Elektrodynamika a teorie relativity (2008/2009)
I. Úvod: elektrodynamika v kontextu moderní fyziky a stručný přehled.
1. Pro stanovení elektromagnetických sil v rovnicích klasické fyziky nestačí Coulombův
zákon, Lorentzova síla, pojem pole, svébytnost pole.
2. K předmětu elektrodynamiky:
{, j}  {E, B}, {E, B}  {, j}, dynamika pole.
3. Přehled Maxwellových rovnic (MR): cirkulace pole, tok pole; Coulombův zákon
a Gaussův z. a příslušné dif. rovnice; Biotův a Savartův z. a Amperův z. a příslušné
dif. rovnice; Faradayův z. a odpovídající MR; Maxwellovo doplnění A. z. a
odpovídající MR.
4. MR nejsou konsistentní s Galileiho transformací, cesta ke STR.
II. Elektrostatika
1. Coulombův zákon. Pole bodového náboje, soustavy nábojů, spojitého rozdělení
náboje, přechod mezi diskrétním a spojitým rozdělením s využitím Diracovy delta
funkce.
2. Odvození G. z. a aplikace (bod, válec, rovina, koule).
3. Odvození MR E = /0.
4. C. zákon  konzervativnost pole, E dl = 0,  × E = 0.
5. Příklad: vymizení pole uvnitř kovové dutiny. Při této příležitosti vysvětleno, co
na této úrovni rozumíme kovem, a naznačeno, jak je to s kovy ve skutečnosti.
6. Potenciál pole, Poissonova a Laplaceova rovnice.
7. Problematika jednoznačnosti, potenciál pro lokalizované rozdělení nábojové hus-
toty.
8. Tři výrazy pro energii v elektrostatice: 1. obsahuje jen , 2. obsahuje  a ,
3. obsahuje jen E.
9. Přehled metod řešení elektrostatických problémů.
(a) Dáno rozložení náboje.
() Přímá integrace
() Gaussova věta
() Poissonova rovnice
Příklad: stanovení pole drátu s lineární hustotou náboje  postupy (), () a ().
(b) Dány okrajové podmínky.
() Zrcadlové náboje
() Řešení s využitím ortogonálních systémů funkcí
10. Ortogonální systémy. Definice a základní vlastnosti, hlavní myšlenka metod
řešení: rozvoj a stanovení koeficientů.
11. Příklad: stanovení potenciálu pro okrajové podmínky na kulové ploše. Řešení
Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích, separace proměnných, Legendreovy
polynomy, přidružené Legendreovy polynomy, obecný tvar řešení; určení koefici-
entů vystupujících v rozvoji partikulárního řešení (Jackson - 3.3 a 2.7).
12. Multipólový rozvoj potenciálu lokalizovaného rozdělení náboje. Monopólový,
dipólový a kvadrupólový člen, dipólový a kvadrupólový moment. Multipólový rozvoj
energie lokalizovaného rozdělení náboje ve vnějším poli, energie dipólu a síla
působící na dipól.
13. Dielektrika. Dipólové momenty v materiálech a elementární zavedení polarizace.
Mikroskopické a makroskopické rovnice elektrostatiky, rozklad makroskopické hustoty
na hustotu volného náboje, hustotu náboje molekul (s náboji ,,sedícími v těžišti")
a hustotu polarizačního náboje, přitom zavedena polarizace, výsledný tvar
rovnice pro makroskopické pole E, indukce pole. Rovnice elektrostatiky pro dielektrika
s materiálovým vztahem D = 0rE, jejich řešení, okrajové podmínky
pro rozhraní mezi dielektriky.
III. Magnetostatika.
1. Vymezení okruhu problémů: velký počet nábojů vytváří spojité a statické
rozložení proudové hustoty, j = 0.
2. Lorentzova síla, síla působící na element objemu a na úsek drátu.
3. Biotův a Savartův zákon. Pole drátu, soustavy drátů, spojitého rozložení proudové
hustoty, přechod mezi dráty a spojitým rozložením s využitím Diracovy delta
funkce.
4. Odvození rovnice B = 0, odpovídající integrální rovnice.
5. Odvození rovnice  × B = 0j a Amperova zákona.
6. Vektorový potenciál A pole, volnost ve výběru, diferenciální rovnice pro A,
Poissonova rovnice pro složky v kartézských souřadnicích.
7. Problematika jednoznačnosti řešení, analogie s elektrostatikou, vektorový potenciál
pro lokalizované rozdělení proudové hustoty.
8. Příklad: stanovení pole rovného drátu s využitím () přímé integrace, () Amperova
zákona a () Poissonovy rovnice.
9. Magnetický dipól. Pole kruhové smyčky ve velké vzdálenosti, pojem magnetický
dipól, význam v teorii magnetických vlastností látek; multipólový rozvoj vektorového
potenciálu pro lokalizované rozdělení proudové hustoty, dipólový člen; síla a
moment síly působící na magnetický dipól ve vnějším poli, efektivní energie magnetického
momentu ve vnějším poli.
10. Základy magnetostatiky materiálů. Magnetické dipólové momenty v materiálech
a elementární zavedení magnetizace. Mikroskopické a makroskopické rovnice
magnetostatiky, rozklad makroskopické hustoty proudu na hustotu proudu volných
nábojů a hustotu proudu spojenou s magnetickými momenty, přitom zavedena
magnetizace, výsledná rovnice pro makroskopické pole B, intenzita pole. Rovnice
magnetostatiky pro látky s materiálovým vztahem B = 0rH, jejich řešení, okrajové
podmínky pro rozhraní mezi materiály.
IV. Maxwellovy rovnice.
1. Faradayův zákon v integrálním a diferenciálním tvaru, pravidlo toku, příklad:
dvě smyčky, které se vůči sobě rovnoměrně pohybují, smyčkou A protéká proud,
síla působící na náboje ve smyčce B z hlediska soustavy spojené s A a soustavy
spojené s B.
2. Dva výrazy pro energii v magnetostatice: 1. obsahuje j a A, 2. obsahuje jen B.
3. MR pro kvazistatická pole, nekonsistence s rovnicí kontinuity.
4. Maxwellův posuvný proud a obecný tvar MR, sjednocení nauky o el. a mg. jevech
a nauky o světle, příklady posuvného proudu (Feynman - 18.2).
5. Elektromagnetické potenciály  a A v obecném případě, kalibrační invariance,
rovnice pro  a A a jejich zjednodušení pro Lorentzovu kalibraci.
6. Řešení pro vakuum. Příklady:  = 0, A = [0, Ay(x, t), 0], rovinná vlna; opačně
nabité listy náboje (Feynman - 18.4). Obecné řešení.
7. Řešení rovnic pro pulz (r, t)/j(r, t)  (r - r0)(t - t0) a obecné řešení (retardované
potenciály).
8. Energie elektromagnetického pole, Poyntingův vektor, hybnost a moment hybnosti
pole.
9. Obecný tvar makroskopických MR pro materiály.
V. Vlnění a vyzařování.
1. Rovnice pro elektromagnetické vlnění v látce, zobecněná dielektrická funkce,
disperzní vztah (k ... ).
2. Pole pohybujícího se bodového náboje. Lienardovy a Wiechertovy potenciály,
náznak odvození výrazů pro odpovídající elektrické a magnetické pole, rozbor formule
pro E.
3. Záření bodového náboje. Složka výrazu pro E odpovídající záření. Výraz pro
Poyntingův vektor, přibližný vzorec platný pro velké vzdálenosti od náboje a
pro v/c << 1, vztah pro energii vyzářenou za jednotku času (Larmorova formule).
Příklady: oscilující náboj (dipól), zmínka o záření nabitých částic v urychlovačích,
o brzdném záření a o záření elektronu kroužícího kolem jádra.
4. Záření lokalizovaného zdroje s hustotou náboje a proudu  eit
. Vztah pro A,
přiblížení platná pro velké vzdálenosti od zdroje a pro velké vlnové délky, elektrické
dipólové záření, zmínka o magnetickém dipólovém a elektrickém kvadrupólovém
záření.
VI. Základy STR.
1. Nekonsistence MR a Galileiho transformace. Příklady: drát protékaný proudem
a nabitá částice ve vzájemném pohybu (Feynman - 13.6), vlna postupující
ve směru osy x s polarizací ve směru osy y z hlediska dvou vztažných soustav,
které se vůči sobě rovnoměrně pohybují - vlnová rovnice pro jednu soustavu nepřejde
při Gal. transformaci na vlnovou rovnici pro druhou.
2. Historický kontext vzniku STR. V trojici MR, princip relativity, Gal. transformace
musí být chybný článek. Einsteinovo řešení.
3. Principy STR.
4. Lorentzova transformace a důsledky: odvození, relativnost současnosti, kontrakce
délek, dilatace času, skládání rychlostí, transformace parametrů k a  rovinné
vlny, Dopplerův posuv, experimentální testy STR.
5. k a /c se transformují jako r a ct, tuto vlastnost má mnoho veličin - motivace
k zavedení pojmu čtyřvektor. Pojmy kontravariantní/kovariantní čtyřvektor,
skalár, kontravariantní/kovariantní/smíšený tenzor druhého stupně a příklady [čtyřvektor
rychlosti, čtyřvektory (E, cp), (c, j), (/c, A), tenzor elektromagnetického
pole, ...]. Vysvětlení transformačních vlastností hustoty a proudové hustoty, elektromagnetických
potenciálů, diferenciálních operátorů (/t, /x apod.) a polí
E a B. E a B jako jeden celek.
6. Formulace MR a Newtonova pohybového zákona, ze kterých je zřejmá invariance
vůči Lorentzově transformaci.