Elektrodynamika a teorie relativity (2007/2008)
I. Úvod: elektrodynamika v kontextu moderní fyziky a stručný přehled.
1. Pro stanovení elektromagnetických sil v rovnicích klasické fyziky nestačí Coulom-bův zákon, Lorentzova síla, pojem pole, svébytnost pole.
2.  K předmětu elektrodynamiky:
{p, J} -»■ {E, B}, {E, B> -»■ {P, J}, dynamika pole.
3.  Přehled Maxwellových rovnic (MR): cirkulace pole, tok pole; Coulombův zákon a Gaussův z. a příslušné dif. rovnice; Biotův a Savartův z. a Amperův z. a příslušné dif. rovnice; Faradayův z. a odpovídající MR; Maxwellovo doplnění A. z. a odpovídající MR.
4.  MR nejsou konsistentní s Galileiho transformací, cesta ke STR.
5.  Zmínka o roli polí v kvantové teorii a přehled oblastí, kde jsou rovnice elektrodynamiky používány.
II. Elektrostatika
1.  Coulombův zákon. Pole bodového náboje, soustavy nábojů, spojitého rozdělení náboje, přechod mezi diskrétním a spojitým rozdělením s využitím Diracovy delta funkce.
2.  Odvození G. z. a aplikace (bod, válec, rovina, koule).
3.  Odvození MR VE = p/e0.
4.  C. zákon —► konzervativnost pole, / E dl = 0, V x E = 0.
5.  Příklad: vymizení pole uvnitř kovové dutiny. Při této příležitosti vysvětleno, co na této úrovni rozumíme kovem, a naznačeno, jak je to s kovy ve skutečnosti.
6.  Potenciál pole, Poissonova a Laplaceova rovnice.
7.  Formule pro řešení úloh s okrajovou podmínkou vyplývající z Greenových identit a problematika jednoznačnosti, potenciál pro lokalizované rozdělení nábojové hustoty.
8.  Tři výrazy pro energii v elektrostatice: 1. obsahuje jen p, 2. obsahuje p a </?, 3. obsahuje jen E.
9.  Přehled metod řešení elektrostatických problémů. (a) Dáno rozložení náboje.
(a)  Přímá integrace (ß) Gaussova věta
(7) Poissonova rovnice
Příklad: stanovení pole drátu s lineární hustotou náboje r postupy (a), (ß) a (7).
(b)  Dány okrajové podmínky. (a) Zrcadlové náboje.
(ß) Řešení s využitím ortogonálních systémů funkcí.
10.  Ortogonální systémy. Definice a základní vlastnosti, hlavní myšlenka metod řešení: rozvoj a stanovení koeficientů.
1
11.  Příklad: stanovení potenciálu pro okrajové podmínky na stranách obdélníka (Jackson - 2.10).
12. Příklad: stanovení potenciálu pro okrajové podmínky na kulové ploše. Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích, separace proměnných, Legendreovy polynomy, přidružené Legendreovy polynomy, obecný tvar řešení, určení koeficientů (Jackson
- 3.3 a 2.7).
13.  Multipólový rozvoj potenciálu lokalizovaného rozdělení náboje. Monopolový, dipólový a kvadrupólový člen, dipólový a kvadrupólový moment. Multipólový rozvoj energie lokalizovaného rozdělení náboje ve vnějším poli, energie dipólu a síla působící na dipól.
14. Dielektrika. Dipólové momenty v materiálech a elementární zavedení polarizace. Mikroskopické a makroskopické rovnice elektrostatiky, rozklad makroskopické hustoty na hustotu volného náboje, hustotu náboje molekul (s náboji „sedícími v těžišti") a hustotu polarizačního náboje, přitom zavedena polarizace, výsledný tvar MR, indukce pole. Rovnice elektrostatiky pro dielektrika s materiálovým vztahem D = e0erE, jejich řešení, okrajové podmínky pro rozhraní mezi dielektriky. Lokální pole.
III. Magnetostatika.
1.  Vymezení okruhu problémů: velký počet nábojů vytváří spojité a statické rozložení proudové hustoty, Vj = 0.
2.  Lorentzova síla, síla působící na element objemu a na úsek drátu.
3. Biotův a Savartův zákon. Pole drátu, soustavy drátů, spojitého rozložení proudové hustoty, přechod mezi drátem a spojitým rozdělením s využitím Diracovy delta funkce.
4.  Odvození rovnice VB = 0, odpovídající integrální rovnice.
5.  Odvození rovnice V x B = /x0j a Amperova zákona.
6.  Vektorový potenciál A pole, volnost ve výběru, diferenciální rovnice pro A, Poissonova rovnice pro složky v kartézských souřadnicích.
7.  Problematika jednoznačnosti řešení, analogie s elektrostatikou, vektorový potenciál pro lokalizované rozdělení proudové hustoty.
8.  Příklad: stanovení pole rovného drátu s využitím (a) přímé integrace, (ß) Amperova zákona a (7) Poissonovy rovnice.
9. Pole kruhové smyčky ve velké vzdálenosti, magnetický dipól, význam pro fenomenologický popis magnetických vlastností látek, mg. dipóly v mikroskopické teorii.
10.  Multipólový rozvoj vektorového potenciálu pro lokalizované rozdělení proudové hustoty, dipólový člen. Síla a moment síly působící na magnetický moment ve vnějším poli, efektivní energie magnetického momentu ve vnějším poli.
11.   Základy magnetostatiky materiálů. Magnetické dipólové momenty v materiálech a elementární zavedení magnetizace. Mikroskopické a makroskopické rovnice magnetostatiky, rozklad makroskopické hustoty proudu na hustotu proudu volných nábojů a hustotu proudu spojenou s magnetickými momenty, přitom zavedena
2
magnetizace, výsledná rovnice pro makroskopické pole B, intenzita pole. Rovnice magnetostatiky pro látky s materiálovým vztahem B = /x0/vH, jejich řešení, okrajové podmínky pro rozhraní mezi materiály. Lokální pole.
IV.  Maxwellovy rovnice.
1.  Faradayův zákon v integrálním a diferenciálním tvaru, pravidlo toku, příklad: dvě smyčky, které se vůči sobě rovnoměrně pohybují, smyčkou A protéká proud, síla působící na náboje ve smyčce B z hlediska soustavy spojené s A a soustavy spojené s B.
2.  Dva výrazy pro energii v magnetostatice: 1. obsahuje j a A, 2. obsahuje jen B.
3.  MR pro kvazistatická pole, nekonsistence s rovnicí kontinuity.
4.  Maxwellův posuvný proud a obecný tvar MR, sjednocení nauky o el. a mg. jevech a nauky o světle, příklady posuvného proudu (Feynman - 18.2).
5.  Elektromagnetické potenciály cp a A v obecném případě, kalibrační invariance, rovnice pro </? a A a jejich zjednodušení pro Lorentzovu kalibraci.
6.  Řešení pro vakuum. Příklady: cp = 0, A = [0,Ay(x,ť),0\, rovinná vlna; opačně nabité listy náboje (Feynman - 18.4). Obecné řešení.
7.  Řešení rovnic pro pulz p(r, £)/j(r, t) ~ ö(r — r0)ö(t — t0) a obecné řešení (retardované potenciály).
8.  Energie elektromagnetického pole, Poyntingův vektor, hybnost a moment hybnosti pole.
9.  Obecný tvar makroskopických MR pro materiály.
V.  Vlnění a vyzařování.
1.   Rovnice pro elektromagnetické vlnění v látce, zobecněná dielektrická funkce, disperzní vztah (k...uj).
2.  Pole pohybujícího se bodového náboje. Lienardovy a Wiechertovy potenciály, náznak odvození výrazů pro odpovídající elektrické a magnetické pole, rozbor formule pro E.
3.  Záření bodového náboje. Výraz pro Poyntingův vektor, přibližný vzorec platný pro velké vzdálenosti od náboje a pro v/c « 1, vztah pro energii vyzářenou za jednotku času (Larmorova formule). Příklady: dipól, zmínka o lineárním urychlovači, cyklotronu, brzdném záření a záření elektronu kroužícího kolem jádra.
4.  Záření lokalizovaného zdroje s hustotou náboje a proudu ~ e^*. Vztah pro A, přiblížení platná pro velké vzdálenosti od zdroje, elektrické dipólové záření, zmínka o magnetickém dipólovém a elektrickém kvadrupólovém záření.
VI.  Základy STR.
1. Nekonsistence MR a Galileiho transformace. Příklady: drát protékaný proudem a nabitá částice ve vzájemném pohybu (Feynman - 13.6), vlna postupující ve směru osy x s polarizací ve směru osy y z hlediska dvou vztažných soustav,
3
které se vůči sobě rovnoměrně pohybují - vlnová rovnice pro jednu soustavu nepřejde při Gal. transformaci na vlnovou rovnici pro druhou.
2.  Historický kontext vzniku STR. V trojici MR, princip relativity, Gal. transformace musí být chybný článek. Einsteinovo řešení.
3.  Principy STR.
4.   Lorentzova transformace a důsledky: odvození, relativnost současnosti, kontrakce délek, dilatace času, skládání rychlostí, transformace parametrů kau; rovinné vlny, Dopplerův posuv, experimentální testy STR.
5.   k a lú/c se transformují jako r a ct, tuto vlastnost má mnoho veličin - motivace k zavedení pojmu čtyřvektor. Pojmy kontravariantní/kovariantní čtyřvek-tor, skalár, kontravariantní/kovariantní/smíšený tenzor druhého stupně a příklady (čtyřvektory (E, cp), (cp, j), (ip/c, A), tenzor elektromagnetického pole, ...). Transformační vlastnosti diferenciálních operátorů.
6.  Relativistická formulace Newtonova zákona a MR, změny elektromagnetického pole při přechodu od soustavy k soustavě.
4