Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu 

Vyšetřete následující nevlastní integrály: 

>	plot(1/(x^2+1), x=0..3, scaling=constrained);

 

>	f:=x->1/(x^2+1);

 

Najdeme vzorec pomocné funkce která je funkcí horní meze 

>	F:=unapply((int(f(x), x=0..c)),c);

 

a pak spočítáme její limitu pro  

>	Limit(F(c),c = infinity);

 

>

value(%);

 

Integrál tedy konverguje a platí 

>	Int(1/(x^2+1), x=0..infinity): %=value(%);

 

>	f:=x->ln(x);

 

>	plot(f(x), x=1..10);

 

>	Int(f(x), x=1..c):%=value(%);

 

>	Limit(rhs(%), c=infinity): %=value(%);

 

Integrál tedy diverguje. 

>	Int(f(x), x=1..infinity):%=value(%);

 

>	f:=x->sin(x);

 

>	plot(f(x), x=0.. 4*Pi, scaling=constrained);

 

>	Int(f(x), x=0..c): %=value(%);

 

>	Limit(rhs(%), c=infinity): %=value(%);

 

>	Int(f(x), x=0..infinity): %=value(%);

 

Integrál rovněž diverguje. 

Vyšetřete nevlastní integrál  

>	f:=x->exp(x);

 

>	plot(f(x), x=-5..0);

 

>	Int(f(x), x = c .. 0): % = value(%);

 

>	Limit(rhs(%), c = -infinity): % = value(%);

 

Integrál proto konverguje a platí 

>	Int(f(x), x = -infinity .. 0): % = value(%);

 

Nevlastní intergrál z neohraničené funkce 

Vyšetřete nevlastní integrál  

>	f:=x->x/sqrt(1-x^2);

 

>	plot(f(x), x=0..1);

 

Integrand je funkce spojitá na intervalu 〈0,1). V bodě není definovaná. Dále 

>	Limit(f(x), x=1, left): %=value(%);

 

Jedná se tedy skutečně o nevlastní integrál z neohraničené funkce. Nejprve proto vypočteme určitý integrál 

na intervalu 〈0,〉, 0 ≤ ≤ 1: 

>	Int(f(x), x=0..c): %=value(%);

 

>	normal(rationalize(%), expanded);

 

>	F:=unapply(rhs(%), c);

 

>	Limit(F(c), c=1, left): %=value(%);

 

Integrál je tedy konvergentní a platí 

>	Int(f(x), x=0..1): %=value(%);

 

Vyšetřete nevlastní integrál  

>	f:=x->1/x;

 

>	plot(f(x), x=0..2, y=0..8);

 

>	assume(c>0);

 

>	Int(f(x), x=c..2): %=value(%);

 

>	Limit(rhs(%), c=0, right): %=value(%);

 

Integrál je tedy divergentní. 

>

 

Zobecnění nevlastního integrálu 

Vypočtěte následující nevlastní integrály: 

>	f:=x->x^2/(x^6+1);

 

>	plot(f(x), x=-4..4);

 

Integrand je spojitý na celé reálné ose, takže stačí vložit jediný pomocný bod, který rozdělí -∞ a +∞. Vzhledem k symetrii (funkce je sudá, viz. obrázek) je vhodné zvolit nulu. 

>	Int(f(x), x=0..d): %=value(%);

 

>	Limit(rhs(%), d=infinity): %=value(%);

 

Vzhledem k symetrii musí být i integrál konvergentní a nabývat stejné hodnoty. 

Celkem tedy integrál konverguje a platí 

>	Int(f(x), x=-infinity..infinity): %=value(%);

 

>	f:=x->1/(sqrt(x)*(x+1));

 

>	plot(f(x), x=0..4, y=0..4);

 

Zvolíme jeden dělící bod, např. jedničku. Dostáváme dva nevlastní integrály, první z neohraničené funkce a druhý  

na neohraničeném intervalu.  

>	Int(f(x), x=0..1)+Int(f(x), x=1..infinity);

 

>	assume(c>0);

 

>	Int(f(x), x=c..1): %=value(%);

 

>	int(f(x), x);

 

>	f1:=unapply(%,x);

 

>	Limit(f1(1)-f1(c), c=0, right): %=value(%);

 

>	Limit(f1(c)-f1(1), c=+infinity):%=value(%);

 

Protože oba dílčí integrály konvergují, konverguje i náš integrál a platí 

>	Int(f(x), x=0..infinity)=Pi/2+Pi/2;

 

>