Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
se separovanými proměnnými
Interaktivní kvizy
Robert Mařík 3. dubna 2009
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších mých
kvizů a potom mi prosím vyplňte                na
webu. Děkuji!
Pro vytvoření vlastího testu podle tohoto vzoru budete potřebovat volně šiřitelný AcroT[=XeDucation
bundle, zdrojový soubor pro TgX            a přečíst si
návod na domovské stránce.
1.   Teorie
Definice 1 (DR se separovanými proměnnými) Diferenciální rovnice tvaru
ý = f(x)g(y)
O)
kde f a g jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených intervalech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými.
Vynecháme-li konstantní řešení, která dostaneme jako řešení rovnice g(y) = 0, můžeme rovnici přepsat do tvaru
y'
g(y)
= f(x)
óy
a po nahrazení y' členem -^- a vynásobení diferenciálem úx dostaneme 1
óy = f(x)úx
g(y)
(2)
Frází "separujte proměnné"máme na mysli: převedte rovnici do tvaru (2). Obecné řešení (1) je
l-L-)dy = jm«x+C, kde každý z integrálů značí jednu libovolnou z primitivních funkci a C je reálná konstanta.
1 Funkce f(x) a —- jsou dány jednoznačně až na společnou multiplikativní konstantu.
^  x
■XĹ  *CD    CD
Print
**
► ►
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
2.   Testy
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
y y' = Ax
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
•  Správné odpovědi na první otázku zahrnují například
-  ydy  =   4   x  dx
-  ydy   -   4   x  dx=0
-  všechny konstantní nenulové násobky těchto rovnic.
•  Správné odpovědi na druhou otázku zahrnují například
- y~2/2 = 2x~2-C
- y~2/2 - 2x~2+l=C
-  všechny konstantní nenulové násobky těchto rovnic.
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
1           1      ,    „
----------------y' = 0
x + 1     y -V
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
x2 + y' cos(y) + 1=0
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
y(y + y') + 1 = o
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
x2 + 1       yy'
y2-i
o
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
(x-1)y3-eV = 0
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
x2y2
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
2(1 + ex)yy' = ex
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
(y2-1) + yy'(x+1) = 0
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
2x+ 1
Y =
2(y-1)
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
,    2x-1
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
y' = 2^/j/lnx
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
y'ex2+y = -x/y
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Ý cos2 x = (1 + cos2 x)\J 1 - y2
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
y' + xy = y
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kvíz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
/ = x2(1 + y2)
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte:
Kviz. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
y In y + xy' = 0
1. najděte konstantní řešení. Vepište číslo nebo, pokud je konstantních řešení vice, čísla oddělená čárkou. Napište nejsou pokud rovnice nemá konstantní řešení.
2. Separujte proměnné:
3.  Integrujte: