Diferenciální rovnice prvního řádu Variace konstanty Robert Mařík 3. dubna 2009 Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých kvizů a potom mi prosím vyplňte na webu. Děkuji! Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně šiřitelný AcroT[=XeDucation bundle, zdrojový soubor pro T[=X a přečíst si návod na domovské stránce. 1. Teorie Definice 1 (lineární DR) Necht funkce a, b jsou spojité na intervalu I. Rovnice y'+ a(x)y = b(x) (1) se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDR). Je-li navíc b(x) = 0 na I, nazývá se rovnice (1) homogenní, v opačném případě nehomogenní. Definice 2 (homogenní rovnice) Bud dána rovnice (1). Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice (1) nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice y' + a(x)y = 0 (2) se nazývá homogenní rovnice asociovaná s nehomogenní rovnici (1). Věta 1 (obecné řešeni") • Je-li yp{x) partikulární řešení nehomogenní rovnice a y0{x) obecné řešení asociované homogenní rovnice, je funkce y{x) = yP{x) + y0(x) obecným řešením nehomogenní rovnice. • Je-liyp(x) partikulární řešení nehomogenní rovnice a y0(x) nějaké netriviální řešení asociované homogenní rovnice, je funkce y(x) = yP(x) + cy0{x) obecným řešením této nehomogenní rovnice. Je-liyp0(x) netriviální partikulární řešení homogenní rovnice, pak obecné řešení této rovnice je y(x,C) = Cyp0(x). Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru yp{x) = K{x)yp0{x), (3) kde K(x) je diferencovatelná funkce. Fakt, že tato funkce nahradila konstantu v obecném řešení homogenní rovnice, dal metodě název variace konstanty. Požadujeme aby funkce yp(x) byla řešením rovnice (1) a budeme hledat takové K(x) abychom tento požadavek splnili. Derivováním (3) získáme y'p(x) = K'(x)yp0(x) + K(x)y'p0(x), a po substituci do (1) máme K'(x)yp0(x) + K(x)y'p0(x) + a(x)K(x)yp0(x) = b(x), K'(x)yp0(x) + K(x) [y'p0(x) + a(x)yp0(x)] = b(x). Protože yp0(x) je řešením asociované homogenní rovnice, výraz v hranaté závorce je nulový a odsud K'(x)yp0(x) = b{x). (4) Vyřešíme tuto rovnici vzhledem ke K'(x) a po integraci obdržíme K(x). Dosazením funkce K(x) do (3) získáme partikulární řešení nehomogenní rovnice a získat obecné řešení je již snadné pomocí Věty 1. Print Titulní strana « ► ► Zpět Full Screen Zavřít Konec 2. Testy • Na následujících stránkách máte zadánu vždy jednu lineární diferenciální rovnici a obecné řešení její asociované homogenní rovnice. Toto řešení vám dává formu ve které budete hledat partikulární řešení. Toto partikulární řešení máte najít a poté máte sestavit obecné řešení. • Musíte nejprve najít derivaci partikulárního řešení. Pokládejte K za funkci proměnné x. K'\e potom derivace této funkce. Pozor! Nepište k funkci K argument. Nepište K(x) — tohle bude interpretováno jako K * x, tj. jako součin funkce K a lineární funkce x. Když derivaci napíšete správně, automaticky se objeví v zadané rovnici místo y'. • Vyřešíte rovnici, která se objeví po překonání předchozího kroku. Máte za úkol najít K'. Proměnná K by se měla úplně vyrušit. Potom musíte najít K integrováním. Funkce K je dána jednoznačně až na aditivní konstantu - můžete si volit jakoukoliv, nejpohodlnější je volit nulu. • Dosazením nalezeného K na patřičné místo obdržíte partikulární řešení. To také není dáno jednoznačně (záleží na volbě integrační konstanty) ale tento test by měl být dostatečně chytrý na to, aby správně poznal zda se jedná nebo nejedná o partikulární řešení. • Jako obvykle si můžete správné řešení zobrazit kliknutím na tlačítko (i opakovaně, pokud se tlačítko vztahuje k více políčkům). Nedělejte to ale příliš často - úlohy jsou jednoduché a máte se naučit metodu. Příklady na písemkách budou složitější1! • A jako obvykle: Máte-li nějakou připomínku či návrh k těmto testům, dejte mi prosím vědět! 1 delší integrály, složitější derivace ... 4065 Kvíz. 1. Řešte lineární DR prvního řádu y'--y = 1. Obecné řešení asociované homogení rovnice je y0(x) = Cx, C € IR a proto budeme hledat partikulární řešení ve tvaru yp(x) = Kx, kde K je funkce proměnné Derivujte vztah yp(x) = Kx. Člen K považujte za funkci proměnné x a napište do políčka derivaci y'p. Pište K a K' pro funkci K a její derivaci. y'P = Dosazení do původní nehomogenní rovnice je provedeno automaticky po správném odpovězeni předchozí otázky. K'x + K -- K-x =1 -------„------' xy-----.-----' y y Osamostatníme-li K', dostáváme: K' = 3. Integrací obdržíme K = 4. Partikulární řešení nehom. rovnice yP(x) = 5. Obecné řešení nehomogenní rovnice (použijte C jako konstantu v obecném řešení) y M = yP(x) + y0(x) = Úvodní strana Print Titulní strana 44 ►► Strana 5 z 10 Zpět Full Screen Zavřít Konec Kvíz. 2. Řešte lineární DR prvního řádu y'--y = 1. Obecné řešení asociované homogení rovnice je y0(x) = Cx2, C € IR a proto budeme hledat partikulární řešení ve tvaru yp(x) = Kx2, kde K je funkce proměnné x. 1. Derivujte vztah yp(x) = Kx2. Člen K považujte za funkci proměnné x a napište do políčka derivaci y'p. Pište K a K' pro funkci K a její derivaci. y'P = Dosazení do původní nehomogenní rovnice je provedeno automaticky po správném odpovězeni předchozí otázky. K'x2 + K2x -- K-x2 =1 y x'--------»--------' Osamostatníme-li K', dostáváme: K' = 3. Integrací obdržíme K = 4. Partikulární řešení nehom. rovnice yPM = 5. Obecné řešení nehomogenní rovnice (použijte C jako konstantu v obecném řešení) Úvodní strana Print Titulní strana 44 ►► Strana 6 z 10 Zpět Full Screen Zavřít Konec Kvíz. 3. Řešte lineární DR prvního řádu y + —y = x. 1 Obecné řešení asociované homogení rovnice je y0{x) = C — , C € IR a proto budeme hledat parti- kulární řešení ve tvaru yp(x) = K — , kde K je funkce proměnné x. Derivujte vztah yD{x) = k 1 Člen K považujte za funkci proměnné x a napište do políčka derivaci y'p. Pište K a K' pro funkci K a její derivaci. y'p = Dosazení do původní nehomogenní rovnice je provedeno automaticky po správném odpovězeni předchozí otázky. K' K 1 „ 1 ------------+- K ■ - = x x x2 x x Osamostatníme-li K', dostáváme: K' = 3. Integrací obdržíme K = 4. Partikulární řešení nehom. rovnice yP(x) = 5. Obecné řešení nehomogenní rovnice (použijte C jako konstantu v obecném řešení) y M = yP(x) + y0(x) = Úvodní strana Print Titulní strana 44 ►► Strana 7 z 10 Zpět Full Screen Zavřít Konec Kvíz. 4. Řešte lineární DR prvního řádu y' - 2xy = xex . 2 Obecné řešení asociované homogení rovnice je y0{x) = Cex , C € IR a proto budeme hledat parti- 2 kulární řešení ve tvaru yp{x) = Kex , kde K je funkce proměnné x. 1. Derivujte vztah yp(x) = Ke*\ Člen K považujte za funkci proměnné x a napište do políčka derivaci y'p. Pište K a K' pro funkci K a její derivaci. y'P = Dosazení do původní nehomogenní rovnice je provedeno automaticky po správném odpovězeni předchozí otázky. K'er + K2xer -2x K-e*2 = xe*2 y Osamostatníme-li K', dostáváme: K' = 3. Integrací obdržíme K = 4. Partikulární řešení nehom. rovnice yPM = 5. Obecné řešení nehomogenní rovnice (použijte C jako konstantu v obecném řešení) y M = yPM + y0M = Úvodní strana Print Titulní strana 44 ►► Strana 8 z 10 Zpět Full Screen Zavřít Konec Kvíz. 5. Řešte lineární DR prvního řádu Ý + 3y = 1. Obecné řešení asociované homogení rovnice je y0(x) = Ce 3x, C € IR a proto budeme hledat partikulární řešení ve tvaru yp(x) = Ke~3x, kde K je funkce proměnné x. 1. Derivujte vztah yp(x) = Ke-3X. Člen K považujte za funkci proměnné x a napište do políčka derivaci y'p. Pište K a K' pro funkci K a její derivaci. y'P = Dosazení do původní nehomogenní rovnice je provedeno automaticky po správném odpovězeni předchozí otázky. K' ■ e~3x + K ■ (-3)e~3x +3, K-e~3x = 1 «------------------»------------------ "--------"--------' y y Osamostatníme-li K', dostáváme: K' = 3. Integrací obdržíme K = 4. Partikulární řešení nehom. rovnice yPM = 5. Obecné řešení nehomogenní rovnice (použijte C jako konstantu v obecném řešení) Print Titulní strana U ► ► Zpět Full Screen Zavřít Konec Kvíz. 6. Řešte lineární DR prvního řádu y'--^-y = (*2 + i)2. X2 + 1 Obecné řešení asociované homogení rovnice je y0(x) = C(x2 + 1), C € IR a proto budeme hledat partikulární řešení ve tvaru yp(x) = K(x2 + 1), kde K je funkce proměnné x. 1. Derivujte vztah yp(x) = K(x2 + V. Člen K považujte za funkci proměnné x a napište do políčka derivaci y'p. Pište K a K' pro funkci K a její derivaci. y'P = Dosazení do původní nehomogenní rovnice je provedeno automaticky po správném odpovězeni předchozí otázky. Ov K'-(x2 + ^ + K-2x---------/f-(x2 + 1) =(x2 + 1)2 v-----------------„-----------------' X2 + 1 *-----------.-----------' y y Osamostatníme-li K', dostáváme: K' = 3. Integrací obdržíme K = 4. Partikulární řešení nehom. rovnice yPM = 5. Obecné řešení nehomogenní rovnice (použijte C jako konstantu v obecném řešení) y M = yP(x) + y0(x) =