Feynmanova formulace kvantové mechaniky
Michal Lenc
Poznámky k přednášce Vybrané kapitoly z kvantové mechaniky
jaro 2008
1. Schrödingerova rovnice.................................................................................................................2
2. Užitečné integrály..........................................................................................................................2
3. Feynmanův integrál po trajektoriích...............................................................................................4
4. Propagátor pro kvadratický lagrangián ..........................................................................................6
5. Harmonický oscilátor.....................................................................................................................9
6. Propagátor ve více dimenzích. .....................................................................................................10
7. Volná relativistická částice - parametrizace..................................................................................12
8. Funkcionální derivace..................................................................................................................13
9. Funkcionální derivace podruhé ....................................................................................................15
1. Schrödingerova rovnice
Odvodíme nerelativistickou Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
, , , ,
2
i x t x t V x t x t
t m x
  
 
= - +
 

 (1.1)
z výrazu pro amplitudu pravděpodobnosti přechodu z bodu x do bodu y za infinitesimálně malý časový
interval 
( )
( )
1 2 2
, , exp , .
2 2 2
m x ym i x y
K x t y t V t
i
 
  
  -  +  
+ = -     
       
 
(1.2)
Musí tedy platit (po substituci y x = + )
( ) ( )
1 2 2
, exp , , .
2 2 2
m i m
x t V x t x t d
i
 
     
  

-
      
+ = - + +     
      


 
(1.3)
Rozvoje do prvního řádu včetně podle mocnin  (přitom  je úměrné 
1/2
) dají
21 2 2
22
2
1
,
2 2
im
m i
e V d
t i x x

   
      
 

-
    
+ = + + -   
     




 
(1.4)
přičemž všechny funkce jsou počítány pro argument x, t. U 
0
je identita, výraz u 
1/2
je roven nule a výraz u
 je právě Schrödingerova rovnice.
2. Užitečné integrály.
Integrály potřebné pro výpočet v (1.4) získáme z obecnějšího výrazu
( ) ( ){ }2 2
2 1exp , 0 , 0 .I i a x x b x x d x a b

-
 = - + - > >
 

 (2.1)
Po doplnění výrazu v exponentu na čtverec a substituci dostáváme
( )
( ) { }2 2
2 11 2
0
2
exp , exp .
ab
I i x x F F i x d x
a ba b

 
= - = 
++  
 (2.2)
Cauchyova věta pro vhodnou křivku v komplexní rovině dává
{ } ( ){ } { }
4 0
2 2 2
0 0
exp exp cos2 sin 2 exp exp 0 .
4
R
R
i x d x R i d i x d x


  
 
+ - + - = 
 
   (2.3)
V limitě R je
{ } { }2 2
0 0
exp exp exp
4
i x d x i x d x
 
 
= - 
 
 
(2.4)
Poissonův integrál se počítá například jako
{ } { } { }
{ }
1 2
2 2 2
0 0 0
1 2
1 2
2
0
exp exp exp
exp .
2 2
x d x x d x y d y
r r d r
 
  

 
- = - - = 
 
 
- = 
 
  

(2.5)
Fresnelův integrál je tedy
{ } ( ) ( )
1 2 1 22
0
1 1
exp exp
2 4 2
F i x d x i i

 

 
= = = 
 

(2.6)
a počítaný integrál
( )
1 2
2
2 1exp .
i ab
I i x x
a b a b
   
= -  
+ +   
(2.7)
Při výpočtu integrálů v (1.4) potřebujeme ( )2b m = 
{ }
{ }
1 2 1 2
2
0
1 2 1 2
2 2
2 0
2
exp ,
1 1 2
exp .
2
i i
I ib d
b m
i i
I ib d I
i b ib b i m m
  
 
   
  

-

-
   
= = =   
   
    
= = = - = -   
    



 
(2.8)
Zobecnění na vícerozměrný případ není obtížné. Uvažujme N-rozměrný vektor (sloupec)  a symetrickou
matici . Matici lze diagonalizovat ortogonální transformací
( )1 2, det 1 , diag , , ,T
D D NO O O    =  =  = ... (2.9)
a vektor  transformovat na
, .T T T
O O   = = (2.10)
Máme pak (Jacobián transformace   je roven jedné)
{ } { }
( ) ( )
1 1
1 2 2 2
1 2 1 2
1
exp exp
1 1
.
det det
N T T
N N D
N NN
k k D
I d d ib d d ib
i i i
b b b
       
  

 
 
- -
-
=
=  =  =
     
= =     
     
 
 
 
 

... ...
(2.11)
3. Feynmanův integrál po trajektoriích.
Amplituda pravděpodobnosti přechodu z bodu xa do bodu xb je
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
, , exp ,
, , , , .
b
a
b b a a
t
a a b b
t
i
K x t x t S x t d x t
x t x x t x S x t L x t x t t d t
 
=        
 
= = =  





(3.1)
Míra v nejjednodušším případě: rozdělíme časový interval na 1N + stejných dílů
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1
1
0 1
1 1 1
0
, , lim exp ,
2
, , , , ,
1
, , .
2 2
N
N
b b a a k
N
k
b a
k a a k k b b N
N
k k k k k k
k
m i
K x t x t S x t d x
i
t t
t k x t x x x t x x t x x
N
x x x x t t
S x t L
 
 


+

=
+
+ + +
=
   
=      
  
=
= = = = = =
+
- + + 
=    
 




 
(3.2)
Při dělení je třeba opatrnosti (Wiener, Ito). Proměnná Brownova pohybu ( )tx a integrál
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0
lim 1 , 0 1 .
b
a
t N
k k k k
N
kt
I f x t d x x x f x f x   + +
 
=
 =  - + -    (3.3)
"Normální" chování dostaneme jenom pro
2
1= . Klasické pohybové rovnice dostáváme z variačního
principu
[ ] [ ]
[ ] ( )
[ ]
0 ,
, ,
,
b
a
b b
a a
cl cl
t
t
t t
t t
S S x x S x
S x x L x x x x t d t
L L L L
L x x d t S x x x d t
x x x x
 
  
   
= + - =
+ = + + =
      
+ + = + +   
      
 
  

 
 
 
(3.4)
odkud pak
.
b
b
a
a
t
t
t
t
L d L L
S x x d t
x d t x x
  
    
= - -  
    


 
(3.5)
Pro kvantově mechanické kvasiklasické přiblížení je
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 22
2 2
, , exp exp ,
2
0 ,
2 .
b
cl
a
b b a a cl
a b
t
x x
t
i i
K x t x t S x t S x t d x t
x t x t
L L L
S x t x x x x d t
x x x x
  
 
     
=
  
=              
   
= =
   
= + +         




 
 
 
(3.6)
Druhou variaci můžeme upravit integrací per partes do tvaru
( ) ( )2
2 2 2 2
2 2
^, ,
^ ,
S x t x x
d L d L L d L
d t x d t x x x x d t x
   =   
    
 = - + + + 
        
(3.7)
kde skalární součin je definován jako (máme takto Hilbertův prostor!)
( ) ( ) ( ), .
b
a
t
t
t t d t   =  (3.8)
Napišme teď v ortonormální bázi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^, , 0 .n n n n n n a n b
n
x t c u t u t u t u t u t =  = = = (3.9)
Potom je
( ) ( )2 2
,n n n
n n
S x t c d x t J d c  = =        (3.10)
a pro amplitudu přechodu máme
( ) ( ) 2
, , exp exp .
2
b b a a cl n n n
n n
i i
K x t x t S x t c J d c
  
=      
   


  
(3.11)
Jakobián J má tu důležitou vlastnost, že se nemění při volbě báze. Integrál se snadno spočte a je tedy
( ) ( )
1 2
2
, , exp .b b a a cl
n n
i i
K x t x t J S x t


  
=      
   



(3.12)
Zavedeme si něco jako neporušenou úlohu (,,volná částice"), kde bude
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
^ ^, , 0 ,
f f f f f f f
n n n n a n b
d L d
u t u t u t u t
d t x d t

 
 = -  = = = 
 
(3.13)
pak konečný výsledek je
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 2
, ,
, , exp exp .
b b a a
f
f f f n
b b a a cl cl
n n
K x t x t
i i
K x t x t S x t S x t


=
    
 -           
     
 
(3.14)
4. Propagátor pro kvadratický lagrangián
Předpokládejme, že Lagrangeova funkce je nejvýše kvadratický polynomv rychlostia souřadnicích,
tj. má tvar
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
, , .L x x t A t x B t x x C t x D t x F t x E t= + + + + +    (4.1)
Protože můžeme položit
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 21 1
, ,
2 2
,
t
d d
B t x x B t x B t x D t x D t x D t x
dt dt
d
E t E d
dt
 
 
= - = -   
 
= 
  
(4.2)
stačí uvažovat lagrangiány tvaru
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1
, , .
2 2
L x x t a t x c t x f t x= - +  (4.3)
Podle (3.6) máme
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
, , exp exp ,
2
1 1
,
2 2
b
a
b
cl cl
a
b b a a cl
t
cl cl cl cl
t
t
x x x x
t
i i
K x t x t S x t S y t d y t
S x t a t x t c t x t f t x t dt
L L
S y t y y d t a t y c t y d t
x x


= =
  
=              
   
 
= - +           
 
  
 = + = -         






 

 

( ) ( )
,
0 .
b
a
t
t
a by t y t= =

(4.4)
Klasická trajektorie je řešením Lagrangeovy rovnice
( )
( )
( ) ( ) ( )0 .cl
cl
d x td L L d
a t c t x t f t
dt x x dt dt
   
- =  + =  
    
(4.5)
S pomocí (4.5) můžeme zjednodušit vyjádření pro klasický účinek
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
.
2
b b
aa
t t t
cl
cl cl cl
tt t
d x t
S x t a t x t f t x t dt
dt
=
=
 
 = +  
 
 
 (4.6)
Vzhledem k podmínce ( ) ( ) 0a by t y t= = máme
( ) ( ) ( ) ( )2 2
exp , .
2
b
a
t
b a
t
i
a t y c t y d t d y t G t t
  
 - =     
  





(4.7)
Pro výpočet (4.7) existuje několik metod. Pro jednoduchost budeme v dalším předpokládat ( )a t m= .
Zapišme nejprve funkci ( ),b aG t t pomocí diskretizace, t.j. rozdělenímintervalu b at t- na 1N + ekvidistatních
částí, přitom ( ) ( )1j a b at t j t t N= + - + . Je tedy
( )
( )
( )
1 2
2 2
1 1
0
, lim exp ,
2 2 2
N
N
b a N j j j j
N
j
m i m
G t t d y d y y y c y
i

  
+
+

=
     
= - -    
     


...   (4.8)
kde ( )j jc c t= . Zavedeme si značení pro vektor 
( )
1
1
. , . .
.
T
N
N
y
y y
y
 
 
 
= = 
 
 
(4.9)
a matici
1
2
2
3
1
2 1
1 2 1
1 2
.
2 1
1 2
00
0 0 N
N
c
c
c
m c
c

-
  
  - -
  -
   = -
  -
  -
   
   

 
 
(4.10)
Potom můžeme (4.8) zapsat jako
( )
( )1 2
, lim exp .
2 2
N
N T
b a
N
m m
G t t d i
i
  
  
+

   
=   
   


 
(4.11)
Podle (2.11) je
( )
( )
1 2
1 2
1
, lim .
2 det
b a
N
m
G t t
i 
 
=  
 
(4.12)
Vezme-li z matice jen prvních j řádků a sloupců, označíme příslušný determinant jako jD . Definujeme si
0 1D = a můžeme tak psát
2 2 2 2
0 1 1 2 1 2 2 1 0
2 2 2 2 2
3 3 2 1 1 3 2 1
1 , 2 , 2 2 1 2 ,
2 2 2 1 2 2 , .
D D c D c c c D D
m m m m
D c c c c c D D
m m m m m
   
    
    
= = - = - - - = - -    
    
         
= - - - - - - = - -         
         

(4.13)
Obecně pak
2
1 1 12 .j j j jD c D D
m

+ + -
 
= - - 
 
(4.14)
Označíme ještě j jg D= , takže můžeme (4.14) a počáteční podmínky zapsat jako
1 1 1
2
2
1 0
0 1 0 1
2
,
0 , 1 .
j j j j
j
g g g c
g
m
g g
g D D c
m



+ - +- +
= -
=
= - = -
(4.15)
V limitě N  , t.j. 0  přejde (4.15) na
( ) ( )
( ) ( )
( )2
2
, ,
, 0 , , 0 , 1
a
a
a a
a a t t
t t
d g t t c t d g t t
g t t g t t
dt m dt=
=
+ = = = (4.16)
nebo obecněji
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ), ,
, 0 , , 0 , 1
a
a
a a
a a t t
t t
d g t t d g t td
a t c t g t t g t t
dt dt dt=
=
 
+ = = = 
 
(4.17)
a tedy
( )
( )
1 2
, .
2 ,
b a
b a
m
G t t
i g t t
 
=   
 
(4.18)
Jiný způsob výpočtu je založen na rozkladu
( ) ( )
1
,n n
n
y t c u t

=
=  (4.19)
kde z definice (3.7) máme
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 .n
n n n n a n b
du td
a t c t u t u t u t u t
dt dt

   
- + = = =  
   
(4.20)
Potom je podle (3.11) a (3.12)
( )
1 2
2 2
, exp .
2
b a n n n
n n n n
i i
G t t c J d c J



  
= =   
   


  


(4.21)
5. Harmonický oscilátor
V tomto případě máme
( ) ( ) ( )2
, , 0 .a t m c t m f t= = = (5.1)
Řešení klasické rovnice (4.5) je (s označením b at t T- = )
( ) ( ) ( )
1
sin sin
sin
cl a b b ax t x t t x t t
T
 

= - + -   (5.2)
a účinek (4.6) je
[ ] ( ){ }2 2
cos 2 .
sin
cl b a a b
m
S x x x T x x
T



= + - (5.3)
Řešení rovmice (4.16) je
( )
( )sin
, ,a
a
t t
g t t


=
(5.4)
takže výraz (4.18)
( )
1 2
, .
2 sin
b a
m
G t t
i T

 
 
=  
 
(5.5)
Propagátor pro harmonický oscilátor jr tedy
( ) ( ){ }
1 2
2 2
, , exp cos 2 .
2 sin 2 sin
b b a a b a a b
m i m
K x t x t x x T x x
i T T
 

  
   
= + -  
    
(5.6)
Limitním přechodem 0  získáme z (5.6) propagátor volné částice
( )
( )
1 2 2
, , exp .
2 2
b a
b b a a
i m x xm
K x t x t
i T T
 -   
=   
     
(5.7)
Ze základního kursu kvantové mechaniky víme, že pro soustavu s diskretním spektrem energií můžeme
zapsat propagátor jako (vlastní vektory hamiltoniánu ^
nH n E n= jsou ortogonální a normované, tj.
nkn k = )
( )
0 0
0 0 0
^ ^, ,0 exp exp
exp exp ,
n k
k n
n k n
i i
K x t y x H t y x n n H t k k y
i i
E t x n n k k y E t x n n y
 
= =
  
= = =
   
= - = - =   
   
   
- = -   
   

 
 
 
(5.8)
takže pro statistickou sumu (imaginární čas t i=- ) máme
( )
2
0 0
, ,0 exp exp .n n
n n
E E
Z K x i x x n d x  
  
= =- -
   
= - = - = -   
   
   
(5.9)
Podívejme se na vyjádření propagátoru (5.6)
( )
( )
1 2
2cosh 1
, ,0 exp .
2 sinh sinh
mm
Z K x i x d x x d x
 

  


-
-
 
= - = -  
   



 
(5.10)
Integrál vypočteme podle (2.5) a s pomocí identity ( )
2
cosh 1 2 sinh 2 - =    máme
{ } 0
exp
1 12
exp
1 exp 22sinh
2
1
.
2
n
n
Z n
E n


 


=
 
- 
   = = = - +   
- -   
 
= + 
 


(5.11)
6. Propagátor ve více dimenzích.
Variace účinku je
[ ] .
b
b
a
a
t
t
i i
i i i
t
t
L d L L
S x x x d t
x d t x x
  
    
= - -  
    


 
(6.1)
Používáme sumační konvenci. V okolí klasické trajektorie píšeme
[ ] [ ] [ ]21
,
2
clS x S x S x = + + (6.2)
kde ( ) ( ) 0a bx t x t = = a
[ ]2
2 2 2
2 .
b
cl
a
t
i j i j i j
i j i j i j
x x
t
S x
L L L
x x x x x x d t
x x x x x x
 
     
=
=
   
+ + 
      


  
  
(6.3)
"Rozumné variace" dovolují definovat Hilbertův prostor se skalárním součinem
( ) ( ) ( ), .
b
a
t
i
i
t
t t d t     (6.4)
Druhou variaci pak píšeme jako
[ ] ( )2 ^, ,S x x x   =  (6.5)
kde
2 2 2 2
.
cl
i j i j i j i j i j
x x
d L d L L d L
d t x x d t x x x x d t x x =
    
 = - + + + 
           
(6.6)
V ortonormální bázi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
, , 0 .i i j i i i
n n i j n n n n a n b
n
x c u t u t u t u t u t 

=
=  = = = (6.7)
Feynmanův integrál se pak snadno spočte ( ( )
1
n
n
d x t J d c

=
=    ) jako
( ) ( )
1 2
1
2
, , exp ,b b a a cl
n n
i i
K x t x t J S x t



=
  
=      
   



(6.8)
a po zavedení ,,volné částice", charakterizované
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
,
, 0
f
i j i j
f f j f f i f i f i
i j n n n n a n b
d L d
d t x x d t
u t u t u t u t
 
 = -  
  
 = = =
  (6.9)
dostáváme konečný výsledek
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 2
1
, ,
, , exp exp .
b b a a
f
f f n
b b a a cl cl
n n
K x t x t
i i
K x t x t S x t S x t



=
=
    
 -           
     
 
(6.10)
Označme ( ) 1
^det n
n


=
 =  a zaveďme funkce (z je komplexní proměnná)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
, 0 , , 0 , .
j
akj j j
i j i j a kk k
d u z t
z u z t u z t
d t
  - = = =
Potom platí (Coleman, Levit a Smilansky)
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
det ,^^ 1
det .
^^ 1 det ,
f j
f
bk
j
bk
u z tz
z u z t
  =
  - 
(6.11)
Pro 0z = je řešením ( ) ( )0,j
k
u t Jacobiho pole. S tím pak souvisí množství dalších možných vyjádření.
7. Volná relativistická částice - parametrizace.
Značení intervalu (t i=- ) je ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 2 1 22 2 2 22 2
d s c d t d x i c d d x= - = - + . Účinek pro volnou
částici píšeme jako
( )
( )
2 2 2
2
.
2 2
b
a
m d x d mc
S i c d
d d



  
   
     
  = + +   
       



(7.1)
Výraz (7.1) je invariantní vzhledem k transformaci ( ) /
,f f     . Variace vzhledem k ( ) dá
( ) ( ) ( )
1 22 2
1 22 22 21
, .
b
a
d x d
c S i mc d x c d
c d d

  
 
    
 = + = +      
     
 (7.2)
Zvolíme-li ve (7.1) ( ) 1 c  = , dostáváme po obvyklém rozdělení na intervaly a integraci propagátor ve
tvaru (dimenze 3+1=4)
( )
( ) ( )
2 2 22
, , exp ,
2 2 2
b a b a
L b b a a
x x cmc mc mc
K x x L
L L
 
 

 - + -   
= - -  
      
(7.3)
kde b aL  = - . Typická situace: integruje se přes nerozlišitelné veličiny, tedy
( ) ( )
0
, , , , ,
2
b b a a L b b a aK x x K x x d L
mc
   

= 

(7.4)
odkud
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 22 22
11 22 2 22
, ,
1
.
4
b b a a
b a b a
b a b a
K x x
mc x x cmc
K
x x c
 
 
  
=
  - + -  
 
   - + -
   

(7.5)
Vzhledem k asymptotickému vyjádření
( ) { }
1 2
1 exp
2
K z z
z
 
 - 
 
(7.6)
je pro výrazně časupodobné intervaly (nerelativistická teorie)
( )
( )
( )
( )
3 2 22
, ,
exp exp .
2 2
b b a a
b a
b a
b a b a
K x t x t
x xmc m m
i t t i
mc i t t t t
=
   -   
- -      - -      

  
(7.7)
Interakce mimo světelný kužel ­ nikoliv, důležité jsou komutátory resp. antikomutátory.
8. Funkcionální derivace.
Zobecnění pojmu derivace u funkce je u funkcionálu výraz
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
lim .
h
S x h x y S xS
y h
   
  
+ - -      
= (8.1)
,,Obrazně" pro funkci N proměnných máme
( )1 1
1
, ,
N
N N k
k k
F
F x x
x
  
=

+ + =

... (8.2)
a pro funkcionál
[ ]
[ ]
( )
( ) .
F x
F x t d t
x t

 

+ =


(8.3)
Definujme
[ ] [ ] [ ] [ ]exp .
i
F x F x S x d x
h
 
=  
 


(8.4)
Potom rozepsáním identity (odečtení stejných veličin)
[ ] [ ]
[ ]
( )
[ ]
[ ]
( )
( ) [ ] [ ]
0
exp .
F x F x
F x S xi i
F x t S x d t d x
x t x t

 

 
= + - =
   
+   
  


  
(8.5)
Protože variace ( )t je libovolná, máme
[ ]
( )
[ ]
[ ]
( )
F x S xi
F x
x t h x t
 
 
= - (8.6)
nebo v diskrétním tvaru
.
n n
F i S
F
x h x
 
= -
 
(8.7)
Vezměme ještě jako poslední příklad účinek v klasické mechanice
[ ] ( ) ( )( ), , .
b
a
t
t
S x L x t x t t dt= 
 (8.8)
Nezapomeňme, že v koncových bodech integračního intervalu je funkce pevně daná. Je pak obvyklým
postupem
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
, , , ,
, , , ,
.
b b
a a
b b
a a
t t
t t
t t
t t
S x S x L x t t x t t t dt L x t x t t dt
L L L d L
t t dt t dt
x x x dt x
L x t x t t L x t x t tS x d
x t x dt x
  
  


+ - = + + - =
        
+ + = - +     
        
  
= -  
   
 
 
 
  
 
 

(8.9)
Napišme si účinek v diskretizovaném tvaru jako
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
21
1 1
1 1
0
.
2 2 2
N
k k k k
k k k k
k
S
x x x xm e e
A x A x x x
 
+
+
+ +
=
=
 - -   
 +  + -  +   
     
 (8.10)
Potom je
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
2
1 11 1
21
2
2 2
n n n n n n
n
n n n
n nn n
n
n
x x x x x xS
m e A x e
x x x
A x A xx x
e A x e
x
  
 
+ - + +
-+ -
+ -    
= - + × × - 
   
-- 
+  - 
 
(8.11)
a tedy s označením
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
,
2 2
n n n nn
n n
n n
n n
n
A x A x x xx
E x A x
x x
B x A x
x
 
+ - + -
 - -  
 = - - -  
    

= ×

(8.12)
dostáváme
( )
( ) ( ) ( )1 1 1 1
2
2
.
2
n n n n ni
i n n
n
x x x x xF x i
F x m e B x e E x
x

 
+ - + -- + -  
=  - × - 
  
(8.13)
Pro 1F = dostáváme Ehrenfestův teorém
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
2
2
2
.
n n n n n
n n
x x x x x
m e B x E x
dv
m e v B x E x
dt
 
+ - + -- + =
× +
 = × +
(8.14)
Pro nF x= máme komutační relace pro souřadnici a kanonicky sdružený impulz (časové uspořádání,
napravo dřívejší)
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
2 2
.
n n n n
n n n n n n
x x x xe e
m x B x x x x B x
i
mv e A x x mv e A
i
 
+ +
-
- -   
= - × - - ×   
   
 = + - +


(8.15)
9. Funkcionální derivace podruhé
Hilbertův prostor funkcí kvadraticky integrovatelných na otevřené podmnožině m
   označíme
( )2
L . Prvky ( )2
L budeme označovat malými písmeny, funkce na ( )2
L velkými písmeny, tj.
( )2
: ,
: .
m
f R
F R
  
 

L
(9.1)
Skalární součin má obvyklé vyjádření
( ) ( ) m
f u f x u x d x

  (9.2)
a výpočet funkce nad prvkem značíme hranatými závorkami [ ]F f .
Definujeme funkcionální derivaci jako
[ ] [ ]
( )
( ) [ ]
0
.m
t
F f F f d
u u x d x F f t u
f f x dt
 
  =

  +


(9.3)
Velmi speciální volbou je
[ ] ( ) .yE f f y= (9.4)
Potom máme ze (9.3)
[ ]
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )
( )
0
.
y m
t
y
E f d
u x d x f y t u y u y
f x dt
E f
x y
f x





=

 + = 
= -



(9.5)
Se stejnou konvencí, jakou píšeme
i
i i i
j jj j
x
d x
x x
 
  
=  = 
  
(9.6)
budeme psát
[ ]
( )
( )
( )
( )
( ) .yE f f y
x y x y
f x f x
 
 
 
= -  = - (9.7)
Zobrazení funkce na její parciální derivaci
[ ]
( )
( ),y i ii
f y
E f f y
y

= = 

(9.8)
vede k
[ ]
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )
( )
,
0
,
.
y i m
i i i
t
y i
i
E f d
u x d x f y t u y u y
f x dt
E f
x y
f x





=

  +  =  
= - -



(9.9)
Povšimněme si, že ve vztahu (9.9) mlčky předpokládáme 0u 
= , obecnější chování funkce u na hraniciby
vedlo k mnohem komplikovanějším výrazům. Dále je důležité při zkráceném značenívždyvědět, podle které
proměnné derivujeme, ve (9.9) je v prvním řádku i
i y =  , ve druhém řádku i
i x =  . Ověříme si na
jednorozměrném příkladě
[ ] ( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
( ){ } ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
,
1 .
n
n tn
t
n n n
n n
n
n
E x
E x x t u d
x
d
x t u t u t
d
x t d t
x d


 
 


  
  
=
= =
+ = 
=
-



(9.10)
Standardní variační úloha vychází z Lagrangeovy funkce
[ ] ( ) ( )( ), , .iL f L x f x f x=  (9.11)
Variaci budeme psát jako
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) .
i
i
i
i
i
i
L f f x f xL x L L
f y x f y f x f y f x f y
x yL L
x y
f x f x x
  
   


  
= + + =
  
 - 
- +
  
(9.12)
Dosazením do (9.3) dostáváme
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) .
m
i
i
m
i i
i i
F f L L
u x y x y u x d x
f f x f x
L L L L
D x y u x d x D u y
f x f x f y f y

 




   
 - +  - = 
   
         
- - = -   
         






(9.13)
V úplné analogii s rozvojem funkce více proměnných máme i pro funkcionály "Taylorův rozvoj". Píšeme
(pro 1m= )
[ ] [ ]
[ ]
( )
( ) ( ){ }
[ ]
( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
0
0
0 1 0 1 1
1
2
1 0 1 2 0 2 1 2
1 2
1
2!
f f
f f
S f
S f S f f y f y d y
f y
S f
f y f y f y f y d y d y
f y f y



 
=

=

= + - +
- - +





(9.14)
Jako příklad vezměmě účinek volné částice
1 22
2
.
b
a
t
t
d x
S mc c dt
dt
   
= - -  
   



(9.15)
Podle (9.14)
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ){ }
( )
( ){ }
1
1 1/
1 1 1
/ 3 //
1 2 3 22 /2 2 /2
.
b
a
t
t
S x d t tL L
t t dt
x t x t x t dt
mc x t mc x td
dt c x t c x t
 


 -  
= - + = 
   
- = -
-



(9.16)
Pro klasickou trajektorii
[ ]
( )
( ) ( )//
00 0 .cl cl
S x
x t x t vt x
x t


=  =  = + (9.17)
Dále pak
[ ]
( ) ( ) ( ){ }
( )
( )
( )
( ) ( ){ }
( ){ }
( )
( )
( ) ( ){ }
2 //3
3 //
3 2 3 22 /2 2 /2
23
3 //
3 2 3 222 /2 2 /2
1
1
.
S x x tmc
mc x t
x t x t x t x tc x t c x t
d t tmc
mc x t
d t x tc x t c x t
  
   
 

= - - =
- -
-
-
- -
(9.18)
Pro klasickou trajektorii
[ ]
( ) ( ) ( )
( )2 23
3 2 22 2
clx
S x d t tmc
x t x t d tc v
 
 
=
-
-
(9.19)
Přírůstek účinku je
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
23
3 2 22 2
3
2/
3 22 2
1
2
2
.
2
b b
a a cl
b b
a a
b
a
t t
cl cl
t t x
t t
cl cl
t t
t
t
S x
x t x t x t x t d t dt
x t x t
d t tmc
x t x t x t x t d t dt
d tc v
mc
x t v dt
c v

 

- - =      
-
- - =      
-
 - 
-
 
 

(9.20)
Klasický účinek je
[ ] ( ) ( )
1 22 2
.cl b aS x mc c v t t= - - - (9.21)