Elektrodynamika 1 Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI Elektrický proud / je v systému SI základní veličina, jednotka je 1 Ampere (1 A). Definice: Stejné proudy ve 2 rovnoběžných drátech ve vzdálenosti 1 m mají velikost 1 A, když vzájemná přitahovací síla na 1 m drátu je 2 • 10"7N. Náboj q: Zdroj elektromagnetických sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektrický proud. Jednotka: 1 Coulomb (1 C). Definice: Při elektrickém proudu o 1 A proteče průřezem vodiče 1 C za sekundu. 1 C = 1 As ~ 6 • 1018 elementárních nábojů. Coulombův zákon Přitažlivá nebo odpudivá síla dvou nábojů q± a q2 v místech xi a x2 F = k"f (xl-ft), F = kqf, n2 n2 (1) kde ri2 = \x*i — x2\ a A; je konstanta. Dimenze [k] této konstanty vyplývá z (1). AT rilAs-As ri1 Nm2 n = h-s-=»h = äw- Použitím rychlosti světla c platí pro experimentálně určenou konstantu * = io-v£. V SI se píše z historických důvodů 1 k 47re0 kde e0 je tzv. „dielektrická konstanta vakua". Poznámka: Mohli bychom předpokládat k = 1. Tím bychom určovali dimenzi náboje, vyjádřenou mechanickými veličinami. V systému cgs dostáváme z Coulombova zákona . gem [q]2 i 3 i dyn = —- = ±-L-, [q =gws L. s2 cm2 To je jednotka náboje v GauBově systému. Elektrické pole: Síla souboru nábojů qi,... ,qN v místech x\,..., x n na další náboj q v bodě x je popsaná působením elektrického pole v bodě x na náboj. Intenzita eletrického pole E{x) je lokální vlastnost prostoru, v němž se nacházejí elektické náboje. ^, 1 ^ X — Xi -». Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze: r r* N J ra = č = =č- Napětí U. Práce = změna potenciální energie při pohybu náboje v elektrickém poli je daná integrálem W = J Fds. V prípade pohybu o vzdálenost / podél homogenního elektrického pole (např. v deskovém kondensátoru) platí jednoduše W = qEl=: qU. Elektrické napětí je rozdíl potenciální energie jednotkového náboje na dvou bodech. Dimenze: [U] = ^ Jednotka: 1 Volt = IV = l£. Volt se používá pro běžné označení jednotky elektrického pole, [E] = 1^. Magnetické pole. (Stacionárni) elektrické proudy vyvolávají síly na pohybující se náboje (Lorentzova síla). Analogicky k zavedení intenzity elektrického pole uvažujeme sílu souboru eletrických proudů v daném uspořádání vodičů na úsek dl jednoho dalšího drátu s konstantním proudem /. Sílaje úměrná I a dl, dF(x) = Idíx B(x). (3) Magnetická indukce B{x) zahrnuje působení všech elektických proudů v bodě x. Dimenze: Z (3) vyplývá a r^n r^n N J Js Vs Jednotka: 1 Tesla = 1T = 1% Příspěvek elektrického proudu v úseku drátu dl na místě x2 k magnetickému poli v bodě xi (analogicky Coulombovu zákonu) je dB(fi) = k Idíx X_l "ľ2,,- (4) \Xi — X2\6 V SI se píše k = iM) = je tzv. „magnetická permeabilita vakua". Síla mezi dvěma infinitesimálními úseky vodiče, umístěnými v bodech x\ a x2 s elektrickými proudy I\ a I2 (analogon Coulombova zákona): F(x 0 = f h h dfi x (dí2 x .f1"!') ■ 4-7T y \xi — x2\6 J 2 Hustota náboje: p(x) = lim av-í-o AV kde q je naboj v objemu AV, který obsahuje bod x. Hustota proudu: ^ = ÄZÄd7' kde AA je element průřezu vodiče a ^ je jednotkový vektor ve směru elektrického proudu I. 2 Maxwellovy rovnice, statický případ J. C. Maxwell našel v 19. století dvě vektorové a dvě skalární parciální diferenciální rovnice 1. řadu, které spojují elektrické a magnetické pole navzájem a s elektrickým nábojem. Z těch rovnic lze odvodit celá elektrodynamika. á\\E 1 P_ eo YOtE = - 8B_ dt ' dE _ rotB = e0 — +j, Ho dt divS = 0. (5) Vektorové operátory div a rot lze vyjádřit pomoci operátoru Nabla, ' d_ d_ d_\ dx' dy' dz ) ' V = div v = V • v, rot v = V x v. (6) (7) V případě statických polí, když časové derivace jsou nulové, odpojují se elektrické a magnetické pole. Elektrostatika Základní rovnice div E = -S ľotE = 0. (8) Elektrostatické pole je bezvírové pole se zřídlem ^. Pro takové pole existuje skalární potenciál (j) tak že Ě = -grad (f) = - V0. (9) Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme —div grad (j> = — V2^> = —. Definujeme Laplaceův operátor -2 d2 d2 d2 dx2 dy2 dz2' ^ ^ nabýva rovnice pro potenciál následující tvar, ^ (H) Táto rovnice se nazývá Poissonova rovnice. Oproti Maxwellově rovnici div E = — má výhodu, že jejím řešením je jedna skalární funkce cj)(x) místo vektorového pole E(x). Magnetostatika rotS = fiQj, divB = 0. (12) Magnetostatické poleje bezřídlové, siločáry jsou uzavřené; existuje vektorový potenciál A, tak že B = mtÄ, (13) protože div ľotA = 0. Dosazení do Maxwellovy rovnice vede k rot.8 = rot rot A = grad divA — AA = /j,0j, nebo AÄ-V(VÄ) = -/M)j. (14) Potenciály nejsou jednoznačné určeny svými rovnicemi (11) a (14), (f) je jednoznačné až na libovolnou konstantu, A až na gradient libovolné funkce, poněvadž rot grad/ = 0. Potenciály lze kalibrovat, jsou kalibrační, nikoliv fyzikální veličiny. 3 Greenova funkce Poissonovy rovnice, ^-distribuce Poissonova rovnice (11) je eliptická lineární parciální diferenciální rovnice druhého řadu. Pro takové rovnice existuje rozsáhlá teorie, my budeme ale zkonstruovat řešení na základě známých fyzikálních skutečností. Elektrické pole bodového náboje v počátku je 47re0 \x\3 příslušný potenciál je * = r--- (i6) 47re0 r 4 Pro hustotu bodového náboje platí *f)s0 w/0 a Přestože taková funkce v klasickém smyslu neexistuje, existuje matematický objekt, který popisuje idealizaci bodového náboje a pomoci toho můžeme skládat elektrické pole a potenciál libovolného rozložení náboje z výrazů (15) a (16). Hustota bodového náboje je zkonstruovaná pomocí „Diracovy 5-funkce", která lze definovat jako limita funkcí s integrálem od minus do plus nekonečna rovným jedné, které jsou „více a více soustředěné na jeden bod", např. 1 1 _£Í 6(x) := limflgrc) = —= lim-e * . (17) v ; €^oyeV J ^ e^oe y J Takové limity mají vlastnost, že /oo roo f(x) 6(x) dx = lim / f(x) ge(x) dx = /(O), (18) -OO €—J —oo nebo obecněji, /oo f(x')S(x-x')dx' = f(x) (19) -oo pro libovolnou spojitou funkci /. Integrál s 5-funkcí tedy vybírá hodnotu funkce v určitém bodě. Ve výběru určité funkční hodnoty spočívá exaktní definice S v rámci distribucí, t.j. jako zobrazení vhodného prostoru funkcí, jako nekonečně diferencovatelné funkce s omezením nosičem, do reálních nebo komplexních čísel. V jazyce distribucí se píše ekvivalent rovnice (19) Sx[f] = /(*)■ (20) Distribuce Sx přiřazuje funkci / funkční hodnotu f(x); pro její definici stačí, že / je spojitá funkce. Hustota bodového náboje v počátku souřadné soustavy se vyjadřuje trojrozměrnou 5-funkcí p(x) = qS3(x) = qS(x) S(y)S(z). (21) Dosadíme potenciál a hustotu náboje v bodě x' do Poissonovy rovnice, Acf>(x) = A _ 1 „ = —q- S3(x - x'), (22) 47re0 \x - x'\ e0 odvodíme z toho A—^-— = 63(x-x'). (23) 47r|x-x'| G(x,x') := .71 (24) 47T \X - X'\ se nazývá Greenova funkce Laplaceova operátoru (=potenciál jednoho bodového náboje.) 5 Poněvadž Poissonova rovnice je lineární, můžeme zkonstruovat potenciál rozložení náboje p(x) jako superpozici potenciálů bodových nábojů, tedy (x) = -^—í dVp(£')—(25) 47re0 J \x — x'\ popřípadě 4>(x) = - ídVG(x,x') (26) J 6q To je řešení Poissonovy rovnice pro rozložení náboje p(x). Důkaz: -Ax(x) = íd3xAxG(x,x')^- = Íd3x63(x-x') J 6q J 6q 6q Index x zdůrazňuje působení Laplaciánu na nečárkované souřadnice. Greenova funkce není jednoznačná. G(x,x') plus libovolné řešení homogenně diferenciální rovnice A(f> = 0 je také Greenovou funkcí stejného operátoru. Odečtením dvou identit, Greenova věta V(«Vu) = u Av + Vií Vv V(*y Vií) = v Au + Vv Vií, dostaneme V(ií Vf — vVu) = u Av — v Au. Integrovaním a aplikací GauBovy věty odvodíme Greenovu větu: / (u Av — v Au) dV = (u V v — v Vií) ň dS, Jv Jav (27) kde V je objem a n je normálni vektor na okraj dV. Podle okrajových podmínek má Greenova věta dvě standardní aplikace. Dirichletův problém: Známe p(x) uvnitř nějakého objemu V a potenciál 4> na okraji dV. Dosadíme u = cj)&v = G do Greenova vzorce. í [(f>(x') Ax,G(x,x') - G(x,x') Ax,(f>(x')} d3x' = j V" = f \(f>(x')Vx,G(x,x')-G(x,x')Vx,(f>(x')\ ndS'. JdV L J Podle předpokladu je první člen na pravé straně známý, druhý, který obsahuje gradient potenciálu, nikoliv. Tak využime možnost volby Greenovy funkce a zkonstruujeme 6 takovou, která se rovná nule na okraji dV. Greenově funkci s tou vlastností říkáme Dirichletovu Greenovu funkci, Gb- Potenciál ve V je pak dán vzorcem Mx) = - [ GD(x,x' )^^dV+ / VGD(x,x')(f>(x')ňdS'. (28) Jv e0 Jav Neumannův problém: Známe gradient potenciálu na dV. Vybereme Neumannovu Greenovu funkci Gat, jejíž gradient se rovná nule na okraji. Mx) = - í GN(x,x') d3x' - í GN(x,x') VMx) ndS'. (29) Jv e0 Jav 4 Elektrostatická energie nábojů Napíšeme si potenciální energie náboje v elektrostatickém potenciálu U = q (f)(x). Energie dvou nábojů = energie náboje q± v bodě x± v potenciálu vyvolaném nábojem q2 v bodě x2 plus výraz s přehozenými náboji lomeno dvěma, aby se energie nepočítala dvakrát. U=-(qi (h(xi) + Q2 0i(x2)), kde (pi(x) = AtT€o \x — Xi Energie spojitého rozložení náboje: U = \J PWV. (30) Pro rozložení bodových nábojů je potenciál (xa) = -y— Yl —> rab = \xa-xb\ (31) 47re0 ^ rab a energie ř/ = —y^. (32) 87re0^ rab 5 Multipólový rozklad pole V následujícím budeme hledat rozvoj elektrického potenciálu ve velké vzdálenosti od zdroje. 7 5.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích Ve sférických souřadnicích má Laplacián následující tvar: r2 dr \ dr J r2 sin ů dů \ dů J r2 sin2 -d d(p2' Separace proměnných: Pokoušíme se přeměnit parciální diferenciální rovnici do tří obyčejních diferenciálních rovnic pro funkce jednotlivých proměnných, R(r), Q(9) a $(<^). K tomu předpokládáme řešení ve tvaru součinu (/>(r,ů,(p) = R(r) -6(0) (34) a dosadíme do Laplaceovy rovnice a , 1 d {2dR „ A 1 d ( . a „ d9 \ 1 „ ^ d2$ r2 ar \ dr / r2 sin v ov \ dv J r2 sin v d(pz (35) 2 • 2 a Násobíme r a píšeme část, závisející na cp, na pravou stranu sin2 ů d / 2 diž\ sinjtf _d_ / . d9\ _ 1 d2$ —Ř~ď7 v ďřy + _ěTčh? vm ď^y "šď^2' Levá strana teď závisí na r a d, pravá strana na (p. Z toho vyplývá, že se obě strany musí rovnat konstantě, kterou nazveme m2. Z pravé strany dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici, d2$ —- + m2$ = 0. (36) dep2 Rovnici vyplývající z levé strany můžeme upravit podobným způsobem, I! (ridR) = Jr^_ J_i^_ / dG\ = 2 Rdr \ dr j sm2ů smůQdů\ &®) kde se opět obě strany musí rovnat konstantě, označené A2. Z toho dostaneme dvě další obyčejné diferenciální rovnice, a Id/ nd9\ / 2 m2 \ srn # d$ \ d$ / \ srn2 ů ) tak že místo parciálni diferenciální rovnice máme rovnice (36), (37) a (38). Řešení: Rovnice (36) má řešení $m {(p) = Cm cos m(p + Sm sin my? (39) 8 příslušné k parametru m, který musí být celočíselný, aby $ bylo periodické ve (p. Radiální rovnice (37) má řešení Rl(r) = Alrl + (40) kde A2 = /(/ + 1). V rovnici (38) píšeme cos ů = x. Řešení, které obsahuje obě integrační konstanty mal, označíme P™. Takovou úpravou dostaneme Legendreovu rovnici 2,d2P,m(x) n dP,m(x) (1 - x2)-- 2x —lT^-L + dx2 dx 1(1 + 1) m x' P™ (x) = 0. (41) 5.2 Legendreovy polynomy Ortogonální bází řešení pro m = 0 jsou Legendreovy polynomy Pi(x), vyhovují jednodušší rovnici d dx + l(l + l)Pi(x) = 0 (42) s nezáporným celočíselným parametrem /. Legendreovy polynomy jsou ortogonální v intervalu (—1,1) (43) J Pk(x)Pl(x)dx = 0 Vifc^Z. Legendreovy polynomy se objevují jako koeficienty v rozvoji tzv. vytvářející funkce oo (l-2a;í + í2)i/2 =Xjpi(z)*'- Použitím Leibnizova pravidla dm[f(x)g(x)} ™ m\ dm-kf(x)dkg(x) (44) dxT ^ k\ (m — k)\ dxm~k dxk (45) dostaneme m-násobným derivováním rovnice (42) (1 - x2)f"(x) - 2x(m + l)f'(x) + (l-m)(l + m + l)f(x) = 0, (46) kde f(x) = dmPi(x)/dxm. Substituce f(x) = (1 - x2)~ml2g(x) vede k tomu, že funkce g(x) musí splňovat rovnici (41), je tedy konečně pr{x) = {i-x2)m'2 dm^x\ Legendreovy polynomy lze vyjádřit pomocí Rodriguesova vzorce Pi(x) = 1 ď (x2 - iy. l\ 2l dx1 Využitím tothoto vztahu můžeme rozšířit (47) na oblast záporních m, tedy P™(x) = (i l\2l y ' dxm+lK ' 2\l -Km R (55) 10 Potenciál mimo koule je dán vzorcem (25) 47760J \x-x\ 47760J v/f2+f'2_2|f|.|£'|c0S7 = J-^ /dV , P{£,) (56) 47ren x ./ L n \x'\ , /iž"i\2 7 je úhel mezi x a x', l/jmenovatel je vytvářející funkce Legendreových polynomů, tak m = ^~j dVp(£')f;^(cos7) (57) (psali jsme |x| = r a \x'\ = r'). Použitím (54) dostaneme rozvoj Pomocí multipólových momentů qlm:= J d V p(£') r'' ľ™ (ď, p') (59) můžeme konečně psat potenciál jako superpozici kulových funkcí 1 OO l 1/7 *(*) = -E E ä/TT^r*™*)- (6°) V případě bodového náboje víme, že pole je dáno Coulombovým potenciálem. Je-li náboj q umístěn mimo počátek souřadnic, např. na ose z (v bodě z = R), je potenciál dán vztahem (61) „ OO ✓ D\ i v ' *=^i:m(7), ržÄ- Pro r y> R převažuje rotačně souměrná (vzhledem k počátku souřadnic, nikoli poloze náboje) složka / = 0. Umístíme-li však na ose z ještě náboj opačné velikosti do z = —R, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a pro r » R převažuje pak dipólová složka (1 = 1) 2qRP1(cosů) D cosů ^dip = -:--ä-= ~a--2~> 62) kde D = 2qR označuje dipólový moment. Podobně, umístíme-li na ose z v z = ±R náboje q a v počátku náboj — 2q, vyruší se identické příspěvky členů sí = 0aí = la pro r y> R převažuje pak kvadrupólová složka (/ = 2) 2qR2P2(cosů) Q l-3cos2tf 0quad = --j--3-= -:--3-, 63) kde Q = qR2 je kvadrupólový moment. Obecně jsou multipólové momenty závislé na umístění v souřadném systému, s výjimkou nej nižšího nenulového momentu. 11 6 Magnetostatika 6.1 Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou Integrální tvar infinitesimální rovnice (4), vyjádřený pomocí hustoty proudu, je b(x) = ^ í d3x'j(x') x ,5" 51 =-ir f d3x'j(x') x V^-^r 47T J \x — x \ó 47T J \x — x | = ^Vxí dV -^X- =: rotÍ(f). (64) Zavedli jsme vektorový potenciál Ä{x) = ^ [tfx'ji^Zr ■ (65) 47T J \x - x | Vektorový potenciál není jednoznačný, protože můžeme přičíst gradient libovolné funkce, jehož rotace je identicky nulová. Taková transformace, A{x) —> A{x) + grad A(x) se nazývá kalibrační transformace. (Stejně je skalární potenciál jednoznačný jenom až na konstantu.) Volba A = 0 (Coulombova kalibrace) vede k vlastnosti div A = 0, protože V|x — x= —V'\x — x'\~l a z toho dostaneme integrací per partes V'J(x'), což se rovná nule podle statické rovnice kontinuity. Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme tak rot-B(x) = rotrotA(x) = graddivA(x) — AA{x) = —AA(x) = ~jďVj{x ) = w(x), (66) tedy vektorovou Poissonovu rovnici pro A. Následující tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou. Elektrostatika Veličina, vztah Magnetostatika dF = dq Ě definice pole dF = /díx b dq hustota zřídel Idl = jd3x f = qĚ síla na náboj f = qv x b div E = p/e0 rovnice pole rot b = iiqj rot Ě = 0 div b = 0 E = —grad (j) potenciály b = rot Ä rovnice potenciálu AÄ = -M 47reo J \x — x \ potenciál zřídel \x — x 12 Analogické magnetické pole k elektrickému Coulombovu poli je pole lineárního vodiče. Uvažujme nekonečně dlouhý, rovný drát ve směru osy z s elektrickým proudem I j(x) = IS(x)S(y)e3. (67) Podle (64) je magnetické pole B(x) = £-(0,0,30 dz e3 x —p (68) 4tt J-oc " ~" " \x - (0,0,z')\3' Zavedeme polární souřadnice p = \/x2 + y2, (p = arctan |, z a uvědomíme se, že pole musí být konstantní ve směru z, tak že stačí počítat B v rovině (x,y). Výpočet vede k Biotovu-Savartovu zákonu 2tt p 6.2 Magnetické pole kruhové smyčky. Do vztahu pro vektorový potenciál (65) dosadíme hustotu proudu j(x') dV = /6(pf - a) ô(z') v p'dpf dz'á QE -> —votB = ev— + (j) + /ext div B = 0. A*o dt E a, B jsou středovaná pole, () označuje středování zdrojů. Celkový náboj vázaný na prostředí, které je plně uzavřeno uvnitř oblasti V, je roven nule ' (p) dV = 0 (p) = -divP, (77) 'V přičemž P = 0 vně materiálu. Potom je totiž f (p)dV = - í divPdV = í P ■ ndS = 0, Jv Jv Js kde S = dV. Uvažujme dipólový moment J x(p) dV = - JvxdivPdV = - Jsx (n ■ P) dS + (P ■ v) xdV = PdV. (78) Uvažujme nyní uzavřenou plochu S uvnitř materiálu. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace P ^■^-ÍV9^-ÍÄ^V-ĽÍ^S - dP ^(ŕ) = rotM + —, (79) přičemž M = 0 vně materiálu. rot M ■ ň dS = 0 protože dS = 0. '5 V statickém případě je dP/dt = 0. Uvažujme magnetický moment \ í x x (f) dV = ]- í x x rot M dV = (80) - í x x (n x M) dS - - í (M x V) x xdV = í MdV. 14 Definice vektorů polarizace P a magnetizace M pomocí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P + rot/ a M + grád/. Jako vedlejší výsledek dostaneme ze spojení rovnic (77) a (79) diferenciální (= mikroskopickou) rovnici kontinuity d(p) dt + div(r) = 0. (81) 7.2 Makroskopické Maxwellovy rovnice Zavedeme vektory indukce elektrického pole a intenzity magnetického pole jako Ď = eQĚ + P, H=—B-M. (82) Použitím polarizace (77) a magnetizace (79) dostaneme makroskopické Maxwellovy rovnice, -> -> d 13 div D = pext, rotE = -—-, 01 (83) ľOtH = — + Jext, divS = 0. dt Jak Maxwellovy rovnice ve všeobecné formě, tyto rovnice jsou konsistentní s rovnicí kontinuity + divj*ext=0. (84) dPext dt V homogenním isotropním lineárním prostředí bez disperse jsou vztahy mezi D a E a mezi H a, B obzvlašt jednoduché, pole jsou úměrná, D = ereQĚ, H = —*— B, (85) Ur HO kde er je dielektrická konstanta a konstanta pr je magnetická permeabilita materiálu. („Lineární prostředí" znamená, že tyto veličiny jsou konstantní.) 7.3 Energie a impuls elektromagnetického pole Mějme spojité rozložení náboje p. e označuje energii náboje obsaženého v objemu AV, Ae změna energie při pohybu v elektromagnetickém poli. p a J označují teď externí veličiny. -> -> l Ae Ae = f ■ Ax, f = pEAV + jxBAV ~^va1=^'E' ^ S využitím vztahu Ě ■ (ý x H) - H ■ (ý x Ě) = V ■ (H x Ě) (87) odvodíme z Maxwellových rovnic výraz - dB - dĎ _ - - H--šf + E--ft=-J-E-V-{ExH). (88) 15 Na pravé straně vystupuje vykonaná práce a divergence toku, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S W = -(Ě-Ď + B-H), Š=ĚxH (89) můžeme (88) psát jako d í WdV+ í j-ĚdV+ í Š-ndZ = 0. (90) jv jv JdV dt Jv S má tedy význam hustoty toku energie. Obdobnou úvahu můžeme provést pro impuls. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je Ap = FAt, F = pĚAV + jxBAV ~/^^Ě= p^ + ?x B- (91) Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz Dx— + —xB = Ě(ý-D)-Bx(ý x H)+H (ý ■ Ě)-Dx(ý x Ě)-jxB-pĚ. (92) Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy časovou derivaci na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty impulsu G = Dx B = ernre0n0E x H = — S, (93) c2 pokud první čtyři členy na pravé straně lze psát jako divergence toku impulsu. Zavedli jsme c2 :=-, n2 := er/v (94) c je rychlost šíření elektromagnetických vln ve vakuu, tedy rychlost světla, jak budeme brzo vidět, a n je index lomu, jehož význam bude také zřejmý v souvislosti s šíření elektromagnetických vln. Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita a permeabilita nezávisí na prostorových souřadnicích, můžeme psát [Ě(V-Ď)-Ďx(VxĚ)]i = j:—M2. (109) Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenou jako w=yvB.adv=yví.Ädv. (11„) Při odvození obou výrazů v této rovnici je postupně využito vztahů B = rot Ä, H-iotÄ- Ä-iotH = div (Äx i?) , rot H = j. (111) Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti L Hol2 Jv Uvažujme dvě solenoidální cívky, každou o N závitech, těsně na sobě. Průřez cívek je S a jejich délka í. Pole první a druhé cívky jsou tedy přibližně (Ampěreův zákon) B,*^, B2*>*fl (113) a pro indukčnosti máme Li « L2 « M « f^LĚ.m (114) Pro energii magnetického pole pak w = ^l(Il + hf. (115) 18 9 Časově proměnná elektromagnetická pole 9.1 Dynamické potenciály, kalibrace Předpokládáme dynamické potenciály $(x, t) a A(x,t) a B = rotA Pak vyplývá z Maxwellovy rovnice rotE = — B, že i časová derivace vektorového potenciálu přispívá k elektrickému poli 8Ä B = rotA, E = -grad - —. (116) Dosazení do dalších Maxwellových rovnic vede k A0+^-divÍ= AA - - grad IdrvA + eo^o-^- I = -PoJ- (117) S využitím kalibrační transformace Á+gr&dý, ->-^- (118) můžeme mít Lorenzovu kalibraci (Ludwig Valentin Lorenz ^ Hendrik Antoon Lorentz) divÍ+eoAt0^ = 0 (119) a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní rovnice (120) a , 1 d2(f> p A t 1 d2A A*-72W = -70> AA-72^F = -^J- Označili jsme rychlost světla ve vakuu c Rovnice (120) jsou Maxwellovy rovnice pro potenciály, spolu s kalibrací (119) jsou ekvivalentní (5). 9.2 Rovinná a kulová vlna V případě volného elektromagnetického pole popisují homogenní rovnice odpovídající (120) šíření vln. Vlnová rovnice v jednorozměrném případě popisuje rovinnou vlnu (ve směru x) d2^(x,t) ld2^(x,t) dx2 c2 dt2 "U- [L2L) Obecné řešení je ^x,t) = f(t-^+g(t-^y (122) 19 Vezmeme jako príklad GauBovu funkci / = exp[— (t — ^)2]. Maximum se nachází při t — -c = 0, pohybuje se tedy s rychlostí c ve směru rostoucího x. Dalším jednorozměrném příkladem je sféricky symetrická vlnová rovnice v trojrozměrném případě, ld2(r^(r,t)) 10V(r,*)=o r dr2 c2 dt2 s obecným řešením *M = Í/(«-3+Í9(* + ^). M Na toto řešení se můžeme divat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar řešení také ukazuje, že rychlost šíření je c. V (lineárním) materiálovém prostředí se nahrazuje 6q —>• ereo a /iq —> /irl^o- Pak dostaneme z rovnice (120) rychlost šíření c/n, když zavedeme index lomu TI —— \J €,f jJLf. 9.3 Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály. Pro obecné řešení rovnice (120) ještě chybí partikulární řešení nehomogénne rovnice. Zavedeme Fourierovu transformaci časové závislosti potenciálu a hustoty náboje 1 f°° i r°° (xt,t) = —l áuj(j){x,uj)e-lut, (125) 27T J-oo 1 r°° p(f, t) = — dco p(x, co) e~wt (126) 27T J-oo a dosadíme do rovnice (120), ui2\ ~ . 1 r°° -U(f,o;)e-- = --/ -oo \ / 0 J—oo Exponenciální funkce s různými co jsou nezávislé, proto platí dco A + — (/>(£, co) e~wt =--/ dco p(x, co) e~wt. (127) -oo V C / €n J—oo (A+ =-Ä (128) Hledáme Greenovu funkci diferenciálního operátoru na levé straně, definovanou vztahem (A + k2)G(x,x',k) = -S3(x-x"). (129) Řešení této rovnice závisí jen na absolutní hodnotu r = \x — x'\: G(x, x', k) = G(r, k) = (130) Důkaz: 1) p±ikr /i pp, \ p±ikr ^+^— = {-rhr+k2) — = 0 (131) 20 platí pro r ^ 0. 2) Násobíme levou stranu testovací funkcí f (x) a integrujeme přes celý prostor. Díky (131) stačí integrál přes infinitesimální kouli o poloměru e kolem počátku, „Ukr „ „±ikr íd3xf(x)(A + k2)--=/ d3x/(£)(A + Ä;2)--. (132) J T Jr(e2). (133) V limitě e —>• 0 tak získáme p±ik\x—x' I (A + ^2)i^r^ = -í3(|x-f'|). (134) Řešením rovnice (128) je tedy 1 /■ , x e^cl*-*'! Zpětní Fourierova transformace pro záporné znaménko vede k 1 r e±i^\x-x | (j)(x,u) = -- / dVp(x',o;) ^, . (135) 47t€n J x — x «f,ř) = i /^^ rdw-(-^) = i />x, {x, t) = pro skalární potenciál a Ä(x,t) = (Ax(x,ť),0,0), pro vektorový potenciál, kde jsme označili (x — vt)2 1 _ ■ 1 c2 Vektor intenzity elektrického pole je Ě(x, t) = 6 1 VX v , Ax(x, t) — ejiQ 1 v 47T ^ + y2 + z2 47re° 24 ^ (x - vt, y, z) a vektor indukce magnetického pole je B{x,ť) = ^p- . 1 Aj(0,-z,y). (169) Pro vektor hustoty impulsu pole G = e0Ě x B dostáváme e2/iQ 1 v č&t) = Y^Y^i^(y2 + -*)> -• ——r = k (v 12), k(vi) a protože levá strana poslední rovnice nezávisí na úhlu mezi vektory rychlostí Vi a?2, zatímco pravá strana může, musí být k(v) = 1. (179) Kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (175) nebo mezi dvěma infinitesimálně blízkými událostmi (176) je stejný ve všech inerciálních soustavách. V předešlých úvahách se připojuje čas přirozeným způsobem k prostoru, proto je výhodně definovat čtyřrozměrný prostoročas či Minkowskiho prostor, v němž se počítá kvadrát prostorového intervalu záporně a kvadrát časového intervalu kladně (nebo opačně). Oznámení událost má význam bodu v čtyřrozměrném prostoručase. Označme si v soustavě K íi2 = *2-íi, 4 = (x2-xl)2+(y2-yl)2+(z2-zl)2 s\2 = c2t\2-l\2. (180) Zkoumejme, existuje-li taková soustava K', kde by se obě události odehrály v jednom bodě prostoru, tedy že platí £í2 = 0. Máme tak podmínku s\2 = c2t2l2—í\2 = 0,; takový interval se nazývá časupodobný. Naopak požadavek na to, aby existovala soustava, ve které obě události nastanou současně (ť12 = 0), vede k podmínce s\2 = c2í22 — í\2 = —£'12 < 0,; interval se pak nazývá prostorupodobný. V soustavě, která se pohybuje s daným hmotným bodem (£'l2 = 0), můžeme tedy definovat vlastní čas jako 1 rS2 z1*2 / ?;2\ 2 i-^-cĹ^'L i1-?)'At- (181) V případě konstantní rychlosti v dostaneme jednoduchý vztah mezi parametrem s trajektorie tělesa a časovou souřadnicí t, v2 v2 s2-Sl = cdl--- (t2 — ti), popř. infinitesimálně ds = c W1--- dt. (182) 26 10.3 Lorentzova transformace Soustava K se pohybuje vůči inerciální soustavě K' rychlostí v podél osy x. Z elementárních úvah je zřejmé, že čtverec intervalu s2 = c2t2 — x2 se nezmění při transformaci ct = x' sinh ip + cť cosh ip, x = x' cosh ip + cť sinh ip, (183) podobně jako se nezmění čtverec vzdálenosti l2 = x2 + y2 při transformaci x = x' cos (p + y' sin (p, y = — x' sin p + y' cos (p. (184) Pro počátek soustavy K' (bod x' = 0) máme v soustavě K z definice x/t = v, jednak z (183) x/t = ctanh^, máme tedy tanh^ = v/c a vztah (183) můžeme zapsat jako Lorentzovu transformaci ď + ^x' x' + vť ct = .—?-=, x = —!==, y = y, z = z. (185) Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (185). (a) V soustavě K je podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice xi, x2. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax0 = x2 — x\. Vzdálenost v soustavě K' (souřadnice jsou určovány ve stejném čase t[ = ť2) je Ax = x'2 — x[ = Axq\J\ — Mluvíme o kontrakci délky. (b) V soustavě K' se v časech t[ a ť2 odehrají dvě události v jediném místě x[ = x'2, y[ = y'2, z[ = z2 (interval mezi událostmi je tedy Ač0 = ť2 — t[). V soustavě K je interval mezi těmito událostmi Ač = t2 — ti = At0 j\Jl — ^|. Mluvíme pak o dilataci času. Vztah (185) můžeme zapsat i v diferenciálním tvaru cdť + ^dx' , dx' + vdť , , , , , , cdt =--c— , dx= - --, dy = dy', dz = dz'. 186 Pro transformaci složek vektoru rychlosti (w = dx/dt, w' = dx'/dť) dostaneme z (186) vztah Wx = -±-—, Wv =---;-, Wz =---;-. 187) ]_ _|_ Wx V ]_ _|_ Wx V ]_ _|_ Wx V C2 C2 C2 Sledujeme-li šíření světelného paprsku v rovině (wx = ccosů, wy = csin-d, wz = 0 resp. w'x = ccosů', Wy = csinů', w'z = 0), dostaneme vztah (aberace světla) A v2 sin ů = -i——^— sin ů'. (188) 1 + ^ cos v' Pro «/c< 1 položíme ů = ů' — Aů a porovnáním nejnižšího členu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uváděný vztah Atf=-sintf'. (189) 27 10.4 Čtyřvektory, čtyřtenzory Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metrický tenzor v Minkowskiho prostoru a jednotkový tenzor jsou 9ik = ŕ = ( 1 0 0 0 \ 0-100 0 0-10 V o o o -i y 6? = ( 1 0 0 o \ 0 10 0 0 0 10 V o o o i / (190) gik se nazývá kovariantní metrika, inversní metrika glk se nazývá kontravariantní. Dále definujeme kontravariantní a kovariantní úplně antisymetrický tenzor 4. řádu je definován pomocí vztahů Aklm /,0123 1), tihlm (^0123 — — !)■ (191) Čtyřvektor souřadnic události (kontravariantní a kovariantní) zapisujeme jako xl = (x°, x1, x2, x3) = (ct, x), Xi = (xo,xi,X2,X3) = (ct,—x). (192) Metrika nám udává invariantní prostoročasovou „délku" vektoru xl s2 = gik xi xk = gik Xi xk = xixi = c2t2 - (x2 + y2 + z2). (193) Přitom platí Xi = gikxk, é = gikxk (194) (zvednutí a spuštění indexů = transformace mezi kontravariantními a kovariantními indexy). V čtyřrozměrném zápisu můžeme Lorentzovu transformaci (ve směru x) (185) psát ve tvaru x1 = A1 k x' s Lorentzovou maticí A\ = ( 7 17 0 0 \ ^7 7 0 0 0 0 10 V o 001/ kde 7 je běžné zkrácení 7 := (195) (196) (197) 10.5 Čtyřrychlost a čtyřzrychlení Definujeme čtyřvektor rychlosti přirozeným způsobem jako derivaci čtyřvektoru událostí, ze kterých se skládá světočára (čtyřrozměrná trajektorie) tělesa, podle parametru s (= c krát vlastní čas) u = dxl "ď7 u = 28 u1 m = 1. (198) ul je tedy tečným vektorem světočáry. Obdobně čtyřvektor zrychlení dul d2xl . . a=-T = -TY, ulai = 0. 199 ds ds2 Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V souřadné soustavě, kde rychlost částice je momentálně nulová (v = 0), máme t4 = (1,0,0,0), ďK= (0,^,0,0), (200) kde a je obyčejné zrychlení. V souřadné soustavě pohybující se rychlostí v ve směru x je rychlost a zrychlení ul = I —i^=, , ,0,0 , ď = —c3dŕ 9,-- o,0 Po malé úpravě (z rovnosti ) dostáváme d (201) dí (202) S počátečními podmínkami v0 = 0, x0 = 0 dostáváme řešení pro konstantní zrychlení a at c2 / r fat\2 v=f7W' x-{r+^)-1)- <203) 10.6 Relativistický impuls Jak v klasické mechanice, tak existuje i ve speciální teorii relativity princip nejmenšího účinku. Jako invariantní a jednoduchý účinek bodové částice se nabízí integrál vlastního času podél světočáry. Abychom v nerelativistické limitě dostali pro účinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úměrnost zvolit rovnu —mc, tedy S = —mc J ds = —mc2 J y 1--- dí. (204) Lagrangeova funkce a impuls jsou 9 /. v2 _ dL mv /„„„n L = -mc2Jl--, p= — = ^==. (205) c2' ľ dv S volbou faktoru —mc dostaneme v přiblížení v (206) 29 tedy nerelativistickou Lagrangovu funkci volné částice minus konstantu mc2, která je bez významu pro pohybové rovnice klasické mechaniky. Hamiltonova funkce je pak o _ 777 i /- H = p-v-L= . = Jp2c2 + m2é; (207) v prípade v p) = mcu\ plpi = m2c2 (209) a zavedeme čtyřvektor sily r=^=(-^,^^1 ^=0. (2io) 11 Náboj v elektromagnetickém poli 11.1 Pohybové rovnice Účinek nabité částice v elektromagnetickém poli je dán vzorcem S =-mc ľds-e ľAidx\ (211) J a J a kde jsme zavedli čtyřpotenciál Lagrangeova funkce a zobecněný impuls jsou (212) L = -mc2\ l-^ + eÄ-v-af), P= — = mV +eÄ = p + eÄ, (213) V c2 ov Ji _ «i hamiltonova funkce je o2 H = P-v-L= , + ecf) = Jm2é + c2{P - eA)2 + ecj). (214) Z vektorové analýzy budeme potřebovat identitu V (a-6) = (a- V)&+ (&• v)a + 6x (v x a) +a x (v x 6) . (215) 30 Je pak V L = eV(Ä-vj- eV(j) = e (v ■ v) Ä + ev x (v x Ä) - eV, dp dA dt Lagrangeova rovnice je tedy dí dt -j- = e(Ě + vxB) dt v ' kde jsme označili dA E = -V(j>- —, B = VxA. dt Ve čtyřrozměrné notaci je rb rb SS = —mc / Sds — eS Ai dxl. J a J a Variace elementu délky je Sds = 8\ gikdxldxk = —---= uk Sdxk, v ds variace vektorového potenciálu SAi = ^Sxk. OXK Použitím toho a integrací per partes dostaneme dxk rb í ßj{. ßj{. \ SS = J [mc 6xl dui + e-^3 6xl dxk - e-^ 6xk dxl j - (mcui + eAi) 6xl \ ° dxk Z toho vyplývají pohybové rovnice duj ds mc —r^ = e Fik uk s definicí tenzoru dA, dA, ik dxl dxk Prostorové složky pohybových rovnic popisují Lorentzovu sílu (217). 31 11.2 Tenzor elektromagnetického pole V minulém podkapitoli jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole ik ( 0 Ex Ey M^ \ f 0 _En Ey _Mí \ c c c c C c -Mí 0 -Bz By Ex 0 -Bz By c y pik = c y Ey c 0 -Bx Ey C Bz 0 -Bx \ -M*. c -By Bx o J \ Mí c -By Bx o / (225) Při Lorentzově transformaci se tenzor elektromagnetického pole transformuje podle vztahu Fik = AimAknF'mn. (226) Při Lorentzově transformaci ve směru x s maticí Alk (196) dostaneme následující transformační vztah tenzoru elektromagnetického pole pik I 0 F'01 F'10 0 7 (p™ + v pl2l\ 7 /pl2l _|_ v pl20^ 7 (F>02 _|_ v pH2\ 7 /^/03 _|_ v pll3\ \ 7 ř i?'12 _|_ u ^'02 \ 7 /^/13 + v pr03 0 FI32 Převedeno do vektorů intenzity a indukce platí EX = E'X, Ey = 7(E'y + vB'z), Ez = 7(E'z-vB'y), BX = B>, By = 1(B>y-^2E>z), Bz = 1(B>z + ^E>y). V nerelativistickém přiblížení (v/c —> 0) přechází (228) na Ě = Ě' - v x B' B = B'. p/23 0 (227) (228) (229) Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetrický, zúžení nedává nic a máme až kvadratické výrazy im kn zři zři 9 9 i'ik ťrr FikFik mv, ikmn c1 c1 t "ik "mn Fik *Fik mv. (230) Duální tenzor vyjádřený pomocí intenzity elektrického pole a indukce magnetického pole má tvar / 0 —Bx —By —Bz \ *Fi ik Bx By Bz 0 Ey c c Ei 0 Ex c c _Ey Ex 0 C c (231) 32 Invarianty mají pak vyjádření E2 *A „ E-B Fik Fik = -2 [ — - B2 ] , Fik *Fik = 4^-^. (232) 12 Synchrotronové záření 12.1 Liénardův-Wiechertův potenciál Počítáme potenciál pole, vytvářeného jedním nábojem, který se pohybuje po trajektorii x = x0(t), v čase t v bodě P(x, y, z). Potenciál je dán stavem pohybu částice v čase ť, pro který platí (doba potřebná pro šíření světelného signálu) c(í - ť) = R(ť) = \x - xo (ť) |. (233) V souřadné soustavě, ve které je částice v čase ť v klidu, máme právě Coulombův zákon ^•t) = ik»wy Ä(1J) = 0- <234) Podmínku (233) zapíšeme ve čtyřrozměrném (kovariantním) tvaru jako podmínku toho, že interval mezi událostmi „emise fotonu" (ct',xo(ť)) a „absorpce fotonu" (ct,x) leží na světelném kuželu, tedy pro rozdíl čtyřvektorů událostí Rk = (c(t — ť),x — x*o(ť)) platí RkRk = 0. (235) Pomocí tohoto nulového čtyřvektorů a jednotkového čtyřvektorů rychlosti částice ď = ( , 1 , , g V V=0(ť) = *Ě£<Žl, u'u, = l (236) se pokusíme zapsat čtyřvektor potenciálu pole tak, aby pro v = 0 (tj. pro čtyřvektor ul = (1,0)) přešel do tvaru (234). Z možných kombinací snadno nalezeme výsledek Ai=(+,Ä) = Ae (237) \c' y 4ire0cukRk v ; Pokud nevypisujeme explicitně argumenty, musíme mít na pamětí, že levé strany vztahů jsou uvažovány v čase t, pravé strany v čase ť. V trojrozměrném značení pak má (237) tvar ^=7^--7—~-^V' / . (238) 47tc0 Ä (1 - ^f) 4ttä(i_^) Výsledek (238) je přirozeně stejný jako (160) a (161). Při výpočtu polí E = -V(j)-—, B = VxA (239) 33 budeme potřebovat následující triky pro výpočet parciálních derivací: Derivováním vztahu (233) podle t dostáváme dR _ dRdť_ ~dt ~ ~dť~dt R-vdť í _ dť_\ dť__ 1 ~Ř~~dt~C\ ~ ~dt J ^ ~dt ~ i _ ŘÉ v ' 1 cR (240) Obdobně derivováním vztahu (233) podle x dostáváme ^t, i i> dR ^* , R ^* , R -cVť = VÄ(í') = — Vť + — => Vť =--t-=r- . cR(i-fř) (241) Výraz pro potenciály ve (239) pak budeme chápat jako funkce f(x,ť), a budeme počítat parciální derivace podle x při konstantním ť a podle ť při konstantním x. Porovnáváním diferenciálů d/ = v/ . dx + f d* = V/ ■ df + | ét = (v/ + | Vť) ■ df + || d* (242) přepíšeme (239) jako E = -V(f>(x, ť) - Vť - v ' ; ať - - ,s ^ , dÄ(x,ť) B = V x A(£, ť) + Vť x v ' ; 9ť 9r ať Pro intenzitu elektrického pole dostáváme pak E 47re0 (l-$)(n-f) Äx((n-J)x,j + zatímco pro indukci magnetického pole pole -> 1 _ -* eUn B = -ň x E = — C 4-7T (l - J) (v x n) ^ n x ((n - f) x «j) 3 ^ ^ 3 R2 (l - ^) cR (l - ^f) (243) (244) (245) Označili jsme jednotkový vektor ň = R/R a zrychlení w = dv/dť. Limitní případy pro v/c —> 0 jsou E en 4ire0R2 B e/j,0(v x ň) AkR? (246) 12.2 Intenzita záření Poyntingův vektor (energie, procházející jednotkovou plochou za jednotku času, dimenze [Jm~2s-1]) je Š = —Ě x B = eQcE2n (247) 34 a intenzitu záření (tj. energie, vyzařovanou za sekundu do elementu prostorového úhlu, [Watt]) spočteme tedy jako dl = lim Š-nR2dn. (248) Po dosazení z (247) a (244) 2(ň ■ w)(v ■ w) dl 167r2eoc3 c(l-^)5 ' (l-^)4 (l-?) + w (l - (n ■ wf -\4 díí. (249) Pro v/c —> 0 dostáváme s označením ň-w = w cos £ pro celkovou vyzařovanou intenzitu 1 = e2w2 /•27t /*7t / dW d£sin£(l-cos2£) = jo Jo e2 w2 167r2eoc3 Jo 6tt€oc3 V klidové soustavě částice je tedy (s označením / = dE/dť) dE e2w2 -* i dxJ . —,• du% ( w dí, dp = 0, «' = — =1,0, w% = — = 0,-07:eoc5 ds ds \ C / (250) (251) Relativisticky invariantní výraz (tj. diferenciál čtyřvektoru impulzu) vytvořený z čtyř-vektorů rychlosti a zrychlení, který v klidové soustavě přejde na výrazy ze vztahu (251), je pak 'E V" = l —,P dpi = _^d}ŕdutdxi = __^_d^r_áu,uiás c" J 67re0c ds ds 67re0c ds ds V laboratorní soustavě tedy máme pro celkovou vyzařovanou intenzitu výraz ,2 (252) =2 w' 6tT€oC3 (i - $y (253) Zde jsme potřebovali vyjádření čtyřvektoru rychlosti i zrychlení v laboratorní soustavě. Abychom nemuseli při výpočtu čtyřvektoru zrychlení užit obecné Lorentzovy transformace, vypočteme wl derivováním známého tvaru ul = (l/yjl — ^,v/ (c\Jl — ^j^j > potom w = v • w w + v(v-w) {<*(!-$)> (254) V homogenním magnetickém poli se nabitá částice pohybuje rychlostí v po kružnici poloměru R, její zrychlení w = v2/R je kolmé k rychlosti. Dosazením do vztahu (253) I = e2c í p x 4 67re0c3 jf2 (i _ viy 67re0-R2 \mcj 67re0-R2 \mc2 e2c (255) V posledním výrazu ve (255) jsme použili aproximace vysokých energií, kde pro kinetickou energii platí T = ^/p2c2 + m2c4 — mc2 ~ pc. Z tohoto výrazu je také zřejmé, že 35 synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovací hodnotu Rq ~ 0, 5 km můžeme psát 1« {RQ/Rf{T/mc2féVs-1. Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku rovnoběžné, dostáváme (ň ■ v = v cos d, rychlost podél osy z) pro úhlové rozložení záření výraz dl = e2w2 sm2ů 167r2e0c3^_^cos^y díl (256) Pro hodnoty v/c—¥l má úhlové rozložení velmi úzké, ale „dvouhrbé" maximum kolem •d = 0. Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku navzájem kolmé, dostáváme (ň ■ v = v cos d, n • w = w cos (p sin d, rychlost podél osy z a zrychlení podél osy x) pro úhlové rozložení dl e2w2 167r2e0c3 (l - sin2 ů cos2 (l- 2 COS 7?) (l- 2 COS 7?) díí. (257) 13 Maxwellovy rovnice v čtyřrozměrné formulaci 13.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity Definujeme čtyřvektor proudu (pro částici: náboj krát čtyřrychlost) dxl d_ dt Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem J pdV = j>j-ňdS. S pomocí GauBovy věty pak z (259) plyne /(v.J+f)M tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity (258) (259) (260) V • 7 + — = — = 0. J dt dxi (261) 13.2 Homogenní Maxwellovy rovnice Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu dFik | dFkl | dFu = Q dxl dxl dxk (262) 36 Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis duálního (pseudo)vektoru ^klmdFjrn = d*F* = Q 2 dxk dxk (263) Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon V -B = 0, V x E = - dB_ dt ' (264) 13.3 Nehomogenní Maxwellovy rovnice Čtyřrozměrný zápis nehomogenních Maxwellových rovnic, obsahujících hustotu náboje a proudu, je _ dFik dxk (265) Nultá komponenta je rovnice pro divergenci intenzity elektrického pole (GauBova věta elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci magnetického pole (Ampěreův zákon) V-E ^ X 1 dE (266) 13.4 Tensor energie-impulsu Z hustoty energie W = \ (e0Ě2 + —B2 2 V l*o ) z Poyntingova vektoru Š = —Ě x B a z Maxwellova tensoru napětí oaß = c0EaEß H--BaBß — WSaß (267) (268) (269) elektromagnetického pole (ve vakuu) můžeme sestavit čtyřrozměrný tensor energie-impulsu, ., ( W 1Sr \ Tlk= lo c ■ (270) \ "Ja —<^a/3 / Pomocí tensoru elektromagnetického pole dostáváme jednoduchý výraz Tik = — (-glmFilFkm + -aikFlmFlm A«o V 4 (271) 37 Tensor energie-impulsu soustavy částic zapíšeme pomocí analogie s tensorem energie-impulsu elektromagnetického pole. Hustotu impulsu soustavy částic napíšeme jako ira = pcua, ii = J2maS{3)(x-xa). (272) o Hustota impulsu je u elektromagnetického pole rovna hustotě toku energie dělené c2. Výraz (272) bude tedy analogicky roven T0a/c. Veličina \ic je nultou komponentou (stejně jako hustota náboje u čtyřvektoru proudu) čtyřvektoru toku hmoty \idxl jdt. Tensor energie-impulsu tak můžeme konečně psát jako Tik = i_ic^^ = pcu'u^, Tik = Tkim (273) Pro tensor energie-impulsu elektromagnetického pole dostaneme s využitím Maxwell-ových rovnic d OXK OXK výraz A :T$ =-Fik jk. (275) dxk Pro tensor energie-impulsu soustavy částic dostaneme s využitím pohybových rovnic pc^ = pFikuk^i,c?g = Fik Jk (276) a rovnice zachování hmotnosti (rovnice kontinuity pro čtyřvektor toku hmotnosti, podobně jako pro čtyřvektor proudu) <277) výraz Tik = Fikjk. (278) dxk Spojením (275) a (278) dostáváme zákon zachování d (Tf + TlPk) = 0. (279) dxk Pro tensor energie-impulsu platí (rovnost právě pro elektromagnetické pole) TÍ > 0. (280) 38 14 Elektromagnetické vlny 14.1 Vlnová rovnice Vezmeme homogenní pár Maxwellových rovnic (ve vakuu) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů = 0, Flk = g13 gkt ' 7 dxk ' \dxi dxl J ' .. d2Ak kI d2Ai 9lJ —:--9 -= 0. dxJ dxk dxk dxl Lorenzova kalibrační podmínka (119) nabývá formu čtyřdivergenci 8Ak (281) dxk a zjednoduší (281) na vlnovu rovnici 0 (282) kl 92 ^ ® dxk dxl ^' (283) Pomocí d'Alembertova operátoru □ =A-I^ (284) máme pak ve třírozměrném zápisu ^ + V-Í=0, □0 = 0, DA= 0. (285) c2 ot Vlnové rovnice, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwell-ovým rovnicím pro volné elektromagnetické pole. Konsistence kalibračních podmínek s rovnicemi pole se dokáže takto: 1) Zvolíme Lorenzovu kalibraci dkAk = 0 na počáteční nadploše t = 0. 2) Řešíme rovnici \Z\Ak = 0. 3) Protože Ak je řešení vlnové rovnice, platí — dkAk = I0 + V Ä = AAQ + V Ä = V (VÍ0 + ÄJ = -VĚ = 0. ^dkAk = 0 a -dkAk = 0 ot pro t = 0. 4) Když Ak je řešení vlnové rovnice, pak je dkAk také řešení: BdkAk = dkBAk = 0. 5) Z toho vyplývá, že dkAk = 0 všude. 39 14.2 Rovinná monochromatická vlna Řešení hledáme ve tvaru rovinné vlny, tedy konstantní čtyřvektor násobený komplexní jednotkou A* = Re{ď exp(i%xJ')}, h k{ = 0, h ď = 0. (286) Poslední vztah ve (286) je dán Lorenzovou kalibrační podmínkou. Čtyřvektor impulsu zapisujeme jako jfcť=^,jfc), £=7ľ"> n2 = l. (287) Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dop-plerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě K0. Soustava K0 se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí v. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla a. Potom platí k° - - k1 C >A c2 kl - C c2 1.0 _ ft "ft k0 _ w(0) . 0 _ w Ä(o) - r-rr ' Ä(o) - „ > K ~ „ > ; 1 " c " 7 1 w(0) ; 1 w krn\ = — k,n-, = —^ cosami, k = — cos a. c (288) a odtud c(o) - /, „a ' Ä(o) - ~ coso;(o) w = w(o) -i u (289) w 1 — £ cos a c Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme (v lv2 \ , , o; « cj(o) H— cos a + -— cos 2o; . (290) c 2c: Tensor energie-impulsu je r2 1 Tik = — Wk{kk, W =- uj2 2/iq ďa* + Re {ďdi exp (2ikj xj) }] . (291) Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (232) jsou rovny nule. Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme A1 = (0, A), A = ay cos(u;č — kx + a)ey + az sin(u;č — kx + a)ez, E = ujciy sin(u;č — kx + a)ey — ujciz cos(u;č — kx + a)ez, (292) B = kaz cos(u;č — kx + a)ey + kay sin(u;č — kx + a)ez. Eliptická polarizace takové vlny je vidět ze vztahu El +^ = 1> 7^ + 7^ = 1- (293) uj2a2 uj2a2 k2a2 k2a2 U 4. 4. 40 14.3 Rozklad elektrostatického pole bodového náboje Potenciál bodového náboje (Coulombův potenciál) vyhovuje rovnici Acf>(x) = —1-6^ (x). (294) Uvažujme Fourierovu transformaci /_* d3 k ľ ~* 4>^exp(ik • f) 4>£ = J cj)(x)exp(-ik ■ x)d3x. (295) Máme dvě vyjádření pro Fourierovu transformaci působení Laplaceova operátoru A(f)(x) = J-k2faexv(ik ■ x)-^^ (A^)^ = -k2(f) A(x) = -j-Jexp(ik ■ x)-^^ (A)n=-1. Porovnáním obou vyjádření dostáváme (296) 14.4 Vlastní kmity pole Uvažujme objem V uzavřený v krychli o hranách délky A, B, C a kalibraci (j) = 0, V • Ä = 0. Máme ^=E^exP(^-f)> k-Än = 0, Ä_z = Äl, (298) k přitom _ 2imx _ 2imy _ 2imz Kx — , ky — g , kz — , (zyyj kde nx, ny, nz jsou celá čísla. Fourierovy složky vyhovují rovnici ^ + ^ = 0. (300) Jsou-li rozměry A, B, C zvoleného objemu dostatečně velké, jsou sousední hodnoty kx, ky, kz velmi blízké a můžeme uvažovat o počtu možných stavů v intervalu hodnot vlnového vektoru ABC z7t z7t z7t (301) T Akx Akv Akz An = Anx Any Anz = V ■ (2yr)a 41 Pro pole dostaneme s potenciálem (298) dÄ dA~ - E = -— = -J2 -r^ exp(iA; • £), B = V x A = i^k x A^ exp(ik ■ x). (302) k k Celková energie pole je (303) Jednoduchou úpravou (využití kalibrační podmínky) přepíšeme výraz (303) na í = ^Efé-^+^ÄrÄlJ, <* = cfl. (304) Rozklad potenciálu (298) obsahuje jak stojaté, tak postupné vlny. Vhodnější pro interpretaci je rozklad potenciálu, který obsahuje jen postupné vlny Ä = y [ar;exp (i(h ■ x — u)ktJ^J + a| exp (—i (h • x — Wfcč))] . (305) k Porovnáním (305) a (298) dostáváme A^ = a^exp(-iujkt) + a^exp(iujkt). (306) Dosazení (306) do (304) umožňuje teď napsat energii pole jako * = E Eh h = IVe0 4 3g ■ q. (307) k Obdobně dostaneme pro impuls V = — Í(ĚxB) dV = J2y^. (308) fiQ J v ' Y k c Nakonec zavedeme kanonické proměnné Qk = VčoV (a^exp(-iujkt) + a| exp(iuktf) , P- = -itjj~y/eoy (agexp(-iujkt) - a| exp(iwfcč)) = dQ, dt (309) V těchto proměnných máme energii vyjádřenou jako energii souboru harmonických oscilátorů * = E*Í> Zk = l{PÍ + 4Ql)- (310) 42 15 Rozptyl záření volnými náboji 15.1 Thomsonův vzorec Zavedeme pojem účinného průřezu. Ať dl značí intenzitu záření, tj. střední hodnotu energie vyzařované soustavou za jednotku času do elementu prostorového úhlu dĺž a S je střední hodnota Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího záření. Potom je diferenciální účinný průřez (účinný průřez rozptylu do elementu prostorového úhlu drž) veličina rozměru elementu plochy da=f. (311) Uvažujme teď rozptyl elektromagnetické vlny jedním jednotkovým volným nábojem. Budeme předpokládat, že rychlost získaná nábojem bude malá a že vlnová délka je mnohem větší než amplituda vyvolaných kmitů náboje okolo původní polohy (kam umístíme počátek souřadnic), tedy můžeme psát d2x m- , eĚ0 cos (k • x — u)t + aj eĚ0 cos(u;č — a). (312) Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (148) ve směru ň a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny S = ce0 E2 cos2(uút- a) = -ce0E2, (314) takže pro diferenciální účinný průřez je da=(—^--] sin2<í?da (315) \4-KeQmc2J Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem 8vr f e2 \2 8 2 a=T(,w^j =rr- (316) kde re je klasický poloměr elektronu. 15.2 Modifikace Thomsonova vzorce Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy d2x dx 9 . e -» . + 7— + x = — E0 cos ut. (317) dí2 'dí u m 43 Pro dipólový moment p = ex odsud dostáváme e2 (lu2 — co2) cos cut + 'jlu sin cut ^ , . p =---oT^——0—5-m- (318) m (cúq — co2)2 + Celkový účinný průřez je v tomto případě 87T 2 uja fo-\n\ a= Y7"6 K2-o;2)2 + 72a;2- ( j 16 Index lomu Definujeme polarizovatelnost a (o;) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem E\oc a dipólovým momentem p. Vyjdeme z komplexního zápisu (317) d^áf Ó.ČC €■ —* 377 + 737 +w2£= — Eiocexp(-ia;í). (320) dt2 dt m Potom e2 1 p = e0a(uj) Eloc, a(u) =--5-:-(321) e0m — «7^ — ar Polarizace je pak P = Np. Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno Ěl0C = Ě, Ě]oc = Ě+-P, Ě\oc = Ě + -— P, (322) podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. (V případě štěrbiny napříč pole máme E\oc = j^D.) Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci Bloc = B-m, Bl0C = B, B1oc = B-\m. (323) Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát r = drk^ <324> a pro index lomu (za velmi častého předpokladu h(uj) = /iq) Na Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mosotti) n2-l , n Na. (326) n2 + 2 y J 44 Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy uúq = 0) a dále máme pro konstantu 7 (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny impulsu za dobu mezi srážkami) Ne2 j = aE, j = Nev• 7=-. (327) ma (vů je zprůměrovaná rychlost elektronů - drift.) Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu n2 = 1 - 9 ^ 9f , ul = —. (328) co2 + f p meQ K 1 ujv je tzv. plasmová frekvence. 45