Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 1 Poznámky k přednášce o grupách 1. Definice a příklady grup........................................................................................................... 2 1.1. Příklad 1: Cyklická grupa o čtyřech prvcích ......................................................................... 2 1.2. Příklad 2: Grupy matic ......................................................................................................... 3 1.3. Příklad 3: Grupa O(n)........................................................................................................... 3 1.4. Příklad 4: Grupa U(n)........................................................................................................... 4 1.5. Příklad 5: Cyklická grupa Cn ................................................................................................ 4 1.6. Příklad 6: Grupa permutací Sn a grupa symetrie pravidelného n-úhelníku Dn ........................ 5 2. Působení grupy ......................................................................................................................... 6 2.1. Působení grupy na množině.................................................................................................. 6 2.2. Působení grupy na sebe ........................................................................................................ 7 3. Generátory SU(3)...................................................................................................................... 7 4. Fundamentální reprezentace.................................................................................................... 9 5. Dimenze reprezentace SU(N).................................................................................................. 10 6. Přidružená reprezentace SU(3) .............................................................................................. 11 7. Součinové reprezentace SU(3)................................................................................................ 11 8. Mesonový oktet ....................................................................................................................... 13 9. Baryonový oktet...................................................................................................................... 14 10. Baryonový dekaplet .............................................................................................................. 14 11. Skládání spinů ­ grupa SU(2)............................................................................................... 16 12. Objemový element na grupě................................................................................................. 17 13. Charakter reprezentace........................................................................................................ 18 14. Lorentzova grupa a Diracova rovnice.................................................................................. 19 14.1. Lorentzova grupa ............................................................................................................. 19 14.2. Grupa SL(2,C).................................................................................................................. 20 14.3. Vlastnosti spinorů............................................................................................................. 21 14.4. Lorentzova transformace spinorů...................................................................................... 23 14.5. Vlnová rovnice pro částice se spinem 1/2 - Diracova rovnice ........................................... 24 14.6. Diracova rovnice v elektromagnetickém poli.................................................................... 25 14.7. Heisenbergův obraz.......................................................................................................... 26 14.8. Rovnice kontinuity. .......................................................................................................... 26 Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 2 1. Definice a příklady grup Podle knihy S. Sternberga Definice grupy: Grupa G je množina, na které je zadána binární operace násobení ( ), ,G G p q p q G× (1.1) která je asociativní a zaručuje existenci jednotkového a inversního prvku, tj. platí ( ) ( ) 1 1 1 , , , , , , , p q r p q r p q r G e G e p p e p p G p G p p p p e p G- - - = = = = = (1.2) 1.1. Příklad 1: Cyklická grupa o čtyřech prvcích (a) Aditivní grupa celých čísel modulo 4 ( 4 ). Prvky grupy jsou { } { } { } { } 0,4, 4,8, 8, , 1,5, 3,9, 7, , 2,6, 2,10, 6, , 3,7, 1,11, 5, . e a b c = - - = - - = - - = - - ... ... ... ... (1.3) (b) Reálné matice 2 2× s obvyklou operací násobení matic 1 0 0 1 , , 0 1 1 0 1 0 0 1 , . 0 1 1 0 e a b c - = = - = = - - (1.4) (c) Grupa rotační symetrie čtverce 4C , kde rotace (kladné hodnoty odpovídají otáčení proti směru hodinových ručiček) 3 0 , , , . 2 2 2 e a b c - (1.5) Grupovou operací je prosté složení transformací. Všechny tři příklady odpovídají jediné abstraktní grupě, cyklické grupě se čtyřmi prvky. Tabulka násobení je Tabulka 1 e a b c e e a b c a a b c e b b c e a Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 3 c c e a b 1.2. Příklad 2: Grupy matic S několika příklady jsme se již setkali. Grupovou operací je vždy obyčejné násobení matic. Takže máme například (a) Obecná reálná lineární grupa n proměnných ( ),GL n , tvořená maticemi Q dimenze n n× s reálnými prvky splňujícími podmínku det 0Q . (b) Speciální reálná lineární grupa n proměnných ( ),SL n , tvořená maticemi Q dimenze n n× s reálnými prvky splňujícími podmínku det 1Q= . (c) Obecná komplexní lineární grupa n proměnných ( ),GL n , tvořená maticemi Q dimenze n n× s komplexními prvky splňujícími podmínku det 0Q . (d) Speciální komplexní lineární grupa n proměnných ( ),SL n , tvořená maticemi Q dimenze n n× s komplexními prvky splňujícími podmínku det 1Q= . 1.3. Příklad 3: Grupa O(n) Grupa všech lineárních transformací Q n-rozměrného prostoru, které zachvávají eukleidovskou vzdálenost , .n Qv v v= (1.6) Zapsáno v ortonormální bázi ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . n n n n n n jii j j ik k j k T ik i j k j k i n n n nj kj k T j k jk T j k j k Q v Q v v v Q Q v v Q Q v v Q Q = = = = = = - = = = = = = = = (1.7) Matice Q musí tedy být ortogonální. Tvoří množina takových matic grupu? Asociativita je zaručena vlastnostmi násobení matic. Dále pro 1 2Q Q Q= platí ( ) ( ) 11 1 1 2 2 1 2 1 1 2 , T T T Q Q Q Q Q Q Q Q -- - = = = (1.8) tedy součin ortogonálních matic je opět ortogonální matice. Jednotková matice je identitou, inversní matice inversním prvkem grupy. Determinant matic z grupy je je roven 1 . Ortogonální matice s determinantem rovným jedné tvoří podgrupu SO(n). Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 4 1.4. Příklad 4: Grupa U(n) Ve vektorovém prostoru nad polem komplexních čísel máme standardní hermiteovský skalární součin ( ) 1 1 1 , , , . n T n n i n n u w u w u w u w u w u w = = = = = (1.9) Platí ( ) ( ) ( ), , . T T T T Au w Au w u A w u A w u A w+ + = = = = (1.10) Matice zachovávající skalární součin musí být unitární ( ) ( ) ( ) 1 , , , .Qu Q w u Q Q w u w Q Q+ + - = = = (1.11) Zcela stejně jako pro ortogonální matice ukazujeme, že unitární matice tvoří grupu U(n). Pro determinant máme ( ) ( ) ( ) ( ) 2 det det det det 1 .Q Q Q Q Q+ + = = = (1.12) Matice s determinantem rovným jedné tvoří podgrupu SU(n). Například matice grupy SU(2) mají tvar { } { } { } { } 2 2 exp 1 exp . 1 exp exp i i i i - - - - - (1.13) 1.5. Příklad 5: Cyklická grupa Cn Označme 2 exp .i n = (1.14) Potom tabulka násobení Tabulka 2 1 2 2n - 1n - 1 1 2 1n - 2 1n - 1 2 2 3 1 2n - 2n - 1n - 1 2 Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 5 1n - 1n - 1 3n - 2n - Příklad pro 4n= jsme už uvedli. Tabulky násobení pro 2n= a 3n= jsou Tabulka 3 1 1- 1 1 1- 1- 1- 1 Tabulka 4 1 1 2 3 2i- + 1 2 3 2i- - 1 1 1 2 3 2i- + 1 2 3 2i- - 1 2 3 2i- + 1 2 3 2i- + 1 2 3 2i- - 1 1 2 3 2i- - 1 2 3 2i- - 1 1 2 3 2i- + 1.6. Příklad 6: Grupa permutací Sn a grupa symetrie pravidelného n-úhelníku Dn Nejprve zjistěme počet prvků v dané grupě. Označme s permutaci množiny n prvků. Počítejme možnosti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 (1) 2 (2) 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 s s s s n s n s n n s n s n s n n s n n - - - - - (1.15) Zjevně obsahuje Sn !n prvků. Grupa symetrie pravidelného n-úhelníku Dn obsahuje n rotací (mezi nimi rotaci o nulový úhel, tedy jednotku grupy) a n překlopení podél os symetrie. Má tedy 2n prvků. Věnujme se trojúhelníku. Tady zahrnuje podgrupa 3D celou grupu 3S . Na obrázku je znázorněno působení 3D . Jak to odpovídá permutacím? Otočení o 0 je 123 123 , otočení o 2 3 je 123 231 a konečně otočení o 4 3 je 123 312 . Překlopení kolem osy procházející 3 je 123 213 , překlopení kolem osy procházející 1 je 123 132 a překlopení kolem osy procházející 2 je 123 321 . Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 6 Obrázek 1 2. Působení grupy 2.1. Působení grupy na množině Ať G je grupa a M množina. Působení grupy na množině je zobrazení ( ) ( ) ( ) , , , . G M a m a m M a bm ab m em m m M × = = (2.1) Příklady: působení grupy rotací SO(3) v trojrozměrném eukleidovském prostoru, grupy ( )2,SL v Minkovskiho prostoročase nebo působení 3S na množině vrcholů rovnostranného trojúhelníku. Orbita bodu m M při působení grupy G (orbitu značíme G m ) je podmnožina M tvořená body am, tj. { } .M G m a m a G = (2.2) Podmnožina grupy G, pozůstávající z prvků, pro které platí am m= se nazývá isotropní grupou bodu m a značí se mG . Grupové vlastnosti jsou splněny, neboť ( ) 1 , . am m em m a m m am m bm m ab m m - = = = = = = (2.3) Ať orbita obsahuje ( )G m prvků. Je-li n prvkem orbity bodu m, potom existuje prvek grupy a G takový, že a m n= . Pokud existuje ještě jiný prvek, pro který n bm= , je 1 ma b G- . To znamená, že pro každý prvek n existuje právě ( )mG prvků, zobrazujících m do n. Máme tak Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 7 ( ) ( ) ( ) .mG G m G= (2.4) Pro případ rovnostranného trojúhelníka je pro obecný bod isotropní grupou pouze identita, tedy ( ) ( )1, 6mG G n= = , pro vrcholy a středy stran tvoří isotropní grupu identita a překlopení kolem osy procházející daným bodem, tedy ( ) ( )2 , 3mG G n= = a nakonec pro střed trojúhelníka je isotropní grupou celá grupa 3S , tedy ( ) ( )6 , 1mG G n= = . Je-li celá množina M vyčerpána jedinou orbitou, mluvíme o transitivním působení grupy. 2.2. Působení grupy na sebe V případě, že množinou M je sama grupa G, je její působení dané levým násobením (tj. b ab ) transitivní. To vidíme z toho, že pro libovolné dva prvky b a c grupy existuje prvek 1 a cb- = takový, že 1 ab cb b c- = = . Dále je zřejmé, že isotropní grupa libovolného prvku pozůstává pouze z identity, neboť ab b a e= = . Bohatší strukturu dostaneme, působí-li grupa podobnostní transformací, tj. 1 b aba- . Je to grupová operace, neboť ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , . ac b ac acbc a a cbc a a aba a a aba a b - - - - - - - - - = = = = (2.5) Můžeme vytvářet třídy podobných prvků, b a c jsou podobné, existuje-li a takové, že 1 .aba c- = (2.6) Identita je třída s jediným prvkem, neboť 1 aea e- = pro libovolný prvek. Isotropní grupa prvku b obsahuje všechny prvky a, pro které 1 aba b- = . Je to identita a pokud je b od ní různý, pak také b a pokud je 1 b b- pak také 1 b- . Opět platí ( ) ( ) ( ) .bG G b G= (2.7) Jsou-li prvky grupy matice, je třída podobných matic tvořena maticemi B a C, existuje-li matice A taková, že 1 .AB A C- = (2.8) Matice mají stejné vlastní hodnoty a tedy stejnou stopu. 3. Generátory SU(3) K popisu generátorů transformace X z SU(3) potřebujeme hermiteovské matice aT , 1, ,8a= ... : Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 8 ( )exp .a aX i T= (3.1) Tyto matice jsou zobecněním matic i z SU(2), jejichž vložení do aT zvýrazníme tím, že místo některých nul budeme psát tečky: 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 . 0 . 1 0 . 1 1 1 1 0 . , 0 . , 0 1 . , 2 2 2 . . . . . . . . . 0 . 1 0 . . . . 1 1 1 . . . , . . . , . 0 1 , 2 2 2 1 . 0 . 0 . 1 0 . . . 1 0 0 1 1 . 0 , 0 1 0 2 2 3 . 0 0 0 2 i T T i T i T T T i T i T i - = = = - - = = = = - = - . (3.2) Matice aT jsou normovány tak, že platí ( ) 1 Tr 2 a b abT T = (3.3) a splňují komutační relace [ ], .a b abc cT T i f T= (3.4) Soupis strukturních konstant je 123 147 246 257 345 516 637 458 678 1 , 1 , 2 3 , 2 f f f f f f f f f = = = = = = = = = (3.5) další spočteme záměnou vzhledem k úplné antisymetrii indexů, tj. .abc bca cab bac acb cbaf f f f f f= = = - = - = - (3.6) Definujeme skalární součin a působení operátorů jako ( ) [ ]2Tr , , .a b a b a b a bT T T T T T T T+ (3.7) Než se budeme zabývat SU(3), vraťme se k SU(2). Obecně hodnost (počet komutujících generátorů) grupy SU(N) je 1N - , řád (počet generátorů) je 2 1N - . Pro SU(2) máme 1 2 3 0 1 0 1 1 01 1 , , . 1 0 1 0 0 12 2 2 i T T T - = = = - (3.8) Vlastní vektory operátoru 3T jsou (značeny vlastními hodnotami) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 9 1 01 1 , . 0 12 2 - (3.9) Hledejme teď další stav, pro který bude [ ]3 3 , .T T T T T T = = (3.10) Všimněme si, že T není hermiteovský, neboť [ ]( )3 3 3, , , .T T T T T T T + + + + = - = - (3.11) Existuje obecný postup pro výpočet , ale tady zvolíme přímý výpočet [ ] [ ] [ ]1 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , 0 01 0 02 2 0 1 1 , 1 , . 0 0 T a T a T T T a T T a T T i a T i a T a i a a i a a i a a ia a a i T = + = + = - - - = - - + = = = = (3.12) Potom je 1 2 0 0 1 , . 1 0 T T iT + = - = - = (3.13) Pro SU(3) to ovšem bude zajímavější. Máme teď dva komutující operátory [ ]3 8, 0T T = a příslušné vlastní stavy jsou 1 2 3 1 0 0 1 1 1 1 1 , 0 , , 1 , 0, 0 . 2 22 3 2 3 3 0 0 1 e e e = = = - = = - = (3.14) Rozdíly ve vahách jsou ( ) ( ) ( )1,0 , 1 2, 3 2 , 1 2, 3 2- a také totéž s opačnými znaménky. Příslušné operátory jsou ( ) 1 2 4 5 6 7 1 3 1 3 1,0 , , , , . 2 2 2 2 T T iT T T iT T T iT = = = (3.15) Na ose x je spin, na ose y hypernáboj. To hodně připomíná kvarky up, down a strange. 4. Fundamentální reprezentace V dalším vezměme tabulku této fundamentální reprezentace 3I Y 3 1 2 Q I Y= + kvark Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 10 1e ( )1,0,0 1 2 1 3 2 3 u 2e ( )0,1,0 1 2 - 1 3 1 3 - d 3e ( )0,0,1 0 2 3 - 1 3 - s a budeme konstruovat komplikovanější. Důležité je, že s pomocí tensorů a můžeme uvažovat pouze tensory s jen horními nebo jen dolními indexy. Tak tensor .Y Y Y = (4.1) Již jsme viděli, že stopa je invariant, musíme tedy jako ireducibilní reprezentaci brát pouze tensory s 0Y = . Jak se to projeví u ekvivalentního tensoru? Počítejme 1 1 0 . 2 2 Y Y Y Y = = = = (4.2) 5. Dimenze reprezentace SU(N) Teď chvíli obecně o SU(N). Některé skupiny indexů jsou symetrizovány, jiné antisymetrizovány. Tensor řádu n rozdělíme jako ( )1 2 1 1 , , , , , . N N i i i i n n n n n n n + = = ... (5.1) Pro dimenzi reprezentace platí vztah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 1 , , , 1 1 2 1 1! 1 1 2 2! . 1 1 1 ! N N N N N N D n n n n n n n n n N n n n n N n n N - = - + - + - + - - + - + - - + - ... (5.2) Platí zřejmě ( ) ( )1 2 1 2 1, , , , , , ,0 .N N N N N N ND n n n D n n n n n n-= - - -... ... (5.3) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 11 Několik příkladů. Pro SU(2) je ( )2 1 2 1 2, 1D n n n n= - + . Celkový spin je ( )1 2 2S n n= - . Dimenze takové reprezentace je 2 2 1D S= + , což souhlasí. Pro fundamentální reprezentaci ( ) ( ) ( ) 12 223 1 1,0, . 1! 2! 1 ! N NN D N N - = = - ......... (5.4) Stejnou dimenzi má sdružená reprezentace ( ) ( ) ( ) 12 112 2 1,1, ,1,0 . 1! 2! 1 ! N NN D N N - = = - ......... (5.5) Povšimněme si již zmiňované zvláštnosti u SU(2), kdy původní a sdružená reprezentace jsou ekvivalentní. Dimenze adjungované reprezentace je ( ) 2 2,1, 1ND N= -... , dimenze úplně symetrické reprezentace je ( ) 1 ,0, .N N n D n n + - = ... (5.6) 6. Přidružená reprezentace SU(3) Zpět k SU(3). Sdružená reprezentace k fundamentální má tabulku 3I Y 3 1 2 Q I Y= + antikvark 1 2 e e ( )1,1,0 0 2 3 1 3 s 1e 3e ( )1,0,1 1 2 1 3 - 1 3 d 2e 3e ( )0,1,1 1 2 - 1 3 - 2 3 - u 7. Součinové reprezentace SU(3) Přirozeně při vkládání jednotlivých fundamentálních representací musí indexy v řádku neklesat ve směru zleva doprava, ve sloupci růst ve směru shora dolů. Uvažujme teď součin Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 12 , . = = 3 3 6 3 (7.1) Připomeňme důležité identity 2 , . = = - (7.2) V tensorovém značení odpovídá (7.1) rozkladu ( ) ( )1 1 , 2 2 u v u v u v u v u v S A = + + - = + (7.3) kde ( )1 1 , . 2 2 S u v u v A u v = + = (7.4) Vezměme součin , . = = A3 3 8 1 (7.5) V tensorovém značení 1 1 1 , 0 . 3 3 3 u v u v u v u v T S T = - + = + = (7.6) Tento zápis vyjadřuje rozklad do dvou ireducibilních reprezentací, fyzikálně pak vázané stavy kvark ­ antikvark. Proč index A? V zápisu, kde budeme mít jen horní indexy (viz (4.1) a (4.2)) máme skutečně objekt antisymetrický v prvních dvou indexech , 0 .T T T T = = (7.7) Dále uvažujme součin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . = = = = = S A3 3 3 6 3 3 6 3 3 3 10 8 8 1 (7.8) Případ s 3 3 jsme již rozebrali. Reprezentaci 6 odpovídá symetrický tensor S . Budeme tedy mít ( ) ( ) 1 , , 3 1 0 , . 3 v vS w S T T S w T S S w S w S w = + + = = = + + (7.9) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 13 8. Mesonový oktet Máme (viz (7.6)) 1 . 3 T = - (8.1) Máme 1 u u 2 d d 3 s s T 3I Y 3 1 2 Q I Y= + 0P J - = u s 1 2 1 1 K+ d s 1 2 - 1 0 0 K u d 1 0 1 + d u 1- 0 1- - su 1 2 - 1- 1- K- s d 1 2 1- 0 0 K ( )2 1 3 3 uu d d s s- + 0 0 0 1 1T ( ) 2 1 3 3 d d uu s s- + 0 0 0 2 2T ( )2 1 3 3 s s uu d d- + 0 0 0 3 3T Poslední tři řádky nejsou přímo částice, platí podmínka nulové stopy. Triplet podgrupy SU(2) doplňuje stav ( ) 1 2 0 1 2 1 . 2 2 T T uu d d - = = - Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 14 K tomuto stavu je ortogonální ( )0 3 3 3 1 2 . 2 6 T uu d d s s = = + - Singlet představuje částice ( )/ 1 . 3 uu d d s s = + + 9. Baryonový oktet Jakkoli jsou v něm nejznámější částice, je oktet jednoduchý pouze co do obsahu kvarků. Pauliho princip však vyžaduje správné namíchání symetrické a antisymetrické části, tj. S8 a A8 , protože celkový spin tří kvarků je 1 2. Podstatně jednodušší je oproti tomu situace u dekapletu scelkovým spinem tří kvarků 3 2 . Uvedeme proto jen složení 3I Y 3 1 2 Q I Y= + 1 2 P J - = uu d 1 2 1 1 p u d d 1 2 - 1 0 n uu s 1 0 1 + d d s 1- 0 1- - d s s 1 2 - 1- 1- - u s s 1 2 1- 0 0 ( ) 1 2 u d d u s+ 0 0 0 0 ( ) 1 2 u d d u s- 0 0 0 0 10. Baryonový dekaplet Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 15 S 3I Y 3 1 2 Q I Y= + 3 2 P J - = uuu 3 2 1 2 ++ { }uu d 1 2 1 1 + { }u d d 1 2 - 1 0 0 d d d 3 2 - 1 1- - { }uu s 1 0 1 * Y + { }u d s 0 0 0 *0 Y { }d d s 1- 0 1- * Y - { }u s s 1 2 1- 0 *0 { }d s s 1 2 - 1- 1- *- s s s 0 2- 1- - Výraz ve složených závorkách reprezentuje úplnou symetrizaci, tj. { } ( ) { } ( ) 1 , 3 1 . 6 uu d uu d u d u d uu u d s u d s su d d su d u s s d u u s d = + + = + + + + + (10.1) Jak je ale možné, že fermiony mají symetrickou vlnovou funkci? Přirozeně že nemají ­ existuje ještě barevná grupa SU(3) a tam je dekaplet singletem ( ) 1 , . 6 R B RBY BRY BYR YBR YRB RYB Y - + - + - (10.2) Takže nakonec máme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . P P colour P flavour P spin P space P P barva P vůně P spin P prostor = = - - + + + (10.3) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 16 11. Skládání spinů ­ grupa SU(2) Ať teď fundamentální reprezentaci představuje spinový stav elektronu, tj. stav s 1 2s = . Jak se sečtou dva stavy? Máme opět ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 0 . = = D D D D (11.1) Pro komplikovanější situaci ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 2 0 = = D D D D (11.2) a ( ) ( ) ( )0 1 2 1 2 . = =D D D (11.3) Zkusíme vkládání částic: nejprve pro ( )1 D , tj. 1 1 , 1 2 , 2 2 . (11.4) Dostáváme triplet ( )1 1 1 12 2 2 2 1 , , . 2 + (11.5) Dále pro ( )0 D , tj. pro 1 , 2 (11.6) kdy dostáváme singlet ( )1 2 1 2 1 . 2 - (11.7) Pro sdruženou representaci ( )1 2 D 1 1 1 2 , 2 2 (11.8) dostáváme (například) dublet, pokud nejprve symetrizujeme ( )1 2 3 1 2 1 2 3 1 , . 2 + (11.9) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 17 12. Objemový element na grupě Hledáme (levo)invariantní n-formu, kde n je dimenze grupy 1 .n = ... (12.1) Jeden z postupů je najít n (levo)invariantní jedna forem. Mějme reprezentaci grupy na k resp. k . Matice A dimenze k k× reprezentuje prvek a grupy ( ) ( ), .i j i jA a d A da= = (12.2) Ať B je matice reprezentující pevně daný prvek grupy b. Potom máme * 1 .bL A B A- (12.3) Platí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1* 1 * 1 * 1 1 1 1 1 . b b bL A d A L A L d A B A d B A A B B d A A d A -- - - - - - - = = = = (12.4) Má tedy matice 1 A d A- jako prvky invariantní jedna formy. Příklad z SU(2): , 1 .A - = + = (12.5) Potom 1 1 , . d d A A d A d d d d d d A d A d d d d - + - - = = = - + - + = - + + (12.6) Vezmeme tři nezávislé formy a vytvoříme vnější součin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . d d d d d d d d d d d d d d d d + - + - + = - + - + = - - + (12.7) Diferencováním normovací podmínky dostaneme ( ) 0 1 , d d d d d d d d + + + = = - + + (12.8) a po dosazení do (12.7) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 18 ( ) 1 . d d d d d d d d d d - - + = + = (12.9) V polárních souřadnicích , , cos , sin cos , sin sin cos , sin sin sin u i v x iy u v x y = + = + = = = = (12.10) je 21 2sin sind d d d d d = - (12.11) což po normování dává výsledek (0 , 0 a 0 2 2 2 1 sin sin . 2 d d d = (12.12) Ponecháme-li jen úhel , máme po záměně 2 1 cos , 0 2 . 2 d - = (12.13) 13. Charakter reprezentace V diagonální reprezentaci { } { } exp . exp i j i j - (13.1) Charakter je pak ( ) { } ( ){ } { } { } ( ){ } { } 2 1 1 exp exp 1 exp 1 1 exp exp exp 2 1 1 2 2 exp 1 1exp 1 exp exp 2 2 1 sin 2 . 1 sin 2 jj j m j k i m i j i k i j i j i j i j i i i j + =- = = = - + = + - - + + - - = = - - - + (13.2) Platí Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 19 ( ) ( ) 2 0 1 cos . 2 k j jkd - = (13.3) 14. Lorentzova grupa a Diracova rovnice 14.1. Lorentzova grupa S obvyklým značením ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 i ik ct x G g , x x y z - = = = = - - (14.1) můžeme definovat skalární součin dvou čtyřrozměrných vektorů jako ( ), .T i k ikx y x G y g x y= = (14.2) Lorentzova transformace je lineární zobrazení, které zobrazuje prostoročas sám na sebe a které zachovává skalární součin / / .i i i k kx x x , x x x = = (14.3) Podmínka pro invarianci skalárního součinu je ( ) ( ) . T T T T T x G y x G y x G y G G = = = (14.4) Použijeme-li zápisu ve složkách, můžeme (14.4) přepsat na ( ) , . kT i l m k l m i k iki g g = = (14.5) Jsou-li a Lorentzovy transformace, jsou také 1- a Lorentzovy transformace, což snadno odvodíme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , . r s r sl m ik l m r s r si k i k r sl m r s l m ik lm i k r s l m i k r s i k g g g g g g g - - - - = = = = = (14.6) Lorentzovy transformace tvoří grupu. Grupa má čtyři podmnožiny, charakterizované signaturou determinantu a 0 0 , neboť ( ) ( ) ( ) 32 22 0 0 0 1 det 1 , 1 .j j = = - = (14.7) Speciální Lorentzova grupa je tvořena transformacemi s det 1 = a 0 0sgn 1 = . Máme Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 20 0 0 0 0 0 0 0 0 : det 1 , sgn 1 , , : det 1 , sgn 1 , , : det 1 , sgn 1 , , : det 1 , sgn 1 , . s st t L I L L I L L I L L I L + + + + + + - - - - + + - - - - = = = - = = = - = - = - (14.8) Speciální Lorentzova grupa obsahuje identickou transformaci, další podmnožiny jsou charakterizovány Is (prostorová inverse), It (časová inverse) a Ist (časoprostorová inverse), definovaných pomocí vztahů ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , , , . j j s s j j t t j j st st I x x I x x I x x I x x I x x I x x = = - = - = = - = - (14.9) Se speciální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matic druhého řádu s determinantem, rovným jedné, platí ( ) ( ) 23,1 2,SO SL C Z= . 14.2. Grupa SL(2,C). Čtyřvektoru x přiřadíme komplexní matici ^x vztahem 3 0 0 1 2 3 1 0 ^ ^ ^, , 0 1 0 1 0 1 0 ^ ^ ^, , , 1 0 0 0 1 i i i x x i i = = = - = = = - (14.10) takže 0 3 1 2 1 2 0 3 ^ . x x x i x x x i x x x + - = + - (14.11) Platí { }1 ^ ^ ^det , tr . 2 i i i ix x x x x= = (14.12) Každé dvojici matic { } ( )^ ^, 2,SL C - lze přiřadit Lorentzovu transformaci zobrazením / /^ ^^ ^ .x x x x + = = (14.13) Matici ^ lze zapsat jako součin hermiteovské matice a unitární matice ( ) 1^ ^ ^, exp exp . 2 2 i u u = (14.14) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 21 Důkaz: Zapišme ( )^ ^ ^exp u + = , potom 1 1^ ^ ^^ ^exp exp 1 2 2 1 ^^ ^exp exp . 2 2 u u i u + - - = - = (14.15) Jiný způsob zápisu ^ ^ ^exp exp 2 2 cosh sinh cos sin . 2 2 2 2 i n n n i n = - = - + (14.16) Protože pro Pauliho matice platí ( )( ) ( )^ ^ ^ ,a b a b i a b = + × (14.17) můžeme poslední vztah přepsat na ^ cosh cos sinh sin 2 2 2 2 ^sinh cos cosh sin sinh sin . 2 2 2 2 2 2 i n n n i n i n n = - + - + - × (14.18) 14.3. Vlastnosti spinorů Připomeňme Pauliho matice (pro úplnost dodejme jednotkovou matici) 0 1 0 0 1 0 1 0 , 0 1 1 0 0 0 1 x y z i , , . i - = = = = - (14.19) V trojrozměrném případě je operace inverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné soustavě, proto u tensorových veličin je 2 ^^ 1P = . U trojrozměrných spinorů mohou nastat (rotace o 0 a 2 nejsou ekvivalentní) dvě možnosti 2 2^ ^ ^ ^1 1 , 1 .P P P P i= = = - = (14.20) Ve čtyřrozměrném prostoru však prostorová inverse mění znaménko pouze tří ( ), ,x y z ze čtyř ( ), , ,ct x y z časoprostorových souřadnic a nekomutuje tedy s rotacemi souřadnic, které obsahují časovou osu. Speciálně pro Lorentzovu transformaci platí ( ) ( )^ ^ ^ ^ .P L V L V P= - (14.21) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 22 Při transformaci z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spinor jako /1 1 2 /2 1 2 , 1, . = + = + - = (14.22) Koeficienty , , a jsou funkcemi úhlů rotace čtyřrozměrné souřadné soustavy. Bilineární forma 1 22 1 - (14.23) je invariantem (částice se spinem nula, složená ze dvou částic se spinem 1/2). Je užitečné zavést matici, která umožňuje snižovat a zvedat indexy a tak využívat součtové konvence 0 1 0 1 , , , . 1 0 1 0 BAB A AB AB BA ABg g gg - = = = = - (14.24) Potom můžeme psát místo (14.23) . A A A A inv = - = (14.25) V nerelativistické teorii určuje 1 1* 2 2* + hustotu pravděpodobnosti, a je tedy skalární veličinou, proto musí být spinorová transformace (14.22) unitární ( * * , = =- ). V relativistické teorii je hustota pravděpodobnosti časupodobnou složkou čtyřvektoru a podmínka unitarity nevzniká. Proto musíme uvažovat ne jeden spinor, ale dvojici spinorů a , transformujících se podle komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy, podle (14.22) a podle /1 1 2 / 2 1 2* * * * * * * * , 1 ., = + = + - = (14.26) Komponenty spinoru, který se transformuje podle komplexně sdružené representace Lorentzovy grupy budeme značit tečkou nad velkým písmenem. Pro zvedání a snižování indexů platí i tady vztah (14.24). Působení operátoru prostorové inverse můžeme nyní zapsat jako (volíme representaci, kde 2^ 1P = - ) ^ ^A A A AP i , P i = = (14.27) neboli ^ ^ .AA AAP i , P i = - = - (14.28) Dvojice bispinorů ( ),A A a ( ),A A representuje mimo jiné skalární a vektorové veličiny. Pro skalární veličiny (skalár a pseudoskalár) je ^ ^ . A A A A A A A A , P , , P = + = = - = - (14.29) Pro vektorové veličiny Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 23 ^ ^ . A B A BA BB A A B A B A BA BB A A B , P , , P = + = = - = - (14.30) Vzhledem k relacím ( ) { } { }0 0 0 1 1 Tr Tr 2 2 A B a a , a , a = = + = = (14.31) odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru (s trojrozměrným polárním vektorem) a druhý případ čtyřrozměrnému pseudovektoru (s trojrozměrným axiálním vektorem) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0^ ^, , , , .P a a a a , P a a a a= - = - (14.32) 14.4. Lorentzova transformace spinorů Vztahů mezi bispinorem a čtyřvektorem i a využijeme pro nalezení konkrétního tvaru koeficientů transformace. Označme ( ) 1 11 12 1 2 2 21 22 / / / , . L , , , L , L , L L + + = = = = = = = (14.33) Pro infinitesimální transformaci píšeme /1 0 , . 0 1 L + = + = + + (14.34) Při infinitesimální Lorentzově transformaci máme jednak { } { } / 0 /0 0 0 Tr , 2 Tr 2 V a a a n V a n V a a a n V a n = - = - = - = - (14.35) a také { } ( ){ } { } ( ){ } / /0 0 1 1 Tr Tr , 2 2 1 1 Tr Tr . 2 2 a a a a + + = = + + = = + + (14.36) Porovnáním obou zápisů dostaneme . 2 V n + = = - (14.37) S využitím vztahu ( ) 2 1 0 0 1 n n = (14.38) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 24 můžeme psát pro konečné velikosti rychlosti ( ) 1 0 exp cosh sinh tanh . 0 12 2 2 L n n , V = - = - = (14.39) Při infinitesimální rotaci souřadnic v geometrickém prostoru máme pak ( ) ( ){ }/ /0 0 Tr , , 2 a a n a a n a a = - × = - × = (14.40) odkud . 2 i n + = - = (14.41) Pro konečné rotace potom ( ) 1 0 exp cos sin . 0 12 2 2 i L n i n = = + (14.42) 14.5. Vlnová rovnice pro částice se spinem 1/2 - Diracova rovnice Při známém vztahu mezi čtyřvektory a spinory můžeme operátoru čtyřimpulsu ^i p přiřadit operátorový spinor ^ AB p resp. ^AB p . Jediné vhodné relativisticky invariantní výrazy jsou pak ^ ^, ,AB A A B B A B p m p m = = (14.43) které se značením 1 1 2 2 , = = (14.44) můžeme přepsat na ( ) ( )0 0 0 0 ^ ^^ ^, .p p m p p m + = - = (14.45) Zavedení bispinorů a matic je posledním krokem při odvození obvyklého tvaru Diracovy rovnice. Se značením 00 0 0 0 , , , 0 0 - = = = (14.46) přejde (14.45) na ( )0 0 ^^ .p p m - = (14.47) Zcela kompaktní zápis dostaneme po zavedení matic ( )^ ^^ 0 .i ip , p mp - = (14.48) V souřadnicové representaci (na chvíli v SI jednotkách) Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 25 ( ) 0 2 ^ ^0 ^ ^ i i p mc , p i i i , x c t i H , H c mc , t i - = = = + = = + (14.49) kde matice a jsou dány vztahy 0 0 2 0 0 1 , 0 1 0 2 0 1i k k i i k i i , , , . = = = = - + = + = = (14.50) 14.6. Diracova rovnice v elektromagnetickém poli Se čtyřpotenciálem , , ,i iA A A A c c = = - (14.51) a záměnou (v komutačních relacích vystupuje zobecněný impulz) oproti volné částici i i ip p e A - (14.52) dostáváme Diracovu rovnici ve vnějším elektromagnetickém poli ( )^^ ,i i ip e A mc - = (14.53) kde i je čtyřvektor matic, které mají ve spinorové representaci tvar (jsou možné i jiné representace, získané unitárními transformacemi) ( )0 0 0 1 0 , , , 1 0 0 i - = = = (14.54) a je čtyřkomponentový bispinor. V souřadnicové representaci je ^ ^, , ,i i i p i i i p i i x c t c t = = = - (14.55) a Diracova rovnice má tvar ( )01 0 .i e i e A mc c t - + + - = (14.56) nebo po přepsání Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 26 ( )( )2^^ ^ ,i c p e A mc e t = - + + (14.57) kde jsme označili 0 , . = = (14.58) 14.7. Heisenbergův obraz. Připomeňme si vztah pro časovou změnu operátoru v Heisenbergově obraze ^ ^ ^ ^, . d i F F H F d t t = + (14.59) Zavedeme operátor mechanického impulzu ( )^ ^ ^ .p e A r = - (14.60) Výpočet komutátorů ^^ , ,H r c i = (14.61) a trochu komplikovaněji ( ) ( ) ( )^ ^^ , . e ec ec H p e A r A A i i i - = - + - (14.62) S využitím vztahu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A B = + + × × + × × = + × (14.63) dostaneme ( )^ ^^ , . e ec H p e A r B i i - = - + × (14.64) Tedy ^ ^ , . d r d c e ec B d t d t = = - + × (14.65) Charakter operátoru rychlosti dal vznik názvu Zitterbewegung. 14.8. Rovnice kontinuity. Diracovu rovnici 0 0i i mc c t + - = (14.66) komplexně sdružíme a s využitím vztahů ( ) 0 0i i + = , tedy Michal Lenc Poznámky ke grupám 24.6.2005 27 ( ) ( )0 0 , + + = = - (14.67) napíšeme jako 0 * 0 .i i mc c t - + - = (14.68) Rovnici (14.68) transponujeme na (diferenciální operátory působí doleva) 0 0i i mc c t + - + - = (14.69) a po zavedení Diracova sdružení 0 + = s využitím antikomutačních relací matic máme 0 0 .i i mc c t + + = (14.70) S použitím symbolů i ia a= můžeme (14.66) a (14.70) zapsat jako ( ) ( )^ ^0 , 0 .p mc p mc - = + = (14.71) Vynásobení první rovnice v (14.71) zleva a druhé rovnice zprava dává výrazy, jejichž sečtením dostáváme rovnici kontinuity 0 , . k k k k j j x = = (14.72) Časupodobná komponenta je 0 0 0j + = = > .