1
Statistická analýza liniových prvků
Linie mohou na mapách reprezentovat dva příbuzné objekty:
ˇ Vlastní linie - reprezentují a lokalizují skutečně lineární geografické fenomény (řeky,
silnice, potrubí)
ˇ Hrany - rozdělují plochy a povrchy (hraniční linie, lomové linie). Hrany nemají šířku.
Pro analýzu linií jsou vedle délky významné také atributy jako orientace, směr či spojení. Existence
spojení mezi soustavou bodů, které tvoří linii, znamená, že lokace (body) na sobě nejsou nezávislé, ale
jsou spojené v určitém směru. Body spojené v určitém pořadí musí zachovávat tuto posloupnost.
Obr. 3.1 Liniové prvky na digitální mapě - prosté linie, trajektorie, síť
Linie mohou v GIS vystupovat na třech úrovních, které představují jistou hierarchii (obr. 3.1):
1. ,,Prosté" linie ­ např. zlomy ­ lze určit jen délku a orientaci. Může existovat jako jednoduchá
spojnice dvou bodů či jako ,,řetězec"
2. ,,Trajektorie" ­ vektor pole větru ­ lze určit velikost (délku), orientaci a směr
3. Sítě - dopravní sítě, říční síť ­ lze určit prostorové uspořádání ­ topologické vztahy,
konektivitu, dostupnost, ...
Prostorové atributy liniových prvků
Délka linie může být definována jako:
ˇ přímá vzdálenost (vypočtená z Pythagorovy věty)
ˇ ,,skutečná" vzdálenost (součet přímých vzdáleností jednotlivých segmentů)
Orientace linie - orientace neurčuje směr (např. JV = SZ) ­ orientace zlomů, ulic. Nemá smysl otázka
odkud - kam?
Směr linie - typicky ­ vektor pole větru
Topologie (sítí)
Výše uvedené atributy linií lze vyjádřit i pro jednotlivé segmenty sítě či pro celou síť jako celek
(průměrná délka sítě, převládající orientace či směr segmentů sítě). Vedle toho jsou pro
charakterizování sítí důležité atributy popisující jejich strukturu a uspořádání jako celek a dále popisují
vztahy segmentů uvnitř sítě (topologii).
Základním topologickým aspektem sítě je způsob propojení jednotlivých segmentů ­ tedy její
konektivita. Tradičním nástrojem používaným k charakterizování konektivity je matice konektivity.
Je to matice čtvercová, binární, symetrická o n řádcích (sloupcích), kde n je počet segmentů sítě.
Jednička v matici značí, že dva příslušné segmenty jsou bezprostředně spojeny. Na hlavní diagonále
matice jsou nuly.

2
Obr.3.2 Příklad sítě
Tabulka 3.1 Matice konektivity
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1
2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
4 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
5 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
7 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
9 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
10 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Směrová statistika (Directional statistics)
Topologii sítě lze charakterizovat jednoduchými mírami. Takovou je např. poměr mezi skutečnou
délkou linie a spojnicí počátečního a koncového bodu. Tato charakteristika se určuje křivost linie.
Čím větší číslo, tím větší křivost.
Směr linie ­ vizuální hodnocení směru linií lze provést přidáním šipek. Např. u pole větru je možné
odhalit strukturu proudění v celé oblasti.
Směrový průměr (directional mean).
Využití klasických měr popisné statistiky pro charakterizování směru a orientace linií je nevhodné
(viz. obr. 3.3).
Obr. 3.3 Problém popisné statistiky při určování charakteristik směru linie
Jak je patrné z obrázku, aritmetický průměr dvou vektorů s úhly 45 a 315 stupňů dává 180 (jižní
směr), avšak měl by být 0 stupňů (severní směr). Průměrný směr je však nutné určit vektorovým
součtem či tzv. směrovým průměrem (directional mean). Protože pracuje se směrem (úhlem) a ne
s délkou, je možné ho prezentovat na základě jednotkových vektorů. Vektorovým součtem ­ přidáním
počátku druhého vektoru na konec prvního dostaneme směrový průměr.

3
Obr. 3.4 Koncept směrového průměru
Směr výsledného vektoru lze získat také z následujícího vztahu:
ox
oy
R =tan
kde oy je suma délek vektorů ve směru osy y a ox suma délek vektorů ve směru osy x. Protože všechny
vektory jsou jednotkové, délka ve směru osy y je v podstatě sin úhlu a délka na ose x. je cosinus úhlu.
Potom, jsou-li vektory označeny a, b, c a odpovídající úhly a, b, c, potom:
cba
cba
R



coscoscos
sinsinsin
tan
++
++
=
Obecně, máme-li n vektorů v a úhel vektoru v od osy x je v, výsledný vektor OR má úhel R, měřený
proti směru hodinových ručiček od osy x:

=
v
v
R



cos
sin
tan
což je tedy tangenta úhlu výsledného vektoru. Směrový průměr je potom arctan z výše uvedeného
výrazu.
Směrový rozptyl (Circular variance)
Stejně jako v případě klasické popisné statistiky je charakterizování souboru prvků pouze měrou
úrovně, kterou je výše uvedený směrový průměr, je často nedostatečné a může být i zavádějící. Např.
pokud dva vektory budou svírat úhel 180 stupňů. Proto je nutné použít i měr variability (rozptylu).
Pokud dáme dohromady vektory podobného směru, výsledný vektor bude relativně dlouhý. Jeho délka
se bude blížit n, pokud bude n jednotkových vektorů. Naproti tomu, pokud dáme dohromady vektory
opačného či značně rozdílného směru, výsledný vektor bude významně menší než n. Tedy délku
výsledného vektoru můžeme použít jako statistiku, která reflektuje variabilitu ve směru jednotlivých
vektorů. Na základě výše uvedeného tedy platí:
 += 22
)cos()sin( vvOR 
Směrový rozptyl (circular variance) Sv se potom vypočte:
nORSv /1-=
kde n je počet vektorů. Sv může nabývat hodnot 0 až 1. Je-li Sv=0, potom OR=n a všechny vektory
mají stejný směr. Je-li Sv=1, potom OR=0, všechny vektory mají opačný směr a výsledný vektor je
bod.

4
Úvod do statistického popisu sítí
Základní pojmy používané v síťové analýze: nódy a hrany (spoje), jejich počet také charakterizuje
síť.
Deskriptory sítě lze rozdělit do dvou skupin:
1. Deskriptory sítě jako celku
2. Deskriptory relací jednotlivých segmentů sítě.
Konektivita a matice konektivity
Matice konektivity (tab. 3.1) shrnuje informaci o tom, které segmenty sítě spolu souvisí (jsou
bezprostředně spojeny). Lze však charakterizovat i úroveň konektivity sítě jako celku. Pro fixní počet
vrcholů má síť s větším počtem spojů lepší konektivitu. Dále existuje minimální počet spojů, který
zajišťuje spojení všech vrcholů.
Bude-li v ­ počet vrcholů sítě, e - počet hran sítě potom:
1min -= ve
Minimálně propojená síť (Minimally conneted network - MCN) ­ odstraníme­li jakoukoliv jednu
hranu, síť se rozpadne na dva subsystémy.
Podobně lze pro daný počet vrcholů vytvořit maximální počet hran, které spojují všechny vrcholy.
Tedy maximální počet hran v síti o v vrcholech:
)2(3max -= ve
Jednoduchou charakteristikou konektivity sítě je Gamma index () ­ je definován jako poměr
aktuálního a maximálního počtu vrcholů sítě.
maxe
e
=
Další jednoduchou charakteristikou konektivity sítě je počet okruhů. Výskyt okruhů v síti značí
možnost dostat se z jednoho místa do jiného alternativními cestami. Síť s minimální konektivitou
nemá žádný okruh.
Počet okruhů lze zjistit tak, že od aktuálního počtu hran v síti odečteme počet hran potřebný pro
minimálně propojenou síť (MCN), tedy e-(v-1) nebo e-v+1.
Obdobně pro daný počet vrcholů je maximální počet okruhů roven 2v-5. S oběma uvedenými počty
okruhů lze vytvořit poměr aktuálního počtu k počtu maximálnímu ­ tedy tzv. alfa index:
52
1
-
+-
=
v
ve

Pomocí alfa indexu můžeme snadno porovnat dvě sítě.
Dostupnost sítě (Acccessibility)
Jedná se o charakteristiku jednotlivých vrcholů či hran sítě. Popisuje jejich dostupnost v rámci sítě.
Další text se týká dostupnosti hran sítě, obdobné vztahy lze definovat i pro vrcholy.
Jednoduchým ukazatelem dostupnosti hrany v rámci sítě je, s kolika jinými hranami daná linie přímo
souvisí. Tuto informaci lze vyčíst z binární matice konektivity, pokud tuto doplníme např. řádkovým
součtem.

5
Tabulka 3.3 Matice konektivity a dostupnost hran v rámci sítě
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SUMA
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 4
2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2
3 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 4
4 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 3
5 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 3
6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2
7 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 4
8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2
9 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2
10 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2
Tabulka 3.3 Charakteristiky dostupnosti sítě (viz. obr 3.5, 3.6, 3.7)
ID
počet přímých
spojů
počet kroků k dosažení
nejvzdálenějšího místa
celkový počet přímých
a nepřímých spojů
1 4 3 15
2 2 3 19
3 4 3 16
4 3 4 21
5 3 4 21
6 2 5 28
7 4 4 18
8 2 5 25
9 2 5 25
10 2 4 20
Obr. 3.5 Dostupnost jednotlivých segmentů sítě charakterizovaná počtem přímých spojů
Uvedená charakteristika však může být zavádějící, protože nebere v úvahu relativní (topologickou)
polohu hrany v rámci sítě. Hrana může mít i pouze jeden či dva spoje, přesto může být snadno
dostupná, protože se nachází uprostřed sítě (a naopak).
Relativní pozici každé hrany v rámci sítě lze zjistit např. pomocí počtu hran, kterými se lze z daného
spoje dostat do nejvzdálenějšího místa sítě.

6
Obr. 3.6 Dostupnost jednotlivých segmentů sítě charakterizovaná počtem kroků nutných k dosažení
nejvzdálenějšího místa sítě.
Diametr (poloměr) sítě ­ je to jedna (1) plus největší počet hran nutných k dosažení nejvzdálenějšího
místa v síti.
Kvalitu spojení dvou hran (vrcholů) definuje počet hran mezi nimi. Spojení mohou být přímá a
nepřímá. Tedy počet přímých a nepřímých spojů, které jsou třeba, aby byla daná hrana spojena se
všemi hranami ostatními. Nepřímé spoje lze vážit počtem kroků. Zřejmě platí, že čím větší je celkový
potřebný počet spojů, tím hůře dostupná je daná hrana. Celkový počet spojů (přímých i nepřímých) je
mírou dostupnosti.
Obr. 3.7 Dostupnost jednotlivých segmentů sítě charakterizovaná počtem přímých a nepřímých spojů
nutných k dosažení jakéhokoliv místa v síti