Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 1 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Diferenciální počet funkcí více proměnných interaktivní sbírka příkladů a testových otázek Silvie Kuráňová a Jan Vondra Prosinec 2008 -3 -2 y -3 -1,0 -1 -2 x -0,5 -1 0 0 0,0 1 0,5 z 1 2 1,0 3 1,5 2 3 Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 2 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Instrukce k testům Práce s 3D obrázky Všechny grafy funkcí dvou proměnných jsou zobrazeny jako 3D obrázky, které je možné ovládat, tj. libovolně natáčet, posunovat, zvětšovat, měnit osvětlení apod. V řešených příkladech slouží k ovládání grafů funkcí panel, v testech pak pravé tlačítko myši. Panel zobrazíme či schováme kliknutím na modrý trojúhelníček v levém horním rohu obrázku, může vypadat například1 takto: Ovládání modelu naznačují jednotlivé ikony na panelu. Panel je rozdělen na tři části. První zleva obsahuje tlačítka pro otáčení kolem bodu, otáčení kolem přímky, posunutí a zvětšení či zmenšení objektu. V druhé části panelu nás bude zajímat především tlačítko se symbolem domečku ­ umožňuje návrat k výchozímu pohledu. Dále je například možné zobrazit z jakých částí je graf složen, popřípadě některé části skrýt. V poslední části najdeme tlačítko na přepínání mezi perspektivním a pravoúhlým promítáním. Tlačítko pro režim vykreslení modelu, zde obzvláště doporučujeme vyzkoušet volby ,,Průhledné" a ,,Drátový model". Rovněž nabídka osvětlení je velmi bohatá, ale to již čtenář jistě prozkoumá sám. Poslední tlačítko umožňuje zvolit barvu pozadí, tedy například volbou žluté zvýšit kontrast při promítání ve výuce apod. Všechny grafy funkcí v tomto textu mají cihlovou barvu, jsou opatřeny souřadnými osami a na každé z os je žlutě vyznačen jednotkový bod. Výjimečně je z technického hlediska volen jiný bod na ose z a čtenář je na tento fakt upozorněn. U složitějších modelů je vždy uveden popis modelu. Navíc všechny 3D modely (narozdíl od 2D grafiky) mají bílé pozadí. 1Vzhled panelu závisí na verzi a jazyku Acrobat Readeru. Následující obrázek i text se týkají verze 8.1 v češtině. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 3 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Práce s testy Motto: ,,Cvičení dělá mistra." Ověřit si znalost dané látky je možné prostřednictvím interaktivních testů umístěných v závěru každé kapitoly. Začátek testu je nutno zahájit stisknutím volby Start testu. Test nebude možno ukončit dokud nezodpovíte všechny otázky. Typy otázek v testech 1. Výběr z možností, právě jedna správná odpověď. (a) špatně (b) špatně (c) správně (d) špatně 2. Výběr z možností, více správných odpovědí. správně špatně správně špatně 3. Zápis vlastní odpovědi. Do pole zapište výraz vlevo od rovnítka. xy = 4. Zápis vlastní odpovědi do skupiny polí, tj. tlačítko Ans ovládá postupně jednotlivá políčka. Do pole zapište výraz vlevo od rovnítka. 1 + 1 2 = + Počet správných odpovědí: Správná odpověď: Test ukončíte kliknutím na Konec testu. Stisknutím volby Výsledky se zobrazí správné odpovědi a u pole pro zápis vlastní odpovědi se objeví tlačítko Ans (do té doby neviditelné). Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 4 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Správné odpovědi Pokud si práci s testem vyzkoušíte, zjistíte, že správné odpovědi jsou po skončení testu a po stisku tlačítka Výsledky vyznačeny symbolem a nesprávné symbolem . V případě chybné odpovědi je správná varianta zvýrazněna symbolem G. Pokud bylo špatně zodpovězeno pole pro vlastní odpověď, objeví se kolem něj červený rámeček a správnou variantu si můžete prohlédnout v poli za textem ,,Správná odpověď:" po stisknutí tlačítka Ans. Toto pole je v rámci testu ,,Typy otázek v testech" umístěno na jeho konci a také v pravém panelu obrazovky (viz. str. 3). V testech na konci kapitol je toto pole zobrazováno pouze v pravém panelu obrazovky. Bodové hodnocení Získané body se zobrazí po ukončení testu červeně vedle každé otázky (případně podotázky). Standardní bodové ohodnocení je 1 bod za správnou odpověď (u otázek typu 1, 3 a 4) a záporné body za výběr chybné varianty u otázky druhého typu. Zápis matematiky v testech K zápisu odpovědí do matematického pole používáme následující notaci: * Desetinná čísla: Desetinou čárku pište jako tečku, čili 1.2 místo 1,2. * Ludolfovo číslo jako pi, Eulerovo číslo jako e. * Znak dělení: Použte lomítko /. * Znak násobení: Symbol *, např. 4*x pro 4x. * Mocnina: Symbol ^, např. 4*x^3 pro 4x3 , 12*x^(-6) pro 12x-6 . * Odmocnina: x zapište jako sqrt(x) nebo x^(1/2). Pozor! výraz x^1/2 není x. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 5 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra * Závorky: Je možno použít kulaté ( ), hranaté [ ] či složené { }. Závorky je nutné! uvádět, vymezují argumenty funkcí, definují pořadí operací. Pište sin(x) raději než sin x, 4*x*(x^2+1)^3 pro 4x(x2 + 1)3 , 4^(2*x+1) pro 42x+1 . Nepište sin^2(x) pro sin2 (x), ale (sin(x))^2. * Funkce, které můžete použít: ­ Trigonometrické: sin, cos, tan, cot, sec, csc. ­ Inverzní trigonometrické: asin, acos, atan. ­ Logaritmus: log či ln (přirozený logaritmus), př. ln(x). ­ Exponenciála: ex můžete zadat jako exp(x) nebo e^x. Vyzkoušejte si zápis matematiky! 1. 1, 5 = 2. sin(2x)3 = není totéž jako sin3 2x = 3. (x2 - 1)(x2 + 1) = 4. ln x 2 = 5. y 1+x2y2 = 6. ex2 + 3y = 7. -2x4 + x2 y + y2 x + 1 = 8. (log a)2 = Počet správných odpovědí: Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 6 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Lokální a absolutní extrémy Příklad 6.1. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 - x - y). Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x, y, a proto jsou její parciální derivace spojité v celém R2 . Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic. zx = y(4 - x - y) - xy = 0, zy = x(4 - x - y) - xy. Z první rovnice plyne y1 = 0, y2 = 4 - 2x. Z druhé rovnice plyne x1 = 0, x2 = 4 - 2y. Celkově tedy dostáváme čtyři stacionární body: P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 = 4 3 , 4 3 . Prověříme jednotlivé body na existenci lokálního extrému. Dále platí zxx = -2y, zyy = -2x, zxy = 4 - 2x - 2y. Dosazením do vzorce D(x0, y0) = zxx(x0, y0)zyy(x0, y0) - [zxy(x0, y0)]2 dostáváme D(x, y) = -4x2 - 4y2 + 16x + 16y - 4xy - 16. Dosadíme souřadnice stacionárních bodů. Dostáváme: D(P1) = -16, D(P2) = -16, D(P3) = -16, D(P4) = 16 3 . V bodech P1, P2, P3 tedy lokální extrém nenastává. V bodě P4 nastává ostré lokální maximum, neboť zxx(P4) = -8 3 . Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 7 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Obrázek 1: Funkce z = xy(4 - x - y) s modře vyznačeným bodem lokálního maxima. (a) Graf funkce (,,jednotka" na ose z ukazuje hodnotu 100). (b) Detail ­ okolí lokálního maxima. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 8 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Příklad 6.2. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M : x2 + y2 1. Řešení. Nejprve určíme stacionární body ležící uvnitř množiny M (množina M je kruhem o poloměru 1). Vypočteme parciální derivace fx = 2x - 8, fy = 2y a položíme je rovny nule fx = 2x - 8 = 0, fy = 2y = 0. Dostáváme P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M. Nyní vyšetříme funkci f na hranici množiny M. Tu si rozdělíme na dvě části, horní a dolní půlkružnici. I. y = 1 - x2, x [-1, 1], u = f(x, 1 - x2) = -8x + 11. Najdeme největší a nejmenší hodnotu funkce u na intervalu [-1, 1]. Těchto extrémních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu [-1, 1] nebo v některém z krajních bodů x = -1, x = 1. Platí u = -8. Z toho plyne, že v žádném vnitřním bodě intervalu [-1, 1] nemá funkce u lokální extrém. Prověříme krajní body u(-1) = 19, u(1) = 3. II. y = - 1 - x2, x [-1, 1], u = f(x, - 1 - x2) = -8x + 11. Zde je situace zcela stejná jako v případě I, neboť f(x, -y) = f(x, y). Celkem tedy dostáváme, že fmax = 19, pro [x, y] = [-1, 0], fmin = 3, pro [x, y] = [1, 0]. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 9 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Obrázek 2: Minimum a maximum funkce f(x, y) = x2 - 8x + y2 + 10 na množině M. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 10 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Extrémy funkce ­ test 1 1. Nechť Hf (x0, y0) je Hessova matice funkce f(x, y) v bodě [x0, y0]. Jestliže funkce f(x, y) má v bodě [x0, y0] ostré lokální maximum, pak musí platit (vyberte vhodnou kombinaci): detHf (x0, y0) < 0 detHf (x0, y0) = 0 detHf (x0, y0) > 0 fxx(x0, y0) < 0 fxx(x0, y0) > 0 fxy(x0, y0) < 0 fxy(x0, y0) > 0 fyy(x0, y0) < 0 fyy(x0, y0) > 0 2. Najděte stacionární body funkce f(x, y) = xy(4 - x - y) a zapište je ve tvaru [A,B]; [C,D]; [E,F];. . . 3. Vypočtěte Hessovu matici funkce f(x, y) = y + 1 y - 2 ln2 x v bodě [1, 1]. (a) Hf(x,y) = (b) Hf(x,y)(1, 1) = = 4. Zjistěte, zda má funkce f(x, y) = xy - x v bodě B = [1, 1] lokální extrém. (a) Bod B je lokální minimum funkce f. (b) Bod B je lokální maximum funkce f. (c) Funkce f nemá v bodě B lokální extrém. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 11 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 5. Model zobrazuje část grafu funkce f(x, y) = x3 + xy pro x (-1, 1) a y (-1, 1). Určete lokální extrémy funkce. (a) Maximum nastává v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . (b) Minimum nastává v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 12 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Znáte-li Hessovu matici funkce f(x, y) = x2 - y2 v bodě [0, 0], Hf(x,y)(0, 0) = 2 0 0 -2 , rozhodněte, zda je tento bod (a) lokální minimum (b) lokální maximum (c) sedlový bod (d) nelze rozhodnout 7. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 + y2 - xy - 2 na množině [x, y]: x2 + y2 1, y |x| - 1. Jestliže extrémy neexistují, vyplňte do polí znak -. Funkce f(x, y) má na dané množině (a) maximum v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . (b) minimum v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . 8. Do elipsy x2 4 + y2 = 1 vepište obdelník největšího obsahu. Výsledný obdélník má kratší stranu délky a delší stranu délky . Počet správných odpovědí: Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 13 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Extrémy funkce ­ test 2 1. Nechť Hf (x0, y0) je Hessova matice funkce f(x, y) v bodě [x0, y0]. Jestliže funkce f(x, y) má v bodě [x0, y0] ostré lokální minimum, pak musí platit (vyberte vhodnou kombinaci): detHf (x0, y0) < 0 detHf (x0, y0) = 0 detHf (x0, y0) > 0 fxx(x0, y0) < 0 fxx(x0, y0) > 0 fxy(x0, y0) < 0 fxy(x0, y0) > 0 fyy(x0, y0) < 0 fyy(x0, y0) > 0 2. Najděte stacionární body funkce f(x, y) = x2 y2 - x2 - y2 a zapište je ve tvaru [A,B]; [C,D]; [E,F];. . . 3. Znáte-li Hessovu matici funkce f(x, y) = 9x - 9y - x2 - y2 v bodě [-9 2 , 9 2 ], Hf(x,y)(0, 0) = -2 0 0 -2 , rozhodněte, zda je tento bod (a) lokální minimum (b) lokální maximum (c) sedlový bod (d) nelze rozhodnout 4. Zjistěte, zda má funkce f(x, y) = x - 2y + ln x2 + y2 + 3 arctg y x v bodě B = [1, 1] lokální extrém. (a) Bod B je lokální minimum funkce f. (b) Bod B je lokální maximum funkce f. (c) Funkce f nemá v bodě B lokální extrém. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 14 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 5. Model zobrazuje část grafu funkce f(x, y) pro x (0, 1) a y (0, 1). Určete lokální extrémy funkce. (a) Maximum nastává v bodě [ , ]. (b) Minimum funkce nastává v bodech splňující následující podmínky (pokud neexistují omezující podmínky pro x či y, vyplňte -): x = pro y a y = pro x Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 15 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Vypočtěte Hessián funkce f(x, y) = 9xy + 1 x + 3 y v bodě [1 3 , 1]. (a) Hf(x,y) = (b) Hf(x,y)(1,1) = = 7. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2 + y2 - 2x + 2y + 2 na množině [x, y]: x2 + y2 1. Jestliže extrémy neexistují, vyplňte do polí znak -. Funkce f(x, y) má na dané množině (a) minimum v bodě [ , ], funkční hodnota v něm je . (b) maximum v bodě [ , ], funkční hodnota v něm je . 8. Určete rozměry vodní nádrže tvaru kvádru o objemu 32 m3 tak, aby dno a stěny měly dohromady co nejmenší obsah. Dno: m × m Výška kvádru: m Počet správných odpovědí: Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 16 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra Extrémy funkce ­ test 3 1. Nechť Hf (x0, y0) je Hessova matice funkce f(x, y) v bodě [x0, y0]. Jestliže [x0, y0] je sedlový bod funkce f(x, y), pak musí platit (vyberte vhodnou kombinaci): detHf (x0, y0) < 0 detHf (x0, y0) = 0 detHf (x0, y0) > 0 fxx(x0, y0) < 0 fxx(x0, y0) > 0 fxy(x0, y0) < 0 fxy(x0, y0) > 0 fyy(x0, y0) < 0 fyy(x0, y0) > 0 2. Najděte stacionární body funkce f(x, y) = x4 + y4 - 4xy + 30 a zapište je ve tvaru [A,B]; [C,D]; [E,F];. . . 3. Vypočtěte Hessián funkce f(x, y) = ln(x - y) - x2 - y v bodě [1 2 , -1 2 ]. (a) Hf(x,y) = (b) Hf(x,y)(1,1) = = 4. Zjistěte, zda má funkce f(x, y) = x - 2y + ln x2 + y2 + 3 arctg y x v bodě B = [1, 1] lokální extrém. (a) Bod B je lokální minimum funkce f. (b) Bod B je lokální maximum funkce f. (c) Funkce f nemá v bodě B lokální extrém. Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 17 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 5. Model zobrazuje část grafu funkce f(x, y) = 3xy3 pro x (-1, 0) a y (0, 1). Určete lokální extrémy funkce. (a) Maximum funkce nastává v bodech splňující následující podmínky (pokud neexistují omezující podmínky pro x či y, vyplňte -): x = pro y a y = pro x (b) Minimum nastává v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . Diferenciální počet funkcí více proměnných S. Kuráňová, J. Vondra Lokální a absolutní extrémy Titulní strana Testy ke kapitole Instrukce k testům Strana 18 z 18 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2008 S. Kuráňová, J. Vondra 6. Znáte-li Hessovu matici funkce f(x, y) = x4 + y4 , Hf(x,y) = 12x2 0 0 12y2 , rozhodněte, zda je bod B = [0, 0] lokálním extrémem funkce f(x, y). (a) Ano, bod B je lokální minimum. (b) Ano, bod B je lokální maximum. (c) Ne, bod B je sedlový bod. (d) Nelze rozhodnout. 7. Nechť je dána funkce f(x, y) = sin x sin y sin(x + y) a množina 0 x, y . Určete absolutní extrémy funkce f(x, y) na dané množině. (a) maximum v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . (b) minimum v bodě [ , ] a funkční hodnota v něm je rovna . 8. Do elipsoidu x2 4 + y2 25 + z2 = 1 vepište kvádr největšího obsahu. Hrany výsledného kvádru (řazeny od velikostně nejmenší) mají tyto rozměry: , , Počet správných odpovědí: