Link: OLE-Object-Data

                                 Zobecněný lineární regresní model

   

   Zobecněný lineární regresní (jednorovnicový) model je charakterizován následujícími
   vlastnostmi modelových veličin :

   

   1.   Centrovanost náhodných složek                                                      

   2.   Obecnost kovarianční matice náhodných složek :        (obecná,

          2a) heteroskedasticita                                                  
   nestochastická  matice )

          2b) autokorelovanost náhodných složek

   3.   Nekorelovanost náhodných složek s nezávisle proměnnými         .

   4.   Plná hodnost matice vysvětlujících proměnných                           

   Odtud je zřejmé, že rozdíl mezi standardním a zobecněným lineárním regresním modelem spočívá
   v připuštění obecného tvaru kovarianční matice náhodných složek , která může být libovolná
   symetrická pozitivně definitní matice, jak je to vyjádřeno podmínkou (2). Zbývající tři
   podmínky (1), (3), (4) zůstávají beze změn.

   

   Kvantifikace parametrů zobecněného lineárního regresního modelu s uvedenými podmínkami může
   být provedena obyčejnou metodou nejmenších čtverců, není to však nejlepší postup. Získané
   parametry budou sice konzistentní a nestranné, nebudou však vydatné.

                                                                                

   

   A.  Odhad   je nestranný  pro libovolnou velikost vzorku , protože :

   

                                                   

   

   [ Pozměněná vlastnost (2)  se při určení střední hodnoty nijak neuplatní, protože v OLS odhadu
   parametrů matice  vůbec nevystupuje ]

   

   B. Odhad  je lineární  ( vzhledem k ),  ze stejných důvody jako ve standardním lineárním
   regresním modelu.

   

   C. odhad   není nejlepší ve smyslu minimální kovarianční matice ,

   neboť např. pro kovarianční  matici  GLS odhadové funkce   platí :

                                                                                

    kde    je pozitivně semidefinitní matice řádu  (  rozměrů  ).

   

   ověření : Bez újmy na obecnosti můžeme matici  libovolné jiné lineární odhadové funkce

                   vyjádřit ve tvaru

                                                                          

   Poznámka :  Vzhledem k požadavku na nestrannost  musí s ohledem na platnost

                        ,   vždy platit  

   

                        Pro libovolnou jinou (lineární, nestrannou) odhadovou funkci tedy musí
   platit

   

                                                          =  =

   

                                     = E [ ( (X´S^-1X)^-1X´S^-1 + G´) y - b] .[ ( (
   X´S^-1X)^-1X´S^-1 + G´)y´ - b´ ]

   

                     = E [ ( (X´S^-1X)^-1X´S^-1 + G´)(Xb+ e) - b] .[ ( ( X´S^-1X)^-1X´S^-1 + G´)
   (Xb+ e) - b]´

   

    = E [ ( (X´S^-1X)^-1X´S^-1Xb + G´Xb+ e) +G´e - b] .[ ( ( X´S^-1X)^-1X´S^-1 Xb + G´Xb+ +G´e) -
   b]´

   

   ..............................................................................................................................

   

                          = E [ (X´S^-1X)^-1X´S^-1  e + G´e] . [ (X´S^-1X)^-1X´S^-1  e  + G´e ] ´
   =

   

   = E[ (X´S^-1X)^-1X´S^-1ee´ S^-1X(X´S^-1X)^-1 + G´ee´ G + (X´S^-1X)^-1X´S^-1  ee´G + G´ee´
   S^-1X (X´S^-1X)^-1] 

   

   =(X´S^-1X)^-1X´S^-1Eee´ S^-1X(X´S^-1X)^-1+ G´Eee´G +(X´S^-1X)^-1X´S^-1Ee  e´G + G´Ee  e´
   S^-1X(X´S^-1X)^-1

   

   = (X´S^-1X)^-1X´S^-1S  S^-1X(X´S^-1X)^-1+ G´ SG + (X´S^-1X)^-1X´S^-1S G + G´ S 
   S^-1X(X´S^-1X)^-1 =

   

                             = (X´S^-1X)^-1 + G´ SG + (X´S^-1X)^-1X´ G + G´ X(X´S^-1X)^-1

   

                             =  =  ,

   

                                kde     je zřejmě pozitivně semidefinitní
   matice.                                y.