1. (5b.) Dokažte, že pro každé liché prvočíslo p existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n, splňujících
p | n · 2n
+ 1. (body přiděleny)
2. (2b. — pouze pro prvního v pořadí) Najděte nejmenší prvočíslo tvaru n · 2n
+ 1. (vyřešeno —
n = 141)
3. (3b.) Nechť a ∈ Z, m ∈ N, kde (a, m) = 1. Dokažte, že je-li řád čísla a modulo m roven r, je pro
libovolné n ∈ N řád čísla an
modulo m roven r
(r,n) . (body přiděleny)
4. (5b.) Dokažte, že existuje nekonečně mnoho lichých přirozených čísel k s vlastností, že čísla 22n
+ k
jsou složená pro všechna n ∈ N.
5. (10b. — pouze pro prvního) Dokažte, že pro každé celé číslo k = 1 existuje nekonečně mnoho
přirozených čísel n s vlastností, že číslo 22n
+ k je složené.
6. (5b.) Dokažte, že pro žádné n ∈ N, n > 1 neplatí n | 2n
− 1.