3. Optimální odhad stavů systému
obecná část
Hana Fitzová
Brno, 2008
Úvod
Řada systémů je zadána přímo svým vnitřním
popisem.
Pozorovateli je skryta přímá informace o hodnotách
stavových proměnných.
Měřící přístroje podávají informaci o stavu systému.
Úkol: jak z pozorovaných výstupů y určit co
nejpřesněji stavy x .
Problém je vyřešen pro lineární systém
s gaussovskými šumy (Kalmanův filtr).
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.1/1
Informace o stavech I
Mějme neznámý náhodný vektor X  Lnx
2 a vektor
naměřených dat z  Rnz
, který je realizací
náhodného vektoru Z  LnZ
2 .
Dále známe simultánní hustotu pravděpodobnosti
p(x, z).
Před měřením z je informace o X obsažena pouze
v hustotě p(x, z) a rozložení X udává tzv. apriorní
hustota
p0(x) = p(x, z)dz
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.2/1
Informace o stavech II
Po provedení měření z je informace obohacena a
rozložení X je dáno podmíněnou hustotou, tzv.
aposteriorní hustotou
p1(x) = p(x|z)
Tyto úvahy jsou jádrem tzv. bayessovského přístupu
k optimálnímu odhadu.
Jediným skutečným rozložením je rozložení apriorní,
avšak aposteriorní rozložení má některé výhodné
vlastnosti s ohledem na co nejpřesnější odhad
realizace vektoru X, ne hustoty vektoru X.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.3/1
Kriterium nejmenších čtverců
Přesnost odhadu (estimace) se nejčastěji měří
kriteriem nejmenších čtverců (least mean squares).
Střední kvadratická chyba
Buď E  Rnx
množina přípustných estimátorů
náhodného vektoru X. Pro každý přípustný estimátor
y  E zavedeme střední kvadratickou chybu vztahem
J(y) = E((X - y)T
(X - y))
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.4/1
Optimální estimátor I
Optimální estimátor
Estimátor ^X  E nazveme optimálním podle kriteria
nejmenších čtverců (optimální MS estimátor), pokud
platí
J( ^X) = min
yE
J(y)
Optimální apriorní estimátor
Střední hodnota EX je optimálním estimátorem na
množině všech apriorních estimátorů.
Při označení ~X = X - ^X platí E( ~X) = 0 (odhad je
nestranný) a D( ~X) = D(X).
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.5/1
Optimální estimátor II
Optimální aposteriorní estimátor
Podmíněná střední hodnota E(X|z) je optimálním
estimátorem na množině všech aposteriorních
estimátorů.
Opět při označení ~X = X - ^X platí E( ~X) = 0 (odhad
je nestranný) a D( ~X) = D(X|Z).
Jsou-li vektory X a Z nezávislé, pak
p(x, z) = p(x)p(z) a tedy i E(X|z) = E(X). Tedy při
nezávislosti apriorní a aposteriorní estimátor splývají.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.6/1
Podmíněné normální rozdělení
Nechť
X
Z
 N
x
z
,
x xz
zx z
Pak aposteriorní náhodná veličina X|z má normální
rozložení se střední hodnotou E(X|z) a varianční maticí
D(X|z), kde
E(X|z) = x + xz-1
z (z - z)
D(X|z) = x - xz-1
z zx
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.7/1
Lineární MS estimátor I
Optimální MS estimátor na přípustné množině lineárních
estimátorů
E = {y = Az + b : A  Rnx×nz
, b  Rnx
}
je estimátor
^XLMS = x + xz-1
z (z - z)
kde x = EX, z = EZ, xz = C(X, Z), z = DZ.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.8/1
Lineární MS estimátor II
Lineární MS estimátor ^XLMS je nestranný.
Je-li vektor (XT , ZT )T rozložen normálně, pak
estimátory ^XMS a ^XLMS splývají.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.9/1
Příklad
Náhodná veličina X má rozložení X  Rs(0, 1). Tuto
veličinu měříme pomocí náhodné veličiny Z. Vztah mezi
veličinami je následující:
Z = ln
1
X
+ V
kde V  Ex(1), p(v) = pV (x) je šum měření.
Vypočtěte optimální lineární MS estimátor veličiny X.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.10/1
Odhad stavů dynamického systému
Mějme diskrétní dynamický systém
xt+1 = f(xt, ut, vt)(1)
yt = g(xt, ut, wt)(2)
s počátečním rozložením p(x0).
Budeme konstruovat optimální odhady stavů
x0, x1, . . . , xn rekurentním způsobem.
Pro odhad stavů máme k dispozici jen časové řady
vstupů a výstupů.
Aktuální stav xt se vypočte na základě minulého
stavu xt-1 a nových dat ut a yt.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.11/1
Odhad stavů DS (II)
Rozložení šumu vt pokládáme za známé, je tedy
rovnicí (1) jednoznačně určena podmíněná hustota
pravděpodobnosti p(xt+1|xt, ut).
Rovnicí (2) je určena podmíněná hustota
pravděpodobnosti p(yt|xt, ut).
Označíme
Dt = {u0, y0, . . . , ut, yt}(3)
data dostupná do času t.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.12/1
Odhad stavů DS (III)
Obě rovnice (1) a (2) jsou na minulých datech
nezávislé, lze tedy psát
p(xt+1|xt, ut, Dt-1) = p(xt+1|xt, ut)(4)
p(yt|xt, ut, Dt-1) = p(yt|xt, ut)(5)
Tj. stav xt obsahuje veškerou informaci obsaženou
v datech Dt-1 potřebnou pro predikci výstupu yt.
Dále řízení ut neovlivňuje přímo stav xt (přirozené
podmínky řízení), což lze zapsat jako:
p(xt|Dt-1, ut) = p(xt|Dt-1)(6)
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.13/1
Odhad stavů DS (IV)
Jsme v čase t, máme k dispozici data Dt-1, chceme
odhadnout hodnotu xt.
Nejlépe ji aproximuje podmíněná hustota p(xt|Dt-1),
tzv. apriorní hustota.
Předpokládáme, že apriorní hustota je známá
funkce. Po doplnění dat hodnotami ut, yt máme
k dispozici data Dt, díky nimž můžeme aktualizovat
odhad stavu xt.
Hledáme tedy novou podmíněnou hustotu p(xt|Dt),
což je tzv. aposteriorní hustota.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.14/1
Věta (aposteriorní hustota)
Aposteriorní hustota p(xt|Dt) je dána vztahem
p(xt|Dt) =
p(yt|xt, ut)
p(yt|ut, Dt-1)
p(xt|Dt-1)
Důkaz plyne z Bayessova řetězového pravidla o
podmíněných hustotách.
Přechod od apriorní hustoty k hustotě aposteriorní se
nazývá datový krok.
Pro rekurentní výpočty je třeba ještě odvodit přechod
obrácený ­ tzv. predikční krok.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.15/1
Věta (predikční krok)
Predikční krok odhadu stavu je dán vztahem
p(xt+1|Dt) = p(xt+1|xt, ut)p(xt|Dt)dxt
Důkaz plyne z řetězového pravidla, z rovnice (4) a
dokončí se marginalizací rozdělení xt+1 podle xt.
Posledním krokem je zahájení rekurze. Je třeba znát
počáteční hustotu
p(x0|D-1) = p(x0)
která je předem známa nebo se určuje zkusmo.
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.16/1
Spojení kroků
Datový a predikční krok lze spojit do jednoho, ale
ztratíme tím aposteriorní hustoty, které jsou obecně
lepší než hustoty apriorní.
p(xt+1|Dt) =
p(xt+1|xt, ut)p(yt|xt, ut)
p(yt|ut, Dt-1)
p(xt|Dt-1)dxt =
=
p(xt+1, yt|ut, Dt-1)
p(yt|ut, Dt-1)
3. Optimální odhad stavů systémuobecná část ­ p.17/1