Ultimátum
Ve hře dvou hráčů první zvolí x ∈ [0, 1] a druhý buďto souhlasí nebo nesouhlasí.
V prvním případě první obdrží x a druhý 1 − x, ve druhém nikdo
nic.
Normální forma Nejprve musíme zajistit, aby volba strategií obou hráčů
probíhala nezávisle a ne v určeném pořadí. Lze např. předpokládat, že druhý
hráč si předem vytvoří „manuál“, podle kterého bude volit odpověď. Všechny
manuály lze interpretovat jako podmnožiny v [0, 1] obsahující právě ta x, se
kterými hráč souhlasí, nebo ekvivalentně jako jejich charakteristické funkce,
tj. f(x) = 1 právě když druhý hráč souhlasí s x. Množiny strategií tedy jsou
[0, 1], resp. {0, 1}[0,1]
a výherní funkce u1(x, f) = xf(x), resp. u2(x, f) =
(1 − x)f(x).
Dolní a horní hodnoty hry Druhý hráč může hrát strategii k0 ≡ 0 a
první hráč si nezaručí nic, ani kdyby to předem věděl. Tedy h+
1 = h−
1 =
0. Stejně tak druhý hráč nic nenadělá se strategií prvního hráče x = 0 a
dostáváme h+
2 = h−
2 = 0.
Rovnovážné situace Tvrdíme, že rovnovážné situace jsou právě dvojice
(x, f), kde x = max{y ∈ [0, 1] | f(y) = 1} a také situace (1, k0) a (1, χ{0}). V
prvním případě pro y > x máme f(y) = 0, tedy u1(x, f) = x ≥ 0 = u1(y, f).
Podobně druhý hráč volí mezi zisky 0 a 1 − x = u2(x, f), tedy víc získat
nemůže. Dvě zbývající rovnovážné situace poskytují oběma hráčům nulový
zisk. Je zřejmé, že individuální odbočení kteréhokoli z hráčů mu nepomůže.
Nyní dokážeme, že žádná další situace není rovnovážná. Pokud x < sup{y ∈
[0, 1] | f(y) = 1}, pak lze najít y > x takové, že f(y) = 1, a první hráč by
si volbou y polepšil. Pokud x < 1 a f(x) = 0, polepší si druhý hráč volbou
nějaké g(x) = 1 zisk z 0 na 1−x. Konečně, pro x = 1 a f = k0, χ{0}, f(1) = 0
existuje y > 0, kde f(y) = 1 a první hráč by si jeho volbou polepšil z 0 na
y.
Dominování strategií Pro druhého hráče máme f ≺ g právě tehdy když
f(x) ≤ g(x) pro všechna a f(x) < g(x) aspoň pro jedno x ∈ [0, 1). (Hodnota
funkcí v 1 není podstatná, protože u2(1, −) ≡ 0.) Nedominované strategie
tedy jsou k1 ≡ 1 a χ[0,1). Pro prvního hráče je 0 ≺ x pro libovolné x > 0
1
— skutečně u1(0, −) ≡ 0 zatímco např. u1(x, k1) = x > 0. Nenulové x, y se
nedominují — např. u1(x, χ{x}) = x > 0 = u1(x, χ{y}), zatímco u1(y, χ{x}) =
0 < y = u1(y, χ{y}). Všechna x > 0 jsou tedy nedominované strategie prvního
hráče.
Zamyšlení Dominování strategií druhého hráče naznačuje, že druhý hráč
by se měl spokojit s libovolným nenulovým ziskem. Tato zdánlivě racionální
úvaha však umožňuje prvnímu hráči bezuzdné vydírání.
Přestože má druhý hráč možnost veta, není vůči prvnímu v rovnocenném
postavení. Zajímavé však je, že oznámením svého úmyslu předem téměř přebírá
úlohu prvního hráče. První by se totiž rozhodoval zejména o tom, zda
volit x pro nějž f(x) = 1, či nikoliv. V kladném případě bude při racionální
volbě takové x volit co největší a prakticky bychom tedy mohli uvažovat o
téže hře s přehozenými úlohami hráčů.
Při převodu hry do normálního tvaru se možná dopouštíme určitého
zkreslení z psychologického hlediska — druhý hráč je v původní hře již konfrontován
s nevratnou nabídkou a může snáze podlehnout pokušení souhlasit,
přestože si volbou f předsevzal něco jiného. V praxi do rozhodování hráčů
vstupují další faktory — jaká je skutečná hodnota dělené částky (viz funkce
užitečnosti), zda se hraje jednokolově či opakovaně, atd.
2