1 Statistická analýza plošných jevů 1. porovnání prostorového uspořádání studovaného jevu s uspořádáním teoretickým (shlukovým, pravidelným či náhodným) 2. typologie prostorového uspořádání jevů (bez územní souvislosti) 3. regionalizace - seskupování jednotek (polygonů) do vyšších územně souvisejících celků 4. interpolace a vyhlazování areálových dat Studium prostorových vztahů může být zaměřeno na následující typy úloh: Míry prostorového uspořádání ploch Prostorová autokorelace­ hodnoty atributů ploch spolu korelují v závislosti na jejich vzájemné poloze. To je v důsledku podobných přirozených (přírodních) podmínek (např. produkce zemědělských podniků) či v důsledku přirozené spojitosti jevů. Příklad pozitivní prostorové autokorelace (shlukové uspořádání - vlevo) a negativní prostorové autokorelace (disperzní uspořádání ­ vpravo) Matice prostorových vah (Spatial weight matrices) Prostorová autokorelace měří stupeň podobnosti atributů mezi danou plochou a plochami sousedními. Nejprve proto musí být vztahy sousedství jistým způsobem kvantifikovány. Způsoby definování sousedství (Rook's case ­ věž, Queen's case ­ Dáma) Vedle sousedství je další běžně užívanou mírou prostorové relace objektů jejich vzdálenost. Binární matice sousedství Analogicky jako v případě linií ­ binární, čtvercová symetrická matice C s prvky cij, 1 ­ sousedí, 0 - ne) Vlastnosti: * Prvky na hlavní diagonále mají hodnoty 0 * Matice je symetrická ­ redundance uložené informace * Suma v řádku nese informaci o počtu sousedů dané jednotky * Pro větší počet prostorových jednotek obsahuje velké množství nul a je tedy paměťově náročná Existují i jiné způsoby definování sousedství (jiné matice sousedství) ... Stochastická matice Nahrazuje jedničky vahou wij , vypočtenou jako poměr mezi hodnotu cij a sumou v řádku ­ tj. počtem sousedů. Tedy má-li jednotka 4 sousedy, bude její váha rovna 0,25 ­ tak dostaneme z matice C matici W, označovanou jako matici se standardizovanými řádkovými vahami. Stejně jako matice C má i W na hlavní diagonále nuly, není vak již symetrická. 2 Vzdálenosti centroidů Jsou-li jako váhy použity vzdálenosti, matice se označuje D s prvky dij . Váhy jsou potom definovány jako převrácená hodnota vzdálenosti: ij ij d w 1 = V řadě případů síla vztahu mezi dvěma jednotkami klesá rychleji než se zvětšuje jejich vzdálenost, proto se váhy definují jako: 2 1 ij ij d w = Na místo vzdáleností centroidů jsou použity vzdálenosti dvou nejbližších částí dvou polygonů. Takto definované váhy jsou výhodné pro charakterizování prostorových kontaktů či difuze. U takto sestavené matice buňky s nulami mimo hlavní diagonálu (sousedé) odpovídají buňkám s jedničkami v binární matici sousedství. Nejbližší vzdálenosti Míry prostorové autokorelace areálů Globální míry prostorové autokorelace: * Data nominální - JCS - joint count statistics ­ Statistika charakteru sousedství * Data intervalová a poměrová - Moranův index I, Prostorová autokorelace se může měnit v rámci studované oblasti Lokální míry prostorové autokorelace * Local Indicator of Saptial Association (LISA) * Lokální verze Moranova Indexu I Ke grafickým prostředkům hodnotícím prostorovou autokorelaci patří Moranův scatterplot diagram. Statistika charakteru sousedství - Joint count statistics (JCS) Touto metodou lze zjistit, zda uspořádání ploch, které mohou nabývat binárních hodnot vykazuje prvky náhodnosti. Tedy zda existuje pozitivní (clustered pattern) či negativní (random pattern) prostorová autokorelace. Podstata metody ­ jednoduchý příklad: Mapa se dvěma kategoriemi landuse: U ­ zástavba, R ­ volná krajina. Mohou existovat čtyři typy sousedství: UU, RR, UR, RU. V případě čistě náhodného uspořádání se bude každá kombinace vyskytovat v 25% případů. Dvojice ploch s odlišným atributem se budou vyskytovat v 50 % případů. Pokud UR + RU < 50%, potom výskyt dvojic ploch se stejným atributem UU a RR bude vyšší než 50% - což je případ pozitivní prostorové autokorelace. V případě 50 na 50 ­ uspořádání je náhodné a pokud UR + RU > 50%, pak se jedná o negativní SA, kdy dominují hranice nepodobných ploch. Indexy pro hodnocení prostorové autokorelace plošných jevů * Je využitelný pro intervalová a poměrová data * Je založen na porovnávání hodnot atributů sousedních ploch. * Mají-li tyto sousední plochy v celé studované oblasti podobné hodnoty, potom index svědčí o silné pozitivní prostorové autokorelaci a naopak. Moranův (I) index jako míra prostorové autokorelace plošných jevů 3 Moranův (I) index - -- = 2 )( ))(( xxW xxxxwn I i jiij kde xi je hodnota proměnné v ploše i wij jsou váhy, W matice vah Hodnota indexu kolísá od -1 pro negativní prostorovou autokorelaci do +1 pro pozitivní prostorovou autokorelaci. Očekávaná hodnota (případ nulové prostorové autokorelace) )1( 1 - -= n EI Váhy - matice binární či stochastická. Interpretace Moranova I * Budou-li ve zpracovávané oblasti převažovat sousedé s obdobnými hodnotami, Moranův index I bude kladný. * Vypočteme hodnoty I a E(I) a následně musíme zjistit, zda rozdíl mezi nimi je statisticky významný. * Tento rozdíl je opět nutné vztáhnout k míře variability (např. rozptylu) a pomocí ní odvodit standardizovanou hodnotu z-skóre )( )( 2 I IEI Zn - = * Odhady rozptylu se budou lišit podle způsobu, jakým mohou být hodnoty vyšetřovaného atributu přeřazeny k jednotlivým plochám ­ viz. předpoklad normality a předpoklad náhodnosti ˇPokud je hodnota Zn(I) menší (resp. větší) než -1,96 (resp. 1,96) je hodnota indexu I statisticky významně negativní (resp. pozitivní) na hladině významnosti =0,05. Příklad 1: Kartogram průměrného příjmu pro sedm států v Ohiu. Z hodnot vypočtených indexů vyplývá, že hodnota Moranova indexu indikuje negativní prostorovou autokorelaci (státy s vysokou hodnotou studovaného atributu jsou blízko států s nízkými hodnotami). Tato tendence však není statisticky významná na hladině 5 %. Lokální statistiky prostorové autokorelace * Výše uvedený index je příkladem indexů globálních. * Hodnoty prostorové autokorelace se mohou v různých suboblastech měnit. Navíc můžeme očekávat, že pozitivní autokorelaci lze nalézt v jednom sub-regionu a negativní v jiném. * LISA (Local Indicators of Spatial Association) - lokální verze Moranova indexu. * Ke zjištění úrovně prostorové autokorelace na lokální úrovni počítají hodnotu indexu pro každou plochu zpracovávaného území. Lokální Moranův index pro jednotku i : = i jijii zwzI kde zi a zj jsou odchylky od průměru nebo )( xx z i i - = kde je směrodatná odchylka xi. * Vysoké hodnoty znamenají kumulaci podobných hodnot atributů (vysokých či nízkých) v sousedních plochách, nízké hodnoty potom kumulaci odlišných hodnot atributů. * Hodnoty wij mohou představovat po řadách standardizovanou matici vah, lze použít i jiných matic vah. Příklad 2: Pro data z příkladu 1 byly vypočteny hodnoty lokálního Moranova indexu I (pro každý stát. Jako matice vah byla použita matice stochastická. Výsledky jsou prezentovány ve formě kartogramu. Interpretace: Vysoké hodnoty indexu I mají ty státy, jejichž sousedé mají velmi podobné hodnoty studované charakteristiky. Podle z-skóre žádná z hodnot není statisticky významná a dané uspořádání průměrných příjmů v sedmi státech lze interpretovat jako náhodný proces.