si vydobyla již tradiční postavení v ekonomických aplikacích. Jejich společným znakem je, že s určitými obměnami navazují na Koyckův model (geometricky rozloženého zpoždění). Jmenovitě se jedná o : 1) Model částečného přizpůsobení [Nerlove M. 1958] Základní rovnicí modelu je vztah představující hypotézu, že požadovaná (rovnovážná resp. optimální) úroveň vysvětlované proměnné (značené obvykle Y[t]* , která není měřitelná, je lineární funkcí vysvětlující nezávisle proměnné X[t] (nezpožděné). Příslušná rovnice má tedy tvar (2.1) Y[t]* = g[0] + b[0] X [t]. + e[t ] přičemž skutečná změna závisle proměnné od období t-1 k období t tj. rozdíl Y[t] -- Y[t-1] je v důsledku procesu částečného přizpůsobení úměrná proporcionální změně Y[t]* -- Y[t-1]. Zapsáno relací (2.2) Y[t] -- Y[t-1]= d . ( Y*[t] -- Y[t-1]) 0 < d =< 1 kde d je konstanta (míra reakce na žádanou změnu) nazývaná koeficient adaptace/přizpůsobení. Zřejmě, v případě d=1 by šlo o úplné přizpůsobení. Příkladem modelu typu (2.1) může být sledování vývoje vybavenosti domácností určitým předmětem dlouhodobé spotřeby. Pak hodnota Y*[t] může představovat "optimální úroveň vybavenosti" , tedy aproximativně vyjádřenou, neměřitelnou veličinu. Za vysvětlující proměnnou X[t] pak můžeme považovat úroveň příjmu této domácnosti. Je přitom realistické očekávat, že v libovolném čase t se hladina vybavenosti nepřizpůsobí změně příjmu ihned, takže optimální úrovně se nedosáhne ihned, ale až s určitým prodlením. Příčiny mohou být nejrůznější : nedocenění užitné hodnoty předmětu, neuvědomění spotřebitele přiměřené optimální úrovně, nedostatečná nabídka v sortimentu na trhu, setrvačnost v dosavadním spotřebním chování u domácností apod. Rovnici (2.2) lze alternativně vyjádřit jako (2.3) Y[t] = d.Y[t]* + (1 - d) Y[t-1 ] což lze interpretovat tak, že dosažená úroveň vybavenosti statkem Y v čase t je váženým průměrem optimální úrovně vybavenosti v témže čase Y[t]* a úrovně skutečné vybavenosti v období t-1 tj. Y[t-1], váhy jsou použity v poměru d vůči 1-d . Dosadíme-li (2.1) do (2.3) dospěje se po jednoduché úpravě Y[t] -- Y[t-1]= d . (g[0] + b[0] X [t]. + e[t] -- Y[t-1]) k autoregresnímu tvaru modelu částečného přizpůsobení (2.4) Y[t] = g[0].d + b[0]. d X[t] + (1- d) Y[t-1] + v[t] , kde v[t] = d. e[t ]Jak patrno, formální zápis modelu (2.4) je v podstatě shodný se zápisem modelu Koyckova. Má však jednodušeji specifikovanou náhodnou složku. Náhodné složky v[t] zde nejsou závislé na svých zpožděných hodnotách, tj. budou sériově nekorelované. Metoda OLS poskytne v takovém případě konzistentní odhady parametrů [c[1] =g[0].d , c[2] =b[0]. d , c[3] =(1- d)] , z nichž postupně snadno odvodíme hodnoty d , b[0] a g[0] . Rovněž další příznivé vlastnosti těchto odhadů (nestrannost, vydatnost) budou v tomto případě zajištěny. Strukturu náhodných složek v[t] lze vyvodit ze vztahu (2.4). Opakovanými substitucemi (dosazováním za Y[t-1] ,Y[t-2] , ...... ,Y[t-m] dostaneme YEN v[t] = d.e[t] + (1-d) d.e [t-1] + (1-d)^2 d.e [t-2] + ....... = d. aa (1-d)^je [t-j ] j=0 Ze statistického hlediska lze rozdíl mezi Koyckovým modelem a modelem částečného přizpůsobení spatřovat v tom, že struktura náhodných složek modelu částečného přizpůsobení je generována procesem klouzavých součtů (moving average) původní náhodné složky. V Koyckově modelu sledují náhodné složky autoregresní posloupnost. 2) Model adaptivních očekávání [ Cagan P.1956 ] Tento model je uveden regresní specifikací (3.1) Y[t] = g[0] + b[0] X[t]* + e[t ] a byl v původním uvedení spojen se spotřební funkcí tvaru (3.1A) C[t] = g[0] + b[0] M[t]* + e[t], s významem veličin C[t] ....... objem spotřebních výdajů domácností M [t]*...... očekávaná výše důchodů/příjmů e [t ] ........ náhodná složka s obvyklými vlastnostmi Jde o formulaci konformní s Friedmanovou hypotézou permanentního důchodu (HDP) : spotřebitelé v čase, kdy realizují své nákupy, zpravidla ještě neznají skutečnou výši příjmů, které obdrží ve stejném období; své spotřební zvyklosti tedy řídí dle očekávaného důchodu M[t]*, až na výjimky ne nutně totožného se skutečným M[t] . Očekávanou výši permanentního důchodu však nelze určit pozorováním (tato proměnná je "latentní") , definujeme ji tedy nepřímo pomocí vztahu vyjadřujícího přizpůsobení důchodu : (3.2) X[t]* -- X[t-1]*= g . ( X[t] -- X[t-1]*) 0 < g =< 1 neboli jinak zapsáno (3.3) X[t]* = g.X[t] + (1-g).X[t-1]* Konstanta g se nazývá koeficientem adaptivních očekávání. Rovnici (3.3) lze interpretovat tak, že ekonomické subjekty přizpůsobují svá očekávání ve vztahu k X na základ zkušenosti z minulosti. Postupují přitom tak, že skutečnou hodnotu X (v kterémkoliv období t) porovnávají s hodnotou X*, která byla očekávána. Přitom se řídí logickou úvahou a) Je-li skutečná hodnota X[t] oproti očekávané X[t]* větší, přizpůsobují svá očekávání stejným směrem (nahoru) b) Je-li skutečná hodnota X[t] oproti očekávané X[t]* menší, přizpůsobují svá očekávání také stejným směrem (dolů) . Čím je koeficient g blíže k 1, tím je větší míra přizpůsobení. Ze zápisu (3.3) plyne, že očekávaná ("permanentní") výše důchodu je váženým průměrem skutečné hodnoty tohoto důchodu X[t] a jeho očekávané úrovně X[t-1]* v předchozím období (váhy jsou g resp. 1-g). Znamená to tedy, že a) Při g = 1, pak X[t]* = X[t], tzn. domácnosti se řídí skutečnou výši aktuálního důchodu b) Pokud by g = 0, pak X[t]* = X[t-1]*, tzn. domácnosti by se nepřizpůsobily vůbec (skutečnému důchodu není přisouzen žádný význam) a očekávání mají statický charakter (nemění se , zůstávají na úrovni očekávání z času t-1 ). Dosazením ze vztahu ( 3.3 ) do ( 3.1 ) dostaneme (3.4) Y[t] = g[0] + b[0]. g.X[t] + b[0].(1-g) X[t-1]* + e[t ] Jestliže nyní vyjádříme výchozí specifikaci modelu pro období t-1, tzn. (3.4A) Y[t-1] = g[0] + b[0]. g.X[t-1] + b[0].(1-g) X[t-2]* + e[t-1 ] a po jejím vynásobení hodnotou 1-g odečteme od (3.4), dospějeme k výsledné rovnici autoregresního modelu adaptivních očekávání (3.5) Y[t] = b[0]. g + b[1]. g X[t] + (1-g) Y[t-1] + u[t] , kde (3.5a) u[t] = e[t] -- (1-g) e[t-1 ] Jak patrno, formálně je model vyjádřen stejným zápisem jako má Koyckův model, dokonce shodným jaký má i model částečného přizpůsobení, avšak má jinou specifikaci náhodných složek a jinak jsou též interpretovány jeho parametry. [ ]Poznámka : formální shoda všech dosud uvedených dynamických modelů zapsaných v autoregresním tvaru je dána tím, že všechny vycházejí ze stejného apriorního omezení časové struktury rozložených zpoždění, která je reprezentována geometricky klesajícími váhovými koeficienty. Variantní specifikace modelu adaptivních očekávání : Spočívá v tom, že se na pravé straně vztahu (3.2) použije místo X[t] hodnota X[t-1]. Obdrží se vztah (3.6) X[t]* -- X[t-1]*= g . ( X[t-1] -- X[t-1]*) 0 < g =< 1 Podnětem pro tuto obměnu je skutečnost, že při specifikaci očekávání v běžném období t zpravidla ještě neznáme přesně X[t] , ale pouze předchozí hodnotu X[t-1]. Kvantifikace parametrů takto upraveného modelu je spojena se stejnými problémy jako u Koyckova modelu, protože náhodné složky u[t] jsou opět sériově zkorelovány. Aplikovat metodu OLS přímo na takovýto model vede k nekonzistentním a vychýleným odhadům. Jedním z možných způsobů řešení je nasazení metody instrumentálních proměnných (IV). Odhady nemusí být vydatné, ale budou aspoň konzistentní. Jinou možností je použití nelineární metody nejmenších čtverců (NLLS) . Kombinací modelu částečného přizpůsobení a adaptivních očekávání lze dospět k obecnějšímu modelu (geometricky) rozloženého zpoždění : Modelovou hypotézu propojující regresním vztahem obě nepozorované proměnné Y*[t] a X*[t] zapíšeme jako (3.7) Y*[t] = c[0] + c[1]X*[t] +[ ] e[t ]K vyjádření obou přímo nepozorovatelných proměnných užijeme vztahy (2.2) Y[t] -- Y[t-1]= d . ( Y*[t] -- Y[t-1]) 0 < d =< 1 z modelu částečného přizpůsobení [ ]resp. (3.3) X[t]* = g.X[t] + (1-g).X[t-1]* 0 < g =< 1 z modelu adaptivních očekávání [ ]Spojením (3.7), (2.2) a (3.3) dostaneme kombinovaný model, který již neobsahuje přímo neměřitelné veličiny : (3.8) Y[t] = c[0].d.g + c[1].d.g X[t] + [(1-g) + (1- d)] Y[t-1] -[ ] [(1-g) . (1-d)] Y[t-2] + [d e[t] + d.(1-g) e [t-1]] , neboli jinak zapsaný (3.9) Y[t] = a[0] + a[1]. X[t] + a[2]. Y[t-1] + a[3] Y[t-2] + y [t ] , Tento model je lineární v parametrech a[0] , a[1] , a[2] , a[3] ale nelineární v původních parametrech c[0], c[1], d, g. Regresní rovnice (3.9) popisuje závislost Y[t] na X[t] , Y[t-1] a Y[t-2]. Jednoznačně však nelze určit odhady d a g, protože odhadnout lze vždy jen kombinace těchto parametrů (vyskytují se symetricky). Model není v těchto parametrech identifikován. Odhady parametrů c[0] , c[1] oproti tomu nečiní problém. Náhodná složka je generována procesem MA(1), tedy procesem klouzavých součtů/průměrů 1. řádu. 1) Model racionálních očekávání [ Jorgenson D.W. 1966 ] Empiricky bylo zjištěno, že "mechanický přístup" k formulaci budoucích očekávání (na základě hypotézy adaptivních očekávání) vede k předpovědím, které jsou obvykle zatíženy systematickou chybou (nadhodnocováním nebo podhodnocováním) Uvedené obtíže do určité míry překonává hypotéza obsažená v modelu racionálních očekávání . Obecný podtext tohoto modelu je spojen s úvahou, že ekonomické subjekty (domácnosti, firmy) tvoří svá individuální očekávání tak, že využívají veškeré jim dostupné , podstatné a účelné informace, v důsledku čehož jejich budoucí chování bude vycházet z obecně platných postulátů ekonomické teorie, disponibilních informací o tvaru modelových vztahů a dat spolehlivé datové základny. Součástí těchto podstatných informací je též znalost cílů hospodářské politiky vlády. Změny vládní makroekonomické politiky se projeví na změnách individuálních očekávání , a protože existuje zpětná vazba mezi očekáváním ekonomických subjektů a jejich následným chováním přestává být ekonometrický model adekvátním prostředkem popisu chování reálného ekonomického systému (národní ekonomiky). To má dopad jednak na zhoršení predikční schopnosti modelu, ale i na užitečnost jeho použití při posouzení odezev chování ekonomických subjektů na změny vládní hospodářské politiky. Jinými slovy, pokud do modelu nezahrnujeme též informaci týkající se změn ekonomické politiky, a zamýšlených dopadů do procesu formování subjektivních očekávání, bude to mít za důsledek neracionální chování ekonomických subjektů. Pro formální vyložení použijme zjednodušené schéma (4.1) X[t] = p[0] + p[1] Z[t-1] + p[2] Z[t-2] + w[t] , kde X[t] je vysvětlovaná endogenní proměnná Z[t-1] je zpožděná exogenní proměnná w[t] je náhodná složky s obvyklými vlastnostmi Podstata rozhodování spočívá mj, v tom, že v období t-1 ekonomický subjekt odhaduje očekávanou hodnotu X*[t] , která se značí E[t-1](X[t]) na základě vztahu (4.2) E[t-1](X[t]) = X[t] = p[0] + p[1] Z[t-1] + p[2] Z[t-2] = X*[t] , takže subjektivní očekávání E[t-1](X[t]) je skutečně shodné s objektivní předpovědí proměnné X pro běžné období získanou modelu (4.1) na základě informací dostupných v předchozího období t-1. Vlastnost racionality zde spočívá v tom, že takto formované očekávání či předpovědi není zatíženo systematickou chybou. Chyba předpovědi je zde dána rozdílem (4.3) X[t] - X*[t] = w[t ]Náhodná složka w[t] není zkorelována s X*[t] . Abychom se vyhnuli vzniku systematických chyb v procesu generování očekávaných hodnot proměnné X, musí mít chyba předpovědi nulovou střední hodnotu a nesmí být korelována se svými předchozími hodnotami. Nesmí navíc existovat ani systematický vztah mezi X*[t] a libovolnými proměnnými, jichž se týká disponibilní informace z období t-1. Jinými slovy : chyba předpovědi nesmí být predikovatelná. V ekonometrické analýze se často hypotéza racionálních čekání užívá jako alternativa k hypotéze adaptivních očekávání. Uvažujeme-li závislost spotřeby C[t] na očekávaném/permanentním důchodu M[t]*v podobě (3.1), můžeme přizpůsobovací proces adaptivních očekávání nahradit vztahem pro racionální očekávání : dosazením E[t-1](M[t]) za M*[t] dostaneme vztah (4.4) C [t] = g[0] + b[0] E[t-1](M[t]) + e[t], s významem veličin Racionální očekávání E[t-1](M[t]) však není měřitelné, proto postup při odhadu parametrů modelu (4.2) spočívá zpravidla ve vylučování znamenajících očekávání z modelu a v následném odhadu ekvivalentního modelu, který obsahuje jen pozorovatelné veličiny. Taková eliminace je jednoduchá, pokud jde o lineární model obsahující jen očekávání běžných hodnot vysvětlovaných proměnných (ne hodnot budoucích) . Postup, který uplatnil McCallum [1976] je dvoustupňový a je obdobou techniky instrumentálních proměnných (nejprve se nahradí E[t-1](M[t]) ze vztahu (4.1) metodu OLS přibližnou hodnotu E*[t-1](M[t]), kterou představuje odhad M*[t]. V dalším kroku po nahrazení E*[t-1](M[t]) vyrovnanou hodnotou M*[t] se již dospěje pomocí OLS k odhadům obou parametrů g[0], b[0] . Z aplikačních oblastí pro modely racionálních očekávání jsou především modely inflačních očekávání, zaměstnanosti , poptávky po penězích apod. Z posledních prací se testování této hypotéza zabývají např. M.C.Lovell [1986], S. Figlewski a P. Wachtel [1981] , B.M. Friedman[1980] , J.E. Pesando[1975] . Model racionálních očekávání formuloval D.W.Jorgenson v obecné podobě (4.5) a[0]Y[t] + a[1]Y[t-1]+ a[2]Y[t-2] +.... + a[r]Y[t-r] = b[0]X[t]+ b[1]X[t-1]+ b[2]X[t-2]+..+b[s]X[t-s]+ e[t]. [ ]Opět se zde střetáváme s problémem odhadu parametrů. I když budou náhodné složky e[t] rozděleny nezávisle, náhodné složky v[t] , kde (4.6) v[t] = e[t] - a[1]e[t-1] . budou sériově zkorelovány, což má opět nepříznivý dopad na vlastnosti výsledných odhadů parametrů (srovnatelně s Koyckovým modelem). Vztah (4.6) pro náhodné složky představuje autoregresní schéma 1. řádu . Poznámka : Model přechází při omezení hloubky zpoždění na r = 1, s = 0 v Koyckův model (pokud v něm vynecháme úrovňovou konstantu) .