Algebra 2
Jméno: ...
2.6.2004
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Na práci máte 90 minut.
Hodnocení E
1. (lOkrát 2 body -- správně 2 body, chybně --2, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Mají-li celá čísla x, resp. y řád a, resp. b modulo m G N, pak má číslo x ˇ y řád
a ˇ b modulo m.
(b) ano -- ne Pro každé reálné číslo x platí, že (x) (tj. necelá část x) je menší než x.
(c) ano -- ne Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 10k + 1.
(d) ano -- ne Libovolná binomická kongruence xn
= -- 1 (mod m), kde n je liché, má řešení.
(e) ano -- ne Pro každé přirozené číslo m je <p{rn) sudé číslo.
(f) ano -- ne Je-li řešitelná kongruence f (x) = 0 (mod m), pro m G N a f (x) G Z[x], pak je
tato kongruence řešitelná modulo libovolné přirozené číslo d, splňující d \ m.
(g) ano -- ne Relace dělitelnosti na množině celých čísel je antisymetrická.
(h) ano -- ne Je-li celé číslo g primitivním kořenem modulo m G N, pak je také primitivním
kořenem modulo libovolné <i G N, které je dělitelem m.
(i) ano -- ne Diofantická rovnice xn
+ yn
= zn
s neznámými x,y,z G N nemá pro parametr
( i e N , í i > l žádné řešení.
(j) ano -- ne Pro libovolné m G N je grupa (Z^, ˇ) cyklická.
2. (10 bodů) V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic:
x -
5x2
by2
fy2
u
3. (15 bodů) Zjistěte, pro která prvočísla p je řešitelná kongruence
-2
10 = 0 (mod p).x
m
3 "
4. (10 bodů) Řešte v N rovnici <p(m)
5. (15 bodů) Určete primitivní kořen modulo 232
. Řešte kongruenci x5
= 534 (mod 232
)
6. (10 bodů) Definujte Möbiovu funkci a uveďte Möbiovu inverzní formuli.