Algebra 2
Jméno: ...
26.5.2004
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Na práci máte 90 minut.
Hodnocení E
1. (lOkrát 2 body -- správně 2 body, chybně --2, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Kongruence x2
= a (mod p), kde a E Z a p E N je prvočíslo, je řešitelná právě
tehdy, když g) = 1.
(b) ano -- ne Je-li f(x) E Z[x] polynom stupně n a p E N je prvočíslo, pak má kongruence
f(x) = 0 (mod p) nejvýše n řešení modulo p.
(c) ano -- ne Pro každé reálné číslo x platí, že [x] není větší než x.
(d) ano -- ne Eulerova funkce <p je příkladem multiplikativní aritmetické funkce.
(e) ano -- ne Lineární kongruence ax = b (mod m), kde a, b, m jsou přirozená čísla, nemá více
než a řešení modulo m.
(f) ano -- ne Libovolná binomická kongruence xn
= 1 (mod m) má řešení.
(g) ano -- ne Primitivní kořeny neexistují modulo žádné složené číslo větší než 4.
(h) ano -- ne Je-li m liché složené číslo, a E Z takové, že (^) = -- 1, pak kongruence
x2
= a (mod m) nemá řešení.
(i) ano -- ne Soustava kongruencí
d\X = b\ (mod mi)
Ü2X = 62 (mod TO2)
je řešitelná právě když (mi, 777-2) I (bi -- b2).
(j) ano -- ne Pro každé prvočíslo p a přirozené číslo a platí <*p(pa
) = Lp(2pa
).
2. (10 bodů) Učitel matematiky se zmínil, že dnes mají narozeniny obě jeho děti. Když se ho žáci
zeptali na jejich věk, odpověděl hádankou: ,,Součet trojnásobku druhé mocniny dceřina věku a
sedminásobku součinu věků obou dětí je o 16 větší než šestinásobek druhé mocniny synova věku."
Určete věk obou dětí (všechny možnosti).
3. (15 bodů) Určete, pro která prvočísla p je řešitelná kongruence
x2
+ 2 = 0 (mod p).
Je těch prvočísel, pro která je kongruence řešitelná, konečně nebo nekonečně mnoho? Zdůvodněte.
4. (10 bodů) Řešte rovnici Lp(pm) = '^(qm) (pro neznámé m G N a prvočísla p, q)
5. (10 bodů) Nechť a,b E Z, m, n EN & a = b (mod mn
). Pak am
= bm
(mod mn+l
). Dokažte.
6. (10 bodů) Řešte kongruenci x2
+ x -- 2 = 0 (mod 49).
7. (5 bodů) Zformulujte Bezoutovu větu a aplikujte ji na čísla 2003 a 572.