1. V projektivní rovině nad konečným tělesem ¥q o q prvcích je křivka určená rovnicí x5 + y5 + z5 = 0. Napište, pro která přirozená čísla q existuje těleso o q prvcích, a určete, pro která q je uvedená křivka singulární.
2. Pro každé přirozené číslo n určete, kolik bodů má eliptická křivka Sn určená Weier-strassovou rovnicí y1 = x3 + x nad tělesem o 7" prvcích.
(a) Navíc v případě n = 1 nalezněte též generátor eliptické křivky E\ (jde-li o cyklickou grupu), resp. systém nezávislých generátorů (není-li grupa cyklická), a všechny body eliptické křivky pomocí tohoto generátoru, resp. těchto generátorů, vyjádřete.
(b) Dále v případě n = 2 rozhodnete, zda eliptická křivka 82 je cyklická grupa nebo ne.
3. Popište okruh všech celých čísel v tělese <Q>(\/—6). Dokažte, že tento okruh není okruh s jednoznačným rozkladem. [Návod: nalezněte nějaké dva podstatně odlišné rozklady nějakého čísla na součin ireducibilních prvků.]
4. Sestrojte těleso o 27 prvcích a určete, kolik jeho prvků je takových, že (samotné) generují jeho multiplikativní grupu. Dále alespoň jeden takový prvek explicitně popište.
5. Nalezněte aspoň šest dobrých aproximací čísla y |.
6. Rozhodněte, zda číslo 2821 je Carmichaelovo.
7. Zformulujte větu, na níž je založen N — 1 test Poclingtona a Lehmera.