ZPRACOVÁNÍ A ANALÝZA BIOSIGNÁLŮ FREKVENČNÍ SPEKTRUM Frekvenční spektrum Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. Zvolna do Fourierovy analýzy th Fourierova analýza – snaha vyjádřit (rozložit, rozvinout) signál jako součet jednoduchých funkcí (harmonických signálů, složek). th počty těchto harmonických složek, jejich amplitudy, frekvence a fázové posuny charakterizují analyzovaný signál. th Fourierova řada th Fourierův integrál th Fourierovy řady mohou být vyjádřeny buď v trigonometrickém nebo komplexním tvaru. th zpracovávat můžeme spojité nebo diskrétní signály. Taylorův rozvoj TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y = sin(x) PRO x = 0 Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady th poznali jsme, že funkci je možné vyjádřit jako mocninou řadu n jinou možností je vyjádřit funkci jako trigonometrickou řadu (tj. jako součet harmonických signálů (funkcí)). n pomocí trigonometrických řad lze vyjádřit obsáhlejší třídu funkcí než mocninnými řadami. Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady Trigonometrická řada Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady th každou periodickou funkci f(t+kT) = f(t), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) a[n], b[n] vypočítají ze vztahů Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady Dirichletovy podmínky e Funkce musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu tj. ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY th uvedená trigonometrická řada s koeficienty určenými z výše uvedených vztahů se nazývá (trigonometrická) Fourierova řada (příslušná k funkci f). th Fourierova řada se zjednoduší, je-li funkce f lichá nebo sudá. ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Příklad 1: Rozviňme funkci f(x) = x ve Fourierovu řadu. Funkce f(x) je lichá, a proto a[n] = 0. Koeficienty b[n] spočítáme ze vztahu ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Koeficient b[n] je tedy ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Příklad 2: Rozviňme ve Fourierovu řadu funkci ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady th Zevšeobecnění pro funkce s periodou T. Fourierova řada (příslušná k funkci f) má tvar FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU th každou periodickou funkci s(t+kT)=s(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám*), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Pomocný výpočet: PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY th jednotkový skok (Heavisidova funkce) JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY th jednotkový impuls (Diracův impuls) δ(t) splňuje vztah FOURIEROVA TRANSFORMACE th zavádí spektrální popis jednorázových (aperiodických) signálů – můžeme jej získat z Fourierovy řady limitním prodloužením periody signálu T→YEN FOURIEROVA TRANSFORMACE th kmitočet základní harmonické složky Ω = 2p/T když T→YEN, pak Ω→dω→0 Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až v limitním případě je vzdálenost mezi spektrálními čarami nulová. Pro aperiodický signál budou spektrální čáry na sebe navazovat - nΩ→ω FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE Pro časovou funkci můžeme psát vztah FOURIEROVA TRANSFORMACE - VLASTNOSTI FOURIEROVA TRANSFORMACE - VLASTNOSTI PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU