1
Mapová algebra
Rastr je analogií matice a MA je
analogií maticového počtu.
Rastr využívá modelu vrstev.
Jednotlivé vrstvy (vstupní rastry,
gridy) jsou pomocí operátorů,
funkcí, výrazů či iterací
kombinovány do výstupního rastru
(většinou).
Nová_Mapa = f(Vstupní_Mapa1,Vstupní_Mapa2,...)
Soubor metod analýzy prostorových dat
uchovávaných v rastrovém datovém modelu. Používá
map jako proměnných a prostorových operací jako
operátorů v algebraických výrazech.
* MA tvoří podstatnou část prostorových analýz
v GIS a je také základem řady metod zpracování
obrazu v DPZ
* Jsou definovány obecné principy MA, neexistuje
norma, nejednotná terminologie a nejednotná
syntaxe v závislosti na implementaci v konkrétním
systému.
* Řada funkčně shodných prostorových operací
vystupuje pod jiným označením v různých
systémech).
* Základní myšlenky formuloval Tomlin (1990).
Mapová algebra ­ obecný princip
GRID ­ podtřída třídy Object. Je to objekt,
který uchovává data v rastrovém formátu.
Vhodný pro prezentaci spojité prostorové
informace. Skládá se z buněk (cell).
Nově vytvořený grid je soubor dočasný. Je na
uživateli, zda ho uloží trvale na disk
Fyzicky je na disku Grid uložen jako složka se
jménem, které zadal uživatel. K přenosu jinam
je třeba mít i složku s názvem INFO.
Mapová Algebra v prostředí ArcView, ArcMap
Extenze Spatial Analyst, GRID object
Možné formy použití MA
(uživatelská rozhraní)
1. Prostorové dotazování (Map query) ­
výsledkem je tzv. bitová mapa nominálních
hodnot (0 ­ nesplňuje, 1 ­ splňuje podmínku
prostorového dotazu)
2. Mapový kalkulátor - Sestavování výrazů
mapové algebry pomocí funkcí a operátorů
3. Skriptovací jazyk AVENUE - Sekvence výrazů,
algoritmus, program
4. Grafické modelování - (Model Builder, PCI
Modeller), nástroje využívající makrojazyka a
grafických prvků vývojových diagramů
Prostorové dotazování (Map query) Mapový kalkulátor ­ základní nástroj
mapové algebry
2
AVENUE Script
theView = av.GetProject.FindDoc("View1")
theSrcName = Grid.MakeSrcName( "c:\uran\grid\dem_h" )
if (theSrcName = NIL) then
MsgBox.Error("Chybí jmeno", "Chyba")
return NIL
end
theGrid = Grid.Make(theSrcName)
theGTheme = GTheme.Make( theGrid )
theView.AddTheme( theGTheme )
theGTheme.SetVisible(true)
theView.Invalidate
Grafické modelování - Model Builder
Požadavky na vstupní datové soubory
I nejjednodušší model často využívá více datových
vrstev majících různý původ, různou projekci,
velikost buňky atd.
Pokud používaný modelovací nástroj neřeší sám
problém unifikace vstupních dat (např. sčítat dva
různé rastry s různým rozsahem či s různou
velikostí buňky), je nutné ji provést předem.
Tento úkol může zahrnovat dvě činnosti:
1. změnu projekce
2. převzorkování (unifikaci velikosti
buňky a výpočet nových hodnot každé
buňky)
Ad 1 ­ musí být známy převodní vztahy
(transformační rovnice ­ např. TRANSMAP)
Ad 2 ­ nejpoužívanější způsoby převzorkování:
* interpolace metodou nejbližšího souseda
* bilineární interpolace
* kubická konvoluce
a. Nejbližší soused ­ jediný možný způsob
převzorkování použitelný na nominální
(kategorická, kvalitativní) data, jeho použití na
data kvantitativní nedává nejlepší výsledky. Je
založen na prostém posouvání hodnot do pozice
nejbližší buňky, ne na interpolaci
b. Bilineární interpolace ­ hodnota nové buňky je
vypočtena jako vážený průměr čtyř nejbližších
buněk původních
c. Kubická konvoluce ­ hodnota nové buňky je
vypočtena jako vážený průměr šestnácti
nejbližších buněk původních
Základní způsoby převzorkování
* Pokud systém dokáže spojit dva rozdílné rastry ­
má někde nastaven defaultní způsob
převzorkování.
* Jak je řešen problém okrajů rastru při
převzorkování?
* Je zachován typ dat? (integer vs. Floating point)
* Převzorkováním se mění statistické
charakteristiky, nezachovává se minimální a
maximální hodnota v gridu
Praktické poznámky k předzpracování dat
3
Základní nástroje (objekty) pro manipulaci
s prostorovými daty v mapové algebře
Operátory: aritmetické, relační, boleovské,
kombinatorní, logické, akumulační, přiřazovací
Funkce: aritmetické, logické, trigonometrické,
logaritmické
Třídy funkcí v mapové algebře: lokální, fokální,
zonální, globální
Hlavní skupiny procedur: mapování vzdálenosti,
hustoty, analýzy povrchů, hydrologické modelování,
...(aplikační procedury a funkce)
Základní nástroje (objekty) pro manipulaci
s prostorovými daty v mapové algebře
Operátory: aritmetické, relační, boleovské,
kombinatorní, logické, akumulační, přiřazovací
Funkce: aritmetické, logické, trigonometrické,
logaritmické
Třídy funkcí v mapové algebře: lokální, fokální,
zonální, globální
Hlavní skupiny procedur: mapování vzdálenosti,
hustoty, analýzy povrchů, hydrologické modelování,
...(aplikační procedury a funkce)
Základní třídy funkcí v mapové algebře
* lokální (point)
* fokální (neighborhood)
* zonální (area)
* globální (map)
LOKÁLNÍ OPERACE
LOKÁLNÍ (BODOVÉ) OPERACE
Nová hodnota buňky je počítána pouze z jedné
buňky určitou matematickou operací či jako
kombinace několika odpovídajících buněk z jiných
vrstev.
Dělení podle počtu vstupních gridů
* Unární operace (vytvoření, přidání konstanty)
* Binární operace (porovnávání)
* Operace s více vstupy (hledání min, max, ...)
FOKÁLNÍ OPEARACE
4
FOKÁLNÍ OPEARACE
(neighborhood analysis, filtrace)
* Výstupní hodnota buňky je počítána jako jistá
operace s touto buňkou a s buňkami jejího okolí.
* Velikost a tvar okolí lze definovat. Velikost je
udávána v jednotkách použitého zobrazení nebo
v počtu buněk (je udávána lichým číslem).
* Problém okrajů zpracovávaného gridu (zmenšení o
polovinu okénka ­1, replikace vstupních hodnot či
replikace výsledků)
* Fokální funkce mají velký význam pro zpracování
obrazu (filtrace obrazu). Použití v kartografickém
modelování: úprava spojitých polí (shlazování DEM)
* pravoúhelník
* kružnice
* mezikruží
* výseč
* nepravidelné okolí
Typy okolí:
* ,,fokální" statistika
* nízkofrekvenční filtrace
* vysokofrekvenční filtrace
* způsoby definování filtrovacího okna a jeho tvary
* filtrace pod maskou (podle zadaného atributu)
Fokální funkce
* nízkofrekvenční informace
* vysokofrekvenční informace
Fokální funkce
SUM 110
AVERAGE 12,22
MAXIMUM 30
MINIMUM 0
MEDIAN 10
MAJORITY 10
MINORITY 30
DIVERSITY 5
RANGE 30
Fokální statistika - příklad
* simulování šíření požáru na napě landuse
* odstranění ,,šumu"
* úprava výsledků klasifikace - potlačení malých plošek
Příklady využití fokálních funkcí:
Sieve filter -,,síto"
Příklady využití fokálních funkcí:
5
Příklady využití fokálních funkcí:
Pole srážek vytvořené interpolací a shlazené
průměrovým filtrem
BLOKOVÉ OPERACE
Jistou variantou
fokálních funkcí jsou
tzv. blokové funkce.
Mají tyto odlišnosti:
* Na rozdíl od předchozího případu je bloková
statistika a blokové funkce počítána ne pro každou
buňku, ale pro blok.
* U blokových funkcí se okolí nepřekrývá ale pokládá
se na grid jako ,,dlaždice"
* Výsledná hodnota je přiřazena k bloku
definovanému jako minimální pravoúhleník, do
kterého se vejde ve funkci použité okolí
ZONÁLNÍ OPERACE
* Vedle jednoho či několika vstupních gridů je
v zonálních operacích použit také grid, který
definuje tzv. zóny ­ plochy se stejnou
hodnotou gridu.
* Zóna je použita na místo okolí ve fokálních
funkcích, jinak je princip stejný.
* Výstupní grid je funkcí hodnot buněk všech
vstupních gridů a také jejich asociace s jinými
buňkami dané zóny.
* Zónou může být kategorie landuse, parcela, ...
ZONÁLNÍ OPERACE
* ZONÁLNÍ STATISTIKA - základní průměrová
statistika (průměr, sd, max, min, diverzita, modus,
medián, ...)
* ZONÁLNÍ GEOMETRIE - počítají se geometrické
atributy zóny v rámci vstupního gridu - plocha,
obvod (perimetr), centroid
* KONTINGENČNÍ TABULKY (CROSSTABULATION) matice
ukazující možné kombinace buněk dvou
vstupních gridů.
(Zóny prvního gridu tvoří řádky matice, zóny druhého
vstupního gridu potom sloupce matice.
Např. ­ dvě mapy landuse z různého období - matice ukazuje,
která kategorie se změnila na jinou kategorii, nebo - landuse
a nadmořská výška - zastoupení tříd landuse v určitých
výškových stupních).
Základní skupiny zonálních operací
Podle použité metody může být výstupem
zonálních funkcí:
1. tabulka
2. Histogram (pro každou zónu)
Ekvivalenty v menu Spatial Analyst:
* Tabulate Areas
* Histogram by Zones
* Výpočet ploch jednotlivých kategorií
landuse v rámci každého povodí (= zóny)
* Identifikování ohrožených (atd.) parcel (=
zón) v rámci zpracovaného území
* Vyplnění lokálních depresí (,,bezodtokých
oblastí") ve spojitém povrchu (např. DEM)
Příklady použití zonálních funkcí:
6
Příklad využití zonálních funkcí:
Zonální statistika
Zonální statistika
Zastoupení tříd úhrnů srážek ve vybraných okresech
GLOBÁLNÍ OPERACE
Nová mapa vznikne transformací, jejíž rovnice
byla sestavena na základě hodnot všech buněk
rastru (např. analýza vzdálenosti, polynomická
transformace, definování obalových zón,
Thiessenovy polygony, ...)
Oblasti využití
* Hledání optimální trasy
* Morfometrická analýza
* Hydrologické modelování
GLOBÁLNÍ OPERACE
Vzdálenost od vybraných meteorologických stanic
7
Mapová algebra
Hlavní skupiny procedur (aplikačních)
* Mapování vzdálenosti
* Mapování hustoty
* Optimalizační úlohy
* Morfometrické analýzy povrchů
* Hydrologické modelování
* Metody interpolace
* Překryvné operace
* (Re)klasifikační úlohy
Mapování vzdálenosti
* Určení euklidovské vzdálenosti
* Určení vážené vzdálenosti (cost distance,
frikční povrchy, bariéry)
* Nalezení optimální trasy
Výpočet euklidovské vzdálenosti:
Na vstupu je grid, který obsahuje jednu nebo několik buněk
nenulových ­ tzv. zdrojové buňky, od kterých se počítá např.
vzdálenost.
Předstupeň pro definování obalových zón (buffer)
Vedle vzdálenosti lze získat i rastr, který
představuje směr (direction) a příslušnost k
určité zdrojové buňce (allocation).
Určování příslušnosti (alokace)
Slouží ke konstrukci oblastí, ze kterých je k dané
zdrojové buňce či buňkám nejblíže
Thiessenovy polygony
Určování směru od
zdrojové buňky
Funkce pro výpočet vážených vzdáleností
(weighted distance, cost distance)
Najde nejmenší akumulovanou ,,cenu" z každé
buňky k buňce (buňkám) zdrojovým a to na
povrchu (costGrid), který představuje ,,cenu"
nutnou pro překonání dané buňky,
Vedle vážené vzdálenosti lze získat i Grid, který
představuje směr (direction)a příslušnost k
určité zdrojové buňce (allocation).
Vytvoření COST povrchu
1)
2)
3)
8
Na vstupu je zdrojový Grid (vlevo), který nese
zdrojové buňky (nemají NoData) a costGrid (vpravo)
­ povrch, který v hodnotách buněk nese hodnoty,
které představují ,,cenu", kterou je zapotřebí
vynaložit při cestě z jedné buňky do druhé.
Tyto ,,náklady" se sčítají a ve výstupním gridu je
v buňkách akumulovaná cena k nejbližší zdrojové
buňce.
Node ­ střed buňky
Link ­ spojnice středů dvou sousedních buněk
(nódů).
Každé spojnici přísluší určitá impedance (tření).
Výpočet impedance:
a1 = cost1 + cost2 / 2
pro vertikální či horizontální pohyb, a nebo
a1 = 1.414216(cost1 + cost2) / 2
pro diagonální pohyb.
Iterační výpočet:
1. Nejprve se ve výstupním gridu přiřadí
zdrojovým buňkám hodnota nula.
2. Potom se podle výše uvedených vzorců
vypočte cena za pohyb ze zdrojové buňky do
všech buněk sousedních.
3. Najde se buňka s nejnižší ,,cenou" a pro tuto
se opět vyhodnotí sousední buňky z cost
gridu.
Algoritmus výpočtu vážené vzdálenosti
(COST DISTANCE)
Vytváření povrchu nejmenší akumulované ,,ceny"
Rekonstrukce cesty ke
zdrojové buňce (buňkám) Příslušnost ke zdrojové
buňce (buňkám)
Vyhledání optimální trasy ­ výsledný soubor
akumulované ,,nejmenší ceny"
Vyhledání optimální trasy ­ pomocné soubory
9
Vyhledání optimální trasy.
Mapování hustoty
* Z bodových měření je vytvářen povrch mapující hustotu jevu
* Pro každou buňku výsledného rastru je definováno kruhové
okolí
* Hustota je počítána jako podíl sumy hodnot všech bodů uvnitř
kruhu a plochy kruhu
* Bodům blízkým je možné dát větší váhu jak bodům vzdáleným
­ výsledkem je potom více shlazený povrch mapující hustou jevu
Hustota obyvatelstva okr. Blansko
Optimalizační úlohy ­ základní rozdělení
Nalezení nejvhodnější trasy
Optimální lokalizace objektu
* libovolné cesty,
* nejkratší cesty (tj. cesty s nejmenším počtem buněk)
* nejlevnější cesty (tj. cesty s nejmenším součtem
ohodnocení buněk)
* všech cest splňujících zadaná kritéria
* mezi dvojicí zadaných buněk
* ze zadané buňky do všech ostatních
* ze všech ostatních do zadané koncové buňky
* mezi všemi (uspořádanými) dvojicemi buněk
* optimální spojení zadané množiny buněk