1. Spojité dynamické systémy
Hana Fitzová
Brno, 2007
Obsah
Systém a jeho popis
Převod systému na systém prvního řádu
Ekonomické aplikace
Lotkův Volterrův model lovců a obětí
Walrasův model tržní rovnováhy
Model IS-LM
Neoklasický model růstu
1. Spojité dynamické systémy ­ p.1/1
Dynamický systém
Určitý časově neměnný vztah mezi okamžitými a
minulými nebo budoucími hodnotami daných veličin.
Přesněji:
1. Spojité dynamické systémy ­ p.2/1
Dynamický systém
Nechť S je separabilní metrický prostor a T  R.
Dynamický systém je pak množina transformací
 : T × T × S  S, které splňují:
a) Pro všechna t0, t1, t2  T, x  S platí
(t2, t0, x) = (t2, t1, (t1, t0, x))
b) Pro všechna t, t0  T a x  S a pro všechny
posloupnosti {tn}, {xn}, pro které platí tn  t a
xn  x platí (tn, t0, xn)  (t, t0, x).
1. Spojité dynamické systémy ­ p.3/1
Dynamický systém
množinu S nazýváme stavový prostor
libovolný bod x  S nazýváme stav systému
obraz (t, t0, x) představuje stav systému v čase t,
byl-li systém v čase t0 ve stavu x
1. Spojité dynamické systémy ­ p.4/1
Systémy
diskrétní × spojité
deterministické × stochastické
neřízené (uzavřené) × řízené (otevřené)
časově neměnné × časově proměnlivé
lineární × nelineární
1. Spojité dynamické systémy ­ p.5/1
Reprezentace systému
Omezíme se na případ S = Rn.
Budeme uvažovat reprezentaci systému pomocí
diferenciální rovnice.
Dynamický systém je obecně popsán systémem
obyčejných diferenciálních rovnic m-tého řádu ve
tvaru
x(m)
= f(x(m-1)
, . . . , ˙x, x)(1)
kde f : Rn  Rn je hladká funkce.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.6/1
Počáteční podmínky
Při splnění tzv. Cauchyho počáteční podmínky
x(0) = 0
˙x(0) = 1
  
x(m-1)
(0) = m-1
je řešením systému jednoznačně určená funkce
x : R  Rn.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.7/1
Věta
Existuje soustava ODR 1. řádu taková, že systém m-tého
řádu (1) je s touto soustavou ekvivalentní, tj. existuje
bijekce mezi množinami všech řešení obou soustav.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.8/1
Důkaz (1)
Položme y = (x, ˙x, . . . , x(m-1)) = (y0, y1, . . . , ym-1).
Zřejmě platí ˙y = ( ˙x, ¨x, . . . , x(m)).
Přitom
˙x = y1
¨x = y2
  
x(m-1)
= ym-1
x(m)
= f(y0, y1, . . . , ym-1)
1. Spojité dynamické systémy ­ p.9/1
Důkaz (2)
Počáteční podmínky můžeme přepsat jako
y0(0) = 0
y1(0) = 1
  
ym-1(0) = m-1
Tedy celkem zkráceně zapsáno:
˙y = F(y)
y(0) = 
1. Spojité dynamické systémy ­ p.10/1
Důkaz (3)
což je systém diferenciálních rovnic prvního řádu
s Cauchyho počáteční podmínkou.
Vztah mezi x a y je bijekce, takže oba systémy jsou
ekvivalentní.
Nadále se tedy budeme zabývat systémy prvního řádu
˙x = f(x)(2)
kde ˙x = dx1
dt , . . . , dxn
dt
T
a f je funkce f : Rn  Rn.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.11/1
Pojmy
Existuje-li bod x  S : t(x) = x, nazývá se pevný
bod systému.
Řešení x(t) soustavy ˙x = f(x) vyhovující počáteční
podmínce se říká trajektorie systému.
Trajektorie systému může konvergovat (monotónně
nebo periodicky; lokálně nebo globálně), pak
hovoříme o systému stabilním.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.12/1
1. Lotkův Volterrův model lovců a obětí
Populace kořistí x(t) roste přirozeným tempem a (tj.
˙x = ax). Jejich počet je snižován o cxy díky přítomnosti
dravců y(t), kteří loví v hejnech kořisti.
Současně s tím přirozeně populace dravců klesá
tempem b (tj. ˙y = -by), ale za přítomnosti obětí se tento
pokles snižuje o dxy. Za předpokladu a, b, c, d > 0 máme
tedy systém
˙x = ax - cxy
˙y = dxy - by
Nalezněte řešení systému.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.13/1
2. Walrasův model tržní rovnováhy
Nechť p je cena, D(p) poptávka, S(p) nabídka, E(p)
převis poptávky; k, , , ,  jsou konstanty (> 0), p0 je
počátek přizpůsobovacího procesu ceny v čase.
D(p) =  - p
S(p) = - + p
˙p = kE(p)
p(0) = p0
Nalezněte řešení systému.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.14/1
3. Model IS-LM
produkce ˙Y = h(D - S)
úroková míra ˙r = m(L - M)
poptávka po penězích L = kY
spotřeba C = cY
investice I = -ar
agregátní poptávka D = C + I
agregátní nabídka S = Y
0 < h, m, a; 0 < c < 1
Nalezněte řešení systému.
1. Spojité dynamické systémy ­ p.15/1
4. Neoklasický model růstu
Pracovní síla roste konstantním tempem: ˙L/L = n
Úspory S = sY , s  (0, 1), jsou zcela investovány do
kapitálu K
Investice I = ˙K + K,   (0, 1)
konstantní výnosy z rozsahu:
Y = F(K, L) = LF(K/L, 1)  Lf(k), kde k = K/L
Nalezněte řešení systému pro Cobb-Douglasovu
produkční funkci tvaru Y = KL1-;   (0, 1).
1. Spojité dynamické systémy ­ p.16/1