2. Diskrétní dynamické systémy
Hana Fitzová
Brno, 2006
Obsah
Vnitřní a vnější popis
Převod systému na stavový tvar
Hicksův příspěvek k teorii obchodních cyklů
Lineární systém a jeho stabilita
Samuelsonův model hospodářských cyklů
Simulace dynamických systémů
Pindyck-Rubinfeldův třírovnicový model
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.1/18
Diskrétní systémy
Jejich chování je definováno na diskrétní časové
množině T = {kT : k  Z}
k nazýváme krok
T je délka kroku
ze spojité funkce f(t) získáme diskrétní funkci g(k)
vzorkováním: f(t) = f(kT) = g(k)
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.2/18
Vnější popis systému
Běžně se k vnějšímu popisu diskrétních systémů
používá diferenční rovnice.
Výstup systému y(k) závisí na minulých výstupech
y(k - i), popř. na řídícím vektoru u(k - j) v minulých
obdobích.
(1)
y(k) = f(y(k - 1), . . . , y(k - ly), u(k - 1), . . . , u(k - lu))
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.3/18
Vnitřní (stavový) popis
zavedeme veličinu x, tzv. stav systému
současný stav x(k) a řízení u(k) jednoznačně určují
budoucí stavy x(k + 1), x(k + 2), . . . a výstupy y(k),
y(k + 1), . . .
deterministický dynamický systém ve stavovém tvaru
(stavová rovnice a rovnice výstupu nebo též měření)
x(t + 1) = f(x(t), u(t))
y(t) = g(x(t), u(t))
Stavový popis vždy existuje, není určen jednoznačně,
jeden z možných převodů je následující:
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.4/18
Věta
Položme
x(k) = (y(k)T
, . . . , y(k-ly+1)T
, u(k-1)T
, . . . , u(k-lu+1)T
)T
Pak systém (1) lze zapsat jako systém ve stavovém
tvaru.
Pro jednoduchost vynecháme v následujícím zápisu vektorů symbol T .
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.5/18
Důkaz (1)
Máme
y(t) = f(y(t - 1), . . . , y(t - ly), u(t - 1), . . . , u(t - lu))
Tedy
y(t + 1) = f(y(t), . . . , y(t - ly + 1), u(t), . . . , u(t - lu + 1))
Položíme
x(t) = (y(t), . . . , y(t - ly + 1), u(t - 1), . . . , u(t - lu + 1))
x(t + 1) = (y(t + 1), . . . , y(t - ly + 2), u(t), . . . , u(t - lu + 2))
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.6/18
Důkaz (2)
První složka vektoru x(t + 1) již svoji rovnici má, ostatní
složky jsou prvky vektoru x(t), máme tedy systém ve
stavovém tvaru x(t + 1) = f(x(t), u(t)); y(t) = g(x(t), u(t)).
y(t + 1) = f(x(t))
y(t) = x1(t)
y(t - 1) = x2(t)
...
u(t) = u(t)
u(t - 1) = xly
(t)
...
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.7/18
Příklad
Nalezněte stavový tvar systému:
yt = a1yt-1 + a2yt-2 + b1ut-1 + b2ut-2
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.8/18
Hicksův model
Převěd'te následující Hicksův model hospodářského
cyklu na stavový tvar:
Ct = (1 - s)Yt-1
It = A0(1 + g)t
+ v(Yt-1 - Yt-2)
Yt = Ct + It
Ct je spotřeba, s sklon k úsporám, Yt důchod, It investice
(autonomní + indukované), v akcelerátor.
Autonomní investice ztotožněte se vstupem ut-1.
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.9/18
Stochastický dynamický systém
Stochastický dynamický systém ve stavovém tvaru
x(t + 1) = f(x(t), u(t), v(t))
y(t) = g(x(t), u(t), w(t))
v(t)  Lnv
2 , w(t)  Lnw
2
E v(t) = 0, E w(t) = 0
v(t) . . . šum procesu
w(t) . . . šum výstupu
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.10/18
Lineární systém
Lineární stochastický dynamický systém ve stavovém
tvaru
x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + v(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t) + w(t)
A  Rnx×nx
, B  Rnx×nu
, C  Rny×nx
, D  Rny×nu
vt a wt jsou normální s nulovou střední hodnotou
EvtwT
t = 0
EvtvT
t = Q
EwtwT
t = R
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.11/18
Stabilita systému
Dynamický systém je stabilní  je-li pevný bod
systému přitahujícím pevným bodem.
Stochastický systém je stabilní  k němu příslušný
deterministický systém je stabilní.
Pracujeme-li s řízeným systémem, musí být vstup
konstantní.
Pevný bod lineárního systému:
x = Ax + Bu  xp = (I - A)-1
Bu
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.12/18
Věta
Lineární stochastický dynamický systém je stabilní,
právě když všechna vlastní čísla matice A leží
v jednotkovém kruhu.
Postup důkazu:
y(t) = x(t) - xp
y(t + 1) = Ay(t)
A = PDP-1  An = PDnP-1
diag(Dn) = (n
1 , . . . , n
nx
)  |i| < 1
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.13/18
Samuelsonův model hospodářských cyklů
Necht' Yt produkt, Ct je spotřeba, It investice,
1/(1 - c) multiplikátor, v akcelerátor, Gt vládní výdaje;
0 < c < 1, v > 0.
Yt = C(t) + I(t) + G(t)
Ct = cYt-1
It = v(Ct - Ct-1)
Gt = 1
Nalezněte řešení systému.
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.14/18
Simulace SDS
Mějme spojitý systém ve stavovém tvaru ˙x = f(x)
s počáteční podmínkou. Necht'
T = {tk : k  {1, . . . , N}, N  N} je tzv. časový horizont.
Simulovat systém na horizontu T znamená nalézt vzorky
trajektorie systému v časech tk.
Tedy hledáme posloupnost {x0, . . . , xn} stavů x takovou,
že xk = x(tk), kde funkce x(t) je řešením dané soustavy
diferenciálních rovnic.
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.15/18
Simulace DDS
Mějme řízený stochastický diskrétní systém ve stavovém
tvaru s aditivními šumy s počáteční podmínkou. Necht'
T = {1, . . . , N}, N  N je časový horizont.
Bud' {u(0), . . . , u(n)} známá posloupnost řídících vektorů
(trajektorie řízení) a {v(0), . . . , v(n)}, {w(0), . . . , w(n)}
posloupnosti realizací náhodných šumů v, w.
Simulovat systém na horizontu T znamená nalézt
trajektorii {x(0), . . . , x(n)} stavů x a trajektorii
{y(0), . . . , y(n)} výstupů y tak, aby platila stavová a
výstupní rovnice systému.
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.16/18
Pindyck-Rubinfeldův model I
Ct = c0 + c1Yt + c2Ct-1
It = i0 + i1Yt + i2(Yt-1 - Yt-2) + i3Rt-4
Rt = r0 + r1Yt + r2(Yt - Yt-1) + r3(Mt - Mt-1) + r4(Rt-1 + Rt-2)
Yt = Ct + It + Gt
C je spotřeba, I investice, R úroková míra, Y produkt, G
vládní spotřeba, M množství peněz.
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.17/18
Pindyck-Rubinfeldův model II
V Matlabu si vykreslete dostupná americká data
(soubor data.m) do obrázků a popište je.
Odhadněte jednotlivé rovnice výše uvedeného
Pindyck-Rubinfeldova modelu pomocí metody
nejmenších čtverců (funkce regress) s využitím dat
americké ekonomiky.
Převed'te model zadaný vnějším popisem na stavový
tvar.
Ověřte, zda je systém stabilní.
Proved'te simulaci systému a výsledky prezentujte
graficky.
2. Diskrétní dynamické systémy ­ p.18/18