M2100: Matematická analýza II                                             IV. termín: 18. června 2009
ZKOUŠKOVÁ PÍSEMNÁ PRÁCE
ZADÁNÍ:
1. (7 bodů) Vyřešete následující diferenciální rovnici
/     x-y-1
y
x + y + 3
[Návod: Rovnice typu y' = f ( ^."tg^Ť^ ) se řeší pomocí substituce u = x — x0 a v = y — y0, kde dvojice [x0, y0] je jediné řešení soustavy rovnic Ax + By + C = 0, ax + ßy + 5 = 0. Pokud soustava nemá jediné řešení, je vhodné použít substituci z = Ax + By nebo z = ax + /%/.]
2.  (6 bodů) Vyřešete následující diferenciální rovnici
y  + y + -y = 25 cos 2x.
3.  (5 bodů) Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f(x, y) = \Jx2 + xy + 1 v bodě [0,4, ?].
4.  (9 bodů) Určete vázané extrémy funkce
f(x,y) = VŠx-y + 2 vzhledem k podmínce x2 + 2x + y2 = 0.
5.  (6 bodů) Spočítejte všechny parciální derivace prvního řádu funkce z = f(x,y) zadané implicitně rovnicí
arctg(x + y) + arctg(y + z) = x + y + z.
6.  (7 bodů) Předpokládejme, že pro funkce f a. g existují derivace dostatečně vysokých řádů. Ověřte platnost následující rovnosti
du     d2u       du   d2u
dx   dxdy      dy    dx2'
je-liu = f(x + g(y)).
•  Zadání si můžete ponechat — správné řešení naleznete vISu ve studijních materiálech předmětu M2100.
•  Ústní část zkoušky začíná ve 1400 v učebně MS2 na ÚMS.
V4-
V-tU-k'b
V
V-tM-^s
3v--3L
Hz-
eo jXí igQ-1
00l
v:
V~~
M~ MVS      U-v
[u-vW^M     UAV
v-- "#
V-
4+
V
= 2

i
aiav-  ^
2a-
^-"žU^
^
n
J2-
öcU.
í-2
z
X-t^
-^40
2
-^^i-íifľ

/hiW^Z         t   "2.
fa
Ľž
4^
^f>\^
2A
M^- k
^_ua-
^   d
>/ -tlv^'u
-u - C
K>o
e
uá
«pro     *
.-l+k     \<-<>0
^faMU^M^c
T Z
~ ßVco*> cly

-vMM
z       \


-t    - \
A
W-- e (C^tel^H
'1 v * c, $^ -, *
u>   A-to,Äy^si^
\aUy-V-
^-tž^CP^*
HcP^^Hb^^
-4£&*£* Afo^^v
-1^4 2-6^. A-^
,2&~^^

su % -t
O»-
U*Hto,9Lx^-ze>^^:
■^6-?A^fc-'0
-z
6x ä-A
A-
u
A"£
ytQs-z>)^^^l^!
Äx
%
o^f \]Yn^\
(pÁň   .Uc^0'
JD 48.6.^
-\U"
iVojMoV-
U^
2x+
J ^W\
C*P
*
a^^v
i
0
H^
(•. ž.w aM^lH
a
9   |W&*-^
'■ \^W''~o
Ý*h
iiwy-^'Xl*y{^
%\ * ^
+ z*
Ur- i *
<?
*>
2>
2>i
^
&
Xx
-2vte
V- "V' -2>
?\

-i
\

:0
H   \Ý  *     v

z.
4\     i    fe        ft*2_
\í   u "-

CxOVkO-W

1
y\
-z. \
all v"1

Ato ^^h

0      ^1
~}0
^\  o
l^>o
oo2-G
ij^viMvi
%-K\v^
-i\
o
-1
\>o         ^

sjo^&^x
Mj^r    Wvck^^vjv- ••
[<**.-n
XJcvto^
^)      a^U U+m} ^ascU (im) - y-viM£

\i W*ů

2. - V?*
UM'
aa t^Y
Á-t(4«f
^
/(-U^f
Z
M
M
(*

K
,"Z r í   /    . \"í-
C^) [A-tduj
-. -t
,     n!
/k?> A-t?
tf-      Mm«Y
ttfof
AM1 i [ **\
4f(W
X

"t   ?
-t
tu^f-
(^f[U(x^
u
2-u ~
\-'^4tíi{^
%    i^tlh^f]
Z
1/,.,, iT
^í)   í^)
^W«é
*?                                          7
9^    9y 5h    c)
-Vr1
^
u^
<L~tn^t*
K-((^^i
^tiii
A- <ft
\\ qtnvj  t-x^T ,
--0