1
Statistická analýza plošných jevů
1. porovnání prostorového uspořádání studovaného jevu
s uspořádáním teoretickým (shlukovým, pravidelným či
náhodným)
2. typologie prostorového uspořádání jevů (bez územní souvislosti)
3. regionalizace - seskupování jednotek (polygonů) do vyšších
územně souvisejících celků
4. interpolace a vyhlazování areálových dat
Studium prostorových vztahů může být zaměřeno na
následující typy úloh:
Míry prostorového uspořádání ploch
Prostorová autokorelace­ hodnoty atributů ploch spolu korelují v závislosti na
jejich vzájemné poloze. To je v důsledku podobných přirozených (přírodních)
podmínek (např. produkce zemědělských podniků) či v důsledku přirozené
spojitosti jevů.
Příklad pozitivní prostorové autokorelace (shlukové uspořádání - vlevo) a
negativní prostorové autokorelace (disperzní uspořádání ­ vpravo)
* Prostorová autokorelace je významným ukazatelem k hodnocení
dynamiky a časových změn v prostorovém uspořádání objektů a pro
predikce.
* Další význam prostorové autokorelace spočívá ve skutečnosti, že řada
statistických ukazatelů (např. regresní modely) požaduje splnění
předpokladu náhodnosti výběru objektů a jejich vzájemné nezávislosti.
Míry prostorové autokorelace tak mohou potvrdit či vyvrátit splnění
uvedených předpokladů.
Význam prostorové autokorelace
Matice prostorových vah (Spatial weight matrices)
Prostorová autokorelace měří stupeň podobnosti atributů mezi danou plochou a
plochami sousedními. Nejprve proto musí být vztahy sousedství jistým způsobem
kvantifikovány.
Způsoby definování sousedství (Rook's case ­ věž, Queen's case ­ Dáma)
Vedle sousedství je další běžně užívanou mírou prostorové relace objektů jejich
vzdálenost.
Binární matice konektivity
(BCM ­ binary connectivity matrix)
Analogicky jako v případě linií ­ binární, čtvercová symetrická matice C
s prvky cij, 1 ­ sousedí, 0 - ne)
Vlastnosti BCM:
* Prvky na hlavní diagonále mají hodnoty 0
* Matice je symetrická ­ redundance uložené informace
* Suma v řádku nese informaci o počtu sousedů dané jednotky
* Pro větší počet prostorových jednotek obsahuje velké množství nul a je tedy
paměťově náročná
2
Vhodnější způsob zaznamenání vztahů sousedství je uchovávání
ID či názvu sousedů pro každou plochu, tedy např.:
Polygon Soused1 Soused2 ...
Brno-město Brno-venkov Blansko
Blansko Brno-venkov Vyškov Brno-město
...... ..... ....
Stochastická matice či matice se
standardizovanými řádkovými vahami (RSWM)
Nahrazuje jedničky vahou wij , vypočtenou jako poměr mezi hodnotu cij a sumou
v řádku ­ tj. počtem sousedů. Tedy má-li jednotka 4 sousedy, bude její váha rovna
0,25 ­ tak dostaneme z matice C matici W, označovanou jako matici se
standardizovanými řádkovými vahami. Stejně jako matice C má i W na hlavní
diagonále nuly, není však již symetrická.
Vzdálenosti centroidů
Jsou-li jako váhy použity vzdálenosti, matice se označuje D s prvky dij . Váhy
jsou potom definovány jako převrácená hodnota vzdálenosti:
ij
ij
d
w
1
=
V řadě případů síla vztahu mezi dvěma jednotkami klesá rychleji než se
zvětšuje jejich vzdálenost, proto se váhy definují jako:
2
1
ij
ij
d
w =
Na místo vzdáleností centroidů jsou použity vzdálenosti dvou nejbližších
částí dvou polygonů.
Takto definované váhy jsou výhodné pro charakterizování prostorových
kontaktů či difuze.
U takto sestavené matice buňky s nulami mimo hlavní diagonálu
(sousedé) odpovídají buňkám s jedničkami v binární matici sousedství.
Matice nejbližších vzdáleností
Míry prostorové autokorelace areálů
Globální míry prostorové autokorelace:
* Data nominální - JCS - joint count statistics ­ Statistika charakteru
sousedství
* Data intervalová a poměrová - Moranův index I, Gearyho poměr C, G-
statistika)
Prostorová autokorelace se může měnit v rámci studované oblasti
Lokální míry prostorové autokorelace
* Local Indicator of Saptial Association (LISA)
* Lokální verze G-statistiky (local G-statistics).
Ke grafickým prostředkům hodnotícím prostorovou autokorelaci patří
Moranův scatterplot diagram.
Statistika charakteru sousedství - Joint count statistics (JCS)
Touto metodou lze zjistit, zda uspořádání ploch, které mohou nabývat binárních hodnot
vykazuje prvky náhodnosti. Tedy zda existuje pozitivní (clustered pattern) či negativní
(random pattern) prostorová autokorelace.
Podstata metody:
U ­ zástavba, R ­ volná krajina. Čtyři typy sousedství: UU, RR, UR, RU.
UR + RU < 50% pozitivní prostorová autokorelace.
UR + RU > 50%, negativní prostorová autokorelace
3
Sestavíme matici sousedství pro jednotlivé plochy. V této matici nula značí,
že obě plochy spolu bezprostředně nesousedí, 1 naopak. Zároveň je barvou
buňky v matici naznačeno, o jaký typ spoje se jedná
Statistika charakteru sousedství - Joint count statistics (JCS)
Binární matice sousedství pro nominální data
Binární matice sousedství uspořádaná podle hodnot atributů
Obě matice jsou symetrické, ve druhém případě navíc je možné jednoduše popsat
prostorovou autokorelaci pomocí čtyř sub-matic. Z matice lze zjistit, že 14 buněk
obsahuje jedničku, která značí výskyt hrany (14 párů sousedství). Dále platí, že
jednotlivé typy sousedství se na mapě vyskytují s těmito četnostmi:
UU=2
UR=5
RU=5
RR=2
Z toho plyne, že RU + UR > 14/2 , tedy naše
mapa vykazuje negativní autokorelaci,
nepodobné plochy (s odlišným typem povrchu)
se shlukují.
Statistika charakteru sousedství - Joint count statistics (JCS)
- testování statistické významnosti
* Uvedený koncept lze dále rozšířit využitím počtu pravděpodobnosti a
statistických testů. Ty umožní testovat statistickou významnost prostorového
uspořádání ploch v mapě.
* V dalším výkladu jsou používány dvě hodnoty atributů B ­ black, černá, W
­ white, bílá. Tedy bude-li prostorové uspořádání indikovat uspořádání do
shluků, potom můžeme předpokládat více hranic typu BB či WW než BW
nebo WB ­ tedy pozitivní prostorovou autokorelaci.
* JCS tedy nejprve určuje počet jednotlivých druhů spojů s cílem testovat
četnost jejich výskytu.
* Pro plochu s malým počtem polygonů lze počty jednotlivých spojů zjistit
manuálně, pro velký počet ploch je nutné využití metod matematické
statistiky.
Obecný postup testování
Nechť xi=1 jestliže polygon i je černý (B) a xi=0 jestliže polygon i je bílý (W).
Pro BB spoje platí:
Pro WW spoje bude platit:
Pro BW nebo WB spoje platí:
1. Výpočet pozorovaných (O ­ observed) počtů spojů
popisujících dané uspořádání.
 = i j jiijBB xxwO )(
2
1
[ ]  --= i j jiijWW xxwO )1)(1(
2
1
[ ]  -= 2
)(
2
1
jiijBW xxwO
Vysoké hodnoty OBB či OWW či obou indikují pozitivní prostorovou autokorelaci
(slukování).
Pozorované počty spojů však musíme porovnat s náhodným uspořádáním a musíme
testovat, zda eventuelní zvýšené počty OBB či OWW nejsou výsledkem pouhé
náhody, zda jsou či nejsou statisticky významné.
Způsob určení pravděpodobnosti výskytu B a W polygonů může významně
ovlivnit výsledek analýzy. Hodnoty atributů mohou byt jednotlivým
polygonům přiřazeny na základě předpokladu normality či náhodnosti
Předpoklad normality: pravděpodobnost, že se jedná o polygon B či W je
založena na teorii či na trendu hodnot atributů odvozeném z větší oblasti.
Pravděpodobnost, že polygon má B či W není ovlivněna celkovým počtem
B či W polygonů v oblasti.
Předpoklad náhodnosti: pravděpodobnost, že polygon bude mít B či W je
omezena celkovým počtem B či W polygonů.
Příklad: Plocha obsahující sedm polygonů:
Předpoklad náhodnosti ­ může existovat pouze různá konfigurace 4 ,,černých" a 3
,,bílých" ploch.
Předpoklad normality - může existovat různá konfigurace jakéhokoliv (0 až 7) počtu
,,černých" a ,,bílých" ploch.
Pro případ normálního vzorkování jsou vztahy pro očekávané četnosti
jednotlivých druhů spojů
2
2
1
WpEBB = 2
2
1
WqEww = WpqEWB =
p ­ pravděpodobnost, že plocha bude B (černá)
q ­ pravděpodobnost, že plocha bude W (bílá)
Pravděpodobnosti p, q musí dávat 100% nebo (p + q = 1). Pokud není
k dispozici jiná informace, potom
nnp B=
2. Výpočet očekávaných (E - expected) počtů spojů
popisujících dané uspořádání.
4
3. Určení hodnot směrodatných odchylek (pro binární matici vah):
( )KJpKpJpBB +-+= 432

( )KJqKqJqWW +-+= 432

( )KJqppqKpqJBW +-+= 22
42
kde  je směrodatná odchylka počtu příslušných spojů
p, q byly definovány výše
J je celkový počet spojů ve studované oblasti
( ) =
-=
n
i ii LLK 1
1 Hodnota n v tomto výrazu značí celkový počet polygonů
a Li je počet spojů mezi polygonem i a jeho sousedy.
Pro příklad testování negativní prostorové autokorelace (BW spoje)
Máme-li k dispozici pozorované počty spojů (OBW) a vypočteme-li
hodnoty EBW a BW. potom můžeme vyjádřit hodnotu z-skóre:
BW
BWBW EO
Z

-
=
Podle pravděpodobnosti rozdělení hodnot Z-skóre platí, že jakákoliv
hodnota Z ležící mimo interval (-1,96; -1,96) má pravděpodobnost
výskytu menší něž 5 případů ze 100 (=0,05).
4. Určení hodnot z-skore
Metodou JCS určete, zda v oblasti existuje statisticky významná negativní
prostorová autokorelace ve výskytu ,,černých" (B) a ,,bílých" (W) ploch. Jako vah
využijeme prvků binární matice. Podle výše uvedených vzorců musíme vyčíslit
hodnoty OBW, EBW, BW,
Konkrétní příklad
1. Spočteme celkový počet všech spojů ve studované oblasti, tedy hodnota
J=11.
2. Určíme způsob definice sousedství ­ v tomto případě za sousedy
považujeme pouze polygony, které spolu sousedí hranou (rook's case).
3. Určíme hodnoty pravděpodobností p, q výskytu ,,černé" či ,,bílé"
plochy. V tomto případě předpokládáme, že p = 0,3 a q = 0,7.
4. Z obr. d určíme pomocí následující tabulky hodnotu
Postup
( ) -1LL
Oblast L L-1 L(L-1)
A 3 2 6
B 2 1 2
C 3 2 6
D 5 4 20
E 3 2 6
F 3 2 6
G 3 2 6
 22 52
5. Vyčíslíme hodnoty , EBW, BW:
BW =2,1
6. Pro jednotlivé varianty na obrázku a, b, c jsou hodnoty pozorovaných počtů
spojů (OBW)
7. OBW = 4, 6 resp. 8
8. Pro konfigurace ,,černých" a ,,bílých" ploch uvedené na obrázku vyjádříme
hodnotu z-skóre:
62,47,0*3,0*11*22 === JpqEBW
29,0
1,2
62,44
-=
=Z
65,0
1,2
62,46
=
-
=Z
Interpretace: Žádná z hodnot Z-skóre nepřesahuje prahovou hodnotu 1,96
a tedy uvedená uspořádání nevykazují statisticky významnou negativní
prostorovou autokorelaci na hladině významnosti =0,05.
61,1
1,2
62,48
=
-
=Z
Příklad výstupu metody JSC v programu ArcView
5
Náboženské vyznání vybraných obcí v okrese Jindřichův Hradec
méně než 30%
více než 30%
Podíl věřících
0 5 10 15 20 25 30 km
Spoje typu AA: 16
Spoje typu BB: 13
Spoje typu AB: 12
Očekávané spoje AA: 12.4025
Očekávané spoje BB: 8.3025
Očekávané spoje AB: 20.295
Rozptyl spojů AA: 31.7103
Rozptyl spojů BB: 22.0578
Rozptyl spojů AB: 41.5552
Testovací hodnota z spojů AA: 0.638852
Testovací hodnota z spojů BB: 1.0002
Testovací hodnota z spojů AB: -1.28678
Příklad analýzy metodou JSC
- pozitivní prostorová autokorelace
Příklad využití metody JCS
http://charlotte.utdallas.edu/mgis/prj_wrkshp/2004/Turner/web/Turner_WorkshopFinal.htm
Příklad využití metody JCS Příklad využití metody JCS
* pouze pro kategoriální data
* pro větší počet ploch v oblasti (více než 30)
* pokud každá jedna z kategorií představuje alespoň 20 % ploch
* pokud tvar studované oblasti nemá výrazně protáhlý tvar
Omezení metody JCS