1
Indexy pro hodnocení prostorové
autokorelace plošných jevů
* Jsou využitelné pro intervalová a poměrová data
* Vhodnější vlastnosti vzhledem k rozdělení hodnot má
index I.
* Jsou založeny na porovnávání hodnot atributů
sousedních ploch.
* Mají-li tyto sousední plochy v celé studované oblasti
podobné hodnoty, potom obě statistiky budou svědčit o
silné pozitivní prostorové autokorelaci a naopak.
* Obě statistiky využívají odlišný přístup k porovnávání
hodnot sousedních ploch.
Moranův (I) a Gearyho (C) index jako míry
prostorové autokorelace plošných jevů
Moranův (I) index


-
--
= 2
)(
))((
xxW
xxxxwn
I
i
jiij
kde xi je hodnota proměnné v ploše i
wij jsou váhy, W matice vah
Hodnota indexu kolísá od -1 pro negativní prostorovou
autokorelaci do +1 pro pozitivní prostorovou autokorelaci.
Očekávaná hodnota (případ nulové prostorové autokorelace)
)1(
1
-
-=
n
EI
Váhy - matice binární či stochastická.
Interpretace Moranova I
* Budou-li ve zpracovávané oblasti převažovat sousedé
s obdobnými hodnotami, Moranův index I bude kladný.
* Vypočteme hodnoty I a E(I) a následně musíme zjistit, zda rozdíl
mezi nimi je statisticky významný.
* Tento rozdíl je opět nutné vztáhnout k míře variability (např.
rozptylu) a pomocí ní odvodit standardizovanou hodnotu z-skóre
)(
)(
2
I
IEI
Zn

-
=
* Odhady rozptylu se budou lišit podle způsobu, jakým mohou být
hodnoty vyšetřovaného atributu přeřazeny k jednotlivým plochám ­
viz. předpoklad normality a předpoklad náhodnosti
ˇPokud je hodnota Zn(I) menší (resp. větší) než -1,96 (resp. 1,96) je
hodnota indexu I statisticky významně negativní (resp. pozitivní)
na hladině významnosti =0,05.
Gearyho poměr C


-
--
= 2
2
)(2
)()1(
xxW
xxwn
C
i
jiij
* Jako vah se nejčastěji využívá matice binární či stochastické.
* Ve srovnání se vzorcem pro výpočet Moranova indexu Gearyho
index porovnává hodnoty atributů přímo mezi sebou.
* Pro hodnotu indexu není rozhodující, která z hodnot xi a xj je
větší či menší, ale jaký je jejich absolutní rozdíl ­ jejich
nepodobnost (ve výrazu je druhá mocnina jejich rozdílu).
* Gearyho index nabývá hodnot v intervalu 0 až 2.
* Hodnota nula indikuje dokonalou pozitivní autokorelaci (všechny
sousední hodnoty atributů jsou stejné). Naopak hodnota 2 indikuje
dokonalou negativní prostorovou autokorelaci. Hodnota 1 znamená
nulovou prostorovou autokorelaci ­ náhodné uspořádání
* Očekávaná hodnota Gearyho indexu nezávisí na počtu
posuzovaných ploch n, ale má vždy hodnotu 1.
Interpretace Gearyho poměru C
* Vypočtené hodnoty indexu C lze porovnat s hodnotou
jedna (očekávanou)
* Pro prokázání statisticky významného rozdílu je nutné
vypočítat hodnotu rozptylu a z-skóre.
* Hodnota rozptylu se opět vypočte rozdílně v závislosti na
předpokladu normality či náhodnosti.
* Z výše uvedeného plyne, že negativní hodnota z-skóre
značí pozitivní prostorovou autokorelaci a kladná hodnota
z-skóre značí negativní.
2
Příklad 1: Kartogram průměrného příjmu pro sedm států v Ohiu. Z hodnot
vypočtených indexů vyplývá, že hodnota Moranova indexu indikuje
negativní prostorovou autokorelaci (státy s vysokou hodnotou
studovaného atributu jsou blízko států s nízkými hodnotami). Tato
tendence však není statisticky významná na hladině 5 %.
Omezení globálních měr I, C
* rozsah studované oblasti
* počet objektů (ploch)
I = 0,76
Z = 9,5
Pouze řeší, zda:
Podobné blízko sebe ­ pozitivní prostorová autokorelace
Nepodobné blízko sebe ­ pozitivní prostorová autokorelace
Obecná G - statistika
* Indexy I a C mají dobře definované statistické vlastnosti,
které popisují prostorovou autokorelaci globálně
* Nejsou však efektivní k identifikaci rozdílných shluků
prostorového uspořádání uvnitř oblasti.
* Identifikují oblasti s podobnými hodnotami atributů,
nerozlišují však, zda tyto podobné hodnoty nabývají vysokých
či nízkých hodnot.
* Shluky ploch (též. místa prostorové koncentrace - spatial
concentration) vysokých hodnot vyšetřovaného atributu ve
studované oblasti se označují jako ,,hot spots", naopak místa
se shluky nízkých hodnot jako ,,cold spots".
* Odlišit oby typy shluků lze pomocí tzv. obecné G-statistiky
(general G-statistics).
Obecná G - statistika

=
ji
jiij
xx
xxdw
dG
)(
)(
* G-statistika je definována vzdáleností d mezi plochou i a
plochami sousedními.
* Váha wij(d) má hodnotu 1, jestliže se plocha j nachází ve
vzdálenosti menší či rovné d od plochy i, jinak je váha rovna 0.
* Matice vah je maticí binární a symetrickou, vztahy sousedství
jsou definovány vzdáleností d. Suma těchto vah matice se rovná:
ji pro=
i j
ij dwW )(
ji pro
Interpretace G - statistiky
* Vysoké hodnoty G(d) indikují prostorovou asociaci vysokých hodnot
(hot spots) zkoumaného atributu, nízké G(d) potom prostorovou asociaci
nízkých hodnot (cold spots).
* Před výpočtem G(d) je nutné určit vzdálenost d, která definuje plochy,
které budou považovány za sousedy plochy posuzované. Musí být vhodně
zvolena tak, aby posuzovaná plocha měla alespoň jednoho souseda.
* K interpretaci G(d) je nutné vyčíslit očekávanou hodnotu G(d), tedy E(G)
a následně standardizovanou hodnotu z-skóre a tedy i rozptyl hodnoty
G(d). Očekávaná hodnota G(d) bude:
)1(
)(
-
=
nn
W
GE
* Očekávaná hodnota odpovídá nulové prostorové asociaci. Např. je-li
vypočtená hodnota G(d) větší než očekávaná, můžeme říci, že
pozorované uspořádání vykazuje pozitivní prostorovou asociaci.
* Statistickou významnost tohoto tvrzení je opět nutné testovat
výpočtem hodnoty rozptylu a Z-skóre. Hodnota z-skóre menší než
1,96 indikuje statisticky nevýznamný výsledek na hladině =0,05.
Příklad 2: Jsou použita stejná vstupní data jako v případě I a C
indexů. Výchozí matice vzdáleností centroidů je převedena na matici
binární na základě zvolené vzdálenosti d (d=30 mil)
Výchozí matice vzdáleností centroidů
Matice sousedství vypočtená pro d=30
Vypočtená hodnota G(d) vykazuje mírnou úroveň prostorové asociace,
podle hodnoty z-skóre však výsledek není statisticky významný.
Jinými slovy ­ dané uspořádání průměrného příjmu v sedmi státech
Ohia je spíše výsledkem náhody než určitého systematického procesu.
3
Lokální statistiky prostorové autokorelace
* Výše uvedené indexy jsou příkladem indexů globálních.
* Hodnoty prostorové autokorelace se mohou v různých suboblastech
měnit. Navíc můžeme očekávat, že pozitivní
autokorelaci lze nalézt v jednom sub-regionu a negativní v jiném.
* LISA (Local Indicators of Spatial Association) - lokální verze
Moranova a Gearyho indexu.
* Ke zjištění úrovně prostorové autokorelace na lokální úrovni se
vypočte hodnota indexu pro každou plochu zpracovávaného
území.
Lokální Moranův index pro jednotku i :
=
i
jijii zwzI
kde zi a zj jsou odchylky od průměru nebo

)( xx
z i
i
-
=
kde  je směrodatná odchylka xi.
* Vysoké hodnoty znamenají kumulaci podobných hodnot
atributů (vysokých či nízkých) v sousedních plochách, nízké
hodnoty potom kumulaci odlišných hodnot atributů.
* Hodnoty wij mohou představovat po řadách standardizovanou
matici vah, lze použít i jiných matic vah.
Lokální verze Gearyho poměru:
 -=
j
jiiji zzwc 2
)(
Shlukování podobných hodnot atributů vede k nízkým
hodnotám tohoto indexu a naopak.
Lokální G-statistika

=
j j
jij
i
x
xdw
dG
)(
)( ji pro
I v případě lokálních měr je nutné interpretovat hodnoty
indexů pomocí očekávaných hodnot, hodnot rozptylu a
standardizovaných skóre
Příklad 3: Pro data z příkladu 1
byly vypočteny hodnoty lokálního
Moranova indexu I (pro každý
stát. Jako matice vah byla použita
matice stochastická. Výsledky
jsou prezentovány ve formě
kartogramu.
Interpretace: Vysoké hodnoty indexu I mají ty státy, jejichž sousedé mají
velmi podobné hodnoty studované charakteristiky. Podle z-skóre žádná
z hodnot není statisticky významná a dané uspořádání průměrných příjmů
v sedmi státech lze interpretovat jako náhodný proces.
Obdobným způsobem lze vizualizovat a hodnotit výsledky analýzy založené
na lokálním indexu C a lokální G-statistice.
Moranovo korelační pole (Moran Scatterplot)
Lokální statistiky vystihují prostorovou heterogenitu v jednotlivých
částech studovaného území.
Lze jimi identifikovat oblasti s neobvyklými hodnotami měr
prostorové autokorelace, které lze označit jako oblasti s odlehlými
hodnotami (outliers).
Efektivním nástrojem pro takovouto diagnostiku území je
Moranovo korelační pole založené na regresním počtu.
Předpokládejme, že x značí vektor hodnot xi vyjádřený v
odchylkách od průměru )( xxi Dále
W značí po řádcích standardizovanou matici vah.
Lze sestavit regresní závislost hodnot Wx na x. Směrnice této
regresní závislosti indikuje vzájemný vztah sousedních hodnot
atributů.
4
Moranovo korelační pole (Moran Scatterplot)
Sestavíme regresní závislost hodnot Wx na x. Směrnice této
regresní závislosti indikuje vzájemný vztah sousedních hodnot
atributů.
IWxax +=
kde parametr a značí vektor koeficientů (intercept).
* Hodnota I je regresní koeficient reprezentující směrnici a také
hodnotou Moranova globálního indexu I.
* Vynesení regresní závislosti Wx na x umožňuje identifikovat
odlehlé hodnoty. Pokud budou mít všechna pozorování podobné
hodnoty prostorové autokorelace, v korelačním poli budou body
tvořit regresní přímku.
* Pokud některá pozorování budou ukazovat lokálně výrazně
vysoké či nízké hodnoty prostorové autokorelace ve vztahu k jejich
sousedům, tato pozorování budou v grafu tvořit body výrazně nad
či pod regresní čarou.
Příklad 4: Hodnota Moranova indexu (viz. Příklad 1) indikuje slabou
negativní prostorovou autokorelaci (státy s vysokou hodnotou
studovaného atributu jsou blízko států s nízkými hodnotami).
Parametr b představuje hodnotu Moranova indexu I. Z grafu je patrné
že příjem (x) je nepřímo úměrný vážené hodnotě příjmu (Wx).
Množinou bodů lze proložit přímku. Body, které se výrazně odchylují od
přímky představují ,,outliers" ­ představují oblasti s výrazně odlišnými
hodnotami prostorové autokorelace.
Příklad prostorového uspořádání atributu, který vykazuje silnou
pozitivní autokorelaci a příslušný Moranův diagram
Moranovo korelační pole - Interpretace
Z Moranova diagramu lze vybrat plochy vykazující stejné tendence v
hodnotách měr prostorové autokorelace ­ příklad pozitivní prostorové
autokorelace