41
Metody prostorové interpolace
1. Základní pojmy
Prostorová interpolace slouží k odhadu hodnot určitého jevu či jeho intenzity v libovolném
místě studované plochy, pro niž existují známé hodnoty tohoto jevu pouze v určitých
lokalitách (meteorologické stanice, výškově zaměřené body apod.) Metod tedy lze využít ke
konstrukci spojitých polí, k následné analýze prostorových dat ­ morfometrické a
hydrologické modelování, optimální lokalizace apod.)
Interpolace ­ skupina metod, které slouží k odhadu neznámých hodnot proměnné v jistých
bodech (neměřených) na základě hodnot proměnné v bodech měřených.
Prostorová interpolace ­ skupina metod, které slouží k vytváření spojitých povrchů (polí)
z bodových měření. Body mohou být lokalizovány v 1, 2 i 3 rozměrném prostoru. Interpolace
se může týkat nejenom bodů, ale i linií a ploch. V rámci interpolace je často řešen také
problém extrapolace ­ tedy odhad hodnot proměnné vně oblasti definované krajními body
měření. Naprostá většina interpolačních postupů je založena na principu prostorové
autokorelace ­ tedy na předpokladu, že hodnoty odhadované veličiny v lokalitách blízkých si
boudou více podobné než hodnoty v lokalitách vzdálených.
Výběr reprezentativních vzorků
Lokalizace měřených (odměrných) bodů v zájmovém území. Rozmístění (tzv. sampling) je
důležité pro výběr interpolačního algoritmu a úspěšnost vlastní interpolace.
Rozmístění
ˇ Pravidelné - může být zavádějící v případě zcela rovnoměrně rozmístěného jevu, který je
studován (stromy, ...)
ˇ Náhodné - ze statistického hlediska je korektnější. Má ale i zápory - problematická
lokalizace a zaměření jednotlivých míst než u pravidelně rozmístěných uzlů mřížky.
Náhodné a nerovnoměrné rozmístění nemusí vystihovat základní rysy v rozložení měřené
charakteristiky a může být i nákladnější.
Obr. 1 Možné způsoby rozmístění reprezentativních vzorků
42
Jistým kompromisem mezi pravidelným a náhodným rozmístěním může být rozmístění
stratifikované náhodné (stratified random). Shlukové uspořádání umožňuje studovat jev na
několika měřítkových úrovních. V řadě případů je z různých důvodů (např. ekonomických,
dostupnost, ...) prováděno měření pouze v omezené míře (profily ­ transepty). Ve velké části
interpolačních úloh je rozmístění měřených bodů předem dáno, bez možnosti ho výrazně
ovlivnit vhodnou lokalizací a výběrem (např. síť meteorologických stanic apod.)
Prezentace spojitých polí - grid, TIN, izočáry, areály
Možné datové zdroje pro interpolaci
ˇ bodová měření v terénu
ˇ digitalizované izolinie či polygony
ˇ stereopár leteckých fotografií či družicových obrazových záznamů
Předpoklady úspěšné prostorové interpolace
ˇ existence dostatečně reprezentativního vzorku měřených dat
ˇ vhodné vlastnosti měřené veličiny a typ dat (ordinální, intervalová, poměrová)
ˇ teoretické i empirické znalosti o povaze prostorové diferenciace studovaného jevu
ˇ znalost podstaty použitelných interpolačních metod
ˇ znalost způsobu výběru nejvhodnější metody
Běžné problémy interpolace:
ˇ vymezení studované plochy ­ přirozené a administrativní hranice
ˇ dostupnost bodů měření vně studované plochy
Průzkumová analýza dat (EDA ­ Exploratory Data Analysis)
ˇ ESDA ­ Exploratory Spatial Data Analysis
ˇ ESTDA ­ Exploratory Spatio ­ Temporal Data Analysis
Množina statistických metod a speciálních nástrojů, zvláště grafických metod, používaných
k lepšímu porozumění datům, k odhalení jejich důležitých vlastností. Jejím cílem je zjistit
základní informace o charakteru vstupních dat v tomto případě za účelem následné
interpolace. Postupy a nástroje ESDA jsou využívány i v obecné prostorové analýze dat
(studium prostorové autokorelace, pattern detectors).
EDA slouží k průzkumu, deskripci, vizualizaci, zvýrazňování základních rysů dat, jejich
distribuce (nejen ve smyslu prostorovém). Postupy EDA slouží k prověření požadavků
normality, stacionarity vstupních dat. K těmto účelům používá specifických nástrojů
(histogram, box plot, scatter plot, Q-Q graf). Deskriptivní metody používají jako měr úrovně
ne ,,průměry" ale mediánu, počítají momenty vyššího řádu (asymetrie a špičatosti). Postupy
EDA mohou vést k nutnosti úpravy či transformace původních dat. Úprava může spočívat
v odstranění trendu či odlehlých hodnot, transformace potom např. například v tzv. log-
transformaci. ESDA je nezbytným předstupněm úspěšné aplikace řady interpolačních postupů
(např. metod krigingu).
43
Nástroje EDA jsou často propojeny s vlastní mapou (ESRI, Usng ArcGIS Geostatistical
analyst).
Základní postupy průzkumové analýzy prostorových dat
ˇ výpočet základní popisné statistiky včetně momentů vyššího řádu (asymetrie a
špičatosti)
ˇ prověření požadavků normality a stacionarity
ˇ analýza rozdělení hodnot - analýza histogramu
ˇ analýza kvantilového grafu (Q-Q grafu)
ˇ zkoumání odlehlých hodnot a jejich případné odstranění
ˇ analýza trendu a jeho případné odstranění
ˇ případná transformace vstupních dat (log)
Základní nástroje ESDA
Popisná statistika a ,,mapped histogram" - propojení mapy a grafu
Význam základních měr studovaného atributu je stejný jako v případě ,,klasické" popisné
statistiky. Propojení histogramu s mapou dovoluje hodnotit polohu a prostorové uspořádání
typických resp. extrémních hodnot.
Voronoi map
Slouží k definování tzv. přirozených sousedů k vyšetřovanému bodu. Z vyšetřovaného bodu a
všech přirozených sousedů lze počítat lokální statistiku ­ od měr úrovně (prostá hodnota
44
atributu daného bodu) průměr, medián, směrodatná odchylka atributů polygonu daného bodu
a všech sousedů), shlukování až po míry entropie.
Entropie ­ je počítána z hodnot daného polygonu a všech polygonů sousedních. Nejprve jsou
všechny polygony roztříděny do pěti tříd.
-= ii pLogpEntropie _*
kde pi je poměr polygonů náležejících do dané třídy z celkového počtu polygonů
Minimální entropie ­ všechny buňky patří do stejné třídy
Maximální entropie ­ každá z buněk náleží k jiné třídě.
Kvantilové grafy - grafy zobrazující kvantity dvou rozdělení
Normální Q-Q graf ­ vynáší se odpovídající si hodnoty kvantilů (kumulativní četnosti)
vyšetřovaných dat a hodnoty kvantilů normálního rozdělení definovaného parametry
vstupních dat (kumulativní distribuční funkce). Slouží jako nástroj k posouzení normality
vstupních dat.
Obecný Q-Q graf ­ testuje se podobnost rozdělení dvou datových soborů, vynáší se
odpovídající si hodnoty kvantilů dvou různých datových souborů
45
Shodu v obou případech indikují v grafech body přimykající se k přímce.
Takováto data vyžadují transformaci. Základní typy transformací:
ˇ Box-Cox
ˇ Arcsine
ˇ Logaritmická
Analýza trendu ­ za účelem definování globálního trendu v datech, jeho odhalení a
eventuálního odstranění. Spočívá v projekci hodnot vyšetřovaných bodů do rovin xz a yz a
jejich proložení polynomem n-tého řádu.
Některé z metod interpolace vyžadují odstranění trendu a modelování takto upravených
(reziduálních) hodnot. Slouží jako nástroj k posouzení stacionarity vstupních dat.
Krabicové grafy (box plots) a detekce odlehlých či extrémních hodnot ­ odlehlé hodnoty
ve smyslu jejich polohy ­ odlehlé v porovnání s hodnotami okolními (local spatial outliers),
nemusejí být odlehlé absolutně (global outliers) Klasickými metodami bez zahrnutí
prostorového aspektu je lze těžko identifikovat ­ např. box plot). Mohou být chybou
potřebnou identifikovat a následně upravit či odstranit, ale i objektem studia.
46
Vykreslení množiny hodnot semivariance či covariance
Slouží k detekci míry prostorové autokorelace, k vystižení míry anizotropie a k odhlaení
odlehlých hodnot.
Semivariance (semivariogram) ­ empirický semivariogram jako graf míry nepodobnosti.
Slouží k vystižení míry prostorové autokorelace. V úlohách interpolace je tato veličina
důležitá pro objektivní definování velikosti a tvaru okolí vyšetřovaného bodu. Počítá se jako
polovina ze sumy čtverců rozdílů hodnot všech dvojic vyšetřovaných bodů vzdálených o
určitou hodnotu. Semivariance na ose y a vzdálenost na ose x. Každý bod v grafu představuje
dvojici bodů v analyzovaném prostoru nacházejících se v určité vzdálenosti (osa x).
Podobnost hodnot interpolované veličiny je vyjádřena semivariancí (osa y).
Hodnota empirické semivariance proměnné z pro dvojici bodů v poloze xi a xj:
( )2
)()(5,0 ji xzxz -
Hodnota empirické covariance
))()()(( zxzzxz ji --
Hodnota empirické crosscovariance
))()()(( ytyzxz ji --
Obecný model prostorové autokorelace: blízké body podobné, více vzdálené ­ méně podobné.
Uvedený graf umožňuje identifikovat body, které se výrazně odlišují od tohoto obecného
schématu. Zajímají nás především odchylky u bodů nacházejících se blízko sebe.
47
Z různých důvodů nemusí být hodnoty prostorové autokorelace obdobné s ohledem na
orientaci spojnice vyšetřovaných bodů. Vysoké hodnoty semivariance mohou být vázány na
body nacházející se vzájemně v určitém směru. To potom svědčí o tzv. anizotropii. Pro
interpolaci to znamená asymetricky definované okolí vyšetřovaného bodu.
Povrch semivariogramu ­ povrch tvořený četnostmi (bins) hodnot semivariogramu daného
směru a dané vzájemné vzdálenosti.
Directional influences - vzájemná orientace vyhledávaných bodů (search direction)
Detekce odlehlých hodnot (outliers) ­ globalních i lokálních
Základní nástroje: histogram
semivariogram/ covariance cloud
Voronoi map
48
Dekekce globální (vlevo) a lokální (vpravo) odlehlé hodnoty. Globální ­ vysoké hodnoty
semivariance bez ohledu na vzdálenost a navíce se budou v mapě spárovány s jedním bodem,
který právě obsahuje danou odlehlou hodnotu (viz. mapa). Všechny body semivariogramu se
rozdělí do dvou shluků (clouds). Globální extrém se projeví i v histogramu.
V případě lokálního extrému budou vysoké hodnoty semivariance vázány pouze na krátkou
vzdálenost (v grafu jsou nahoře vlevo).
Voronoi polygons (maps) ­ mohou prezentovat tzv. entropii jako míru nepodobnosti hodnot
mezi sousedními polygony. Vysoké hodnoty entropie indikují lokální extrém.
Vyšetřování tvaru okolí ­ izotropní a anizotropní povrch
Pro daný interval vzdálenosti (na ose x) a pro předem definovaný směr jsou vybrány
odpovídající dvojice bodů prezentované hodnotami semivariance. Tyto jsou na obr vlevo
všechny velmi podobné a malé. Na obrázku vpravo daleko více rozdílné. To indikuje, že
semivariance jako míra podobnosti závisí na směru, kterým je měřena ­ tzv. izotropní povrch.
Okolí bodu bude potřeba definovat jako asymetrické.
Obdobnými metodami a nástroji lze vyšetřovat prostorovou podobnost či nepodobnost dvou
proměnných (crosscovariance ­ viz. výše)
49
2. Rozdělení metod prostorové interpolace
A. Podle prostorových entit, na které jsou aplikovány:
Metody interpolace bodů, linií a ploch. Dále jsou charakterizovány především metody
prostorové interpolace bodů
B. Metody lokální a globální
Uvedené hledisko zohledňuje způsob, jakým daná metoda nakládá se vstupními daty
(měřenými vzorky). Globální interpolace ­ aplikují jednu funkci na všechny měřené body ve
studované ploše. Využívají princip průměrování, redukují vliv bodů s extrémními hodnotami.
Produkují hladké povrchy bez náhlých zlomů.
Globální metody využívají všech měřených bodů. Bývají používány k vystižení obecných
tendencí v měřených datech - trendů, jako předstupeň vlastní interpolace lokálními
interpolátory, které interpolují rezidua - zbytek po odečtení trendu. Do této skupiny lze zařadit
také klasifikační metody, které využívají všech dostupných informací k rozdělení studované
oblasti do regionů, ve kterých je potom hodnota interpolovaného jevu charakterizována
statistickými momenty (průměrem, rozptylem), určenými z měřených bodů v rámci každého
regionu.
Obr. Globální a lokální metody interpolace
V závislosti na tom, co představuje nezávisle proměnnou lze globální modely interpolace dělit
do dvou skupin. První skupinu tvoří modely, u nichž nezávisle proměnnou jsou pouze
souřadnice měřených bodů interpolovaného atributu. Tyto metody se označují jako analýza
trendu (trend surface analysis). Druhou skupinu globálních metod tvoří regresní modely.
50
Zkoumají vztahy mezi atributy, které jsou pro dané území známé či dají se snadno změřit a
atributem, jehož hodnoty jsou pro danou plochu interpolovány. Sestavený regresní model
může mít podobu jednoduché i vícenásobné regrese (např. sestavení pole teplot na základě
nadmořských výšek.
Lokální metody interpolace aplikují stejnou interpolační funkci opakovaně na malou část
měřených dat. Tato malá část vzorků představuje okolí interpolovaného bodu. Definování
okolí bodů (velikosti, tvaru) je podstatným problémem lokálních metod. Přes definici okolí
mohou lokální metody přecházet v globální. Lokální techniky lze definovat také jako postupy,
u kterých je nutné provést více než jeden běh algoritmu se vstupními daty. Příklady lokálních
interpolací: thiessenovy polygony, klouzavé průměry, kriging. Příklady globálních
interpolací: analýza trendu, fourierovy analýzy.
C. Metody exaktní a aproximující
Obr. Exaktní a aproximující metody interpolace
Metody exaktní interpolace ve výsledném povrchu zachovávají hodnoty v bodech měření.
Jsou vhodné v případech, kdy existuje vysoká pravděpodobnost, že měřené hodnoty jsou
správným nestranným odhadem měřené veličiny.
Aproximační metody nahrazují hodnoty v měřených bodech hodnotou vypočtenou, která se
více méně liší od hodnoty měřené a je výsledkem použitého algoritmu. Jsou vhodné
v případech, kdy existuje jistá míra nejistoty o naší schopnosti naměřit stejnou hodnotu
v případě opakovaného měření v tomtéž bodě.
Příklady exaktních interpolací: line threading, thiessenovy polygony, kriging. Příklady
aproximujících interpolací: Analýza trendu, klouzavé průměry a všechny druhy založené na
filtracích.
D. Metody spojité a zlomové (abrupt)
Kritériem dělení je spojitost interpolovaných hodnot. Spojité interpolátory produkují hladké
povrchy na rozdíl od zlomových (thiessenovy polygony, generování obalových zón ­
bufferu). I spojité metody interpolace lze omezit tzv. bariérami (srázy a zlomy při modelování
terénu, atmosférické fronty při modelování některých polí met. prvků).
51
E. Metody deterministické a stochastické
Deterministické metody lze využít v případech, kdy existuje dostatek informací o
prostorovém chování studovaného jevu, které dovolují ho popsat matematickou funkcí. Tyto
metody umožňují extrapolaci za hranice vymezené měřenými vzorky. Tato extrapolace je
však možná pouze za předpokladu, že máme na zřeteli fyzikální podstatu jevu (např. záporné
hodnoty atmosférických srážek apod.)
Stochastické modely ­ zahrnují koncept náhodnosti za předpokladu, že hodnoty
interpolovaného povrchu z daného měřeného vzorku jsou jen jednou z nekonečného množství
možných variant. Do skupiny těchto metod patří např. metody krigingu či analýza trendu.
Obr. Deterministické a stochastické metody interpolace