Titulní strana Obsah Strana 1 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Roman Plch, Petra Šarmanová, Petr Sojka Integrální počet funkcí více proměnných interaktivní sbírka příkladů a testových otázek Titulní strana Obsah Strana 2 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Obsah Obsah 2 1 Úvod 4 1.1 Integrální počet funkcí více proměnných . . . . . . . . . . . . . 14 2 Dvojný integrál 15 2.1 Dvojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Dvojný integrál ­ Fubiniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Transformace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Transformace do polárních souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Trojný integrál 54 3.1 Množiny bodů v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Trojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Trojný integrál ­ Fubiniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Titulní strana Obsah Strana 3 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3.4 Transformace trojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Transformace do válcových souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . 82 Transformace do sférických souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . 98 4 Souhrnné testy 114 5 Úlohy na procvičení 160 Použitá literatura 170 Titulní strana Obsah Strana 4 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola 1 Úvod Vážený čtenáři, dostává se Ti do rukou Multimediální sbírka příkladů z Integrálního počtu funkcí více proměnných. Naším cílem bylo vytvořit interaktivní materiál, který povede k maximálně efektivnímu zvládnutí a procvičení této pro studenty často obtížné partie. Přitom jsme chtěli, aby naše učební pomůcka byla nezávislá na operačním systému, nevyžadovala použití nějakého LMS systému či instalaci dodatečného softwaru a připojení k Internetu. Z tohoto důvodu jsme jako výstupní formát zvolili PDF. Formát PDF již několik let dominuje na poli digitálních dokumentů nejen ve vědecké literatuře, ale rozšířil se díky přenositelnosti i mezi širokou veřejnost. Původní myšlenkou pro vznik formátu PDF byla právě přenositelnost textových dokumentů mezi různými platformami, kdy výsledný dokument vypadá na všech Titulní strana Obsah Strana 5 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec platformách i různém hardwaru stejně. Formát PDF se však stále vyvíjí a přináší nové možnosti. Dnes je možné do PDF dokumentů začleňovat animace, video a audio nahrávky či 3D objekty. Výukový text je zpracován sázecím systémem TeX ve formátu pdfLATEX. Vzhledem k tomu, že jde o matematický text obsahující řadu i značně komplikovaných vzorců, je použití sázecího systému TeX jedinou rozumnou alternativou. Zaručuje totiž vysokou typografickou kvalitu a snadnou modifikovatelnost textu. Při vytváření sbírky jsme se snažili o vytvoření uživatelsky příjemného a efektivního výukového prostředí. Student má stále k dispozici ovládací panel, který umožňuje volit mezi celoobrazovkovým režimem a zobrazením v okně, obsahuje tlačítko posuvu o stranu vpřed a vzad, skok na začátek nebo konec dokumentu a posouvání v historii prohlížení. Důležitá je také možnost skoku na konkrétní stranu v textu a na obsah. Obsah je hypertextový, kliknutím na příslušnou položku v obsahu se přesunete na uvedené místo v textu. Text je přizpůsoben velikosti obrazovky (posuv textu na obrazovce není nutný). Základním učebním textem, na který je tato sbírka příkladů navázána, je skriptum [2], používané ve výuce jak na MU v Brně, tak na VŠB TU v Ostravě. Text je tvořen pěti kapitolami (Úvod, Dvojný integrál, Trojný integrál, Souhrnné testy a Úlohy na procvičení). Na začátku kapitol Dvojný a Trojný integrál uvádíme shrnutí potřebné teorie, následuje několik podrobně vyřešených úloh, které jsou ilustrovány interaktivní 3D grafikou. Titulní strana Obsah Strana 6 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Interaktivní 3D grafika Vhodně vytvořená a okomentovaná grafika přispívá k pochopení probírané problematiky a rozvoji geometrické představivosti studentů. Ilustrační grafiku lze použít k objasňování nového teoretického pojmu či závislosti daného jevu na parametrech, k dokreslení geometrického významu řešených úloh a případně k ověření ,,reálnosti" řešení. Jedním z možných dělení grafiky je na grafiku statickou a dynamickou. Mezi statickou grafiku počítáme jakékoliv obrázky, s nimiž nemůžeme dále manipulovat. Interaktivní grafika nám naproti tomu umožňuje aktivně pracovat s objektem, např. prohlédnout si ho ze všech stran, zvětšovat a zmenšovat, zobrazit detail vybrané části, zobrazit normálové vektory, měnit nastavení barev, průhlednost objektu a mnoho dalšího (dle možností zobrazovacího programu). Z tohoto důvodu jsou všechny 3D obrázky ve sbírce v interaktivní podobě. 3D obrázky jsme vytvořili v CAS systému Maple a následně konvertovali do formátu U3D pomocí programu Deep Exploration. 3D objekty ve formátu U3D jsme pak vkládali do PDF dokumentu pomocí pdfLATEXu a balíčku movie15. Technika tvorby interaktivní 3D grafiky a její následné začlenění do PDF dokumentu je podrobně popsána v [9]. Na obrázku 1.1 vidíte ukázku interaktivní 3D grafiky. K manipulaci s grafikou je nutné zobrazit 3D Toolbar (je součástí Adobe Readeru). Toolbar se zobrazí umístěním kurzoru myši na obrázek. Základní možnosti Toolbaru jsou dynamický zoom, posunutí, natočení, změna osvětlení, změna barvy pozadí či skrytí, zobrazení nebo izolování pouze určitých prvků modelu. Možné je rovněž využití různých zobrazovacích módů (Solid, Transparent, Shaded Illustration Titulní strana Obsah Strana 7 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec atd.). Pro korektní zobrazení interaktivní 3D grafiky musíte použít Adobe Reader verze 8.1.1. (a vyšší). obr. 1.1 Grafický objekt ve formátu U3D Titulní strana Obsah Strana 8 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Interaktivní testy K důkladnému procvičení studované problematiky jsme do každé kapitoly začlenily interaktivní testové otázky (přímo do textu za testované učivo) a na závěr několik souhrnných testů (kapitola Souhrnné testy). Protože rozeznávání ploch, které ohraničují integrační obor, je nezbytné pro úspěšné zvládnutí trojného integrálu, zařadili jsme i testové otázky na rozeznávání množin bodů v prostoru. Kapitola Úlohy na procvičení je tvořena výpočetními příklady, u kterých si je možno pomocí testového prostředí zkontrolovat správnost výsledku. Tyto testové otázky byly vytvořeny pomocí kolekce LATEXových maker AcroTEX (více např. v [4] a na webových stránkách [13]. Během práce s těmito makry jsme narazili na některé chyby, zejména při použití otázky s více správnými odpovědmi. Tyto chyby byly po korespondenci s autorem maker profesorem D. P. Story následně opraveny. Následující test ukazuje použité typy testových otázek a slouží k vyzkoušení práce s testy. Test zahájíte kliknutím na tlačítko ,,Zacatek testu". U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Ukázkový test Titulní strana Obsah Strana 9 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 1 1 x y x2 0 0 -1 f (x, y) dy dx 0 -1 1 0 f (x, y) dy dx 0 -1 x2 0 f (x, y) dy dx 0 -1 x 0 f (x, y) dy dx x2 1 0 -1 f (x, y) dx dy 1 0 - y -1 f (x, y) dx dy 1 0 1 0 f (x, y) dx dy 1 0 y -1 f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 10 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (4b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u integrálu: 2 0 2x-x2 0 f (x, y) dy dx, 1 0 - 1-y2+1 1-y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 1-y2+1 - 1-y2-1 f (x, y) dx dy 1 0 1-y2+1 - 1-y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 1-y2-1 - 1-y2+1 f (x, y) dx dy 3. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 4 1 3 -2 x2 y dy dx = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Titulní strana Obsah Strana 11 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Pro ukončení testu je třeba kliknout na tlačítko ,,Konec testu". Opravení testu se provede kliknutím na tlačítko ,,Výsledky", správné odpovědi budou označeny zeleně a červeně budou označeny odpovědi chybné. Při použití otázky s tvořenou odpovědí se správná odpověď zobrazí po kliknutí na tlačítko ,,Odpoved". Pro zápis matematických výrazů v otázkách s tvořenou odpovědí používejte následující syntaxi. * Základní matematické operace zapisujte takto: + sčítání (př.: x+1), - odčítání (př.: x-1), * nebo mezera pro násobení (př.: 3*x nebo 3x nebo 3x pro 3x) a / pro dělení a zlomky (př.: 1/x pro 1 x ) * Mezery jsou před zpracováním odpovědi odstraněny. Při násobení čísel tedy musíte napsat explicitně *. * Pro zapsání mocniny využijte symbol ^ a exponent uzavřete do libovolných závorek závorek (př.: x^(-2) pro x-2 ). * Pořadí operací definujete uzavřením jednotlivých operací do závorek, je možné používat i hranaté nebo složené závorky (př.: (sin(x))^(2) pro (sin(x))2 ). Titulní strana Obsah Strana 12 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Odmocninu zapíšete pomocí sqrt a odmocněnec umístíte do závorek (př.: sqrt(x) pro x), pro odmocninu můžete také použít zápis (př.: x^(1/3) pro 3 x). * Základní funkce zapisujte takto: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x), asin(x), acos(x), atan(x), ln(x). * Exponenciální funkci ex zapisujte exp(x) nebo e^x. * Číslo zapisujte jako pi (př.: 6*pi pro 6 nebo 6+pi pro 6 + ). * Absolutní hodnotu zapisujte abs() nebo pomocí | | (př. abs(x) nebo | x | pro |x|) . Pokud vaše odpověď není platný matematický výraz, nepočítá se vám chybná odpověď, ale musíte si výsledek opravit. Všechny 3D obrázky v testech jsou taktéž interaktivní. Můžete s nimi otáčet a kliknutím pravým tlačítkem myši můžete vyvolat Toolbar, pomocí něhož je možno využít dalších možností práce s 3D grafikou (změna velikosti, osvětlení, zobrazovacího módu, skrytí, zobrazení nebo izolování pouze určitých prvků modelu, atd.). Závěrem bychom rádi poděkovali panu Doc. RNDr. J. Kubenovi, CSc. za pečlivé přečtení celé sbírky a přípravu metapostových obrázků, studentce Přírodovědecké fakulty N. Jalové za přípravu metapostových obrázků a některých testových otázek. Tato multimediální sbírka příkladů a testových otázek vznikla za podpory Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 92/2008. Pro tvorbu a začlenění interaktivní grafiky do PDF dokumentů jsme navrhli a následně otestovali nový postup, založený na konverzi 3D grafiky z CAS systému Maple. Tento postup Titulní strana Obsah Strana 13 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec byl zdokumentován a následně publikován v [9] a [10]. Zkušenosti s tvorbou multimediálních učebních pomůcek v PDF formátu jsme prezentovali na konferenci Setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, příspěvek je možno najít ve sborníku [11]. Brno, prosinec 2008 Autoři Titulní strana Obsah Strana 14 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 1.1. Integrální počet funkcí více proměnných Dvojný a trojný integrál je zobecněním určitého integrálu funkce jedné proměnné, který funkci jedné proměnné přiřazoval číslo. Toto číslo pak mohlo mít různý geometrický a fyzikální význam, např. vyjadřovala obsah rovinné oblasti, objem rotačního tělesa nebo obsah jeho pláště, hmotnost nebo moment setrvačnosti rotačního tělesa. Obdobně dvojný integrál bude přiřazovat funkci dvou proměnných definované na nějaké rovinné oblasti jisté číslo a trojný integrál bude přiřazovat funkci tří proměnných definované na prostorové oblasti nějaké číslo. Toto číslo může mít opět různý geometrický a fyzikální význam, např. obsah, objem, hmotnost nebo moment setrvačnosti. V dalším textu budeme místo o délce, obsahu a objemu nějaké množiny A často mluvit o míře této množiny a používat označení m(A). Abychom rozlišili, zda se jedná o délku, obsah nebo objem, budeme používat index, který odpovídá tomu, v jakých jednotkách (délkových, plošných, objemových) se daná míra měří. Tedy m1(A) bude značit délku, m2(A) obsah a m3(A) objem množiny A. Titulní strana Obsah Strana 15 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola 2 Dvojný integrál Rozcestník kapitoly: Dvojný integrál a Fubiniova věta Typové řešené příklady Test Transformace dvojného integrálu do polárních souřadnic Typové řešené příklady Test Titulní strana Obsah Strana 16 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2.1. Dvojný integrál Dvojný integrál přiřazuje omezené funkci dvou proměnných definované na nějaké měřitelné množině A v R2 číslo, které může mít v závislosti na konkrétním tvaru integrandu následující geometrický význam: A f (x, y) dxdy představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno nezápornou funkcí f (x, y) a zdola funkcí nulovou g(x, y) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. A ( f (x, y) - g(x, y)) dxdy, kde f (x, y) g(x, y) pro x, y A, představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno funkcí f (x, y) a zdola funkcí g(x, y). Obě funkce opět uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. A 1 dxdy představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno konstantní funkcí f (x, y) = 1 a zdola funkcí nulovou g(x, y) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. Vzhledem k tomu, že je objem roven součinu obsahu podstavy a výšky, platí A 1 dxdy = m2(A). (2.1) Tento vztah říká, že číselně je objem tělesa s podstavou A a výškou rovnou jedné roven obsahu množiny A. Titulní strana Obsah Strana 17 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2.2. Dvojný integrál ­ Fubiniova věta Fubiniova věta nám dává návod, jak převést dvojný integrál na dvojnásobný. Převádíme tak výpočet dvojného integrálu na výpočet dvou po sobě jdoucích jednorozměrných integrálů. Věta 2.1. (Fubiniova věta v R2 ) Nechť je funkce f dvou proměnných x, y spojitá na množině A = x, y R2 a x b; (x) y (x) , kde , jsou funkce spojité na intervalu a, b takové, že (x) (x) pro x a, b . Pak platí A f (x, y) dxdy = b a (x) (x) f (x, y) dy dx. (2.2) Množinu typu A = x, y R2 a x b; (x) y (x) budeme dále nazývat elementární oblastí vzhledem k x. Obdobně množinu typu A = x, y R2 c y d; (y) y (y) budeme dále nazývat elementární oblastí vzhledem k y. Titulní strana Obsah Strana 18 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Typové řešené příklady: * Převeďte (oběma způsoby) dvojný integrál I na dvojnásobný a vypočtěte jej. Příklad 2.1 * Zaměňte pořadí integrace. Příklad 2.2 * Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy. Příklad 2.3 * Vypočítejte obsah množiny. Příklad 2.4 * Vypočítejte objem tělesa. Příklad 2.5 Titulní strana Obsah Strana 19 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 2.1. Převeďte (oběma způsoby) dvojný integrál I na dvojnásobný a vypočtěte jej: I = A yx2 dxdy, kde A = x, y R2 , x2 y 1 . Řešení: Hraniční křivky jsou y = x2 (parabola) a y = 1 (přímka). Integrační obor A je znázorněn na obrázku 2.1. Určíme x-ové souřadnice průsečíků obou křivek. Dostáváme rovnici 1 = x2 , tj. x1 = 1, x2 = -1. y = x2 -1 1 1 x y obr. 2.1 Množina A Chápeme-li množinu A jako elementární množinu vzhledem k x, pak integrační meze jsou: -1 x 1, x2 y 1. Titulní strana Obsah Strana 20 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Integrand yx2 je spojitá funkce na A. Podle Fubiniovy věty bude I = A yx2 dx dy = 1 -1 1 x2 yx2 dy dx = 1 -1 1 2 y2 x2 1 x2 dx = 1 2 1 -1 (x2 - x6 ) dx = = 1 2 1 3 x3 - 1 7 x7 1 -1 = 1 2 1 3 - 1 7 + 1 3 - 1 7 = 4 21 . Chápeme-li množinu A jako elementární množinu vzhledem k y, pak integrační meze budou následující: 0 y 1, - y x y. I = A yx2 dxdy = 1 0 y - y yx2 dx dy = 1 0 1 3 x3 y y - y dy = = 1 3 1 0 y 5 2 + y 5 2 dy = 2 3 2 7 y 7 2 1 0 = 4 21 . Příklad 2.2. Zaměňte pořadí integrace I = 1 -1 2 0 f (x, y) dy dx. Titulní strana Obsah Strana 21 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení: Ze zadání vidíme, že se jedná se o čtverec, kde -1 x 1 a 0 y 2. Tedy I = 2 0 1 -1 f (x, y) dx dy. Příklad 2.3. Vypočtěte M y x+y2 dxdy, kde množina M je ohraničena křivkami y = 1, y = 1/2, x = 4 - y2 a x = y2 . Řešení: První dvě křivky jsou přímky, druhé dvě paraboly. Integrační obor M je znázorněn na obrázku 2.2. Určíme ještě y-ovou souřadnici horního průsečíku P obou parabol, abychom se přesvědčili, že máme přímky y = 1 a y = 1/2 správně umístěny. Z rovnic parabol dostaneme 4 - y2 = y2 , tj. y2 = 2, a tedy y = 2. x y 1/2 1 2 y = 1/2 y = 1 P x = y2 x = 4 - y2 M obr. 2.2 Množina M Titulní strana Obsah Strana 22 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Množina M je elementární množina vzhledem k y. Ve vzorci (2.2) se tedy zamění role x a y. Integrační meze jsou 1/2 y 1, y2 x 4 - y2 . Integrand y/(x + y2 ) je spojitá funkce na M. Podle Fubiniovy věty bude I = M y x + y2 dxdy = 1 1/2 4-y2 y2 y x + y2 dx dy. Vnitřní integrál vyjde 4-y2 y2 y x + y2 dx = y ln |x + y2 | 4-y2 y2 = y(ln 4 - ln 2y2 ) = = y(2 ln 2 - ln 2 - 2 ln y) = y ln 2 - 2y ln y vzhledem k tomu, že v našem případě je y > 0. Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme mimo jiné metodu per partes. Do- staneme: I = 1 1/2 (y ln 2 - 2y ln y) dy = ln 2 1 1/2 y dy - 2 1 1/2 y ln y dy = = u = ln y u = 1 y v = y v = y2 2 = ln 2 y2 2 1 1/2 - 2 y2 2 ln y 1 1/2 + 2 1 1/2 y 2 dy = = ln 2 1 2 - 1 8 - 1 4 ln 2 + y2 2 1 1/2 = 1 8 ln 2 + 1 2 - 1 8 = 1 8 (ln 2 + 3). Titulní strana Obsah Strana 23 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 2.4. Vypočítejte obsah množiny A = x, y R2 , x2 y, y - x 2 . Řešení: Obsah m2(A) množiny A budeme počítat podle vztahu (2.1), tj. m2(A) = A 1dxdy. Množina A je shora ohraničena křivkou y = 2 + x, zdola křivkou y = x2 , viz obrázek 2.3. Najděme x-ové souřadnice průsečíků těchto křivek. Musí platit: 2 + x = x2 , x2 - x - 2 = 0, (x + 1)(x - 2) = 0. Odtud x1 = -1 a x2 = 2. Dostali jsme následující integrační meze: -1 x 2, x2 y 2 + x. Titulní strana Obsah Strana 24 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec y = x2 y = 2 + x 2-1 2 x y obr. 2.3 Množina A m2(A) = A 1dxdy = 2 -1 2+x x2 1dy dx = 2 -1 y 2+x x2 dx = 2 -1 2 + x - x2 dx = = 2x + x2 2 - x3 3 2 -1 = 4 + 2 - 8 3 - -2 + 1 2 + 1 3 = 9 2 . Příklad 2.5. Vypočítejte objem tělesa S ležícího pod paraboloidem z = x2 + y2 a nad množinou A v rovině xy ohraničenou přímkou y = 2x a parabolou y = x2 . Titulní strana Obsah Strana 25 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení: Pro objem m3(S) tělesa S platí m3(S) = A f (x, y) dxdy, kde A představuje podstavu tělesa S a funkce f (x, y) ohraničuje těleso S shora viz obrázek 2.4. Množina A je shora ohraničená přímkou y = 2x a zdola parabolou y = x2 . Spočítáme x-ové souřadnice průsečíků těchto křivek: x1 = 0, x2 = 2. Dostali jsme následující integrační meze: 0 x 2, x2 y 2x. y = x2 y = 2x 20 4 x y Titulní strana Obsah Strana 26 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec obr. 2.4 Množina A m3(S) = A (x2 + y2 ) dx dy = 2 0 2x x2 (x2 + y2 ) dy dx = 2 0 x2 y + y3 3 2x x2 dx = = 2 0 14x3 3 - x4 - x6 3 dx = 7x4 6 - x5 5 - x7 21 2 0 = 216 35 . U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Dvojný integrál ­ Fubiniova věta 1. (2b.) Uveďte název věty, která pojednává o převedení vícerozměrného integrálu na integrál vícenásobný. Fubiniova Cauchyova Weierstrassova Greenova Titulní strana Obsah Strana 27 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (2b.) Platí A f (x, y) dxdy = 2 0 2+sin x 0 y 3 dy dx = 3 2 . Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. Číslo 3 2 představuje obsah rovinné oblasti A. Číslo 3 2 představuje obsah rovinné oblasti, která je ohraničena funkcemi z = y 3 a z = 2 + sin x. Číslo 3 2 představuje objem tělesa, které je shora ohraničeno grafem funkce z = y 3 a jehož podstava je A. Číslo 3 2 představuje objem tělesa, které je ohraničeno grafem funkce z = 2 + sin x a jehož podstava je A. Titulní strana Obsah Strana 28 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 -1 1 x y x2 0 0 -1 f (x, y) dy dx 0 -1 1 0 f (x, y) dy dx 0 -1 x2 0 f (x, y) dy dx 0 -1 x 0 f (x, y) dy dx x2 1 0 -1 f (x, y) dx dy 1 0 - y -1 f (x, y) dx dy 1 0 1 0 f (x, y) dx dy 1 0 y -1 f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 29 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 -1 1 x y x2 0 0 -1 f (x, y) dy dx 0 -1 1 0 f (x, y) dy dx 0 -1 x 0 f (x, y) dy dx 0 -1 1 x2 f (x, y) dy dx 0 -1 0 y f (x, y) dx dy 0 -1 1 - y f (x, y) dx dy 1 0 y -1 f (x, y) dx dy 1 0 0 - y f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 30 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = 1 - x y = 1 - x2 1 1 x y 1 0 1-x 1-x2 f (x, y) dy dx 1 0 1-x2 1-x f (x, y) dy dx 1 0 1-x 0 f (x, y) dy dx 1 0 1-x2 0 f (x, y) dy dx 1 0 1-y 0 f (x, y) dx dy 1 0 - 1-y 1-y f (x, y) dx dy 1 0 y 0 f (x, y) dx dy 1 0 1-y 1-y f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 31 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (4b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 y = 1 - x2 1 1 x y 1 2 0 1-x2 x2 f (x, y) dy dx 1 2 - 1 2 1-x2 x2 f (x, y) dy dx 1 2 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 2 0 x2 1-x2 f (x, y) dy dx Titulní strana Obsah Strana 32 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (4b.) U následujícího příkladu vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u integrálu: 0 -2 0 y2-4 dx dy. 0 -2 0 - x+4 dy dx 0 -4 0 x+4 dy dx 0 -2 0 - x-4 dy dx 0 -4 0 - x+4 dy dx Titulní strana Obsah Strana 33 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 3 0 2 1 x2 y dy dx = 9. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 2 0 1 0 (x2 + 2y) dx dy = 10. (3b.) Nechť je trojúhelník určený body A = 0, 0, B = 0, 2, C = 2, 0, pak dxdy= Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 34 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2.3. Transformace dvojného integrálu Výpočet dvojného integrálu pomocí transformace do polárních souřadnic spočívá v tom, že změníme souřadnicový systém a tím převedeme výpočet jistého dvojného integrálu na jiný dvojný integrál. Dojde přitom jak ke změně integračního oboru, tak ke změně integrandu. Jde o jistou analogii substituční metody pro jednoduchý určitý integrál. Zde nám však šlo především o to, abychom substitucí zjednodušili integrand. Integrační obor se změnil z jistého intervalu na jiný interval, což pro nás nebylo podstatné. U dvojného integrálu nám však půjde především o změnu integračního oboru tak, abychom mohli využít Fubiniovu větu. Přitom dojde samozřejmě i ke změně integrandu, tato změna však pro nás nebude důležitá. Mějme množiny A, B R2 a zobrazení F A B takové, že Fu, v = x, y F(A) B pro každé u, v A. Pak existují funkce x = g(u, v), y = h(u, v) tak, že každý bod u, v A se zobrazí na bod g(u, v), h(u, v) = x, y. A naopak, jsou-li na množině A definovány reálné funkce x = g(u, v), y = h(u, v), je jimi určeno zobrazení A R2 . Je-li F spojitě diferencovatelné zobrazení, pak se determinant J(u, v) = gu(u, v) gv(u, v) hu(u, v) hv(u, v) nazývá jakobián zobrazení F. Připomeňme, že zobrazení F se nazývá regulární právě tehdy, když je jakobián různý od nuly. Titulní strana Obsah Strana 35 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Uveďme nyní větu o transfomaci dvojného integrálu, kterou budeme používat při řešení konkrétních úloh. Věta 2.2. Buď M1 M R2 , kde M1 je otevřená množina, M je měřitelná množina a platí m2(M \ M1) = 0. Nechť F je spojitě diferencovatelné zobrazení M do R2 , které je regulární a prosté v M1. Označme = F(M), 1 = F(M1). Nechť je množina měřitelná a platí m2( \ 1) = 0. Buď funkce f ohraničená na množině a spojitá na 1. Dále nechť je funkce f g(u, v), h(u, v) |J(u, v)| ohraničená na množině M. Pak platí f (x, y) dx dy = M f g(u, v), h(u, v) |J(u, v)| du dv. (2.3) S využitím předchozí věty lze provádět různé transformace souřadnic, my si zde uvedeme nejčastější transformaci, a to do polárních souřadnic. Transformace do polárních souřadnic Uvažujme bod T v rovině s kartézskými souřadnicemi x, y. Označme r vzdálenost bodu T od počátku O kartézské soustavy souřadnic a úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy x. Titulní strana Obsah Strana 36 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec x y x y O T r Z definicí funkcí sinus a kosinus vyplývá, že vztah mezi kartézskými souřadnicemi x, y a polárními souřadnicemi r, je dán rovnicemi: x = r cos , y = r sin . Přitom r 0 a nabývá hodnot z intervalu 0, 2 nebo z jiného intervalu délky 2. Zobrazení F dané těmito rovnicemi přiřazuje polárním souřadnicím daného bodu kartézské souřadnice téhož bodu, tj. Fr, = x, y. Spočtěme si jakobián této transformace: J = r (r cos ) (r cos ) r (r sin ) (r sin ) = cos -r sin sin r cos = r cos2 + sin2 = r |J| = r Typové řešené příklady: Titulní strana Obsah Strana 37 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy (po transformaci dostaneme konstantní meze). Příklad 2.6 * Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy (po transformaci dostaneme nekonstantní meze). Příklad 2.7 * Vypočítejte objem tělesa. Příklad 2.8 Titulní strana Obsah Strana 38 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 2.6. Vypočtěte (x2 + y2 ) dxdy, kde množina je určena podmínkami 1 x2 + y2 4, y |x|. Řešení: Rovnice x2 + y2 = 1 a x2 + y2 = 4 určují kružnice k1 a k2 se středy v počátku O a poloměry 1 a 2. První podmínka tedy zadává mezikruží. Graf funkce y = |x| je tvořen dvěma polopřímkami (osami prvního a druhého kvadrantu) o rovnicích y = x a y = -x. Body splňující nerovnost y |x| leží nad tímto grafem. Dohromady tudíž obě podmínky zadávají množinu ­ viz obrázek 2.5. x y 1 2O y = xy = -x k1 k2 obr. 2.5 r /4 3/4 1 2 O M obr. 2.6 Titulní strana Obsah Strana 39 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Určíme, jak bude tato množina popsána v polárních souřadnicích. Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu , musí svírat s kladnou částí osy x úhel v rozmezí /4 (y = x je osa prvního kvadrantu) až 3/4 (y = -x je osa druhého kvadrantu). Tedy /4 3/4. Libovolná taková polopřímka protíná množinu v úsečce, jejíž koncové body mají od počátku O stále stejné vzdálenosti, a to 1 a 2. Tedy 1 r 2. To znamená, že transformací do polárních souřadnic přejde množina v obdélník M ­ viz obrázek 2.6. I = (x2 + y2 ) dxdy = M (r cos )2 + (r sin )2 r dr d = = M r3 (cos2 + sin2 ) dr d = M r3 dr d = 3/4 /4 2 1 r3 dr d = = 3/4 /4 r4 4 2 1 d = 3/4 /4 15 4 d = 15 4 3/4 /4 = 15 4 3 4 - 4 = 15 8 . Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu. Příklad 2.7. Vypočtěte x2 + y2 dxdy, kde množina je určena podmínkou x2 + y2 - 2ax 0, a > 0. Řešení: Rovnice x2 + y2 -2ax = 0 zadává nějakou kuželosečku. Doplněním na čtverec určíme, o jakou kuželosečku jde: x2 + y2 - 2ax = (x - a)2 - a2 + y2 = 0 (x - a)2 + y2 = a2 . Titulní strana Obsah Strana 40 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Jde o kružnici se středem v bodě a, 0 a poloměrem a. Integračním oborem je tedy kruh ­ viz obr. 2.7, proto použijeme transformaci do polárních souřadnic. Vzhledem k poloze množiny (leží v prvním a čtvrtém kvadrantu) bude výhodnější volit rozmezí úhlů z intervalu (-, . Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu i v jiných bodech než v počátku O, svírají potom s kladnou částí osy x úhly z intervalu (-/2, /2). Protože s uzavřenými množinami se nám lépe pracuje, zahrneme i koncové body, takže budeme mít -/2 /2. x y a 2aO (x - a)2 + y2 = a2 T obr. 2.7 r /2-/2 /2O r = 2a cos M obr. 2.8 Nyní určíme omezení pro r. Z obrázku je zřejmé, že délky úseček OT , které jsou průnikem uvažovaných polopřímek s množinou , se budou měnit a budou záviset na úhlu . Dosazením polárních souřadnic do rovnice kružnice Titulní strana Obsah Strana 41 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec obdržíme: (r cos )2 + (r sin )2 - 2ar cos = 0 r(r - 2a cos ) = 0. Hodnotě r = 0 odpovídá počátek O, pro druhý průsečík polopřímky s kružnicí platí r = 2a cos . (Tento výsledek lze snadno zdůvodnit i geometricky. V trojúhelníku s vrcholy O, 2a, 0 a T je podle Thaletovy věty u vrcholu T pravý úhel. Z definice kosinu vyplývá, že r = OT = 2a cos .) Celkově tedy dostáváme, že M - 2 2 , 0 r 2a cos . Množina M je tudíž elementární vzhledem k . Použitím vztahu (2.3) dostaneme: I = x2 + y2 dxdy = M (r cos )2 + (r sin )2 r dr d = = M r2 dr d = /2 -/2 2a cos 0 r2 dr d = /2 -/2 r3 3 2a cos 0 d = = /2 -/2 8 3 a3 cos3 d = 8 3 a3 /2 -/2 (1 - sin2 ) cos d = = sin = t cos d = dt - 2 -1, 2 1 = 8 3 a3 1 -1 (1 - t2 ) dt = 8 3 a3 t - t3 3 1 -1 = 32 9 a3 . Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu, vzniklý jednoduchý integrál jsme pak řešili substituční metodou. Titulní strana Obsah Strana 42 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 2.8. Vypočítejte objem tělesa S ležícího pod rovinou z = y a nad množinou : = x, y R2 , x2 - 2x + y2 0 x2 - 4x + y2 0 y 3 3 x y x . Řešení: Pro objem m3(S) tělesa S platí m3(S) = f (x, y) dx dy, kde představuje ,,podstavu tělesa S" a funkce f (x, y) ohraničuje těleso S shora. Ohraničující funkcí je rovina z = y, tj. f (x, y) = y. Podívejme se podrobněji na množinu . Hraniční křivky množiny jsou následující: * x2 - 2x + y2 = 0. Po úpravě na tvar (x - 1)2 + y2 = 1 vidíme, že se jedná o kružnici se středem v bodě 1, 0 a poloměrem 1. * x2 - 4x + y2 = 0. Po úpravě na tvar (x - 2)2 + y2 = 4 vidíme, že se jedná o kružnici se středem v bodě 2, 0 a poloměrem 2. * y = 3 3 x je přímka. * y = x je také přímka. Titulní strana Obsah Strana 43 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec y = x y = 3 3 x x2 - 4x + y2 = 0 20 43 2 3 1 2 x y obr. 2.9 Uvedené křivky ohraničují množinu ­ viz obrázek 2.9. Celé těleso je znázorněno na obrázku 2.10. Vzhledem ke tvaru množiny je vhodné provést transformaci do polárních souřadnic. Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu , musí svírat s kladnou částí osy x úhel v rozmezí /6 až /4. Tedy /6 /4. Ukážeme si nyní, jak lze tyto hodnoty dostat dosazením polárních souřadnic do Titulní strana Obsah Strana 44 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec p28.u3d obr. 2.10 rovnic přímek: y = 3 3 x r sin = 3 3 r cos tg = 3 3 = 6 Titulní strana Obsah Strana 45 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec y = x r sin = r cos tg = 1 = 4 Nyní určíme omezení pro r. Z obrázku je zřejmé, že r bude záviset na . Dosazením polárních souřadnic do rovnic kružnic dostáváme: x2 - 2x + y2 = 0 r2 - 2r cos = 0 r(r - 2 cos ) = 0 x2 - 4x + y2 = 0 r2 - 4r cos = 0 r(r - 4 cos ) = 0. Řešení r = 0 předchozích rovnic neodpovídá zadané množině, proto ho neuvažujeme. Pro průsečík libovolné polopřímky vycházející z počátku s menší kružnicí platí r = 2 cos a pro průsečík této polopřímky s větší kružnicí platí r = 4 cos . Integrační meze transformované množiny jsou tedy následující: 6 4 , 2 cos r 4 cos . Titulní strana Obsah Strana 46 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec y dx dy = 4 6 4 cos 2 cos r2 sin dr d = 4 6 sin r3 3 4 cos 2 cos d = = 4 6 sin 64 3 cos3 - 8 3 cos3 d = 56 3 4 6 cos3 sin d = = cos = t - sin d = dt 6 3 2 , 4 2 2 = - 56 3 2 2 3 2 t3 dt = 56 3 3 2 2 2 t3 dt = = 14 3 t4 3 2 2 2 = 35 24 . U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Dvojný integrál ­ transformace do polárních souřadnic 1. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do polárních souřadnic při použití r, je: r cos r r2 r sin Titulní strana Obsah Strana 47 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic, je-li = {x, y R2 x2 + y2 4}. x2 + y2 = 4 -2 2 2 -2 x y 2 0 2 0 r2 dr d 2 0 2 0 dr d 2 0 r2 2 0 dr d 2 0 4 0 r2 dr d Titulní strana Obsah Strana 48 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací sin x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic, je-li = {x, y R2 2 x2 + y2 (4)2 }. x2 + y2 = 2 x2 + y2 = 162 4 x y 2 0 2 sinr dr d 4 0 r2 2 0 r d dr 2 0 4 r sinr dr d 4 4 r sin r2 dr d Titulní strana Obsah Strana 49 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací (x2 + y2 ) dxdy do polárních souřadnic, je-li = {x, y R2 1 x2 + y2 4 x y 2x}. y = x y = 2x x2 + y2 = 4 20 1 1 2 x y 4 1 2 /4 r3 d dr 4 1 2 /4 r2 dr d 2 1 /3 /4 r2 d dr 2 1 arctg 2 /4 r3 d dr Titulní strana Obsah Strana 50 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací ln (x2 + y2 ) x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic, je-li = {x, y R2 1 x2 + y2 4 y 0}. x2 + y2 = 4 20 1-1-2 x y 2 1 2 0 lnr2 r2 d dr 0 2 1 lnr2 r2 r d dr 2 1 0 lnr2 r2 r d dr 0 2 1 lnr2 r2 d dr Titulní strana Obsah Strana 51 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (3b.) Transformujte integrál f (x, y) dxdy, kde x2 + y2 2, y x do polárních souřadnic. 5 4 4 2 0 r f (r sin , cos ) dr d 4 - 4 2 0 r f (r sin , cos ) dr d 4 - 4 2 0 r f (r cos ,r sin ) dr d 5 4 4 2 0 r f (r cos ,r sin ) dr d Titulní strana Obsah Strana 52 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (4b.) Nechť = x, y R2 x2 + y2 1 x + y 1 . Transformujte integrál xy dxdy do polárních souřadnic. 2 0 1 1 sin +cos r3 cos sin dr d 2 0 1 sin +cos 1 r3 cos sin dr d 2 0 1 0 r3 cos sin dr d 1 1 sin +cos 2 0 r3 cos sin d dr 8. (4b.) Nechť = x, y R2 x2 + y2 1 x 0 y 0 . Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočítejte integrál: (x + y)dxdy = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Titulní strana Obsah Strana 53 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 54 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola 3 Trojný integrál Rozcestník kapitoly: Množiny bodů v prostoru Typové řešené příklady Test Transformace trojného integrálu Typové řešené příklady Test Titulní strana Obsah Strana 55 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3.1. Množiny bodů v prostoru Při výpočtech trojných integrálů pracujeme s množinami v trojrozměrném prostoru. Integračními obory jsou množiny bodů x, y, z R3 . Doporučujeme proto čtenáři, aby si zopakoval rovnice základních kvadrik (koule, elipsoid, jednodílný a dvojdílný hypeboloid, kužel, eliptický a hyperbolický paraboloid) a kvadratických válců (rotační válec, eliptický válec, parabolický válec a hyperbolický válec). Vzhledem k tomu, že rozpoznání ploch, které ohraničují integrační obor, je pro úspěšné zvládnutí trojného integrálu nezbytné, zařazujeme na začátek test, kde si své znalosti ověříte. U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Množiny bodů v prostoru 1. (2b.) K množině zobrazené na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom a, b, c, p, q > 0 Titulní strana Obsah Strana 56 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec x2 a2 + y2 b2 = 1 x2 a2 - y2 b2 = 1 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 z = x2 2p + y2 2q Titulní strana Obsah Strana 57 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (2b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí x2 + y2 + z2 = r2 , r > 0 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 58 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (2b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = -1, kde a, b, c > 0, je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 59 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (2b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí z = x2 2p + y2 2q , kde p, q > 0, je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 60 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (2b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom a, b, c, p, q > 0 x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 1 z = x2 2p - y2 2q x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = -1 x2 a2 - y2 b2 = 1 Titulní strana Obsah Strana 61 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (2b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku, je li z 0 test2.u3d 2x2 + 2y2 - z2 = 0, x2 + y2 - z2 = -9 2y2 + 2z2 - x2 = 0, x2 + y2 - z2 = -9 2x2 + 2y2 - z2 = 0, x2 + y2 + z2 = 1 2x2 + 2y2 + z2 = 0, x2 + y2 - z2 = 1 Titulní strana Obsah Strana 62 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (2b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test5.u3d x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3 - y x2 - y2 = 1, x2 - y2 = 4, z = 0, z = 3 - y x2 - y2 = 1, x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3 - x x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4, z = 0, z = 3 - x Titulní strana Obsah Strana 63 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (2b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test6.u3d M = x, y, z R3 x2 - y2 9, 0 y, 0 z 2 M = x, y, z R3 x2 + y2 9, 0 y, 0 z 2 M = x, y, z R3 x2 + y2 + z2 9, 0 y, 0 z 2 M = x, y, z R3 x2 + y2 - z2 9, 0 y, 0 z 2 Titulní strana Obsah Strana 64 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 9. (2b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test9.u3d M = x, y, z R3 - 1 x 1, -1 y 1, y2 + 2 z 1 - x2 M = x, y, z R3 - 1 x 1, -1 y 1, 1 + x2 z x2 + y2 M = x, y, z R3 - 1 x 1, -1 y 1, 1 - x2 z x2 + y2 M = x, y, z R3 - 1 x 1, -1 y 1, 1 - x2 z y2 + 2 Titulní strana Obsah Strana 65 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 66 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3.2. Trojný integrál Trojný integrál přiřazuje omezené funkci tří proměnných definované na nějaké měřitelné množině M v trojrozměrném prostoru číslo, které může mít v závislosti na konkrétním tvaru integrandu následující geometrický význam: M f (x, y, z) dxdydz představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena nezápornou funkcí f (x, y, z) a zdola funkcí nulovou g(x, y, z) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M. M ( f (x, y, z) - g(x, y, z)) dxdydz, kde f (x, y, z) g(x, y, z) pro x, y, z M, představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena funkcí f (x, y, z) a zdola funkcí g(x, y, z). Obě funkce opět uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M. M 1 dxdydz představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena konstantní funkcí f (x, y, z) = 1 a zdola funkcí nulovou g(x, y, z) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M. Vzhledem k tomu, že je míra m4(S) rovna součinu míry podstavy (množiny A) a výšky, platí M 1 dxdydz = m3(M). (3.1) Tento vztah říká, že číselně je míra m4(S) množiny s podstavou M a výškou rovnou jedné rovna objemu množiny M. Titulní strana Obsah Strana 67 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3.3. Trojný integrál ­ Fubiniova věta Fubiniova věta nám dává návod, jak převést trojný integrál na trojnásobný. Převádíme tak výpočet trojného integrálu na výpočet tří po sobě jdoucích jednorozměrných integrálů. Věta 3.1. (Fubiniova věta v R3 ) Nechť je funkce f tří proměnných x, y, z spojitá na množině M = x, y, z R3 x, y A; u(x, y) z v(x, y) , kde u, v jsou funkce spojité na množině A takové, že u(x, y) v(x, y) pro každé x, y A. Dále nechť A = x, y R2 a x b; (x) y (x) , kde kde , jsou funkce spojité na intervalu a, b takové, že (x) (x) pro každé x a, b . Pak platí M f (x, y, z) dxdydz = b a (x) (x) v(x,y) u(x,y) f (x, y, z) dz dy dx. (3.2) V předchozí větě je množina A elementární množinou vzhledem k x. Jednoduše lze přeformulovat Fubiniovu větu pro případ, kdy bude množina A elementární oblastí vzhledem k y. Titulní strana Obsah Strana 68 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Bude-li integračním oborem množina M uvedená výše, budeme mluvit o elementární oblasti vzhledem k xy. A to i v případě, že množina A je elementární množinou vzhledem k y. Analogicky lze Fubiniovu větu použít v případě elementárních oblastí vzhledem k xz nebo yz. Titulní strana Obsah Strana 69 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Typové řešené příklady: * Vypočítejte trojný integrál M f (x, y, z) dxdydz. Příklad 3.1 * Vypočítejte objem tělesa. Příklad 3.2, 3.3 Titulní strana Obsah Strana 70 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 3.1. Vypočtěte V 2z dxdydz, kde množina V je omezena plochami x2 + y2 - z2 = -1, x + y = 1, přičemž x, y, z 0. Řešení: První plochou je dvojdílný rotační hyperboloid s osou rotace v ose z. Druhou plochou je rovina, která je rovnoběžná s osou z. Podmínky x, y, z 0 znamenají, že se máme omezit jen na první oktant. Z hyperboloidu nás tedy bude zajímat jen jeho horní část. Integrační obor V vidíme na obrázku 3.1 a jeho průmět do roviny xy na obrázku 3.2. x y z 1 1 V z = x2 + y2 + 1 x + y = 1 obr. 3.1 x y 1 1 O y = 1 - x obr. 3.2 Titulní strana Obsah Strana 71 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Integrační obor V je elementární množina vzhledem k xy. Z rovnice hyperboloidu určíme, že z = x2 + y2 + 1. Množinu V popíšeme následovně: V 0 x 1, 0 y 1 - x, 0 z x2 + y2 + 1. Na výpočet integrálu použijeme Fubiniovu větu. I = V 2z dxdydz = 1 0 1-x 0 x2+y2+1 0 2z dz dy dx = = 1 0 1-x 0 z2 x2+y2+1 0 dy dx = 1 0 1-x 0 (x2 + y2 + 1) dy dx = = 1 0 x2 y + 1 3 y3 + y 1-x 0 dx = 1 0 x2 (1 - x) + 1 3 (1 - x)3 + 1 - x dx = = 1 0 - 4 3 x3 + 2x2 - 2x + 4 3 dx = - 1 3 x4 + 2 3 x3 - x2 + 4 3 x 1 0 = 2 3 . Příklad 3.2. Vypočítejte objem tělesa A ohraničeného plochami z = 4 - y2 , z = 2 + y2 , x = -1, x = 2. Titulní strana Obsah Strana 72 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení: Pro objem m3(A) tělesa A platí m3(A) = A dxdydz. Nejprve určíme mezní plochy, které ohraničují integrační obor A: * z = 4 - y2 (parabolická válcová plocha). * z = 2 + y2 (parabolická válcová plocha). * x = -1 (rovina). * x = 2 (rovina). Průmětem tělesa A do roviny xy je obdélník B ohraničený přímkami x = -1, x = 2, y = -1 a y = 1. Meze pro x jsou přímo zadány. Meze pro y získáme jako průsečíky parabolických ploch, tj. jako řešení rovnice 4-y2 = 2+y2 . Odtud 2y2 = 2 a tedy y1 = -1, y2 = 1. Integrační obor A vidíme na obrázku 3.3 a jeho průmět do roviny xy na obrázku 3.4. Integrační meze tedy jsou: -1 x 2, -1 y 1, y2 + 2 z 4 - y2 . Titulní strana Obsah Strana 73 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec o1.u3d x y -1 2 -1 1 B obr. 3.3 obr. 3.4 m3(A) = A dx dy dz = 2 -1 1 -1 4-y2 y2+2 dz dy dx = 2 -1 1 -1 z 4-y2 y2+2 dy dx = = 2 2 -1 1 -1 1 - y2 dy dx = 2 2 -1 y - 1 3 y3 1 -1 dx = 2 2 -1 4 3 dx = = 8 3 [x]2 -1 = 8. Titulní strana Obsah Strana 74 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 3.3. Vypočítejte objem tělesa A ohraničeného plochami y = x2 , z = x2 + y2 , z = 0, y = 1. Řešení: Nejprve určíme mezní plochy, které ohraničují integrační obor A: * z = x2 + y2 (rotační paraboloid). * y = x2 (parabolická válcová plocha). * z = 0 (rovina). * y = 1 (rovina). o2.u3d y = x2 -1 1 1 x y B obr. 3.5 obr. 3.6 Průmětem tělesa A do roviny xy je množina B ohraničená parabolou y = x2 a přímkou y = 1 ­ viz obr. 3.6. Vidíme, že těleso A je souměrné podle roviny Titulní strana Obsah Strana 75 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec x = 0. Výpočet tedy provedeme pouze pro první oktant a výsledek vynásobíme dvěma. Dostáváme následující integrační meze: 0 x 1, x2 y 1, 0 z x2 + y2 . m3(A) = 2 1 0 1 x2 x2+y2 0 dz dy dx = 2 1 0 1 x2 x2 + y2 dy dx = =2 1 0 x2 y + 1 3 y3 1 x2 dx = 2 1 0 x2 + 1 3 - x4 - 1 3 x6 dx = =2 1 3 x3 + 1 3 x - 1 5 x5 - 1 21 x7 1 0 = 88 105 . U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Trojný integrál -- Fubiniova věta Titulní strana Obsah Strana 76 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 1. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 x 0, y 0, z 0, x + y + z 5} t1.u3d 5 0 5-x 0 5-x-y 0 f (x, y, z) dx dy dz 5 0 5 0 5 0 f (x, y, z) dz dy dx 5 0 5-x 0 5-x-y 0 f (x, y, z) dz dy dx 5 0 5 0 5-x-y 0 f (x, y, z) dx dy dz Titulní strana Obsah Strana 77 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 0 x 1, 0 y 1, 0 z x2 + y2 + 1} t2.u3d 1 0 1+x 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dx dy dz 1 0 1+x 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dz dx dy 1 0 1 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dz dy dx Titulní strana Obsah Strana 78 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 x 0, y 0, z 0, 2x + y 4, z 4 - x2 } t3.u3d 4 0 2x 0 4-x2 0 f (x, y, z) dx dy dz 2 0 4-2x 0 4-x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 4 0 2x 0 4-x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 4 0 4-x2 0 f (x, y, z) dz dy dx Titulní strana Obsah Strana 79 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 x 0, y 0, z 0, x + y 1, z xy} t4.u3d 1 0 1-x 0 xy 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 x 0 xy 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 xy 0 f (x, y, z) dx dy dz xy 0 1-x 0 1 0 f (x, y, z) dx dy dz Titulní strana Obsah Strana 80 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (2b.) Vypočtěte 3 0 1 0 2 0 dz dy dx = 6. (3b.) Je-li 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2, pak xy2 z dxdydz = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 81 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3.4. Transformace trojného integrálu Transformace trojného integrálu je velmi podobná transformaci dvojného integrálu. Rozdíl je pouze v prostoru, v němž transformace probíhají. Buď A R3 otevřená množina. Buďte x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w) funkce definované na A, které zde mají spojité parciální derivace prvního řádu. Nechť F je zobrazení, které každému bodu u, v, w A přiřadí bod g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w F(A). Je-li F spojitě diferencovatelné zobrazení, pak se determinant J(u, v, w) = gu(u, v, w) gv(u, v, w) gw(u, v, w) hu(u, v, w) hv(u, v, w) hw(u, v, w) ku(u, v, w) kv(u, v, w) kw(u, v, w) nazývá jakobián zobrazení F. Připomeňme, že zobrazení F se nazývá regulární právě tehdy, když je jakobián různý od nuly. Uveďme nyní větu o transformaci trojného integrálu, kterou budeme používat při řešení konkrétních úloh. Věta 3.2. Buď M1 M R3, kde M1 je otevřená množina, M je měřitelná množina a platí m3(M M1) = 0. Nechť F je spojitě diferencovatelné zobrazení M do R3, které je regulární a prosté v M1. Označme = F(M), 1 = F(M1). Dále nechť je množina měřitelná a platí m3( 1) = 0. Nechť je funkce f ohraničená na množině a spojitá na 1. Dále nechť je funkce f g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w) |J(u, v, w)| ohraničená na množině M. Pak platí f (x, y, z) dx dy dz = M f g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w) |J(u, v, w)| du dv dw. (3.3) Titulní strana Obsah Strana 82 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Transformace do válcových souřadnic Uvažujme bod T v prostoru s kartézskými souřadnicemi x, y, z a jeho kolmý průmět T do roviny xy s kartézskými souřadnicemi x, y, 0. Jak již víme, v rovině lze provést transformaci kartézských souřadnic x, y bodu T do polárních souřadnic r, . Nyní využijeme tohoto vyjádření prvních dvou souřadnic bodu T v polárních souřadnicích k zavedení nové transformace kartézských souřadnic x, y, z bodu T do tzv. válcových (cylindrických) souřadnic r, , z. x y z O T T z r x y z Titulní strana Obsah Strana 83 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Vztah mezi kartézskými souřadnicemi x, y, z bodu T a válcovými souřadnicemi r, , z je dán rovnicemi: x = r cos , y = r sin , z = z. Přitom r 0 a nabývá hodnot z intervalu 0, 2 nebo z jiného intervalu délky 2. Spočtěme jakobián uvedené transformace. J = r (r cos ) (r cos ) z (r cos ) r (r sin ) (r sin ) z (r sin ) r z z z z = cos -r sin 0 sin r cos 0 0 0 1 = r cos2 +r sin2 = r |J| = r Vzhledem k tomu, že z-ová souřadnice zůstává po transformaci stále stejná, posuzujeme vhodnost použití této transformace pouze podle tvaru množiny, která je průmětem integračního oboru do roviny xy. Jinými slovy, množina musí být elementární oblastí vzhledem k xy tvaru = x, y, z R3 x, y A, g(x, y) z f (x, y) , kde A je množina vhodná pro transformaci do polárních souřadnic. Typové řešené příklady: * Vypočítejte objem tělesa. Příklad 3.4 * Vypočítejte míru množiny. Příklad 3.5 Titulní strana Obsah Strana 84 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 3.4. Vypočítejte objem tělesa . Přitom = x, y, z R3 , x2 + y2 1, 0 z x . Řešení: Rovnice x2 + y2 = 1 určuje kruhovou válcovou plochu. Rovnice z = 0, z = x jsou roviny, které z válcové plochy vytnou množinu -- viz obr. 3.7. Použijeme transformaci do válcových souřadnic. * Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy. Průmětem je množina A -- viz obr. 3.8. o4.u3d x2 + y2 = 1 1 x y obr. 3.7 Množina obr. 3.8 Množina A Titulní strana Obsah Strana 85 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Popíšeme množinu A v polárních souřadnicích: - 2 2 , 0 r 1. * Určíme omezení pro z. Dosadíme tedy transformační rovnice do rovnic zadaných ploch, které množinu ohraničují shora a zdola. shora z = x z = r cos , zdola z = 0 z = 0. Celkem tedy 0 z r cos . * Transformací do válcových souřadnic přejde množina v množinu M -- viz obr. 3.9. Na obrázku je osa označena písmenem p. Množinu M popíšeme takto: - 2 2 , 0 r 1, 0 z r cos . Titulní strana Obsah Strana 86 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec r -/2 /20 1 obr. 3.9 Množina M obr. 3.10 Průmět M do roviny r m3( ) = 2 - 2 1 0 r cos 0 r dz dr d = 2 - 2 1 0 r [z] r cos 0 dr d = = 2 - 2 1 0 r2 cos dr d = 2 - 2 cos r3 3 1 0 d = 1 3 2 - 2 cos d = = 1 3 [sin ] 2 - 2 = 1 3 (1 - (-1)) = 2 3 . Titulní strana Obsah Strana 87 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 3.5. Vypočítejte míru množiny , kde = x, y, z R3 , x2 + y2 - 3z2 0 z 2 - x2 - y2 . Řešení: Rovnice x2 + y2 -3z2 = 0 určuje kužel s osou v souřadnicové ose z a vrcholem v počátku. Rovnici z = 2 - x2 - y2 upravíme na z = -(x2 + y2) + 2. Vidíme, že se jedná o rotační paraboloid s osou v souřadnicové ose z otočený dolů a posunutý o 2 nahoru. Těleso je tedy shora ohraničeno rotačním paraboloidem a zdola kuželem -- viz obr. 3.11. Použijeme transformaci do válcových souřadnic. * Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy. K určení průmětu do roviny xy potřebujeme znát křivku, v níž se kužel a paraboloid protínají. Řešíme tedy soustavu rovnic: x2 + y2 - 3z2 = 0 -(x2 + y2 ) + 2 - z = 0. Sečtením získáme -3z2 - z + 2 = 0. Tato rovnice má dvě řešení z1 = -1, z2 = 2/3. Vzhledem ke tvaru tělesa vyhovuje pouze řešení z2 = 2/3. Dosazením do některé z rovnic dostáváme x2 + y2 = 4/3. Kužel a paraboloid se tedy protínají v kružnici se středem v bodě 0, 0, 2/3 a poloměrem 2/ 3 ležící v rovině rovnoběžné s rovinou xy. Průmětem tělesa do roviny xy je tedy kruh A -- viz obr. 3.12. Titulní strana Obsah Strana 88 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec o5.u3d x2 + y2 = 4 3 2 3 x y obr. 3.11 Množina obr. 3.12 Množina A * Popíšeme množinu A v polárních souřadnicích: 0 2, 0 r 2/ 3. * Určíme omezení pro z. Dosadíme tedy transformační rovnice do rovnic zadaných ploch, které množinu ohraničují shora a zdola. shora z = 2 - x2 - y2 z = 2 - (r2 cos2 + r2 sin2 ) z = 2 - r2 , zdola x2 + y2 - 3z2 = 0 r2 cos2 + r2 sin2 - 3z2 = 0 z = r 3 . Vyhovuje pouze z = r 3 . Celkem tedy r 3 z 2 - r2. Titulní strana Obsah Strana 89 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Transformací do válcových souřadnic přejde množina v množinu M -- viz obr. 3.13, kterou popíšeme takto: 0 2, 0 r 2/ 3, r/ 3 z 2 - r2 . r 0 20 2 3 obr. 3.13 Množina M obr. 3.14 Průmět M do roviny r Titulní strana Obsah Strana 90 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec m3( ) = 2 0 2 3 0 2-r2 r 3 r dz dr d = 2 0 2 3 0 rz2-r2 r 3 dr d = = 2 0 2 3 0 2r - r3 - r2 3 dr d = 2 0 r2 - r4 4 - r3 3 3 2 3 0 d = = 2 0 36 27 - 12 27 - 8 27 d = 2 0 16 27 d = 16 27 []2 0 = 32 27 . Titulní strana Obsah Strana 91 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Trojný integrál ­ transformace do válcových souřadnic 1. (2b.) Vztah mezi kartézskými a válcovými souřadnicemi při použití r, , z je dán rovnicemi: x = r sin , y = r cos , z = x = r cos , y = r sin , z = x = r cos , y = r sin , z = z x = r sin , y = r cos , z = z 2. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do válcových souřadnic při použití r, , z je: r2 r r sin r cos Titulní strana Obsah Strana 92 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 x2 + y2 9, 0 y, 0 z 2 . Množina A je zobrazena na obrázku. test6.u3d 2 0 1 0 2 0 r dz dr d 0 3 0 2 0 r dz dr d 3 0 3 0 2 0 r dz dr d 3 0 2 0 2 0 r d dz dr Titulní strana Obsah Strana 93 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 1 x2 + y2 4, 0 z 3, x 0, y 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. test8.u3d /2 0 2 1 3 0 r dz dr d 2 0 3 0 4 1 r dz dr d 4 0 3 0 0 r d dz dr /2 2 1 3 0 r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 94 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 1 x2 + y2 4, 0 z 3 - y}. Množina A je zobrazena na obrázku. test5.u3d 2 1 2 0 3-y 0 r dz dr d 2 1 2 0 3-y 0 r2 dz dr d 2 0 2 1 3-r sin 0 r dz dr d 2 0 1 0 3-r sin 0 r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 95 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 1 x2 + y2 4, 0 z 4, y |x| . Průmět množiny A do roviny xy je zobrazen na obrázku. x y 1 2O y = xy = -x 4 0 4 2 0 r dr d dz 2 0 2 1 4 0 r dz dr d 3 4 4 2 1 4 0 r dz dr d 4 0 2 4 2 1 r dr d dz Titulní strana Obsah Strana 96 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 x2 + y2 1, 1 z 3, y x, x 0 . Průmět množiny A do roviny xy je zobrazen na obrázku. x2 + y2 = 1 y = x 1 1 x y 2 4 3 1 1 0 r dr dz d 3 1 4 1 0 r dr d dz 2 0 1 0 3 0 r dz dr d 3 0 2 4 2 1 r dr d dz Titulní strana Obsah Strana 97 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 x2 + y2 - y 0, x2 + y2 z 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. test10.u3d x2+y2 0 2 0 1 0 r dr d dz 0 sin 0 r2 0 r dz dr d 0 1 0 r2 0 r dz dr d r 0 2 4 cos sin r dr d dz Titulní strana Obsah Strana 98 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Transformace do sférických souřadnic Uvažujme bod T v prostoru s kartézskými souřadnicemi x, y, z a jeho kolmý průmět T do roviny xy s kartézskými souřadnicemi x, y, 0. Označme r vzdálenost bodu T od počátku O kartézské soustavy souřadnic a úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy x. Dále označme úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy z. Polohu bodu T v prostoru pak určíme trojicí čísel r, , , kterou nazveme sférické souřadnice bodu T . Titulní strana Obsah Strana 99 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec x y z O T T r x y z Z obrázku vidíme, že pro první dvě souřadnice bodu T platí x = |OT | cos , y = |OT | sin . Z pravoúhlého trojúhelníku OT T dostaneme sin 2 - = z r cos = z r z = r cos . cos 2 - = |OT | r sin = |OT | r |OT | = r sin . Dosadíme-li nyní vyjádření |OT | do vztahů pro x a y, dostáváme vztah mezi kartézskými souřadnicemi x, y, z bodu T a sférickými souřadnicemi r, , : x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos . Titulní strana Obsah Strana 100 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Přitom r 0, úhel nabývá hodnot z intervalu 0, 2 nebo z jiného intervalu délky 2 a úhel nabývá hodnot z intervalu 0, . Spočtěme ještě jakobián této transformace: J = r (r cos sin ) (r cos sin ) (r cos sin ) r (r sin sin ) (r sin sin ) (r sin sin ) r (r cos ) (r cos ) (r cos ) = = cos sin -r sin sin r cos cos sin sin r cos sin r sin cos cos 0 -r sin = = -r2 cos2 sin3 - r2 sin2 sin cos2 - r2 cos2 sin cos2 - r2 sin2 sin3 = = -r2 sin3 sin2 + cos2 + sin cos2 sin2 + cos2 = = -r2 sin sin2 + cos2 = -r2 sin Absolutní hodnota jakobiánu je: |J| = r2 sin Typové řešené příklady: * Vypočítejte integrál f (x, y, z) dxdydz. Příklad 3.6 * Vypočítejte míru množiny. Příklad 3.7 Titulní strana Obsah Strana 101 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 3.6. Vypočtěte x2 + y2 + z2 dx dy dz, kde množina je určená nerovnostmi z2 x2 + y2, 1 x2 + y2 + z2 4, přičemž z 0. Řešení: Rovnice z2 = x2 + y2 určuje rotační kuželovou plochu s osou v souřadnicové ose z. První nerovnost tedy zadává její vnitřek. Vzhledem k nerovnosti z 0 budeme uvažovat pouze horní část. Podmínka 1 x2 + y2 + z2 4 říká, že množina je dále omezena dvěma soustřednými kulovými plochami o poloměrech 1 a 2. Výsledek je znázorněn na obrázku 3.15. Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic. test3.u3d x2 + y2 = 2 2 x y obr. 3.15 Množina obr. 3.16 Množina A Titulní strana Obsah Strana 102 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Určíme průmět tělesa do roviny xy a tím úhel . Průmětem A je zřejmě kruh se středem v počátku, jehož hraniční kružnice je průmětem kružnice, kterou dostaneme jako průnik kuželové plochy a větší kulové plochy. Vyloučením proměnné z z rovnic z2 = x2 + y2 a x2 + y2 + z2 = 4 dostaneme, že x2 + y2 = 2, tj. poloměr kruhu A je 2. Tento údaj ale není důležitý, určili jsme jej jen pro úplnost, podstatné je, že pro úhel platí 0 2. * Určíme řez tělesa libovolnou rovinou procházející osou z. Protože toto těleso je rotační s osou rotace z, bude řez libovolnou rovinou procházející osou z stejný. Na obr. 3.17 je znázorněn řez rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel . Protože přímka y = z je osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel 4 . Tedy 0 /4. y z 1 2 z = yz = -y obr. 3.17 Řez rovinou yz * Určíme meze pro r. Pro proměnnou r zřejmě platí 1 r 2. Titulní strana Obsah Strana 103 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Transformací do sférických souřadnic přejde množina v množinu M -- viz obr. 3.18 (písmeno ,,p" značí osu , písmeno ,,t" značí osu ), kterou popíšeme takto: M 1 r 2, 0 2, 0 4 . sf1.u3d obr. 3.18 Množina M I = x2 + y2 + z2 dx dy dz = M r r2 sin dr dd = = 2 1 r3 dr 2 0 d /4 0 sin d = r4 4 2 1 2 0 - cos /4 0 = = 15 4 2 - 2 2 + 1 = 15 2 - 2 4 . Titulní strana Obsah Strana 104 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklad 3.7. Vypočítejte míru množiny T dané nerovnostmi x2 + y2 + z2 - 4z 0 x2 + y2 - z2 0. Řešení: První rovnici x2+y2+z2-4z = 0 lze upravit na tvar x2+y2+(z - 2)2 = 4. Vidíme, že se jedná se o kulovou plochu. První nerovnost tedy zadává vnitřek kulové plochy. Rovnice x2 + y2 - z2 = 0 určuje rotační kuželovou plochu s osou v souřadnicové ose z. Druhá nerovnost tedy zadává vnitřek kuželové plochy. Množina je tedy omezena shora kulovou plochou se středem v bodě 0, 0, 2 a poloměrem 2 a zdola kuželovou plochou. Výsledek je znázorněn na obrázku 3.19. Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic. o3.u3d x2 + y2 = 4 2 x y obr. 3.19 Množina obr. 3.20 Množina A Titulní strana Obsah Strana 105 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec * Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy a tím úhel . K určení průmětu do roviny xy potřebujeme znát křivku, v níž se kužel a koule protínají. Řešíme tedy soustavu rovnic: x2 + y2 + (z - 2)2 = 4 x2 + y2 - z2 = 0. Odečtením získáme (z - 2)2 + z2 = 4. Tato rovnice má dvě řešení z1 = 0, z2 = 2. Zajímá nás pouze řešení z2 = 2. Dosazením do některé z rovnic dostáváme x2 + y2 = 4. Kužel a koule se protínají v kružnici se středem v bodě 0, 0, 2 a poloměrem 2, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou xy. Průmětem tělesa do roviny xy je tedy kruh A -- viz obr. 3.20. Pro úhel tedy platí 0 2. * Určíme řez tělesa libovolnou rovinou procházející osou z. Protože toto těleso je rotační s osou rotace z, bude řez libovolnou rovinou procházející osou z stejný. Na obr. 3.21 je znázorněn řez rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel . Protože přímka y = z je osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel 4 . Tedy 0 /4. y z z = yz = -y Titulní strana Obsah Strana 106 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec obr. 3.21 Řez rovinou yz * Určíme meze pro r. Omezení pro r dostaneme dosazením transformačních rovnic do rovnice kulové plochy, tj. r2 cos2 sin2 + r2 sin2 sin2 + r2 cos2 - 4r cos = 0 r2 sin2 + r2 cos2 - 4r cos = 0 r = 4 cos . Celkem tedy pro proměnnou r platí 0 r 4 cos . * Transformací do sférických souřadnic přejde množina v množinu M -- viz obr. 3.22, kterou popíšeme takto: M 1 r 4 cos , 0 2, 0 4 . m( ) = dxdydz = M r2 sin drdd = = 2 0 /4 0 4 cos 0 r2 sin dr d d = 16 8 3 /4 0 4 cos3 sin d = = cos = t sin d = -dt 0 1, 4 2 2 2 2 t 1 změna pořadí horní a dolní meze změna znaménka před integrálem = 16 8 3 1 2/2 t3 dt = 32 3 t4 1 2/2 = 8. Titulní strana Obsah Strana 107 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec sf2.u3d obr. 3.22 U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Trojný integrál -- transformace do sférických souřadnic 1. (2b.) Vztah mezi kartézskými a cylindrickými souřadnicemi je při použití r, a dán rovnicemi: x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos x = r sin sin , y = r cos sin , z = r cos x = r cos sin , y = r sin sin , z = r sin x = r sin sin , y = r cos sin , z = r sin Titulní strana Obsah Strana 108 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do sférických souřadnic při použití r, a je: r2 sin 2 r cos 2 r sin r2 sin Titulní strana Obsah Strana 109 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (4b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A f (x, y, z) dxdydz do sférických souřadnic, je-li: A = x, y, z z x2 + y2, x2 + y2 + z2 2z 4 0 2 0 2 cos 0 f (r cos sin ,r sin sin ,r cos )r2 sin dr d d 2 0 2 0 2 cos 0 f (r cos sin ,r sin sin ,r cos )r2 sin dr d d 2 0 2 0 2 cos 0 f (r sin sin ,r cos sin ,r cos )r2 sin dr d d 4 0 2 0 2 cos 0 f (r sin sin ,r cos sin ,r cos )r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 110 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 }. Množina A je zobrazena na obrázku. tsf1.u3d 4 0 2 0 1 0 r2 sin dr d d 2 0 2 0 2 0 r2 sin dr d d 2 0 0 2 0 r2 sin dr d d 4 0 0 2 1 r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 111 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 z2 x2 + y2 , 1 x2 + y2 + z2 4, z 0, x 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tsf2.u3d 4 0 2 0 2 1 r2 sin dr d d 4 - 4 2 0 1 1 2 r2 sin dr d d 4 0 2 - 2 2 1 r2 sin dr d d 4 0 2 0 2 1 r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 112 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A dxdydz do sférických souřadnic, je-li: A = x, y, z x2 + y2 + z2 4, x2 + y2 + (z - 2)2 4, x 0 . Množina A je zobrazena na obrázku na další straně. 4 0 0 2 0 r2 sin dr d d + 2 4 0 2 0 r2 sin dr d d 3 0 2 - 2 2 0 r2 sin dr d d + 2 2 - 2 1 0 r2 sin dr d d 3 0 2 - 2 2 0 r2 sin dr d d + 2 3 2 - 2 4 cos 0 r2 sin dr d d 3 0 2 0 cos 0 r2 dr d d + 2 3 2 0 2 cos 0 r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 113 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec tsf4.u3d Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 114 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola 4 Souhrnné testy Rozcestník kapitoly: Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 V této kapitole jsou zařazeny čtyři souhrnné testy, které by měly posloužit k procvičení problematiky dvojných a trojných integrálů. Začínáme otázkami k procvičení dvojných integrálů, dále následují otázky na rozpoznávání prostorových množin a nakonec jsou zařazeny testové otázky k trojnému integrálu. Při vyplňování testu platí stejná pravidla jako v testech zařazených k daným tématům: U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Z každého testu lze získat 100 bodů. Kromě testových otázek, kdy pouze vybíráme odpověď z předem daných možností, jsou na konci testů zařazeny i otázky s tvořenými odpověďmi. Jedná se o jednoduché Titulní strana Obsah Strana 115 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec výpočty integrálů, které lze provést zpaměti nebo velmi jednoduchým rozepsáním. Další složitější úlohy k procvičení počítání jsou zařazeny v následující kapitole. Titulní strana Obsah Strana 116 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Souhrnný test 1 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 1 1 x y 1 0 x2 0 f (x, y) dy dx x2 0 0 -1 f (x, y) dy dx 1 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 x 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 y f (x, y) dx dy 1 0 1 - y f (x, y) dx dy 1 0 -1 y f (x, y) dx dy 1 0 y -1 f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 117 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte- grálu: 2 0 2x-x2 0 f (x, y) dy dx, 1 0 - 1-y2+1 1-y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 1-y2+1 - 1-y2-1 f (x, y) dx dy 1 0 1-y2+1 - 1-y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 1-y2-1 - 1-y2+1 f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 118 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (10b.) Transformujte integrál f (x, y) dxdy, kde x2 + y2 1, x + y 1 do polárních souřadnic. 2 0 1 1 cos +sin r f (r cos ,r sin ) dr d 4 0 1 1 cos +sin r f (r sin , cos ) dr d 4 0 1 1 cos +sin r f (r cos ,r sin ) dr d 2 0 1 1 cos +sin r f (r sin , cos ) dr d Titulní strana Obsah Strana 119 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (9b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí x2 9 + y2 2 + z2 4 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 120 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (9b.) (a) (b) (c) (d) Nechť a, b > 0. Kvadrika s rovnicí x2 a2 + y2 b2 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 121 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test10.u3d x2 + y2 - y = 0, x2 + y2 = z, z = 0, x2 - y2 = z, x2 + y2 = z, z = 0, x2 - y2 = 1, x2 + y2 = z,z = 0, x2 + y2 - y = 0, x2 - y2 = z Titulní strana Obsah Strana 122 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test7.u3d M = x, y, z R3 z 1 2 x2 + 1 2 y2 , x2 + y2 + z2 3, x 0, y 0 M = x, y, z R3 z x2 + y2 , x2 + y2 + z2 3, x 0, y 0 M = x, y, z R3 z 1 2 x2 - 1 2 y2 , x2 + y2 - z2 3, x 0, y 0 M = x, y, z R3 z 1 2 x2 + 1 2 y2 , x2 + y2 - z2 3, x 0, y 0 Titulní strana Obsah Strana 123 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 x 0, y 0, z 0, y 4 - 2x, z 6 - x2 } 4 0 2x 0 6-x2 0 f (x, y, z) dx dy dz 2 0 4-2x 0 6-x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 4 0 2x 0 6-x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 4 0 6-x2 0 f (x, y, z) dz dy dx Titulní strana Obsah Strana 124 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 x2 + y2 9, 0 y, 0 z y . Množina A je zobrazena na obrázku. tv1.u3d 2 0 3 0 y 0 r dz dr d 0 3 0 r sin 0 r dz dr d 0 3 0 r cos 0 r dz dr d 3 0 y 0 r d dz dr Titulní strana Obsah Strana 125 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 1 x2 + y2 9, y - 3 z 3 - y, x 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tv6.u3d - 2 - 2 3 0 3-y y-3 r dz dr d 0 3 1 3-y y-3 r2 dz dr d 2 - 2 3 1 3-r sin r sin -3 r dz dr d 2 9 1 3-r cos 3-r sin r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 126 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 11. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 x2 + y2 +z2 -z 0, x2 + y2 +z2 -2z 0, x2 + y2 z}. Množina A je zobrazena na obrázku na další straně. 4 0 2 0 2 cos 0 r2 sin dr d d 4 - 4 2 0 1 1 2 r2 sin dr d d 4 0 2 0 2 cos cos r2 sin dr d d 4 0 2 0 2 1 r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 127 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Souhrnný test 2 Titulní strana Obsah Strana 128 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 1 1 x y x2 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 x2 f (x, y) dy dx 1 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 x 0 f (x, y) dy dx 1 0 - y 0 f (x, y) dx dy 1 0 1 y f (x, y) dx dy 1 0 y -1 f (x, y) dx dy 1 0 y 0 f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 129 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 y = 1 - x2 1 1 x y 1 2 0 1-x2 x2 f (x, y) dy dx 1 0 1-x2 x2 f (x, y) dy dx 1 2 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 2 0 x2 1-x2 f (x, y) dy dx Titulní strana Obsah Strana 130 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu f (x, y) dxdy do polárních souřadnic, je-li = x, y R2 x2 + y2 y, y x, x 0 . 4 4 sin 0 r f (r sin , cos ) dr d 2 4 sin 0 r f (r sin , cos ) dr d 2 4 sin 0 r f (r cos ,r sin ) dr d 4 4 sin 0 r f (r cos ,r sin ) dr d Titulní strana Obsah Strana 131 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (9b.) (a) (b) (c) (d) Nechť a, b, c > 0. Kvadrika s rovnicí x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 132 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test11.u3d x2 + y2 - x = 0, x2 + y2 + z2 = 1 x2 - y2 = 1, x2 + y2 - z2 = 0 x2 + y2 - x = 0, x2 + y2 - z2 = 1 x2 - y2 = 1, x2 + y2 + z2 = 1 Titulní strana Obsah Strana 133 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test3.u3d M = x, y, z R3 x2 + y2 - z2 0, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 M = x, y, z R3 x2 + y2 - z2 1, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 M = x, y, z R3 x2 + y2 - z2 -1, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 M = x, y, z R3 x2 + y2 1, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 Titulní strana Obsah Strana 134 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 0 x 1, 0 y 1, 0 z x2 + y2 } 1 0 1+x 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dx dy dz 1 0 1+x 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dz dx dy Titulní strana Obsah Strana 135 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 x2 + y2 4, y - 2 z 2 - y . Množina A je zobrazena na obrázku. tv3.u3d 2 0 2 0 2 -2 r dz dr d 2 0 4 0 r sin r cos r dz dr d 2 0 2+r 2-r 2 0 r d dz dr 2 0 2 0 2-r sin r sin -2 r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 136 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 1 x2 + y2 4, -2 z 2, x 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. tv7.u3d 2 0 2 0 2 -2 r dz dr d 2 2 1 2 -2 r dz dr d - 2 0 r cos 0 r dz dr d 3 2 2 2 1 2 -2 r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 137 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 1 x2 + y2 + z2 4, y 0, z 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tsf3.u3d 2 0 0 4 1 r2 sin dr d d 4 - 4 2 0 1 1 2 r2 sin dr d d 4 0 0 2 1 r2 sin dr d d 2 0 0 2 1 r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 138 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 11. (5b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 4 0 x 0 dy dx = 12. (6b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 2 1 2 0 x sin y dy dx = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Souhrnný test 3 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. Titulní strana Obsah Strana 139 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec y = 1 - x 1 1 x y 1 0 x 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 2 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 1-x 0 f (x, y) dy dx 1 0 -y 0 f (x, y) dx dy 1 0 1-y 0 f (x, y) dx dy 1 0 y 0 f (x, y) dx dy 1 0 y -1 f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 140 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (8b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. x2 + y2 = 1 y = x 1 1 x y 1 2 0 x 1-x2 f (x, y) dy dx 1 0 1-x2 x f (x, y) dy dx 1 2 0 1-x2 x f (x, y) dy dx 1 0 x 1-x2 f (x, y) dy dx Titulní strana Obsah Strana 141 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte- grálu: 1 0 e ey f (x, y) dy dx. e 0 ln x 1 f (x, y) dx dy e 1 ln x 0 f (x, y) dx dy e 1 - ln x 1 f (x, y) dx dy e 0 ln x e f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 142 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (9b.)K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. x2 + y2 + z2 = 0 z = x2 + y2 x2 + y2 - z2 = 1 x2 + y2 + z2 = 1 Titulní strana Obsah Strana 143 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (9b.) (a) (b) (c) (d) Nechť a, b > 0. Kvadrika s rovnicí x2 a2 - y2 b2 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 144 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku x2 + y2 + z2 - z = 0, x2 + y2 + z2 - 2z = 0, x2 + y2 - z2 = 0 x2 + y2 = 0, x2 + y2 + z2 = 0, x2 + y2 - z2 = 0 x2 + y2 - x = 0, x2 + y2 - z2 - 2z = 0, x2 + y2 + z2 = 1 x2 + y2 - z2 = 0, x2 + y2 + z2 = 1 Titulní strana Obsah Strana 145 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test4.u3d M = x, y, z R3 z 1 2 x2 + 1 2 y2 , x2 + y2 + z2 3 M = x, y, z R3 z x2 + y2 , x2 + y2 - z2 3 M = x, y, z R3 z x2 + y2 , x2 + y2 - z2 3 M = x, y, z R3 z x2 - y2 , x2 + y2 + z2 3 Titulní strana Obsah Strana 146 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {x, y R2 x 0, y 0, z 0, x + y + z 1} 1 0 1-x 0 1-x-y 0 f (x, y, z) dx dy dz 1 0 1-x 0 1-x-y 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 1 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 1-x-y 0 f (x, y, z) dx dy dz Titulní strana Obsah Strana 147 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A 1 dx dy dz do válcových souřadnic, je-li A = x, y, z R3 x2 + y2 4, -2 z 2, x 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. tv2.u3d 2 0 2 1 2 -2 r dz dr d 2 0 4 0 2 -2 r dz dr d 2 0 2 -2 0 r d dz dr 2 - 2 2 0 2 -2 r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 148 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A f (x, y, z) dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = x, y, z x2 + y2 + z2 R2 , R > 0, x 0, y 0, z 0 . 2 0 2 0 R 0 f (r cos sin ,r sin sin ,r cos )r2 sin dr d d 2 0 0 R 0 f (r cos sin ,r sin sin ,r cos )r2 sin dr d d 2 0 0 R 0 f (r sin sin ,r cos sin ,r cos )r2 sin dr d d 4 0 0 2 cos 0 f (r sin sin ,r cos sin ,r cos )r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 149 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 11. (6b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 2 0 1 0 x2 + y3 dy dx = 12. (6b.) Vypočtěte trojnásobný integrál 1 -1 0 - 1 2 1 2 0 dz dy dx = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Souhrnný test 4 1. (8b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. Titulní strana Obsah Strana 150 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec y = 2x - x2 y = x2 1 1 x y 1 0 x2 0 f (x, y) dy dx 1 0 2x-x2 0 f (x, y) dy dx 1 0 x2 2x-x2 f (x, y) dy dx 1 0 2x-x2 x2 f (x, y) dy dx Titulní strana Obsah Strana 151 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte- grálu: 1 0 x2 x3 f (x, y) dy dx, 1 0 3 y y f (x, y) dx dy 1 0 - 3 y y f (x, y) dx dy 1 0 3 y - y f (x, y) dx dy 1 0 - 3 y - y f (x, y) dx dy Titulní strana Obsah Strana 152 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (9b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí z = x2 2p - y2 2q , kde p, q > 0, je na obrázku (a) (b) (c) (d) Titulní strana Obsah Strana 153 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. (9b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom nechť a, b, c, p, q > 0 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 0 z = x2 2p + y2 2q x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = -1 Titulní strana Obsah Strana 154 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test1.u3d x2 + y2 = 1, z = 1 - x2 - y2 , z = 4 x2 - y2 = 1, z = 1 - x2 - y2 , z = 4 x2 + y2 = 1, z = x2 - y2 , z = 4 x2 + y2 = 1, z = x2 + y2 , z = 4 Titulní strana Obsah Strana 155 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test8.u3d M = x, y, z R3 1 x2 + y2 4, 0 z 3, x 0, y 0 M = x, y, z R3 1 x2 - y2 4, 0 z 3, x 0, y 0 M = x, y, z R3 1 x2 + y2 + z2 4, 0 z 3, x 0, y 0 M = x, y, z R3 1 x2 + y2 - z2 4, 0 z 3, x 0, y 0 Titulní strana Obsah Strana 156 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li těleso A ohraničené plochami: x = 2, y = 0, z = 0, -x + 3y + 3z = 3. 2 -3 1 3 (x+3) 0 1 3 (3+x-3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 1 0 1 3 (3+x-3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 -2 1 0 1 3 (3+x-3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 x+1 0 1 3 (3+x-3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx Titulní strana Obsah Strana 157 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 8. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = {x, y, z R3 x2 + y2 9, y - 3 z 3 - y, x 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tv4.u3d - 2 - 2 3 0 3-y y-3 r dz dr d 2 1 2 0 3-y y-3 r2 dz dr d 2 - 2 3 0 3-r sin r sin -3 r dz dr d 2 0 3 0 3-r cos 3-r sin r dz dr d Titulní strana Obsah Strana 158 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = x, y, z x2 + y2 + z2 R2 , x2 + y2 + (z - R)2 R2 , R > 0 . 4 0 2 0 R 0 r2 sin dr d d + 2 4 2 0 R 0 r2 sin dr d d 2 0 2 0 R 0 r2 sin dr d d + 2 2 0 R 0 r2 sin dr d d 3 0 2 0 R 0 r2 sin dr d d+ 2 3 2 0 2R cos 0 r2 sin dr d d 3 0 2 0 R cos 0 r2 dr d d + 2 3 2 0 2R cos 0 r2 sin dr d d Titulní strana Obsah Strana 159 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 10. (9b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 0 2 - 2 sin x cos y dy dx = 11. (9b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 4 1 3 -2 x2 y dy dx = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 160 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola 5 Úlohy na procvičení Úlohy k procvičení výpočtů 1. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: x + y = 1, x + y = 2, y = 1 2 x, y = 2x. Pak dxdy= 2. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = x2 , y = 4 - x2 . Pak dxdy = Titulní strana Obsah Strana 161 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 3. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = x2 , y2 = x. Pak (x2 + y)dxdy = 4. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = 0, y = x, x + y = 2. Pak (x - y)dxdy = Zobrazení správného výsledku (aktivní po kliknutí na tlačítko Výsledky): Titulní strana Obsah Strana 162 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 5. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: x = 2, x = 4, y = x, y = 2x. Pak y x dxdy = 6. (3b.) Nechť = {x, y 0 x 4, 0 y x}. Pak dxdy = 7. (3b.) Nechť = x, y 1 x 4, 1 x y x . Pak xy dxdy = 8. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom x2 + y2 4, y x 3 , x 0. 15x2 y dxdy = Titulní strana Obsah Strana 163 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 9. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom 0 y x, x2 + y2 3, x2 + y2 5. (x2 - y2 )dxdy = 10. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic: Přitom x2 + y2 4, x2 + y2 16, x 0, y 0. xy dxdy = 11. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom x2 + y2 ax, y 0, a > 0 y dxdy = 12. (2b.) 0 -1 -x - 1 4 x2 -1 dz dy dx = Titulní strana Obsah Strana 164 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 13. (2b.) 1 0 1-x2 0 2-x-y 0 dz dy dx = 14. (2b.) 2 0 x+1 x xy 0 dz dy dx = 15. (2b.) 1 0 y - y 4-x-y 0 dz dy dx = 16. (3b.) Nechť y2 x 2 - y, 0 y 1, 0 z 2 - x - y. dxdydz = 17. (3b.) Nechť 0 x 1, x2 y 1, 0 z x2 + y2 . dxdydz = 18. (3b.) Nechť x 0, y 0, z 0, z 1 - x - 2y. dxdydz = Titulní strana Obsah Strana 165 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 19. (2b.) 1 0 x 0 xy 0 x3 y2 zdz dy dx = 20. (2b.) 1 0 1 0 x2+y2 0 x2 ydz dy dx = 21. (2b.) 1 0 2 1 2 0 (3x2 y+z)dz dy dx = 22. (3b.) Nechť 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2. xy2 z dxdydz = 23. (3b.) Nechť 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4. newline x2 + y2 dxdydz = Titulní strana Obsah Strana 166 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 24. (4b.) Nechť x2 + y2 z 2-(x2 + y2 ). Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. 3z2 dxdydz = 25. (4b.) Nechť x2 + y2 9, y 0, 0 z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. z x2 + y2 dxdydz = 26. (4b.) Nechť 0 x 1, 0 y 1 - x2, 0 z 1 - x2 - y2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. z(x2 + y2 ) dxdydz = 27. (4b.) Nechť x2 + y2 4z 16. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. xy (4 + z)2 dxdydz = Titulní strana Obsah Strana 167 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 28. (4b.) Nechť x2 + y2 + z2 1, x 0, y 0, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. xyz dxdydz = 29. (4b.) Nechť x2 + y2 2 z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. (1 - 2x - y) dxdydz = 30. (4b.) Nechť x2 + y2 2z, z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. (x2 + y2 ) dxdydz = 31. (4b.) Nechť x2 + y2 + z2 4, y 0, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. (x + y + z) dxdydz = Titulní strana Obsah Strana 168 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 32. (4b.) Nechť x2 + y2 + z2 a2 v prvním oktantu, a > 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. z dxdydz = 33. (4b.) Nechť x2 + y2 + z2 a2 , a > 0, z - x2 + y2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. 15 2yz dxdydz = 34. (4b.) Nechť x2 + y2 + z2 z. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. x2 + y2 + z2 dxdydz = 35. (4b.) Nechť x2 + y2 + z2 2z, z2 x2 + y2 . Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. dxdydz = Titulní strana Obsah Strana 169 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec 36. (4b.) Nechť x2 + y2 + (z - 2)2 4, z x2 + y2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. xy dxdydz = 37. (4b.) Nechť z2 x2 + y2 , 1 x2 + y2 +z2 4, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. x2 + y2 + z2 dxdydz = Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Titulní strana Obsah Strana 170 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec Použitá literatura [1] Grahn A.: The movie15 package, 2008. Dostupné online na: http://ftp.cstug.cz/pub/tex/CTAN/macros/latex/contrib/ movie15/doc/movie15.pdf. [2] Hošková Š., Kuben J., Račková P.: Integrální počet funkcí více proměnných, skriptum Univerzita obrany, Brno, 2005. [3] Jalová N.: Testy z Integrálního počtu funkcí více proměnných, bakalářská práce, MU Brno, 2008. Dostupná online na: http://www.math.muni.cz/~plch/ diplomky/jalova.pdf. [4] Mařík R., Tihlaříková M.: Pojďte pane, budeme si hrát (. . . s PDF), In Proceedings of 7th International Conference APLIMAT 2008, Bratislava: Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology, 2008, s. 63­73. [5] Mařík R.: Dvojný integrál, září 2008. Dostupné online na: http://old. mendelu.cz/~marik/kvizy/dvojint-CZ.pdf. [6] Musil V.: Prezentace matematické grafiky (Integrální počet funkcí více proměnných) na webu s programem JavaView, diplomová práce MU Brno, 2007. Titulní strana Obsah Strana 171 z 171 Zpět Vpřed Zavřít Konec [7] Plch R., Šarmanová P.: Interaktivní prezentace matematické grafiky na webu a v PDF dokumentech. Sborník semináře Technologie pro e-vzdělávání, Praha, 2007, s. 31­38. [8] Plch R., Šarmanová P.: Galerie interaktivní grafiky pro podporu výuky matematické analýzy. Sborník příspěvků 3. konference Využití počítačů ve výuce matematiky. 1. vydání. České Budějovice, 2007, s. 193­198. [9] Plch R., Šarmanová P.: Interaktivní 3D grafika v HTML a PDF dokumentech, Zpravodaj CSTUG, CSTUG, 18, č. 1­2, 2008, s. 76­92. [10] Plch R., Šarmanová P.: An Interactive Presentation of Maple 3D Graphics in PDF Documents, Electronic Journal of Mathematics and Technology, Mathematics and Technology, LLC, Blacksburg, Volume 2, Number 3, 2008, s. 281­290. [11] Plch R., Šarmanová P.: Multimediální sbírka příkladů z Integrálního počtu funkcí více proměnných, Sborník konference Setkání učitelů matematiky Srní 2008, Plzeň, 2008, s. 243­246. [12] Stewart J.: Calculus, fifth edition, Thomson Learning, Brooks/Cole, 2003. [13] Story D.: AcroTEX, http://www.acrotex.net/, 2008. [14] Deep Exploration, http://www.righthemisphere.com/products/ dexp/de_std.html, 2008.