Katedra matematické analýzy Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita v Brně ZÁKLADY MATEMATICKÉ ANALÝZY V REÁLNÉM OBORU Z. Pospíšil, B. Půža leden 2004 Úvod V průběhu školního roku 2002/03 byly na sekci matematika přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně zahájeny práce na přípravě studijních materiálů pro distanční studium ve studijních programech Obecná matematika a Aplikovaná matematika. Cílem bylo zabezpečit jednotlivé kurzy studijními materiály v elektronické podobě. Předkládaný text, orientovaný na základní kurz matematické analýzy, je první verzí takového materiálu. Obsahem tohoto textu je učivo prvních obvykle tří semestrů studia matematické analýzy v reálném oboru. Konkretněji, v celkem 6-ti částech je věnován podrobnému výkladu těchto tématických okruhů: I. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné, II. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné, III. Nekonečné řady, IV. Diferenciální počet funkcí n reálných proměnných, V. Integrální počet funkcí n reálných proměnných a VI. Diferenciální rovnice. Každá z těchto částí je dělena do kapitol (celkem 18) a každá kapitola, mimo kapitol obsahujících doplňky, je uzavřena blokem standardních cvičení s výsledky a kontrolními otázkami. Text je průběžně doprovázen ilustrativními řešenými příklady a to jak standardními, tak příp. klíčovými ­ hrajícími důležitou roli v příslušné teorii. Doplňky přirozeným způsobem rozšiřují a prohlubují tématiku příslušné kapitoly. Vzhledem k velkému rozsahu a značné obsažnosti témat (stačí srovnat rozsah předloženého materiálu se součtem rozsahů textů obvykle využívaných při studiu v jednotlivých okruzích) byl pro zvládnutí první fáze úkolu zvolen přístup co největší koncentrace presentované látky. Tomu byly podrobeny i metody ,,úsporné výstavby příslušných partií. Ve druhé a příp. dalších verzích bude tento text dále doplňován ­ prohlubován a rozšiřován o metodické poznámky, jiné přístupy, další doplňky, ilustrativní grafy a příp. odkazy na matematický software tak, aby co nejlépe vyhověl cíli ­ samostatnému studiu zájemců. Strohý sloh textu je soustředěn na definice pojmů, studium jejich základní vlastnosti, vztah nově definovaných pojmů k předchozím (taková tvrzení jsou uvedena ve formě matematických vět a jejich důsledků - téměř všechny jsou do- 1 kázány, u zbývajících je alespoň naznačena hlavní myšlenka důkazu s odkazem, kde lze podrobný důkaz nalézt) a aplikace. Stručnosti je podřízen i metodický přístup a koncepce textu. Výklad je volen tak, aby čtenáři dovolil co nejpřímější postup.Text je průběžně doplňován poznámkami a ilustrativními příklady s komentáři. Veškeré definice, věty, důsledky, příklady i poznámky jsou samostatně označeny trojicí čísel, z nichž první je pořadovým číslem kapitoly, další pořadovým číslem paragrafu a poslední pořadovým číslem příslušného tvrzení v daném paragrafu. S pomocí takto jednoznačně přiřazené polohy tvrzení v textu jsou pak popsány odkazy, které v hypertextové variantě dovolují poklepem na barevně odlišené souřadnice odkazu ­ odskok na citované tvrzení. Pro zvládnutí tématiky se vychází (vzhledem k širokému spektru možností středoškolského studia možných zájemců) z průměrné znalosti základů středoškolské matematiky. V průběhu studia se předpokládá průběžná elektronická korespondence studujícího s učitelem a jejich osobní setkávání na pravidelných půldenních konzultacích (1× měsíčně) a 3-denním semestrálním soustředění. Při takových příležitostech bude zájemcům doporučen postup pro používání tohoto textu, konzultovány nejasnosti a případně presentovány i další vhodné a aktuálně dostupné zdroje základů matematické analýzy. Z výše uvedených důvodů, může být tento text užitečný i pro studenty presenční a kombinované formy studia uvedených studijních programů a obecně dalších studijních programů obsahujících základy matematické analýzy. V této fázi práce jsou si autoři vědomi řady ještě neodstraněných nedostatků. Mezi jiným s podrobnou jazykovou, metodickou a obsahovou korekturou se počítá u modifikované druhé verze. Proto uvítáme upozornění na veškeré překlepy a jiné nejen technické nedostatky, které v této verzi textu přes pečlivé čtení jistě zůstaly. S přáním užitečnosti předkládaného textu pospisil@math.muni.cz puza@math.muni.cz 2 Obsah I Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 5 1 Reálná čísla a funkce 7 1.1 Reálná čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Funkce a jejich základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Diferenciální počet 37 2.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Spojité funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Derivace vyšších řádů, diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Obecné věty o derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6 Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.9 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 Doplněk 71 3.1 Diferenční a sumační počet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Rovinné křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 83 4 Neurčitý integrál 85 4.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5 Určitý Riemannův integrál 93 5.1 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Integrál jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6 Doplněk 119 6.1 Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3 III Nekonečné řady 123 7 Číselné řady 125 7.1 Pojem řady a jejího součtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2 Řady s nezápornými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.4 Dvojné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.5 Součin řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8 Řady funkcí 145 8.1 Posloupnosti a řady funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.2 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.3 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9 Fourierovy řady 161 9.1 Hilbertův prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.2 Prostor L2 (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.3 Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 9.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10 Doplněk 179 10.1 Fourierův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.2 Aplikace Fourierových řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 IV Diferenciální počet funkcí n proměnných 185 11 Metrické prostory 187 11.1 Pojem metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11.2 Podmnožiny metrického prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 11.3 Konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.4 Úplné a kompaktní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.5 Zobrazení metrických prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 11.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 12 Diferenciální počet 203 12.1 Spojitost a limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 12.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 12.3 Diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 12.4 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 12.5 Průběh funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 12.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 12.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 13 Implicitní funkce a zobrazení 221 13.1 Implicitní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 13.2 Diferencovatelná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 13.3 Diferencovatelné variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 13.4 Vázané extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 13.6 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4 14 Doplněk 237 14.1 Vektorové funkce, skalární a vektorová pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 V Integrální počet funkcí n proměnných 245 15 Jordanova míra 247 15.1 Jordanova míra v R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 15.2 Závislost míry na transformaci souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 15.3 Jordanova míra v Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 16 Riemannův integrál funkcí n proměnných 255 16.1 Riemannův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 16.2 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 16.3 Fubiniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 16.4 Transformace integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 16.5 Aplikace Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 16.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 16.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 VI Diferenciální rovnice 273 17 Obyčejné diferenciální rovnice 275 17.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 17.2 Elementární metody řešení ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 17.3 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 17.4 Globální vlastnosti řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 17.5 Systémy lineárních ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 17.6 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 17.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 17.8 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 18 Doplněk 299 18.1 Eulerova numerická metoda řešení ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5 6 Část I Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 7 Kapitola 1 Reálná čísla a funkce 1.1 Reálná čísla * Přirozená čísla: N = {1, 2, 3, ...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějaké množiny. Lze na nich definovat základní početní operace, uspořádání. * Celá čísla: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Doplnění množiny N tak, aby operace odčítání měla vždy výsledek. * Racionální čísla: Q = {m n : m Z, n N} Doplnění množiny Z tak, aby operace dělení měla vždy výsledek. * Iracionální čísla: I Čísla, která není možno vyjádřit ve tvaru m n , kde m Z, n N Iracionální čísla potřebujeme. Např. log10 3 I. D.: Sporem. Připusťme, že log10 3 = m n . Pak 10 m n = 3 10m = 3n 2m 5m = 3n Dostali jsme dva různé rozklady jednoho čísla na prvočinitele. To je spor. Nebo 2 I. D.: Sporem. Připusťme, že 2 = m n . Pak 2 = m2 n2 2n2 = m2 V rozkladu na prvočinitele čísla stojícího na levé straně rovnosti je 2 v liché mocnině, v rozkladu na prvočinitele čísla stojícího na pravé straně rovnosti (tedy téhož čísla) je 2 v sudé mocnině. To je spor. 1.1.1 Definice Buď M množina, na níž je definováno uspořádání . (Uspořádání je binární relace, která je (i) reflexivní: (a M) (a a) (ii) antisymetrická: (a, b M) (a b, b a a = b) (iii) transitivní: (a, b, c M) (a b, b c a c) ) Buď a M, A M. Řekneme, že a je horní (resp. dolní) závora množiny A v množině M, jestliže x a (resp. a x) pro každé x A. Řekneme, že množina A je ohraničená shora (resp. zdola), jestliže existuje její horní (resp. dolní) závora. Řekneme, že množina A je ohraničená, je-li ohraničená shora i zdola. 9 1.1.2 Příklady 1. Množina A = {1, 1+ 1 2 , 1+ 1 2 + 1 3 , ...} je ohraničená zdola (dolní závora je např. 1) a není ohraničená shora: Při označení an = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n je a1 = 1 a4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 = 1 + 2 2 a8 = a4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 1 + 2 2 + 4 8 = 1 + 3 2 ... Indukcí lze dokázat, že a2n > 1 + n 2 a číslo 1 + n 2 může být libovolně velké. 2. Množina B = {1, 1 + 1 4 , 1 + 1 4 + 1 9 , ...} je ohraničená shora, b 2 6 pro každé b B. (Bude dokázáno později.) 1.1.3 Definice Buď A M, kde M je množina, na níž je definováno uspořádání . Řekneme, že a A je maximum nebo největší prvek (minimum nebo nejmenší prvek) a píšeme a = max A (a = min A), jestliže pro každé x A platí x a (a x). 1.1.4 Definice Buď M množina, na níž je definováno uspořádání a buď A M. Řekneme, že a M je supremum množiny A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A, t.j. jestliže platí (s1) (x A) (x a), (s2) ((x A) (x b)) a b. Píšeme a = sup A. 1.1.5 Definice Buď M množina, na níž je definováno uspořádání a buď A M. Řekneme, že a M je infimum množiny A, jestliže je největší dolní závorou množiny A, t.j. jestliže platí (i1) (x A) (a x), (i2) ((x A) (b x)) b a. Píšeme a = inf A. 1.1.6 Poznámky 1. Podmínku (s2) v 1.1.4 lze nahradit podmínkou (s2 ) (p M, p < a) (x A) (p < x). (p < a je definováno jako p a a současně p = a; v dalším budeme používat i symboly , >.) D.: Nechť a M splňuje (s2) a nechť p M, p < a. Pak p není horní závora množiny A (jinak by podle (s2) bylo a p). Odtud plyne, že existuje x A takové, že x > p, tedy platí (s2 ). Nechť a M splňuje (s2 ) a buď b M horní závora množiny A. Kdyby b < a, pak by existovalo x A takové, že b < x a tedy b by nebyla horní závora množiny A. Je tedy a b. 2. Analogicky lze dokázat, že podmínku (i2) v 1.1.5 lze nahradit podmínkou (i2 ) (p M, p > a) (x A) (p > x). 3. Libovolná A M má nejvýše jedno supremum a nejvýše jedno infimum. 10 D.: Nechť a = sup A, b = sup A. b je podle (s1) horní závora množiny A, tedy a b podle (s2). Analogicky a je horní závora A, tedy b a. Z antisymetrie relace plyne a = b. Analogicky se ukáže platnost tvrzení pro infimum. 4. Jestliže existuje max A (min A), pak existuje také sup A (inf A) a platí sup A = max A (inf A = min A). D.: Nechť a = max A. a splňuje (s1) přímo podle definice maxima 1.1.3 Nechť b je horní závora množiny A. Pak b x pro každé x A, zejména tedy b a A. Což znamená, že platí (s2). Tvrzení pro infimum a minimum se dokáže analogicky. 1.1.7 Definice Množina reálných čísel je množina R, na níž jsou definovány dvě binárním operace + (sčítání), (násobení) a jedna binární relace < (menší než), které splňují podmínky (R1) pro všechna a, b R platí a + b = b + a (komutativní zákon pro sčítání) (R2) pro všechna a, b, c R platí (a + b) + c = a + (b + c) (asociativní zákon pro sčítání) (R3) existuje prvek 0 R takový, že pro všechna a R platí a + 0 = a (existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání) (R4) ke každému a R existuje prvek -a R takový, že a + (-a) = 0 (existence opačného prvku) (R5) pro všechna a, b R platí a b = b a (komutativní zákon pro násobení) (R6) pro všechna a, b, c R platí (a b) c = a (b c) (asociativní zákon pro násobení) (R7) existuje prvek 1 R, 1 = 0 takový, že pro všechna a R platí a 1 = a (existence neutrálního prvku vzhledem k násobení) (R8) ke každému a R, a = 0 existuje prvek a-1 R takový, že a a-1 = 1 (existence inversního prvku) (R9) pro všechna a, b, c R platí a (b + c) = (a b) + (a c) (distributivní zákon) (R10) každé dva prvky z množiny R jsou srovnatelné, podrobněji: každá dvojice prvků a, b R splňuje právě jeden ze vztahů a < b, a = b, b < a (zákon trichotomie) (R11) jestliže pro a, b, c R platí a < b a b < c, pak také a < c (transitivita relace <) (R12) jestliže pro a, b R platí a < b, pak pro každé c R je a + c < b + c (monotonie vzhledem ke sčítání) (R13) jestliže pro a, b, c R platí a < b a 0 < c, pak a c < b c (monotonie vzhledem k násobení) (R14) je-li M neprázdná shora (zdola) ohraničená podmnožina množiny R, pak existuje sup M R (inf M R) 1.1.8 Poznámky 1. (R1) ­ (R4) a (R5) ­ (R8) jsou axiomy komutativní grupy (R1) ­ (R9) jsou axiomy pole (R1) ­ (R13) jsou axiomy uspořádaného pole (R1) ­ (R14) jsou axiomy spojitě uspořádaného pole Existuje jediné (až na isomorfismus) uspořádané pole. Axiom (R14) se nazývá axiom spojitosti. 2. Přímka, na níž je zvolen počátek (obraz reálného čísla 0), jednotková délka a orientace (obraz čísla 1) se nazývá číselná osa. Existuje prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny reálných čísel na číselnou osu. 11 3. Druhá část axiomu (R14) (existence infima) je důsledkem první části a ostatních axiomů. D.: Nejdříve ukážeme, že pro každé a R je -(-a) = a. Vyjdeme z (R4): (-a) + (-(-a)) = 0 / přičteme a zleva a + ((-a) + (-(-a))) = a + 0 / (R2), (R3) (a + (-a)) + (-(-a)) = a / (R4) 0 + (-(-a)) = a / (R1), (R3) -(-a) = a Dále ukážeme, že jestliže a < b pak -b < -a: a < b / +(-a) zprava a + (-a) < b + (-a) / (R4) 0 < b + (-a) / +(-b) zleva (-b) + 0 < (-b) + (b + (-a)) / (R3), (R2) -b < ((-b) + b) + (-a) / (R1), (R4) -b < 0 + (-a) / (R1), (R3) -b < -a Nechť nyní je = M R zdola ohraničená, b její dolní závora. Položme M = {-x : x M}. Pak pro každé x M platí b x a tedy podle druhého kroku důkazu je -x -b pro každé -x M . To znamená, že M je shora ohraničená a podle první části (R14) existuje sup M = s R. Podle (R4) je -s R. Ukážeme, že -s = inf M: Buď x M libovolné. Pak podle (s1) je -x s a podle pomocných tvrzení na začátku důkazu je -s x. Poněvadž x bylo libovolné, je podmínka (i1) splněna. Buď c R takové, že c x pro každé x M. Pak -x -c pro každé -x M a podle (s2) je s -c, tedy -(-c) -s. Podle prvního kroku důkazu je c -s, což znamená, že i podmínka (i2) je splněna. 1.1.9 Příklad Nechť M = {m n : m, n N, m < n}. Ukažte, že sup M = 1, inf M = 0. Ř.: Platnost podmínky (s1): m n 1 pro m n. Platnost podmínky (s2 ): Buď p M, p < 1. Je-li p 0, pak např. pro 1 2 M platí p < 1 2 . Nechť tedy p > 0. Položme n = 1 + [ 1 1-p ]. (Přitom [x] označuje celou část z čísla x, t.j. celé číslo z takové, že x z < x + 1. Např. [] = 3, [3 2 ] = 1, [-3.5] = -4 a p.) Pak n > 1 1-p n - np > 1 n - 1 > np n-1 n > p a zřejmě n-1 n M. Platnost podmínky (i1): m n > 0 pro všechna m, n N. Platnost podmínky (i2 ): Buď p M, p > 0. Je-li p 1, pak např. pro 1 2 M platí 1 2 < p. Nechť tedy p < 1. Položme n = 1 + [1 p ]. Pak n > 1 p a tedy p > 1 n M. 1.1.10 Definice Množinu R = R {-, } nazýváme rozšířená množina reálných čísel, symboly -, nazýváme nevlastní reálná čísla (nevlastní body číselné osy). Klademe - < a < pro každé a R. Symboly -, nejsou čísla, nedefinujeme pro ně početní operace. 12 1.1.11 Definice Buďte a, b R, a < b. Uzavřeným intervalem o krajních (koncových, hraničních) bodech a, b rozumíme množinu [a, b] = {x R : a x b}, otevřeným intervalem množinu (a, b) = {x R : a < x < b}, polouzavřenými intervaly zprava (resp. zleva) množiny (a, b] = {x R : a < x b}, [a, b) = {x R : a x < b}. Nekonečné intervaly definujeme jako množiny [a, ) = {x R : x a}, (a, ) = {x R : x > a}, (-, b] = {x R : x b}, (-, b) = {x R : x < b}, (-, ) = R. Je-li J interval jakéhokoliv typu a x0 J, x0 není krajní, řekneme, že x0 je vnitřní bod intervalu J. 1.1.12 Definice Okolím (podrobněji (symetrickým) -okolím, > 0) bodu x0 R rozumíme interval (x0 - , x0 + ). Okolím bodu rozumíme interval (a, ), kde a R. Okolím bodu - rozumíme interval (-, a), kde a R. -okolí bodu x0 R budeme označovat symbolem O(x0), stručně O(x0). 1.1.13 Věta Okolí bodů z množiny R mají tyto vlastnosti: (o1) Jsou-li O1(x0) a O2(x0) dvě okolí téhož bodu x0 R , pak O1(x0) O2(x0) je okolím bodu x0. (o2) Jsou-li x1, x2 R , x1 = x2, pak existují O(x1) a O(x2) taková, že O(x1) O(x2) = . D.: 1. ˇ x0 R, O1(x0) = (x0 - 1, x0 + 1), O2(x0) = (x0 - 2, x0 + 2). Položme = min{1, 2}. Pak O(x0) = (x0 - , x0 + ) = O1(x0) O2(x0) je okolím bodu x0. * x0 = , O1(x0) = (a1, ), O2(x0) = (a2, ). Položme a = max{a1, a2}. Pak O(x0) = (a, ) = O1(x0) O2(x0) je okolím bodu . * x0 = -. Platnost tvrzení ukážeme analogicky jako v předchozím případě. 2. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x1 < x2. * - < x1 < x2 < . Položme = 1 4 (x2-x1). Pak O(x1) = (x1-, x1+), O(x2) = (x2-, x2+) jsou okolí bodů x1, x2 s požadovanou vlastností. (Volba = 1 4 (x2 - x1) samozřejmě není jediná možná. Stačí volit = r(x2 - x1), kde r 1 2 .) * - < x1 < x2 = . Nechť > 0 je libovolné a položme a = x1 + 2. Pak O(x1) = (x1 - , x1 + ), O(x2) = (a, ) mají požadovanou vlastnost. * Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech. 13 1.1.14 Definice Buď x0 R. Ryzím okolím bodu x0 rozumíme množinu O(x0) \ {x0}. Okolí nevlastního bodu je vždy ryzí. Ryzí okolí bodu x0 budeme označovat O (x0). 1.1.15 Definice Buď x0 R, > 0. Pravým (resp. levým) -okolím bodu x0 rozumíme interval [x0, x0 + ) ((x0 - , x0]). Ryzím pravým (resp. levým) -okolím bodu x0 rozumíme otevřený interval (x0, x0 + ) ((x0 - , x0)). Pravé (resp. levé) -okolí bodu x0 budeme označovat P(x0), stručně P(x0) (resp. L(x0), stručně L(x0)). Ryzí pravé (resp. levé) -okolí bodu x0 budeme označovat P(x0), stručně P (x0) (resp. L(x0), stručně L (x0)). 1.1.16 Poznámky 1. Také pravá a levá okolí, ryzí okolí mají vlastnosti (o1), (o2) z věty 1.1.13. D.: Snadnou modifikací důkazu 1.1.13. 2. Buď J R interval a buď x0 vnitřní bod intervalu J. Pak existuje O(x0) takové, že O(x0) J. D.: Nechť a, b R jsou krajní body intervalu J. * Jsou-li a, b R, položíme = 1 2 min{x0 - a, b - x0)}. Pak > 0 a (x0 - , x0 + ) je požadované okolí. * Jsou-li a R a b = , položíme = 1 2 (x0 - a). Pak > 0 a (x0 - , x0 + ) je opět požadované okolí. * Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech. 1.1.17 Věta 1. Mezi dvěma libovolnými reálnými čísly x1, x2, x1 < x2 leží racionální i iracionální číslo. 2. V libovolném okolí libovolného čísla x0 R leží racionální i iracionální číslo. (Stručně: Množina Q i množina I je hustá v množině R.) D.: 1. ˇ Položme n = [ 1 x2-x1 ] + 1, m = [nx1] + 1. Pak m Z, n N a tedy q = m n Q. Dále platí m > nx1 m nx1 + 1 n > 1 x2-x1 x1 < m n nx2 - nx1 > 1 nx2 > nx1 + 1 Odtud x1 < m n nx1+1 n < nx2 n = x2, což znamená, že q je racionální číslo mezi čísly x1 a x2. * Položme s = [ 2 x2-x1 ] + 1, r = [ s 2 x1] + 1. Pak r Z, s N a w = 2 r s I, neboť v opačném případě by 2 Q, což by byl spor s tvrzením dokázaným v úvodu tohoto odstavce. Dále platí r > s 2 x1 r s 2 x1 + 1 s > 2 x2-x1 x1 < 2 r s s 2 x2 > s 2 x1 + 1 Odtud x1 < 2 r s 2 ( s 2 x1 + 1) s < 2 s 2 x2 s = x2, což znamená, že w je iracionální číslo mezi čísly x1 a x2. 2. je důsledkem 1., neboť mezi čísly x0 - a x0 + leží racionální i iracionální číslo. 14 1.2 Funkce a jejich základní vlastnosti 1.2.1 Definice Funkce f (podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrazení z množiny R do množiny R. Množina Dom f = {x R : (y R)((x, y) f)} se nazývá definiční obor funkce f. (Domain) Množina Im f = {y R : (x R)((x, y) f)} se nazývá obor hodnot funkce f. (Image) Je-li f funkce, pak zobrazení f : Dom f Im f je surjekce (zobrazení na). Je-li (x, y) f, píšeme y = f(x), x y, x f y. Prvky z Dom f se nazývají hodnoty nezávisle proměnné, argument. Prvky z Im f se nazývají hodnoty závisle proměnné, funkční hodnota. Pokud není explicitně uvedeno jinak, definičním oborem rozumíme největší (vzhledem k množinové inklusi) množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítat. 1.2.2 Definice Grafem funkce f rozumíme množinu G = {(x, f(x)) : x Dom f}, kde (x, y) značí orthogonální kartézské souřadnice bodu v rovině. 1.2.3 Příklad 1. f(x) = |x| = max{x, -x}, Dom f = R, Im f = [0, ). 2. f(x) = x 1 - x2 , Dom f = (-1, 1), neboť musí platit 1 - x2 > 0 1 > x2 1 > |x| Im f = R, neboť pro libovolné r R je r = x 1-x2 (1 - x2 )r2 = x2 r2 = (1 + r2 )x2 x1,2 = |r| 1+r2 Znaménko u x musí být stejné jako znaménko u r, tedy x = r 1 + r2 3. f(x) = [x], kde [x] je celá část z čísla x, to jest celé číslo takové, že [x] x < [x] + 1. Dom f = R, Im f = Z. 4. Dirichletova funkce (x) = 1, x Q 0, x I . Dom = R, Im = {0, 1}. 1.2.4 Definice Buďte f, g funkce, Dom f Dom g = . Pak definujeme součet funkcí f, g předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro x Dom f Dom g, rozdíl funkcí f, g předpisem: (f - g)(x) = f(x) - g(x) pro x Dom f Dom g, součin funkcí f, g předpisem: (fg)(x) = f(x)g(x) pro x Dom f Dom g, podíl funkcí f, g předpisem: f g (x) = f(x) g(x) pro x Dom f (Dom g \ {x Dom g : g(x) = 0}), absolutní hodnotu funkce f předpisem |f|(x) = |f(x)| = max{f(x), -f(x)} pro x Dom f. 15 1.2.5 Definice Funkce f se nazývá ohraničená (shora ohraničená, zdola ohraničená), je-li množina Im f ohraničená (shora ohraničená, zdola ohraničená) podmnožina množiny R. Funkce f je ohraničená právě tehdy, když existují a, b R taková, že a f(x) b pro každé x Dom f, což nastane právě tehdy, když existuje h R takové, že |f(x)| h pro každé x Dom f. Analogická tvrzení platí pro funkci ohraničenou shora nebo zdola. 1.2.6 Definice Funkce f se nazývá sudá, jestliže x Dom f -x Dom f, f(-x) = f(x). Funkce f se nazývá lichá, jestliže x Dom f -x Dom f, f(-x) = -f(x). Příklady sudé funkce: x2n , kde n N, |x|, cos x. Příklady liché funkce: x2n+1 , kde n N, sin x, tg x. Buď f sudá funkce, G její graf, (x, y) G. Pak (-x, y) G. Body (x, y) a (-x, y) jsou symetrické podle osy y, graf sudé funkce je symetrický podle osy y. Buď f lichá funkce, G její graf, (x, y) G. Pak (-x, -y) G. Body (x, y) a (-x, -y) jsou symetrické podle počátku souřadného systému, graf liché funkce je symetrický podle počátku souřadného systému. 1.2.7 Věta Má-li funkce f vlastnost: x Dom f -x Dom f, pak ji lze vyjádřit jako součet funkce sudé a liché. D.: f(x) = 1 2 (f(x) + f(-x)) + 1 2 (f(x) - f(-x)) g(x) = 1 2 (f(x) + f(-x)); g(-x) = 1 2 (f(-x) + f(x)) = g(x); g(x) je sudá, h(x) = 1 2 (f(x) - f(-x)); h(-x) = 1 2 (f(-x) - f(x)) = -1 2 (f(x) - f(-x)) = -h(x); h(x) je lichá. 1.2.8 Definice Buď p R, p > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže x Dom f x + p Dom f, f(x + p) = f(x). Příklady: sin x, cos x -- perioda 2, tg x -- perioda , sin x 2 -- perioda 1, konstatntní funkce f(x) = c R -- periodou je jakékoliv p (0, ). Buď f funkce periodická s periodou p > 0, n N. Pak f je periodická s periodou np. D.: x Dom f x + p Dom f x + p + p = x + 2p Dom f x + np Dom f. f(x + np) = f(x + (n - 1)p + p) = f(x + (n - 1)p) = f(x + (n - 2)p + p) = f(x + (n - 2)p) = = f(x). Množina period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná a zdola ohraničená nulou. Podle 1.1.7 (R14) existuje p0 = inf{p : p je perioda funkce f}. Pokud p0 je periodou funkce f, nazýváme ji nejmenší nebo základní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Např. periodou Dirichletovy funkce je každé kladné racionální číslo. 1.2.9 Definice Funkce f se nazývá rostoucí v bodě x0 Dom f, jestliže existuje O(x0) takové, že O(x0) Dom f a platí x O(x0), x < x0 f(x) < f(x0) x O(x0), x > x0 f(x) > f(x0), 16 stručně: jestliže pro x O(x0) \ {x0} platí (x - x0)(f(x) - f(x0)) > 0. Funkce f se nazývá neklesající v bodě x0 Dom f, jestliže existuje O(x0) takové, že O(x0) Dom f a platí x O(x0), x < x0 f(x) f(x0) x O(x0), x > x0 f(x) f(x0), stručně: jestliže pro x O(x0) platí (x - x0)(f(x) - f(x0)) 0. Analogicky definujeme funkci klesající a nerostoucí v bodě x0 Dom f. Funkce, která je v bodě x0 Dom f nerostoucí nebo neklesající, se nazývá monotonní v bodě x0 Dom f. Funkce, která je v bodě x0 Dom f rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní v bodě x0 Dom f. Funkce rostoucí v bodě x0 Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f. 1.2.10 Definice Řekneme, že funkce je rostoucí na intervalu J, jestliže J Dom f a pro libovolná x1, x2 J platí x1 < x2 f(x1) < f(x2). Řekneme, že funkce je neklesající na intervalu J, jestliže J Dom f a pro libovolná x1, x2 J platí x1 < x2 f(x1) f(x2). Analogicky definujeme funkci klesající a nerostoucí na intervalu J. Funkce rostoucí nebo klesající na intervalu se nazývá ryze monotonní na intervalu, funkce nerostoucí nebo neklesající na intervalu se nazývá monotonní na intervalu. Monotonie v bodě -- lokální vlastnost Monotonie na intervalu -- globální vlastnost Slova ,,interval J v předchozí definici lze nahradit slovy ,,množina M Dom f . 1.2.11 Věta Funkce f je rostoucí na otevřeném intervalu J Dom f právě tehdy, když je rostoucí v každém bodě tohoto intervalu. D.: ,, Nechť f je rostoucí na J a nechť x0 J. J je otevřený x0 je vnitřní bod (podle 1.1.16.2) existuje O(x0) J. Tedy O(x0) Dom f. Je-li x O(x0), x < x0, je f(x) < f(x0); je-li x O(x0), x > x0, je f(x) > f(x0). Tedy f je rostoucí v bodě x0. ,, Nechť f je rostoucí v každém bodě intervalu J. Připusťme, že f není rostoucí na J. Existují tedy x1, x2 J, že x1 < x2 a f(x1) f(x2). Označme M = {x [x1, x2] : f(x) > f(x1)}. Platí a) M = , neboť f rostoucí v x1 ex. O(x1), že pro každé x > x1 je f(x) > f(x1). b) M je shora ohraničená, neboť x2 je horní závora M. Podle 1.1.7 (R14) existuje x0 = sup M x2. ­ Předpokládejme x0 = x2. f je rostoucí v bodě x2 existuje O(x2) = (x2 - , x2 + ) Dom f, že pro x O(x2), x < x2 platí f(x) < f(x2). Podle 1.1.6(s2 ) existuje x M, x > x2 - . Poněvadž x M, je x x2. Jest x O(x2). Pokud x < x2, pak f(x) < f(x2), pokud x = x2, pak f(x) = f(x2). Tedy f(x) f(x2). Současně x M a tedy f(x) > f(x1) f(x2). Odtud f(x) > f(x2) -- spor. ­ Musí tedy být x0 < x2. Poněvadž f je rostoucí v x0, existuje O(x0), že pro každé x O(x0)\{x0} platí (x-x0)(f(x)-f(x0)) > 0. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat O(x0) = (x0 -, x0 +) [x1, x2]. Podle 1.1.6(s2 ) existuje x M, x > x0 - takové, že x x0. x O(x0) a tedy f(x) f(x0). Současně f(x) > f(x1), neboť x M. Odtud plyne f(x1) < f(x0). Zvolme x O(x0), x > x0. Pak f(x) > f(x0). Přitom x M, neboť x > x0 = sup M. Tedy f(x) f(x1). Odtud plyne f(x1) > f(x0). To je spor. 17 1.2.12 Poznámky 1. Analogická věta platí pro neklesající, klesající a nerostoucí funkci. 2. Pro uzavřený interval věta neplatí: Např. f(x) = sin(x), J = [- 2 , 2 ]. f je rostoucí na celém J, ale není rostoucí v krajních bodech. 3. Ve druhé části důkazu jsme nevyužili předpoklad, že interval J je otevřený. Platí tedy: Je-li funkce f rostoucí v každém bodě libovolného intervalu J, pak je rostoucí na celém intervalu J. 1.2.13 Definice Buďte f, funkce a nechť platí Im Dom f. Pak F = {(x, y) R2 : (u R)((x, u) , (u, y) f)} se nazývá složená funkce. Funkce se nazývá vnitřní složka funkce F, funkce f se nazývá vnější složka funkce F. x (x) = u f(u) = f((x)) Podmínka Im Dom f je nutná a dostatečná pro existenci složené funkce. Není-li tato podmínka splněna, lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom . 1.2.14 Příklady 1. (x) = x2 , Im = [0, ) f(u) = sin(u), Dom f = (-, ). Tedy Im Dom f, F(x) = f((x)) = sin x2 2. (x) = 1 - x2 , definujeme Dom f = [-1, 1]. Pak Im = [0, 1]. f(u) = u, Dom f = [0, ). [0, 1] [0, ), F(x) = f((x)) = 1 - x2. 3. (x) = -x2 , Im = (-, 0] f(x) = log u, Dom f = (0, ). Složená funkce neexistuje. Proces skládání funkcí lze opakovat a vytvářet funkce vícenásobně složené. Např.: y = log2 sin x: y = u2 u = log v v = w w = sin x 1.2.15 Definice Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pak f-1 = {(y, x) R2 : (x, y) f} se nazývá inversní funkce k funkci f. Z definice plyne: Dom f = Im f-1 , Im f = Dom f-1 , x = f-1 (y) y = f(x). Zobrazení f : Dom f Im f je surjekce. Aby toto zobrazení bylo bijekcí, musí být injekcí (prostým zobrazením), t.j. x1, x2 Dom f, x1 = x2 f(x1) = f(x2). 1.2.16 Poznámky 1. Graf inversní funkce f-1 je symetrický s grafem funkce f podle osy prvního a třetího kvadrantu. 2. Je-li funkce f ryze monotonní, pak je prostá. D.: Nechť pro určitost je f rostoucí a buďte x1, x2 Dom f, x1 = x2. Pokud x1 < x2 pak f(x1) < f(x2), pokud x1 > x2 pak f(x1) > f(x2) a tedy f(x1) = f(x2). 18 1.2.17 Věta Nechť funkce f je rostoucí (resp. klesající) na množině Dom f. Pak funkce f-1 je rostoucí (resp. klesající) na množině Im f. D.: Nechť f je rostoucí na Dom f a buďte y1, y2 Im f, y1 < y2. Označme x1 = f-1 (y1), x2 = f-1 (y2), t.j. y1 = f(x1), y2 = f(x2). Jest x1 = x2 podle 1.2.16.2. Kdyby x1 > x2, pak by y1 = f(x1) > f(x2) = y2, což by byl spor. Platí tedy x1 = f-1 (y1) < f-1 y2 = x2. 1.3 Posloupnosti 1.3.1 Definice Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f = N. (t.j. f : N R) Označení: fn = f(n), častěji an, bn, . . . {an} n=1, stručně {an} -- posloupnost an -- člen posloupnosti Posloupnosti mohou mít vlastnosti: ohraničenost, monotonie, periodicita (s periodou p N) zavedené v 1.2. Naopak pojmy inversní nebo složená posloupnost nemají smysl. Platí: {an} n=1 je rostoucí (n N)(an < an+1) {an} n=1 je neklesající (n N)(an an+1) a podobně. 1.3.2 Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu a a píšeme lim n an = a, nebo stručněji lim an = a, an a, jestliže ke každému R, > 0 existuje n0 N takové, že pro každé n n0 platí |an - a| < . Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní. 1.3.3 Věta (o jednoznačnosti limity) Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu. D.: Připusťme, že pro {an} platí lim an = a, lim an = b, a = b. Nechť pro určitost a < b. Položme = b - a 2 . Pak > 0. Tedy existuje n1 N, že n n1 |an - a| < a existuje n2 N, že n n2 |an - b| < Položme n0 = max{n1, n2}. Pak pro n n0 platí a - < an < a + , b - < an < b + , tedy b - < an < a + a poněvadž b - = b b - a 2 = b + a 2 a + = a + b - a 2 = a + b 2 platí b + a 2 < b + a 2 , což je spor. 1.3.4 Věta Konvergentní posloupnost je ohraničená. D.: Nechť lim an = a a buď > 0. Existuje n0 N takové, že pro n n0 platí a - < an < a + . Buď h = max{a1, a2, . . . , an0-1, a + }, d = min{a1, a2, . . . , an0-1, a - }. Pak pro každé n N platí d an h. 19 1.3.5 Poznámky 1. Buďte {an}, {bn} konvergentní posloupnosti, lim an = a, lim bn = b. Jestliže existuje n0 N takové, že pro každé n n0 platí an < bn, pak a b. D.: Připusťme a > b a položme = a - b 2 . Pak > 0 a existují n1 N, že pro n n1 je a - < an < a + , n2 N, že pro n n2 je b - < bn < b + . Pro n > n3 = max{n1, n2, n0} nyní je a - = a + b 2 < an < bn < b + = a + b 2 -- spor. Tvrzení zůstane v platnosti i za předpokladu an bn pro n n0. 2. Řekneme, že posloupnost {an} je skorostacionární, jestliže existuje n0 N takové, že pro n n0 je an = a. Řekneme, že posloupnost {an} je stacionární, jestliže pro každé n N je an = a. (Skoro)stacionární posloupnost je konvergentní a platí lim an = a. 3. Buď {an} konvergentní posloupnost, lim an = 0 a {bn} buď ohraničená posloupnost. Pak lim anbn = 0. D.: {bn} je ohraničená existuje h R, že |bn| < h pro každé n N. Buď > 0 libovolné. K h > 0 existuje n0 takové, že pro n n0 je |an| = |an - 0| < h . Pro n n0 platí |anbn| = |an||bn| < h h = , tedy lim anbn = 0. 4. Jestliže posloupnost {an} je monotonní a neohraničená, pak lim 1 an = 0. D.: Buď {an} neklesající a > 0 libovolné. Poněvadž je {an} neohraničená, existuje n0 N takové, že an0 > 1 . Poněvadž {an} je neklesající, pro každé n n0 platí an an0 > 1 > 0. Odtud plyne, že pro n n0 platí 1 an - 0 = 1 an = 1 an < , tedy lim 1 an = 0. Pro nerostoucí posloupnost se důkaz provede analogicky. 1.3.6 Věta Buďte {an}, {bn} konvergentní posloupnosti, lim an = a, lim bn = b. Pak 1. existuje lim |an| a platí lim |an| = |a|, 2. existuje lim(an + bn) a platí lim(an + bn) = a + b, 3. existuje lim anbn a platí lim anbn = ab, 4. existuje lim(an - bn) a platí lim(an - bn) = a - b, 5. pokud b = 0, pak existuje lim an bn a platí lim an bn = a b . D.: 1. Buď > 0 libovolné. Pak existuje n0 N, že pro n n0 je |an - a| < . Pro n n0 tedy platí ||an| - |a|| |an - a| < , což znamená lim |an| = a. 2. Buď > 0 libovolné. K 2 > 0 existuje n1 N takové, že pro n n1 je |an - a| < 2 , a existuje n2 N takové, že pro n n2 je |bn - b| < 2 . Pro n n0 = max{n1, n2} platí |(an+bn)-(a+b)| = |(an-a)+(bn-b)| |an-a|+|bn-b| < 2 + 2 = a tedy lim(an + bn) = a + b. 20 3. Je-li a = 0, plyne tvrzení z 1.3.4 a z 1.3.5.3. Nechť a = 0 a buď > 0 libovolné. Podle 1.3.4 existuje h R takové, že |bn| < h pro každé n N. K 2h > 0 existuje n1 N takové, že pro n n1 je |an - a| < 2h . K 2|a| > 0 existuje n2 N takové, že pro n n2 je |bn - b| < 2|a| . Pro n n0 max{n1, n2} platí obě nerovnosti současně, tedy |anbn - ab|= |anbn - abn + abn - ab| |anbn - abn| + |abn - ab| = |an - a||bn| + |a||bn - b| < < 2h h + |a| 2|a| = 2 + 2 = . 4. Plyne z 2., 3. a 1.3.5.2. 5. Podle 1. je lim |bn| = |b| a podle předpokladu |b| > 0. Tedy k |b| 2 > 0 existuje n1 N takové, že pro n n1 je ||bn| - |b|| < |b| 2 , neboli |bn| > |b| - |b| 2 = |b| 2 . Odtud plyne, že pro n n1 je 1 |bn| < 2 |b| . Buď > 0 libovolné. K b2 2 > 0 existuje n2 N takové, že pro n n2 je |bn - b| < b2 2 . Pro n n0 = max{n1, n2} je 1 bn - 1 b = |b - bn| |b||bn| < b2 2 1 |b| 2 |b| = a tedy lim 1 bn = 1 b . Podle 3. je lim an bn = lim an lim 1 bn = a 1 b = a b . Poznamenejme, že z 1.3.6.3 a z 1.3.5.2 plyne: Jsou-li c R, {an} konvergentní posloupnost s lim an = a, pak existuje lim(can) = c lim an = ca. 1.3.7 Věta (o třech posloupnostech, o sevření) Buďte {an}, {bn}, {cn} posloupnosti takové, že existuje n1 N, že pro n n1 je an bn cn. Jestliže lim an = lim cn = a, pak také lim bn = a. D.: Buď > 0 libovolné. K němu existuje n2 N takové, že pro n n2 je |an - a| < , neboli an > a - . Dále existuje n3 N takové, že pro n n3 je |cn - a| < , neboli cn < a + . Pro n n0 = max{n1, n2, n3} platí a - < an bn cn < a + , neboli a - < bn < a + , což znamená lim bn = a. 1.3.8 Příklad Pro a R, a > 0 je lim n n a = 1. D.: * Pro a = 1 plyne tvrzení z 1.3.5.2. * Buď a > 1. Pak n a 1 pro každé n N, neboli n a = 1 + n, kde n 0. Dále a = (1 + n)n = 1 + nn + n 2 2 n + + n n - 1 n-1 n + n n 1 + nn. Odtud n a - 1 n . Celkem 0 n a - 1 n . Podle 1.3.5.4 je lim a - 1 n = a lim 1 n - lim 1 n = 0 a tedy podle 1.3.7 a 1.3.5.2 je lim n = 0. Podle 1.3.5.2 a 1.3.6.2 je lim n a = 1 + lim n = 1. * Buď 0 < a < 1. Pak b = 1 a > 1 a tedy lim n b = 1. Avšak podle 1.3.6.5 je 1 = lim n b = lim 1 lim n a = 1 lim n a , z čehož plyne lim n a = 1. 21 1.3.9 Věta (o monotonních posloupnostech) Je-li posloupnost {an} n=1 neklesající a shora ohraničená, pak je konvergentní a platí lim an = sup{an : n N}. Je-li posloupnost {an} n=1 nerostoucí a zdola ohraničená, pak je konvergentní a platí lim an = inf{an : n N}. Je-li monotonní posloupnost {an} n=1 ohraničená, pak je konvergentní. D.: Buď {an} neklesající a shora ohraničená posloupnost. Podle 1.1.7(R14) existuje a = sup{an : n N} R. Buď > 0 libovolné. Pak a- < a a podle 1.1.6(s2 ) existuje an0 {an} takové, že an0 > a-. Poněvadž {an} je neklesající, je an > a - pro každé n n0. Tedy pro n n0 je a - < an a < a + , neboli lim an = a. Druhé tvrzení se dokáže analogicky, třetí je důsledkem prvního a druhého. 1.3.10 Příklad Posloupnost 1 + 1 n n n=1 je rostoucí a konvergentní. (Značíme lim 1 + 1 n n = e, jest e = 2.71828182846 .) D.: S využitím binomické věty a vztahu l n + 1 < l n , neboli 1- l n + 1 > 1- l n pro všechna n, l N dostaneme: 1 + 1 n + 1 n+1 = n+1 k=0 n + 1 k 1 (n + 1)k > n k=0 n + 1 k 1 (n + 1)k = = n k=0 (n + 1)n(n - 1) (n - k + 2) k! 1 (n + 1)k = = n k=0 n(n - 1) (n - k + 2) k! 1 (n + 1)k-1 = = n k=0 1 k! n n + 1 n - 1 n + 1 n - k + 2 n + 1 = = n k=0 1 k! 1 - 1 n + 1 1 - 2 n + 1 1 k - 1 n + 1 > > n k=0 1 k! 1 - 1 n 1 - 2 n 1 k - 1 n = = n k=0 1 k! n - 1 n n - 2 n n - k + 1 n = = n k=0 (n - 1)(n - 2) (n - k + 1) k! 1 nk-1 = = n k=0 n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1) k! 1 nk = n k=0 n k 1 nk = 1 + 1 n n To znamená, že posloupnost 1 + 1 n n n=1 je rostoucí. Položme an = 1 + 1 n n+1 . Pak an 0 a s využitím nerovnosti (1 + x)m 1 + mx pro x 0, m N (viz. 1.3.8) dostaneme: an an+1 = 1 + 1 n n+1 1 + 1 n+1 n+2 = n n + 1 n+1 n n+2 n+1 n+2 = n n + 1 n2 + 2n + 1 n2 + 2n n+2 = = n n + 1 1 + 1 n(n + 2) n+2 n n + 1 1 + n + 2 n(n + 2) = n n + 1 n + 1 n = 1. 22 Tedy an an+1, posloupnost {an} je nerostoucí, zdola ohraničená nulou. Podle 1.3.9 je konvergentní. Dále podle 1.3.6.2 a 1.3.5.4 platí lim 1 + 1 n = 1 a tedy podle 1.3.6.5 existuje lim 1 + 1 n n = lim 1 + 1 n n+1 1 + 1 n = lim 1 + 1 n n+1 lim 1 + 1 n = lim 1 + 1 n n+1 . 1.3.11 Definice Řekneme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu a píšeme lim n an = (stručněji lim an = , an ) jestliže ke každému h R existuje n0 N takové, že pro každé n n0 platí an > h. Řekneme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu - a píšeme lim n an = - (stručněji lim an = -, an -) jestliže ke každému h R existuje n0 N takové, že pro každé n n0 platí an < h. Má-li posloupnost {an} nevlastní limitu, řekneme, že je určitě divergentní. Nemá-li posloupnost {an} limitu ani nevlastní limitu, řekneme, že je oscilující. Nahradíme-li v tvrzeních 1.3.3, 1.3.5.1, 1.3.7 slovo ,,limita slovem ,,nevlastní limita , zůstanou tato tvrzení v platnosti. 1.3.12 Poznámky 1. Buď {an} konvergentní posloupnost, lim an = 0. Jestliže existuje n1 N takové, že pro každé n n1 je an > 0 (resp. an < 0, resp. an = 0), pak lim 1 an = (resp. lim 1 an = -, resp. lim 1 |an| = ). D.: Buď h > 0 libovolné. Poněvadž lim an = 0, existuje n2 N takové, že pro každé n n2 je |an| < 1 h . Pro n n0 = max{n1, n2} platí 1 an = 1 |an| > h, a tedy lim 1 an = . Druhé tvrzení se dokáže analogicky, třetí je jejich důsledkem. 2. Nechť lim an = , (resp. lim an = -) a nechť posloupnost {bn} je zdola (resp. shora) ohraničená. Pak lim(an + bn) = (resp. lim(an + bn) = -). D.: Existuje k R, že bn > k pro každé n N. Buď h R libovolné. Poněvadž lim an = , existuje n0 N takové, že pro každé n n0 je an > h - k. Tedy pro n n0 je an + bn > h - k + k = h, což znamená lim(an + bn) = . Druhé tvrzení se dokáže analogicky. 3. Nechť lim an = a nechť {bn} je posloupnost taková, že existují n1 N, > 0 taková, že pro n n1 je bn > (resp. bn < -). Pak lim anbn = (resp. lim anbn = -). Nechť lim an = - a nechť {bn} je posloupnost taková, že existují n1 N, > 0 taková, že pro n n1 je bn > (resp. bn < -). Pak lim anbn = - (resp. lim anbn = ). D.: Buď h R libovolné. Existuje n2 N takové, že pro n n2 je an > h . Pro n n0 = max{n1, n2} platí anbn > h = h, což znamená lim anbn = . Zbývající tvrzení se dokáží analogicky. Předpoklad bn > pro n n1 nelze zeslabit na bn > 0 pro n n1. Například pro {an} = {n}, {bn} = 1 n2 je podle 1.3.5.4 lim anbn = lim 1 n = 0. 4. Nechť lim |an| = a {bn} je ohraničená posloupnost. Pak lim 1 an = 0 a lim bn an = 0. 23 D.: Buď > 0 libovolné. Existuje n0 N, že pro n n0 je |an| > 1 , tedy 1 an - 0 = 1 an = 1 |an| < . Druhé tvrzení nyní plyne z 1.3.5.3. 5. Je-li posloupnost {an} neklesající (resp. nerostoucí) a není ohraničená shora (resp. zdola), pak je určitě divergentní a lim an = (resp. lim an = -). D.: Buď h R libovolné. Poněvadž {an} není ohraničená shora, existuje n0 N takové, že an0 > h. Poněvadž {an} je neklesající, pro n n0 je an an0 > h, tedy lim an = . Druhé tvrzení se dokáže analogicky. 1.3.13 Definice Nechť {an} n=1 je posloupnost a {nk} k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost {ank } k=1 se nazývá vybraná z posloupnosti {an} n=1. Například {a2n} = {a2, a4, a6, . . . }, {an2 } = {a1, a4, a9, . . . }, {an} n=m = {am, am+1, am+2, . . . } jsou posloupnosti vybrané z {an}. Poznámka: Snadno ověříme, že posloupnost {an} je rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, ohraničená shora, ohraničená zdola, ohraničená, stacionární právě tehdy, když každá posloupnost {ank } vybraná z posloupnosti {an} má stejnou vlastnost. 1.3.14 Věta lim n an = a R právě tehdy, když pro každou posloupnost {ank } k=1 vybranou z posloupnosti {an} n=1 platí lim k ank = a. D.: ,, Nechť a R a buď > 0 libovolné. K > 0 existuje n0 N takové, že |an - a| < pro každé n n0. Poněvadž {nk} k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k0 N takové, že nk0 n0 a nk nk0 pro každé k k0. Tedy pro každé k k0 je |ank - a| < , což znamená lim k ank = a. Pro a = nebo a = - dokážeme tvrzení analogicky. ,, je triviální. Je-li lim k ank = a pro každou {nk} k=1, platí to zejména pro nk = k. 1.3.15 Definice Číslo a R nazveme hromadným bodem posloupnosti {an}, jestliže ke každému n0 N a každému > 0 existuje n n0 takové, že |an - a| < . a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m N takových, že |am - a| < pro každé > 0. Například posloupnost {(-1)n } = {-1, 1, -1, 1, -1, . . . } má dva hromadné body -1 a 1. 1.3.16 Věta Číslo a R je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje posloupnost {ank } vybraná z posloupnosti {an}, která konverguje k číslu a. 24 D.: ,, Nechť a je hromadným bodem posloupnosti {an}. K 1 = 1, n0 = 1 existuje n1 N, n1 1 takové, že |an1 - a| < 1. K 2 = 1 2 a k n1 + 1 N existuje n2 N, n2 > n1 takové, že |an2 - a| < 1 2 . K 3 = 1 3 a k n2 + 1 N existuje n3 N, n3 > n2 takové, že |an3 - a| < 1 3 . Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {nk} takových, že |ank - a| < 1 k . Poněvadž lim k 1 k = 0, ke každému > 0 existuje k0 N takové, že |1 k - 0| = 1 k < pro každé k k0. Tedy pro k k0 platí |ank - a| < 1 k < , což znamená lim k ank = a. ,, Jestliže existuje {ank } taková, že lim k ank = a, pak ke každému > 0 existuje k0 N takové, že pro každé k k0 -- tedy pro nekonečně mnoho indexů k -- platí |ank - a| < , což znamená, že a je hromadným bodem posloupnosti {an}. Z 1.3.14 plyne: Je-li lim an = a R, pak a je jediným hromadným bodem posloupnosti {an}. 1.3.17 Lemma Buď {an} posloupnost a M množina hromadných bodů této posloupnosti. Nechť M = . Je-li M shora (resp. zdola) ohraničená, pak existuje max M (resp. min M). D.: Podle 1.1.7(R14) existuje a = sup M. Buď > 0 libovolné. Pak a - < a a podle 1.1.6(s2 ) existuje hromadný bod m M takový, že m > a - . Tedy 1 = m - a + > 0. Dále m - 1 = m - (m - a + ) = a - , m + 1 = m + (m - a + ) a + a - a + = a + , neboť a = sup M m. Odtud plyne, že (m - 1, m + 1) (a - , a + ). Podle definice hromadného bodu leží v (m - 1, m + 1) nekonečně mnoho členů posloupnosti {an}, tedy i v (a - , a + ) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti {an}, což znamená, že a je hromadný bod posloupnosti {an}, a M a tedy podle 1.1.6.4 a = max M. Druhá část tvrzení se dokáže analogicky. 1.3.18 Věta (Bolzano [1781 ­ 1848], Weierstrass [1815 ­ 1897]) Každá ohraničená posloupnost má alespoň jeden hromadný bod. D.: Buď {an} ohraničená posloupnost, h an H pro každé n N. Položme Mk = {an : n > k}. Mk = , Mk je shora ohraničená (H je její horní závora). Existuje tedy bk = sup Mk. Zřejmě bk h pro každé k N a poněvadž Mk Mk+1, platí bk bk+1. Tedy posloupnost {bk} k=1 je nerostoucí a zdola ohraničená. Podle 1.3.9 je {bk} k=1 konvergentní, lim k bk = b. Ukážeme, že b je hromadný bod posloupnosti {an}. Buď > 0 libovolné. Existuje k0 N, že pro každé k k0 jest |bk - b| < , neboli bk < b + . Pro k k0 je také bk = sup{an : n k} ak. Celkem ak bk < b + . Připusťme, že b není hromadný bod posloupnosti {an}. Pak v intervalu (b - , b + ) leží pouze konečný počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znamená, že existuje n0 k0 takové, že pro k n0 je ak b - . Tedy i bk = sup{an : n k} b - . Podle 1.3.5.1 je b = lim k bk b - , což je spor. 1.3.19 Důsledky 1. Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat posloupnost konvergentní. D.: plyne z 1.3.16. 2. Je-li množina hromadných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohraničená. 25 1.3.20 Definice Buď {an} n=1 posloupnost a M množina jejích hromadných bodů. * Nechť M = . Je-li posloupnost {an} ohraničená shora, klademe lim sup n an = lim sup an = max M, je-li {an} ohraničená zdola, klademe lim inf n an = lim inf an = min M. Není-li {an} ohraničená shora, klademe lim sup an = , není-li {an} ohraničená zdola, klademe lim inf an = -. * Nechť M = . Je-li posloupnost {an} ohraničená shora, klademe lim sup an = lim inf an = -, je-li {an} ohraničená zdola, klademe lim sup an = lim inf an = . Není-li {an} ohraničená shora ani zdola, klademe lim sup an = , lim inf an = -. Číslo lim sup an se nazývá limes superior posloupnosti {an} n=1, číslo lim inf an se nazývá limes inferior posloupnosti {an} n=1. Stručně: lim sup an je největší hromadný bod posloupnosti {an}, pokud je tato posloupnost ohraničená shora, lim inf an je nejmenší hromadný bod posloupnosti {an}, pokud je tato posloupnost ohraničená zdola. 1.3.17 ukazuje, že definice je korektní. Analogickou úvahou jako v důkazu věty 1.3.18 lze ukázat, že lim sup n = lim k (sup{an : n > k}) , lim inf n = lim k (inf{an : n > k}) . Zřejmě platí: lim inf an lim sup an. lim inf an = lim sup an právě tehdy, když existuje vlastní nebo nevlastní limita lim an. 1.3.21 Definice Posloupnost {an} se nazývá cauchyovská, jestliže ke každému R, > 0 existuje n0 N takové, že pro každé n n0 a každé m n0 platí |am - an| < . 1.3.22 Věta (Cauchyovo ­ Bolzanovo kriterium konvergence) Posloupnost {an} n=1 je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská. D.: ,, Nechť {an} je konvergentní, lim an = a. Buď > 0 libovolné. K 2 > 0 existuje n0 N takové, že pro n n0 je |an - a| < 2 a pro m n0 je |am - a| < 2 . Tedy pro n n0 a m n0 platí |am - an| = |am - a + a - an| |am - a| + |an - a| < 2 + 2 = . ,, Nechť {an} je cauchyovská. K číslu 1 existuje ~n takové, že pro n ~n platí |an - a~n| < 1, tedy a~n - 1 < an < a~n + 1. Položme h = min{a1, a2, . . . , a~n-1, a~n - 1}, H = max{a1, a2, . . . , a~n-1, a~n + 1}. Pak pro každé n N je h an H, tedy {an} je ohraničená a podle 1.3.19.1 existuje vybraná posloupnost {ank } k=1 taková, že lim k ank = a R. Buď > 0 libovolné. K 2 existuje k0 N takové, že pro každé k k0 je |ank - a| < 2 . Současně existuje n0 N takové, že pro m, n n0 je |am - an| < 2 . Buď n n0 libovolné. Zvolme k1 k0 takové, že nk1 n0. Pak |an - a| = |an - ank1 + ank1 - a| |an - ank1 | + |ank1 - a| < 2 + 2 = , tedy lim an = a. 26 1.4 Elementární funkce A. Polynomy 1.4.1 Definice Buďte n N {0}, a0, a1, . . . , an R, an = 0. Polynom (racionální funkce celistvá) je funkce tvaru P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0. Číslo n se nazývá stupeň polynomu, značíme n = st P. Čísla a0, a1, . . . , an se nazývají koeficienty polynomu. Je-li st P = 1, polynom se nazývá lineární. Je-li st P = 2, polynom se nazývá kvadratický. Je-li st P = 3, polynom se nazývá kubický. Je-li st P = 4, polynom se nazývá bikvadratický. Číslo 0 nazveme nulovým polynomem. Nepřiřazujeme mu stupeň. Dom P = R, Im P = (-, ), st P je lichý [a, ), st P je sudý, an > 0 (-, a], st P je sudý, an < 0 . Komplexní čísla: C = {a + ib : a, b R}, kde i2 = -1 (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2) (a1 + ib1) (a2 + ib2) = (a1a2 - b1b2) + i(a2b1 + a1b2) Je-li = a + ib C, C pak = a - ib -- číslo komplexně sdružené (konjugované) || = = a2 + b2 -- absolutní hodnota (modul) komplexního čísla + = + = n = n pro n N R b = 0 = Množina komplexních čísel s operacemi +, splňuje (R1) ­ (R9) z 1.1.7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze uspořádat. 1.4.2 Definice Číslo C se nazývá kořen (nulový bod) polynomu P, jestliže platí P() = 0. Je-li kořenem polynomu P, pak lineární polynom x - nazveme kořenovým faktorem polynomu P. 1.4.3 Základní věta algebry Každý polynom stupně n 1 s komplexními koeficienty má komplexní kořen. Tato věta je známá od 17. století. První (chybný) pokus o důkaz publikoval d'Alembert roku 1746, větu dokázal Gauss roku 1799. 1.4.4 Věta Buď P(x) polynom, st P = n 1. Číslo C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q, st Q = n - 1 takový, že P(x) = (x - )Q(x). D.: ,, Nechť P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, je kořenem P. Pak P(x) = P(x) - 0 = P(x) - P() = = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 - (ann + an-1n-1 + + a1 + a0) = = an(xn - n ) + an-1(xn-1 - n-1 ) + + a1(x - ) + a0(1 - 1). 27 Pro každé k N platí (xk - k ) : (x - ) = xk-1 + xk-2 + xk-3 2 + + xk-2 + k-1 . Tedy P(x) = an(x-)(xn-1 +xn-2 + +n-1 )+an-1(x-)(xn-2 +xn-3 + +n-2 )+ +a1(x-). Označíme Q(x) = an(xn-1 + xn-2 + + n-1 ) + an-1(xn-2 + xn-3 + + n-2 ) + + a1 a dostaneme tvrzení. ,, je zřejmé. P(x), st P = n 1. Podle 1.4.3 má P kořen 1, a tedy P(x) = (x - 1)Q1(x). Je-li st Q1 1, pak Q1(x) = (x - 2)Q2(x), tedy P(x) = (x - 1)(x - 2)Q2(x). Analogicky pokračujeme a po n krocích dostaneme P(x) = an(x - 1)(x - 2) (x - n). Může se stát, že 1 = 2 = = k, k n. Pak (x - 1)(x - 2) (x - k) = (x - 1)k . Celkem P(x) = an(x - 1)k1 (x - 2)k2 (x - m)km , přičemž k1, k2, . . . , km N, k1 + k2 + + km = n. 1.4.5 Definice Číslo C se nazývá k-násobný kořen polynomu P(x), jestliže P(x) = (x - )k Q(x), kde Q(x) je polynom nemající kořen . (1-násobný kořen se nazývá jednoduchý.) 1.4.6 Věta (o rozkladu polynomu na kořenové faktory) Nechť P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 je polynom, st P = n 1. Nechť 1, 2, . . . , m jsou všechny jeho navzájem různé kořeny, přičemž 1 je k1-násobný, 2 je k2-násobný,. . . , m je km-násobný. Pak P(x) = an(x - 1)k1 (x - 2)k2 (x - m)km , k1, k2, . . . , km N, k1 + k2 + + km = n . Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát. 1.4.7 Příklad P(x) = x5 + x4 + x3 - x2 - x - 1 = x3 (x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x3 - 1)(x2 + x + 1) = = (x - 1)(x2 + x + 1)(x2 + x + 1) = (x - 1) x - -1 2 + i 3 2 2 x - -1 2 - i 3 2 2 1.4.8 Věta Nechť polynom P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 má reálné koeficienty a komplexní kořen . Pak má také komplexně sdružený kořen a násobnosti kořenů a jsou stejné. D.: Pro x R je x = x a tedy P(x) = an xn + an-1 xn-1 + + a0 = anxn + an-1xn-1 + + a0 = P(x). Podle 1.4.6 je P(x) = an(x - 1)k1 (x - 2)k2 (x - m)km a tedy P(x) = an(x - 1)k1 (x - 2)k2 (x - m)km . Z rovnosti P(x) = P(x) plyne tvrzení. Polynom s reálnými koeficienty se nazývá reálný polynom. 1.4.9 Věta (o rozkladu reálného polynomu v reálném oboru na ireducibilní poly- nomy) Buď P(x) = anxn +an-1xn-1 + +a1x+a0 reálný polynom, st P = n 1. Nechť 1, 2, . . . , m jsou všechny jeho reálné kořeny, přičemž 1 je k1-násobný, . . . , m je km-násobný. Nechť a1 ib1, a2 ib2, . . . , ar ibr jsou všechny jeho imaginární kořeny, přičemž a1 ib1 je l1-násobný, . . . , ar ibr je lr násobný. Pak je P(x) = an(x - 1)k1 (x - 2)k2 (x - m)km [(x - a1)2 + b2 1]l1 [(x - a2)2 + b2 2]l2 [(x - ar)2 + br 2]lr , k1 + k2 + + km + 2l1 + 2l2 + + 2lr = n . 28 D.: Podle 1.4.6 a 1.4.8 v rozkladu polynomy P(x) vystupuje součin faktorů (x - (aj + ibj))lj (x - (aj - ibj))lj = (x2 - (aj + ibj)x - (aj - ibj)x + (aj + ibj)(aj - ibj))lj = = (x2 - 2ajx + a2 j + b2 j + i(ajbj - ajbj))lj = (x2 - 2ajx + a2 j + b2 j )lj = [(x - aj)2 + b2 j ]lj . Faktory (x-aj)2 +b2 j se někdy nahrazují kvadratickým polynomem x2 +pjx+qj se záporným diskriminantem p2 j - 4qj. 1.4.10 Příklad Viz též 1.4.7. x5 + x4 + x3 - x2 - x - 1 = (x - 1) x - -1 2 + i 3 2 2 x - -1 2 - i 3 2 2 = (x - 1) x + 1 2 2 + 3 4 2 nebo x5 + x4 + x3 - x2 - x - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)2 . B. Racionální funkce 1.4.11 Definice Buďte P(x), Q(x) nenulové polynomy. Funkce R(x) = P(x) Q(x) se nazývá racionální lomená funkce. Je-li st P < st Q, funkce R se nazývá ryze lomená; je-li st P st Q, funkce R se nazývá neryze lomená. Dom R = R \ {1, 2, . . . , k}, kde 1, 2, . . . , k jsou všechny reálné kořeny polynomu Q(x). Je-li R(x) neryze lomená, lze provést naznačené dělení. Výsledkem je polynom S(x) a zbytek -- polynom T(x), který je buď nulový nebo st T < st Q. Tedy R(x) = S(x) nebo R(x) = S(x)+ T(x) Q(x) . Odtud plyne, že platí 1.4.12 Poznámka Neryze lomená funkce je buď polynomem nebo ji lze vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené funkce. 1.4.13 Lemma Buď R(x) = P(x) Q(x) ryze lomená racionální funkce a nechť je reálný k-násobný kořen polynomu Q(x), tj. Q(x) = (x - )k Q1(x), Q1() = 0. Pak existují reálná čísla a1, a2, . . . , ak taková, že pro všechna x Dom R platí R(x) = P(x) (x - )kQ1(x) = ak (x - )k + ak-1 (x - )k-1 + + a2 (x - )2 + a1 x - + P1(x) Q1(x) , kde P1(x) je buď nulový polynom, nebo st P1 < st Q1. D.: Pro každé a R je P(x) (x - )kQ1(x) = a (x - )k + P(x) - aQ1(x) (x - )kQ1(x) . Položme a = ak = P() Q1() . Pak P() - akQ1() = 0. Je-li P(x) - akQ1(x) nulový polynom, tvrzení platí. Nechť P(x) - akQ1(x) není nulový. Pak je jeho kořen a podle 1.4.4 je P(x) - kQ1(x) = (x - )Pk(x), P(x) (x - )kQ1(x) = ak (x - )k + Pk(x) (x - )k-1Q1(x) . Stejný postup aplikujeme na racionální funkci Pk(x) (x - )k-1Q1(x) a po k krocích dostaneme tvrzení. 29 1.4.14 Lemma Buď R(x) = P(x) Q(x) ryze lomená racionální funkce a nechť = a + ib je imaginární r-násobný kořen polynomu Q(x), tj. Q(x) = [(x - a)2 + b2 ]r Q1(x), Q1(a + ib) = 0. Pak existují reálná čísla m1, n1, m2, n2, . . . , mr, nr, taková, že pro všechna x Dom R platí R(x) = P(x) [(x - a)2 + b2]rQ1(x) = = mrx + nr [(x - a)2 + b2]r + mr-1x + nr-1 [(x - a)2 + b2]r-1 + + m2x + n2 [(x - a)2 + b2]2 + m1x + n1 (x - a)2 + b2 + P1(x) Q1(x) , kde P1(x) je buď nulový polynom, nebo st P1 < st Q1. D.: Pro každá dvě m, n R je P(x) [(x - a)2 + b2]rQ1(x) = mx + n [(x - a)2 + b2]r + P(x) - (mx + n)Q1(x) [(x - a)2 + b2]rQ1(x) . Nechť P() Q1() = P(a + ib) Q1(a + ib) = p + iq. Položme m = mr = q b , n = nr = pb - qa b . Pak je P() - (mr + nr)Q1() = P() - q b a + i q b b + p - qa b Q1() = P() - (p + iq)Q1() = = P() - P() Q1() Q1() = 0 . Je-li P(x) - (mrx + nr)Q1(x) nulový polynom, tvrzení platí. Nechť P(x)-(mrx+nr)Q1(x) není nulový. Pak je číslo jeho kořenem. Podle 1.4.8 je také jeho kořenem a P(x) - (mrx + nr)Q1(x) = (x - )(x - )Pr(x) = [(x - a)2 + b2 ]Pr(x) , P(x) [(x - a)2 + b2]rQ1(x) = mrx + nr [(x - a)2 + b2]r + Pr(x) [(x - a)2 + b2]r-1 . Stejný postup aplikujeme na racionální funkci Pr(x) [(x - a)2 + b2]r-1 a po r krocích obdržíme tvrzení. Zlomky tvaru a (x - )k , mx + n [(x - a)2 + b2]r - 1 nazýváme parciální zlomky. Z 1.4.13 a 1.4.14 plyne 1.4.15 Věta (o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky) Každou ryze lomenou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků. Každému reálnému k-násobnému kořenu jmenovatele odpovídá skupina zlomků ak (x - )k + ak-1 (x - )k-1 + + a2 (x - )2 + a1 x - a každému imaginárnímu r-násobnému kořenu a + ib jmenovatele odpovídá skupina zlomků mrx + nr [(x - a)2 + b2]r + mr-1x + nr-1 [(x - a)2 + b2]r-1 + + m2x + n2 [(x - a)2 + b2]2 + m1x + n1 (x - a)2 + b2 . 1.4.16 Poznámka Koeficienty v rozkladu racionální funkce lze vypočítat postupem naznačeným v důkazech pomocných vět 1.4.13 a 1.4.14. V praxi se však používá metoda neurčitých koeficientů: Napíšeme formální tvar rozkladu se zatím neurčenými konstantami. Celou rovnost vynásobíme polynomem Q(x). Tím obdržíme rovnost mezi polynomy platnou pro všechna x s výjimkou kořenů Q(x). Porovnáním určitých koeficientů na levé straně a neurčitých koeficientů na pravé straně obdržíme rovnice pro neznámé konstanty. Do zmíněné rovnosti mezi polynomy lze též dosazovat konkrétní reálná nebo komplexní čísla. Výhodné je například dosazování reálných kořenů jmenovatele Q(x). Příklad: Rozložte na parciální zlomky funkci 3x2 - 5x + 8 x3 - 2x2 + x - 2 . 30 Ř.: Rozklad jmenovatele: x3 - 2x2 + x - 2 = x2 (x - 2) + x - 2 = (x2 + 1)(x - 2) Formální tvar rozkladu: 3x2 - 5x + 8 x3 - 2x2 + x - 2 = A x - 2 + Bx + C x2 + 1 3x2 - 5x + 8 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x - 2) 3x2 - 5x + 8 = (A + B)x2 + (C - 2B)x + (A - 2C) Dosadíme x = 2: 12 - 10 + 8 = A 5 A = 2 Koeficient u x0 : 8 = A - 2C C = A - 8 2 = -3 Koeficient u x2 : 3 = A + B B = 3 - A = 1. Celkem: 3x2 - 5x + 8 x3 - 2x2 + x - 2 = 2 x - 2 + x - 3 x2 + 1 . C. Funkce exponenciální a logaritmická Jde o zavedení obecné mocniny ax pro a R, a > 0, x R. x = n N : an = a a a n krát x = 1 n Q : a 1 n = n a je číslo splňující a 1 n n = a; x = 0 : a0 = 1; x = m n Q : a m n = n am = ( n a) m x = -n Z : a-n = 1 an Pro všechna x, y Q, a > 0 platí: ax ay = ax+y ax ay = ax-y (ax )y = axy a > 1, x < y ax < ay 0 < a < 1, x < y ax > ay Poznamenejme, že podle 1.1.17 ke každému x R existuje posloupnost racionálních čísel {xn} s lim xn = x. 1.4.17 Lemma Buď a R, a > 0, x R. Je-li {xn} libovolná posloupnost racionálních čísel taková, že lim xn = x, pak existuje lim axn = R. Při tom je > 0 a nezávisí na volbě posloupnosti {xn}. D: ˇ Nechť a > 1. Buď {xn} neklesající posloupnost racionálních čísel s limitou x. Z x1 x2 x3 plyne ax1 ax2 ax3 a tedy {axn } je neklesající. Buď t Q, t x. Pak t xn pro každé n a tedy at axn pro každé n, což znamená, že {axn } je shora ohraničená a tedy podle 1.3.4 existuje lim axn = R, axn > 0. Buď {yn} libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x. Položíme zn = yn - xn. Pak yn = zn + xn a podle 1.3.6 je lim zn = lim yn - lim xn = x - x = 0, ayn = azn+xn = azn axn . Ukážeme, že lim azn = 1: Podle 1.3.8 je lim n a = lim a 1 n = 1. Tedy lim a- 1 n = lim 1 an = 1. Buď > 0 libovolné. Pak existuje n1 N, že pro n n1 je 1 - < a 1 n < 1 + , a existuje n2 N, že pro n n2 je 1 - < a- 1 n < 1 + . Tedy pro m = max{n1, n2} platí 1 - < a- 1 m < 1 < a 1 m < 1 + . Poněvadž lim zn = 0, existuje n0 N takové, že pro n n0 je - 1 m < zn < 1 m a tedy 1 - < a- 1 m < azn < a 1 m < 1 + , což znamená, že lim azn = 1. * Nechť a = 1. Tvrzení je triviální, neboť 1xn = 1 pro každé xn Q. * Nechť 0 < a < 1. Pak b = 1 a > 1. Je-li {xn} libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x, pak podle první části důkazu existuje = lim bxn , přičemž > 0 a nezávisí na volbě posloupnosti {xn}. Podle 1.3.6.5 existuje lim axn = lim 1 bxn = 1 . 31 1.4.18 Definice Buď a R, a > 0. Exponenciální funkce f(x) = ax je definována pro každé x R předpisem ax = lim axn , kde {xn} je libovolná posloupnost racionálních čísel s limitou x. 1.4.19 Věta Nechť a R, a > 0, a = 1. Exponenciální funkce f(x) = ax má vlastnosti: 1. Dom f = R, Im f (0, ). 2. Pro každá dvě x, y R platí: ax ay = ax+y , ax ay = ax-y , (ax )y = axy . 3. Pro a > 1 je rostoucí, pro 0 < a < 1 je klesající. D: 1. Plyne přímo z definice a z 1.4.17. 2. Tvrzení platí pro x, y Q. Nechť x, y R a {xn}, {yn} Q takové, že xn x, yn y. ax ay = lim axn lim ayn = lim axn ayn = lim axn+yn = ax+y , neboť lim(xn + yn) = x + y. ax ay = ax-y analogicky. y = n N: (ax )y = (ax )n = ax ax ax n krát = ax+x++x = anx y = -n Z: (ax )y = (ax )-n = 1 (ax)n = 1 anx = a-nx = axy y = m n Q: (ax ) m n = n (ax)m = n axm současně (axy )n = ax m n = axm n axm = axy , takže axy = (ax ) m n = (ax ) y . y I: zvolme {yn} Q, yn y. Pak (ax )y = lim(ax )yn = lim axyn = axy podle 1.4.20 (tuto poznámku totiž můžeme považovat v této chvíli již za dokázanou, neboť v jejím důkazu je využit pouze první vztah z části 2., který je již dokázán), neboť lim xyn = x lim yn = xy. 3. Nechť a > 1, x, y R, x < y. Zvolme u, v Q, x u < v y. Platí au < av . Buď {xn} neklesající posloupnost racionálních čísel s limitou x a buď {yn} nerostoucí posloupnost racionálních čísel s limitou y. Pak xn x u, což znamená, že axn au a tedy lim axn = ax u. v y yn, což znamená, že ayn av a tedy lim ayn = ay v. Z nerovnosti au < av plyne ax < ay . Případ 0 < a < 1 analogicky. Později (2.2.17) bude dokázáno, že Im f = (0, ). 1.4.20 Poznámky 1. Je-li x = m p Q, definice 1.4.18 souhlasí s definicí a m p . (Stačí volit xn = m p pro každé n N.) 2. Je-li {xn} libovolná posloupnost reálných čísel s lim xn = x, pak lim axn = ax . D.: Pro každé n N zvolíme yn Q tak, aby xn - 1 n < yn xn (to lze podle 1.1.17). Podle 1.3.7 je lim yn = x. Tedy lim ayn = ax a dále lim axn = lim ayn+xn-yn = lim ayn lim axn-yn = ax lim axn-yn a analogicky jako v důkazu 1.4.17 ukážeme, že lim axn-yn = 1. Z exponenciálních funkcí má největší význam funkce f(x) = ex , kde e = lim 1 + 1 n n . Někdy se označuje ex = exp x. Tuto funkci nazýváme přirozená exponenciální funkce. 32 1.4.21 Definice Buď a R, a > 0, a = 1. Inversní funkce k funkci f(x) = ax se nazývá logaritmická funkce. Značíme ji loga x. 1.4.22 Věta Buď a R, a > 0, a = 1. Funkce f(x) = loga x má vlastnosti: 1. Dom f = (0, ), Im f = (-, ). 2. Pro každá dvě x, y (0, ) platí: loga(xy) = loga x + loga y, loga x y = loga x - loga y, pro x (0, ) a y R platí: loga xy = y loga x. 3. Je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1. D: 1., 3. Plyne z 1.4.19 a obecných vlastností inversních funkcí. 2. Označme loga x = u, loga y = v. Pak au = x, av = y a xy = au av = au+v , tedy loga(xy) = u + v = loga x + loga y, x y = au av = au-v , tedy loga x y = u - v = loga x - loga y, xy = (au )y = auy , tedy loga xy = uy = y loga x. 1.4.23 Poznámka Buďte a, b R, a > 0, b > 0, a = 1 = b. Pro každé x (0, ) platí logb x = loga x loga b . D.: y = logb x. Pak by = x a tedy y loga b = loga by = loga x. Odtud y = loga x loga b . Podobně jako u exponenciální funkce má největší význam logaritmická funkce loge x. Značí se ln x a nazývá přirozená nebo přirozený logaritmus. Libovolný logaritmus lze převést na přirozený: loga x = ln x ln a . Také obecnou exponenciální funkci lze převést na přirozenou, neboť pro a R, a > 0, x R platí ex ln a = eln a x = ax . D. Mocninná funkce 1.4.24 Definice Buď a R. Funkce f(x) = xa definovaná vztahem xa = ea ln x se nazývá obecná mocninná funkce. 1.4.25 Věta Buď a R. Mocninná funkce f(x) = xa má vlastnosti: 1. Dom f = (0, ), Im f = (0, ). 2. Pro každá dvě x, y (0, ) platí: (xy)a = xa ya , x y a = xa ya . 33 3. Je rostoucí pro a > 0 a klesající pro a < 0. D: 1. Plyne z 1.4.19.1 a z 1.4.22.1. 2. (xy)a = ea ln xy = ea(ln x+ln y) = ea ln x ea ln y = xa ya . Druhý vztah analogicky. 3. Buď a > 0, 0 < x < y. Pak podle 1.4.22.3 je ln x < ln y a tedy a ln x < a ln y. Podle 1.4.19.3 je také ea ln x < ea ln y , tj. xa < ya . Pro a < 0 analogicky. 1.4.26 Poznámka Mocninná funkce f(x) = xa má v některých speciálních případech definiční obor širší než (0, ). Zejména: Je-li a N {0}, pak Dom f = (-, ). Je-li a Z, a < 0, pak Dom f = (-, 0) (0, ). Je-li a = m n Q, m Z, n N, m, n nesoudělná a n liché, pak pro a 0 je Dom f = (-, ), a < 0 je Dom f = (-, 0) (0, ). E. Funkce goniometrické a cyklometrické Na jednotkovou kružnici se středem v počátku naneseme od bodu A = (1, 0) oblouk délky |x| v kladném smyslu pro x 0 a v záporném smyslu pro x < 0. Obdržíme bod B, jehož první souřadnici označíme cos x a druhou sin x. Dále klademe tg x = sin x cos x , cotg x = cos x sin x . Tento popis není definicí, neboť se používá vágní pojem ,,délka oblouku , který nebyl přesně zaveden. Goniometrické funkce sin, cos, tg, cotg tedy nejsou zatím přesně definovány. Poněvadž jsou ale velice užitečné, budeme je používat již před jejich přesným definováním. Vlastnosti goniometrických funkcí: 1. Dom sin = Dom cos = R, Im sin = Im cos = [-1, 1], Dom tg = R \ { 2 + k : k Z}, Dom cotg = R \ {k : k Z}, Im tg = Im cotg = R. 2. sin, cos jsou periodické se základní periodou 2, tg, cotg jsou periodické se základní periodou . 3. sin je rostoucí na [- 2 + 2k, 2 + 2k], klesající na [ 2 + 2k, 3 2 + 2k], k Z. cos je rostoucí na [(2k - 1), 2k], klesající na [2k, (2k + 1)], k Z. tg je rostoucí na (- 2 + k, 2 + k), k Z. cotg je klesající na (k, (k + 1)), k Z. 4. sin, cos, tg, cotg jsou liché, cos je sudá funkce 5. sin2 x + cos2 x = 1, tg x cotg x = 1, sin x = cos(x - 2 ) = cos( 2 - x), cos x = sin(x + 2 ) = sin( 2 - x) pro všechna přípustná x. 34 6. Součtové vzorce: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, sin(x - y) = sin x cos y - sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y, cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y, tg(x + y) = tg x + tg y 1 - tg x tg y , sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2 x - sin2 x, | sin x 2 | = 1 - cos x 2 , | cos x 2 | = 1 + cos x 2 , sin x + sin y = 2 sin x+y 2 cos x-y 2 , sin x - sin y = 2 cos x+y 2 sin x-y 2 , cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos x-y 2 , cos x - cos y = -2 sin x+y 2 sin x-y 2 , sin x cos y = 1 2 (sin(x + y) + sin(x - y)), cos x cos y = 1 2 (cos(x + y) + cos(x - y)), sin x sin y = 1 2 (cos(x - y) - cos(x + y)). 7. Jsou-li A, B R, A = 0 pak A sin x + B cos x = P sin(x + q), kde P = A2 + B2, tg q = B A . D.: tg q = sin q cos q = B A = B A2 + B2 A A2 + B2 , -1 < A A2 + B2 < 1 , -1 < B A2 + B2 < 1, cos q = A A2 + B2 , sin q = B A2 + B2 , A sin x + B cos x = A2 + B2 A A2 + B2 sin x + B A2 + B2 cos x = = A2 + B2 (cos q sin x + sin q cos x) = A2 + B2 sin(x + q). Funkce cyklometrické jsou funkce inversní k funkcím goniometrickým. Ve všech případech je nutno zúžit definiční obor příslušné goniometrické funkce tak, aby funkce byla ryze monotonní (tedy prostá). Je přirozené tento interval vzít ,,co nejblíže počátku . Pro sin cos tg cotg vezmeme interval [- 2 , 2 ] [0, ] (- 2 , 2 ) (0, ) . Funkce cyklometrické se nazývají arcus a značí se arcsin, arccos, arctg, arccotg. Vlastnosti cyklometrických funkcí 1. Dom arcsin = Dom arccos = [-1, 1], Im arcsin = [- 2 , 2 ], Im arccos = [0, ] Dom arctg = Dom arccotg = R, Im arctg = (- 2 , 2 ), Im arccotg = (0, ). 2. Pro každé x [-1, 1] platí arcsin x + arccos x = 2 . D.: y = arcsin x, x = sin y = cos( 2 - y) arccos x = 2 - y; y [- 2 , 2 ] 2 - y [0, ]. 3. Pro každé x R platí arctg x + arccotg x = 2 . D.: x R, y = arctg x x = tg y = sin y cos y = cos( 2 - y) sin( 2 - y) = cotg( 2 - y) arccotg x = 2 - y. 35 F. Dodatek * Polární souřadnice r, . Transformace kartézských souřadnic na polární: r = x2 + y2 je řešením soustavy rovnic cos = x x2 + y2 , sin = y x2 + y2 , tj. = arctg y x + 2k, x > 0 2 + k, x = 0 arctg y x + (2k + 1), x < 0 Transformace polárních souřadnic na kartézské: x = r cos y = r sin * Parametrické vyjádření Buďte , funkce, J Dom Dom interval. x = (t), y = (t), t J je tzv. parametrické vyjádření nějaké podmnožiny R2 . 1.5 Cvičení Určete definiční obor funkcí 1) f(x) = x2 - 5x + 6 x2 - 5x + 4 , 2) f(x) = log sin 2x. Rozhodněte, zda funkce je sudá nebo lichá 3) f(x) = - 3 x, 4) f(x) = x. Najděte nejmenší periodu funkcí 5) f(x) = sin 1 3 x, 6) f(x) = tg ax. Najděte intervaly, na nichž jsou ryze monotonní funkce 7) f(x) = x + |x|, 8) f(x) = 21/x . Najděte inversní funkci k funkci 9) f(x) = 23x-1 , 10) f(x) = x + [x]. Rozhodněte, zda je posloupnost {an} ohraničená 11) an = 1 - cosn n , 12) an = nn n! . Rozhodněte, zda je posloupnost {an} monotonní 13) an = n2 + 1 n + 1 , 14) an = log n - n. Vypočítejte limitu posloupnosti {an} 15) an = 2n2 - n + 3 3n2 + n - 5 16) an = 3n+1 + (-5)n-1 3n + (-5)n , 17) an = n2 + 3n + 2 - n2 - n + 1, 18) an = 12 n3 + 32 n3 + + (2n - 1)2 n3 , 19) an = 1 n2 + 1 (n + 1)2 + + 1 (2n)2 , 20) an = 1 n + 1 n + 1 + + 1 2n . 21) Zjistěte, zda posloupnost { 1 1! + 1 2! + + 1 n! } je konvergentní. 22) Najděte limes superior a inferior posloupnosti (-1)n n 2 + 1 + 1 2n 2n + n 2 . Polynomy rozložte v reálném oboru 23) x4 - x3 + 2x2 - x + 1, 24) x6 + 1. Racionální funkce rozložte na parciální zlomky 25) x4 + 6x2 + x - 2 x4 - 2x3 , 26) x - 1 x4 + 3x2 + 2 . 36 27) jaký je vztah mezi grafy funkcí f(x) = ax a g(x) = 1 a x , a > 0? Určete definiční obor funkce f, zjednodušte její vyjádření a znázorněte ji graficky 28) f(x) = logx a, 29) f(x) = arcsin(sin x). Vypočítejte 30) lim x1 x2 - 1 x3 - 1 , 31) lim x1 xm - 1 xn - 1 , 32) lim x1 3 x - 1 x - 1 , 33) lim x0 3 1 + x - 3 1 - x 1 + x - 1 - x , 34) lim x0 sin ax sin bx , 35) lim x0 1 - cos3 x x sin 2x , 36) lim x x2 + x + 1 - x2 - 4x + 1 , 37) lim x- x2 + 5x + x , 38) lim x1+ x + 1 x + 3 cotg x , 39) lim x+ sin2 x tg x/2 . 40) Vysvětlete význam podmínky ( > 0)( > 0)(x)(0 < |x - x0| < |f(x) - a| < ). Najděte body nespojitosti následujících funkcí a určete jejich typ 41) f(x) = x3 - 1 x2 - 1 , 42) f(x) = sin x . Výsledky: 1) (-, 1) [2, 3] (4, ) 2) {x R : k < x < (2k + 1) 2 , k Z} 3) sudá 4) ani sudá, ani lichá 5) 6 6) a 7) na [0, ) rostoucí 8) na (-, 0) a na (0, ) klesající 9) f-1 (y) = 1 3 (1 + log2 y) 10) f-1 (y) = y - k pro y [2k, 2k + 1), k Z 11) ano, 0 an 2 12) ohraničená zdola an > 0 13) rostoucí 14) klesající 15) 2 3 16) -1 5 17) 2 18) 4 3 19) 0 20) 21) ano; je rostoucí a shora ohraničená 22) 2 + e, -e 23) (x2 + 1) x - 1 2 2 + 3 4 24) (x2 - 3 x + 1)(x2 + 3 x + 1)(x2 + 1) 25) 1 + 1 x3 - 3 x + 5 x-2 26) x-1 x2+1 - x-1 x2+2 27) souměrné kolem osy y 28) Dom f = (0, 1) (1, ), f(x) - ln a ln x 29) Dom f = R, f je 2- periodické rozšíření funkce g(x) = x, x [- 2 , 2 ) - x, x [ 2 , 3 2 ) 30) 2 3 31) m n 32) 2 3 33) 2 3 34) a b 35) 3 4 36) 5 2 37) - 38) 0 39) 40) f je ohraničená v R \ {x0} 41) x = 1 odstranitelná, x = -1 typu A3 42) x = 0 druhého druhu 1.6 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 37 38 Kapitola 2 Diferenciální počet 2.1 Limita funkce 2.1.1 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0 R limitu a R a píšeme lim xx0 f(x) = a, jestliže ke každému okolí O(a) čísla a existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} čísla x0 takové, že pro každé x O(x0) \ {x0} je f(x) O(a). Definice dostane konkrétní tvar podle toho, zda x0 R nebo x0 = a a R nebo a = : 1. Vlastní limita ve vlastním bodě * x0 R, a R : lim xx0 f(x) = a ( > 0)( > 0)(x)(0 < |x - x0| < |f(x) - a| < ) 2. Nevlastní limita ve vlastním bodě * x0 R, a = : lim xx0 f(x) = (h R)( > 0)(x)(0 < |x - x0| < f(x) > h) * x0 R, a = - : lim xx0 f(x) = - (h R)( > 0)(x)(0 < |x - x0| < f(x) < h) 3. Vlastní limita v nevlastním bodě * x0 = , a R : lim x f(x) = a ( > 0)(h R)(x)(x > h |f(x) - a| < ) * x0 = -, a R : lim xf(x) = a ( > 0)(h R)(x)(x < h |f(x) - a| < ) 4. Nevlastní limita v nevlastním bodě * x0 = , a = : lim x f(x) = (h R)(k R)(x)(x > k f(x) > h) * x0 = -, a = : lim xf(x) = (h R)(k R)(x)(x < k f(x) > h) * x0 = , a = - : lim x f(x) = - (h R)(k R)(x)(x > k f(x) < h) * x0 = -, a = - : lim xf(x) = - (h R)(k R)(x)(x < k f(x) < h) 2.1.2 Poznámky 1. V definici 2.1.1 se nevyskytuje žádný požadavek na f(x0). Existence a hodnota lim xx0 f(x) nezávisí na tom, zda x0 Dom f, a pokud ano, tak nezávisí na hodnotě f(x0). Existuje-li však lim xx0 f(x), musí být funkce f definována v nějakém ryzím okolí bodu x0. 2. Buďte f, g funkce, x0 R a nechť existuje lim xx0 f(x) = a R . Jestliže existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé x O(x0) \ {x0} je f(x) = g(x), pak existuje také lim xx0 g(x) a platí lim xx0 g(x) = a. 39 3. Logickou negací definice 2.1.1 obdržíme výrok ,,neplatí lim xx0 f(x) = a : Existuje okolí O(a) bodu a takové, že v každém okolí O(x0) bodu x0 existuje číslo x takové, že f(x) O(a). Jestliže neplatí lim xx0 f(x) = a, pak buď lim xx0 f(x) = b = a nebo lim xx0 f(x) neexistuje. 4. Existence a hodnota limity funkce f v bodě x0 je lokální vlastností této funkce. 2.1.3 Příklady 1. lim x0 x2 = 0. D.: Buď > 0 libovolné. Položme = . Je-li 0 < |x - 0| = |x| < = , pak |x2 - 0| = |x2 | = |x|2 < . 2. lim x0 g(x) = 0 pro g = x2 , x = 0 1, x = 0 . D.: Stejně jako v 1. 3. lim x0 (x) neexistuje. D.: Připusťme, že lim x0 (x) = a R. Nechť a = 0. Položme = |a| 2 > 0. Buď > 0 libovolné a x (-, ) I. Pak (x) = 0 a - |a| 2 , a + |a| 2 . Je tedy a = 0. Položme = 1 2 > 0. Buď > 0 libovolné a x (-, )Q. Pak (x) = 1 (-1 2 , 1 2 ). Nemůže tedy být lim x0 (x) = a R. Připusťme, že lim x0 (x) = . Avšak pro libovolné x R je (x) {0, 1}, tedy pro h > 1 nemůže být (x) > h pro žádné x R. Z podobných důvodů nemůže být lim x0 (x) = -. 2.1.4 Věta (Heineova podmínka [1821 ­ 1881]) Funkce f má v bodě x0 R limitu a R právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn} n=1 Dom f takovou, že lim n xn = x0 a xn = x0 pro n N platí lim n f(xn) = a. D.: ,, Nechť lim xx0 f(x) = a R a nechť {xn} je posloupnost splňující předpoklady. Buď O(a) libovolné. Pak existuje ryzí O(x0) \ {x0} takové, že pro x O(x0) \ {x0} je f(x) O(a). Poněvadž xn x0, xn = x0, existuje n0 N takové, že pro n n0 jest xn O(x0) a tedy f(xn) O(a), což znamená, že lim n f(xn) = a. ,, Nechť platí tvrzení věty. Zvolme libovolnou {xn}, xn x0, xn = x0. Pak existuje lim n f(xn) = a R . Ukážeme, že lim xx0 f(x) = a. Připusťme, že existuje O(a) takové, že v každém ryzím okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 existuje x takové, že f(x) O(a). Je-li x0 R x0 = x0 = - položíme On(x0) = (x0 - 1 n , x0) (x0, x0 + 1 n ) On(x0) = (n, ) On(x0) = (-, -n) Pro libovolné n N existuje yn On(x0) takové, že f(yn) O(a). Z konstrukce On(x0) plyne, že yn x0, yn = x0 a tedy lim n f(yn) = a. To ovšem není možné, neboť f(yn) O(a). 40 2.1.5 Poznámka Nechť lim x f(x) = a R a nechť pro každé n N je an = f(n). Pak lim n an = a. D.: Buď O(a) libovolné. Pak existuje k R takové, že pro x > k je f(x) O(a). Volme n0 = [k] + 1. Pak pro n n0 je an = f(n) O(a) a tedy lim x f(x) = a. Heineova podmínka umožňuje převádět vlastnosti limity a nevlastní limity posloupnosti na vlastnosti limity funkce: 2.1.6 Věta (Cauchyovo ­ Bolzanovo kriterium pro existenci vlastní limity) Funkce f má v bodě x0 R limitu a R právě tehdy, když ke každému R, > 0 existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé dva body x1, x2 O(x0) \ {x0} platí |f(x1) - f(x2)| < . D.: 1.3.22 a 2.1.4 2.1.7 Věta (vlastnosti limity) 1. Každá funkce má v libovolném bodě x0 R nejvýše jednu limitu. (viz 1.3.3) 2. Má-li funkce f v bodě x0 R vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce f ohraničená. (viz 1.3.4) Jestliže lim xx0 f(x) = a > 0 (resp. lim xx0 f(x) = a < 0), pak existuje ryzí okolí O (x0) bodu x0 takové, že pro každé x O (x0) je f(x) > 0 (resp. f(x) < 0). D.: Nechť lim xx0 f(x) = a > 0 a buď = a 2 > 0. Existuje > 0 takové, že pro každé x (x0 - , x0) (x0, x0 + ) je f(x) (a - , a + ), zejména tedy f(x) > a - = a 2 > 0. Platnost druhého tvrzení ukážeme analogicky. 3. Nechť lim xx0 f(x) = 0, x0 R a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce g ohraničená. Pak je lim xx0 f(x)g(x) = 0. (viz 1.3.5.3) 4. Nechť x0 R a lim xx0 f(x) = a R, lim xx0 g(x) = b R. Pak * existuje lim xx0 |f(x)| a platí lim xx0 |f(x)| = |a|, * existuje lim xx0 (f(x) + g(x)) a platí lim xx0 (f(x) + g(x)) = a + b, * existuje lim xx0 (f(x) - g(x)) a platí lim xx0 (f(x) - g(x)) = a - b, * existuje lim xx0 f(x)g(x) a platí lim xx0 f(x)g(x) = ab, * pokud b = 0 existuje lim xx0 f(x) g(x) a platí lim xx0 f(x) g(x) = a b . (viz 1.3.6) 5. Nechť f, g, h jsou funkce, x0 R a existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé x O(x0) \ {x0} platí f(x) g(x) h(x). Jestliže lim xx0 f(x) = lim xx0 h(x) = a R , pak lim xx0 g(x) = a. (viz 1.3.7) 41 6. Nechť x0 R , lim xx0 f(x) = 0 a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je f(x) = 0 (resp. f(x) > 0, resp. f(x) < 0). Pak lim xx0 1 |f(x)| = (resp. lim xx0 1 f(x) = , resp. lim xx0 1 f(x) = -). (viz 1.3.12.1) 7. Nechť x0 R a lim xx0 |f(x)| = . Pak lim xx0 1 f(x) = 0. (viz 1.3.12.4) 8. Nechť x0 R , lim xx0 f(x) = (resp. lim xx0 f(x) = -) a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je funkce g zdola (resp. shora) ohraničená. Pak lim xx0 (f(x) + g(x)) = (resp. lim xx0 (f(x) + g(x)) = -). (viz 1.3.12.2) 9. Nechť x0 R , lim xx0 f(x) = a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) > 0 (resp. g(x) < 0). Pak lim xx0 f(x)g(x) = (resp. lim xx0 f(x)g(x) = -). Nechť lim xx0 f(x) = - a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) > 0 (resp. g(x) < 0). Pak lim xx0 f(x)g(x) = - (resp. lim xx0 f(x)g(x) = ). (viz 1.3.12.3) 10. Funkce signum (znaménko) je pro každé x R definována předpisem sgn x = 1, x > 0 0, x = 0 -1, x < 0 . Nechť x0 R , lim xx0 f(x) = a = 0, lim xx0 g(x) = 0 a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je g(x) = 0 a sgn f(x) = sgn g(x) (resp. sgn f(x) = - sgn g(x)). Pak lim xx0 f(x) g(x) = (resp. lim xx0 f(x) g(x) = -). (viz 1.3.12.1 a předchozí tvrzení) 11. Nechť x0 R , lim xx0 f(x) = a, lim xx0 g(x) = b a nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž je f(x) < g(x). Pak a b. (viz 1.3.5.1) 2.1.8 Věta (o limitě složené funkce) Nechť x0 R , lim xx0 (x) = R a lim y f(y) = a R . Nechť existuje ryzí okolí O1(x0) \ {x0} bodu x0, v němž platí (x) = . Pak lim xx0 f((x)) = a. (Tj. lim xx0 f((x)) = lim y lim xx0 (x) f(y) = a.) D.: Buď O(a) libovolné okolí bodu a. K němu existuje ryzí okolí O() \ {} takové, že pro y O() \ {} je f(y) O(a). K O() existuje ryzí okolí O2(x0) \ {x0} takové, že pro x O2(x0) \ {x0} je (x) O(). Položme O(x0) = (O1(x0) \ {x0}) (O2(x0) \ {x0}). Pak pro x O(x0) je (x) O() a (x) = , tj. (x) O() \ {}. Tedy f((x)) O(a), neboli lim xx0 f((x)) = a. 2.1.9 Příklady 1. Nechť f(x) = c R pro každé x R. Pak pro každé x0 R jest lim xx0 f(x) = c. D.: Buď > 0 libovolné, O(x0) \ {x0} libovolné ryzí okolí x0. Pro x O(x0) \ {x0} je |f(x) - c| = |c - c| = 0 < . 2. Nechť f(x) = x pro každé x R. Pak pro každé x0 R jest lim xx0 x = x0 a dále lim x x = , lim xx = -. 42 D.: Buď > 0 libovolné a = . Pak pro x (x0 - , x0) (x0, x0 + ) je |f(x) - x0| = |x - x0| < = . Buď h R libovolné a k = h. Pak pro x > k je f(x) = x > k = h a pro x < k je f(x) = x < k = h. 3. Buď P(x) polynom. Pak pro libovolné x0 R jest lim xx0 P(x) = P(x0). D.: S využitím předchozího výsledku a 2.1.7.4 jest lim xx0 xn = lim xx0 xxn-1 = lim xx0 x lim xx0 xn-1 = x0 lim xx0 xn-1 = x0 lim xx0 x lim xx0 xn-2 = = x0x0 lim xx0 xn-2 = . . . = xn-1 0 lim xx0 x = xn 0 . Tvrzení nyní plyne z 2.1.7.4. 4. Buď R(x) racionální lomená funkce a x0 Dom R. Pak lim xx0 R(x) = R(x0). D.: plyne z 3. a 2.1.7.4. 5. f(x) = x4 - 1 x3 - 1 . Pro x = 1 platí x4 - 1 x3 - 1 = (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) (x - 1)(x2 + x + 1) = x3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 a tedy podle 2.1.2.4 a předchozího výsledku je lim x1 x4 - 1 x3 - 1 = lim x1 x3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 = 4 3 . 6. Buď a > 0, f(x) = ax . Pak pro libovolné x0 R je lim xx0 ax = ax0 . D.: plyne z 1.4.20.2 a 2.1.4. 7. Buď a > 0, f(x) = xa , x0 Dom f. Pak lim xx0 xa = xa 0. D.: plyne z 1.4.24, předchozího tvrzení a 2.1.8. 8. Pro libovolné x0 R je lim xx0 sin x = sin x0, lim xx0 cos x = cos x0. Plyne z geometrického názoru. (Funkce sin a cos nebyly přesně definovány.) 9. lim x0 sin x x = 1. D.: Pro x (0, 2 ) platí: 0 < sin x. Plocha kruhové výseče OAC je P0 = 1 2 x, plocha trojúhelníka OAC je P1 = 1 2 sin x a plocha trojúhelníka OAB je P2 = 1 2 tg x. Jest P1 < P0 < P2, neboli sin x < x < tg x 1 < x sin x < 1 cos x cos x < sin x x < 1 Všechny funkce v poslední nerovnosti jsou sudé, to znamená, že tato nerovnost platí i pro x (- 2 , 0). Dále podle předchozího lim x0 cos x = cos 0 = 1. Tvrzení nyní plyne z 2.1.7.5. 10. lim x0 1 - cos x x2 = lim x0 1 - cos x x2 1 + cos x 1 + cos x = lim x0 1 - cos2 x x2(1 + cos x) = lim x0 sin2 x x2 1 1 + cos x = 11 2 = 1 2 2.1.10 Poznámka Předpoklad o existenci ryzího okolí O1(x0) \ {x0} bodu x0 nelze v 2.1.8 obecně vynechat. Např. pro (x) = 0, f(y) = 0, y = 0 1, y = 0 platí f((x)) = 1 a tedy podle 2.1.9.1 pro libovolné x0 R je lim xx0 f((x)) = 1, avšak lim xx0 (x) = 0, lim y0 f(y) = 0. 43 2.1.11 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0 R limitu zprava (resp. zleva) rovnou a R a píšeme lim xx0+ f(x) = a (resp. lim xx0f(x) = a), jestliže ke každému okolí O(a) bodu a existuje pravé (resp. levé) ryzí okolí (x0, x0 + ) (resp. (x0 - , x0)) takové, že pro každé x (x0, x0 + ) (resp. x (x0 - , x0)) platí f(x) O(a). Limita zprava a limita zleva se souhrnně nazývají jednostranné limity. * a R: lim xx0+ f(x) = a ( > 0)( > 0)(x)(0 < x - x0 < |f(x) - a| < ) lim xx0f(x) = a ( > 0)( > 0)(x)(0 < x0 - x < |f(x) - a| < ) * a = : lim xx0+ f(x) = (h R)( > 0)(x)(0 < x - x0 < f(x) > h) lim xx0f(x) = (h R)( > 0)(x)(0 < x0 - x < f(x) > h) * a = -: lim xx0+ f(x) = - (h R)( > 0)(x)(0 < x - x0 < f(x) < h) lim xx0f(x) = - (h R)( > 0)(x)(0 < x0 - x < f(x) < h) 2.1.12 Věta Funkce f má v bodě x0 R limitu a R právě tehdy, když má v tomto bodě limitu zprava i zleva a platí lim xx0+ f(x) = lim xx0f(x) = a. D.: plyne přímo z definic limity a jednostranných limit a z faktu O(x0) \ {x0} = (x0 - , x0) (x0, x0 + ). 2.1.13 Poznámka I pro jednostranné limity platí analogie Heineovy podmínky 2.1.4: lim xx0+ f(x) = a pro každou {xn} takovou, že lim n xn = x0, xn > x0 platí lim n f(xn) = a, lim xx0f(x) = a pro každou {xn} takovou, že lim n xn = x0, xn < x0 platí lim n f(xn) = a. V důsledku toho i pro jednostranné limity platí 2.1.6, 2.1.7 a 2.1.8. 2.1.14 Příklad lim x0 ex - 1 x = 1. Ř.: * Podle 1.3.10 posloupnost 1 + 1 n n je rostoucí a její limita je e, takže podle 1.3.9 pro každé n N 1 + 1 n n < e . * Vyšetříme lim x0+ ex - 1 x : Buďte x (0, 1 2 ), n = 1 x , tedy 1 n + 1 < x 1 n . Podle 1.3.10 a prvního kroku řešení je 1 + 1 n + 1 n+1 < e < 1 + 1 n - 1 n a tedy podle 1.4.19.3 je ex e 1 n < 1 + 1 n - 1 , ex > e 1 n+1 > 1 + 1 n + 1 . Poněvadž n 1 x , jest n + 1 1 x + 1 = 1 + x x , tedy x 1 + x 1 n + 1 . 44 Poněvadž n + 1 > 1 x , jest n - 1 > 1 x - 2 = 1 - 2x x , tedy x 1 - 2x > 1 n - 1 . Celkem 1 + x 1 + x < ex < 1 + x 1 - 2x x 1 + x < ex - 1 < x 1 - 2x 1 1 + x < ex - 1 x < 1 1 - 2x a podle 2.1.7.5 je lim x0+ ex - 1 x = 1. * Vyšetříme lim x0- ex - 1 x : Buď x (- 1 2 , 0) Položíme y = -x. Pak y (0, 1 2 ) a s využitím předchozího kroku dostaneme 1 + y 1 + y < ey < 1 + y 1 - 2y 1 + 2y 1 + y < ey < 1 - y 1 - 2y 1 - 2y 1 - y < e-y < 1 + y 1 + 2y 1 + 2x 1 + x < ex < 1 - x 1 - 2x x 1 + x < ex - 1 < x 1 - 2x 1 1 + x > ex - 1 x > 1 1 - 2x a podle 2.1.7.5 je lim x0- ex - 1 x = 1. Nyní lim x0 ex - 1 x = 1 podle 2.1.12. 2.1.15 Věta Nechť funkce f je monotonní v nějakém levém (resp. pravém) ryzím okolí bodu x0 R . Pak existuje lim xx0- f(x) (resp. lim xx0+ f(x)). Podrobněji: 1. Nechť funkce f je neklesající v nějakém levém ryzím okolí L(x0) bodu x0 R {}. Je-li f shora ohraničená v L(x0), je lim xx0f(x) = sup{f(x) : x L(x0)}, není-li f shora ohraničená v L(x0), je lim xx0f(x) = . 2. Nechť funkce f je nerostoucí v nějakém levém ryzím okolí L(x0) bodu x0 R {}. Je-li f zdola ohraničená v L(x0), je lim xx0f(x) = inf{f(x) : x L(x0)}, není-li f zdola ohraničená v L(x0), je lim xx0f(x) = -. 3. Nechť funkce f je neklesající v nějakém pravém ryzím okolí P(x0) bodu x0 R {-}. Je-li f zdola ohraničená v P(x0), je lim xx0+ f(x) = inf{f(x) : x P(x0)}, není-li f zdola ohraničená v P(x0), je lim xx0+ f(x) = -. 45 4. Nechť funkce f je nerostoucí v nějakém pravém ryzím okolí P(x0) bodu x0 R {-}. Je-li f shora ohraničená v P(x0), je lim xx0+ f(x) = sup{f(x) : x P(x0)}, není-li f shora ohraničená v P(x0), je lim xx0+ f(x) = . D.: Provedeme pouze pro tvrzení 1. Důkazy ostatních lze provést analogicky. * Nechť x0 R a f je shora ohraničená v L(x0) = (x0 - , x0). Množina {f(x) : x L(x0)} je neprázdná a shora ohraničená, tedy podle 1.1.7 (R14) existuje sup{f(x) : x L(x0)} = a R. Buď > 0 libovolné. Podle 1.1.6 (s2 ) existuje x1 L(x0) takové, že f(x1) > a - . Položíme = x0 - x1. Pak je (x1, x0) = (x0 - , x0) L(x0). Poněvadž f je na L(x0) neklesající, pro každé x (x0 - , x0) platí f(x) f(x1) > a - . Poněvadž a = sup{f(x) : x L(x0)}, pro x (x0 - , x0) platí f(x) a. Celkem pro x (x0 - , x0) je a - < f(x) a, což znamená lim xx0f(x) = a. * Nechť x0 = a f je shora ohraničená v L(x0) = (, ). Zopakujeme úvahy z předchozího kroku s tím rozdílem, že nedefinujeme . Dojdeme k tomu, že pro x (x1, ) je a - < f(x) a. * Nechť x0 R a f není shora ohraničená v L(x0) = (x0 - , x0). Buď h R libovolné. Poněvadž f není shora ohraničená, v (x0 - , x0), existuje x1 (x0 - , x0) takové, že f(x1) > h. Položíme = x0 - x1. Poněvadž f je neklesající na (x0 - , x0), pro každé x (x0 - , x0) platí f(x) f(x1) > h, což znamená lim xx0f(x) = . * Nechť x0 = a f není shora ohraničená v L(x0) = (, ). Zopakujeme úvahy z předchozího kroku s tím rozdílem, že nedefinujeme . Pak pro x (x1, ) je f(x) > h. Poznámka: (Oboustranná) limita nemusí existovat. 2.1.16 Definice Řekneme, že a R je limitní bod funkce f pro x0 R , jestliže existuje posloupnost{xn} taková, že xn = x0 pro každé n N, lim n xn = x0 a lim n f(xn) = a. Označme (f, x0) množinu limitních bodů funkce f pro x0 R . Je-li funkce f ohraničená shora v nějakém okolí bodu x0 R a (f, x0) = , klademe lim sup xx0 f(x) = sup (f, x0). Je-li funkce f ohraničená shora v nějakém okolí bodu x0 R a (f, x0) = , klademe lim sup xx0 f(x) = -. Není-li funkce f ohraničená shora v každém okolí bodu x0 R , klademe lim sup xx0 f(x) = . Je-li funkce f ohraničená zdola v nějakém okolí bodu x0 R a (f, x0) = , klademe lim inf xx0 f(x) = inf (f, x0). Je-li funkce f ohraničená zdola v nějakém okolí bodu x0 R a (f, x0) = , klademe lim inf xx0 f(x) = . Není-li funkce f ohraničená zdola v každém okolí bodu x0 R , klademe lim inf xx0 f(x) = -. Snadno ověříme, že lim sup xx0 f(x) = lim xx0 (sup{f() : 0 < |x0 - | < |x0 - x|}) lim inf xx0 f(x) = lim xx0 (inf{f() : 0 < |x0 - | < |x0 - x|}). Jestliže lim xx0 f(x) = a R , pak a je limitním bodem funkce f pro x0 R . Zřejmým způsobem lze zavést pravé a levé limitní body a lim sup xx0+ f(x), lim sup xx0f(x), lim inf xx0+ f(x), lim inf xx0- f(x). Přímo z definice plyne 46 2.1.17 Věta lim inf xx0 f(x) lim sup xx0 f(x). Rovnost nastane právě tehdy, když existuje vlastní nebo nevlastní lim xx0 f(x). 2.2 Spojité funkce 2.2.1 Definice Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0 R, jestliže lim xx0 f(x) = f(x0). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0 R zprava (resp. zleva), jestliže lim xx0+ f(x) = f(x0) (resp. lim xx0f(x) = f(x0)). 2.2.2 Poznámky 1. Z definice 2.2.1 bezprostředně plyne: Funkce f je spojitá v bodě x0 R právě tehdy, když ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každé x (x0 - , x0 + ) platí |f(x) - f(x0)| < . 2. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 R, pak je v nějakém okolí tohoto bodu ohraničená. 3. Spojitost je definována pouze v bodech z R. Nelze definovat spojitost v nevlastním bodě. 4. Spojitost funkce je lokální vlastností této funkce. 2.2.3 Terminologická poznámka Není-li funkce f spojitá v bodě x0 R a je při tom definovaná na nějakém okolí (případně ryzím okolí) bodu x0, mohou nastat možnosti: A) lim xx0 f(x) neexistuje A1) lim xx0+ f(x), lim xx0f(x) existují a jsou reálné různé -- bod nespojitosti 1. druhu (Např.: f(x) = [x], x0 = 1) A2) Alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje -- bod nespojitosti 2. druhu (Např.: f(x) = sin 1 x , x0 = 0; (x), x0 libovolné) A3) lim xx0+ f(x), lim xx0f(x) existují, jsou různé a alespoň jedna z nich je nevlastní (Např.: f(x) = tg(x), x0 = 2 ) B) lim xx0 f(x) = a R , a = f(x0) B1) lim xx0 f(x) je nevlastní (Např.: f(x) = 1 x2 , x0 = 0) B2) lim xx0 f(x) = a R a f(x0) = a nebo x0 Dom f -- bod odstranitelné nespojitosti Nespojitost lze odstranit změnou f(x0) nebo dodefinováním f(x0): ~f(x) = f(x), x Dom f \ {x0} lim xx0 f(x), x = x0 . (Např.: f(x) = x2 , x = 0 1, x = 0 , x0 = 0, g(x) = x - 1 x2 - 1 , x0 = 1 Nespojitost odstraníme definováním ~f(0) = 0, ~g(1) = 1 2 ) 2.2.4 Věta Funkce f je spojitá v bodě x0 R právě tehdy, když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva. D.: plyne z 2.1.12. 47 2.2.5 Věta Funkce f je spojitá v bodě x0 R právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn} n=1 takovou, že lim n xn = x0 platí lim n f(xn) = f(x0). Funkce f je spojitá v bodě x0 R zprava (resp. zleva) právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn} n=1 takovou, že xn x0 (resp. xn x0) a lim n xn = x0 platí lim n f(xn) = f(x0). D.: plyne z 2.1.4 a 2.1.13. 2.2.6 Věta Jsou-li funkce f a g spojité v bodě x0 R, pak jsou také funkce |f|, f + g, f - g, fg spojité v bodě x0. Je-li navíc g(x0) = 0, je i funkce f g spojitá v bodě x0. D.: plyne z 2.1.7.4 2.2.7 Věta Nechť funkce je spojitá v bodě x0 a funkce f je spojitá v bodě (x0). Pak je také funkce x f((x)) spojitá v bodě x0. D.: Buď > 0 libovolné. K němu existuje > 0 takové, že pro y ((x0) - , (x0) + ) platí |f(y) - f((x0))| < . K > 0 existuje > 0 takové, že pro x (x0 - , x0 + ) platí |(x) - (x0)| < . Tedy pro x (x0 - , x0 + ) je |f((x)) - f((x0))| < , což znamená lim xx0 f((x)) = f((x0)). Tato věta není důledkem 2.1.8, neboť má jiné předpoklady. 2.2.8 Definice Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I Dom f, jestliže platí (i) f je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I. (ii) Patří-li levý (resp. pravý) krajní bod intervalu I do tohoto intervalu, pak je v něm funkce f spojitá zprava (resp. zleva). Zejména: Funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] právě tehdy, když je spojitá v každém bodě intervalu (a, b), v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Spojitost na intervalu je globální vlastnost. 2.2.9 Věta Nechť funkce f je spojitá a ryze monotonní na intervalu I1 a zobrazuje tento interval na interval I2. Pak funkce inversní f-1 je spojitá na intervalu I2. D.: Nechť f je rostoucí na I1, y0 I2, y0 není levý koncový bod I2. Ukážeme, že f-1 je spojitá zleva v bodě y0 = f(x0): Buď > 0 libovolné takové, že x0 - I1. Pak f(x0 - ) < f(x0). Označme = f(x0) - f(x0 - ) > 0. Buď y (y0 - , y0] libovolný. Poněvadž podle 1.2.17 je f-1 rostoucí, je f-1 (y0 - ) < f-1 (y). f-1 (y0 - ) = f-1 (f(x0) - f(x0) + f(x0 - )) = x0 - , tedy x0 - = f-1 (y0) - < f-1 (y), neboli f-1 (y0) - f-1 (y) < . Ostatní možnosti rozebereme analogicky. Z této věty, z 2.2.6, 2.2.7 a z 2.1.9 bezprostředně plyne 48 2.2.10 Důsledek Elementární funkce jsou spojité na svém definičním oboru. 2.2.11 Věta (1. Weierstrassova [1815 ­ 1897]) Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená. D.: Sporem. Připusťme, že funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] není ohraničená shora. Pak ke každému n N existuje xn [a, b] takové, že f(xn) > n. Takto definovaná posloupnost {xn} n=1 je ohraničená (a xn b) a tedy podle 1.3.19.1 existuje posloupnost {xnk } k=1 z ní vybraná a taková, že lim k xnk = x0. Poněvadž a xnk b, podle 1.3.5.1 je a x0 b, neboli x0 [a, b]. Poněvadž f je spojitá (případně jednostranně spojitá), podle 2.2.5 je lim k f(xnk ) = f(x0) R. Současně ale f(xnk ) > nk, lim k nk = , a tedy podle 1.3.5.1 a poznámky za 1.3.11 je lim k f(xnk ) = . To je spor. Analogicky vyloučíme možnost, že by funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] nebyla ohraničená zdola. Poznámka: Oba předpoklady jsou podstatné. 2.2.12 Věta (2. Weierstrassova [1815 ­ 1897]) Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu své největší i nejmenší hodnoty. D.: Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Podle 2.2.11 je na tomto intervalu ohraničená a tedy existuje m = sup{f(x) : x [a, b]}. Ukážeme, že existuje x1 [a, b], že f(x1) = m. Připusťme, že f(x) < m pro každé x [a, b]. Pak m-f(x) > 0 a tedy podle 2.2.6 je funkce x 1 m - f(x) spojitá. Podle 2.2.11 existuje K R, že 1 m - f(x) < K pro každé x [a, b]. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že K > 0. Tedy f(x) < m - 1 K . Podle 1.1.6 (s2 ) existuje x0 [a, b], že f(x0) m - 1 K , neboli m - f(x0) 1 K , K 1 m - f(x0) , což je spor. Analogicky ukážeme, že existuje x2 [a, b], že x2 = inf{f(x) : x [a, b]}. 2.2.13 Věta (1. Bolzanova [1781 ­ 1848]) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] a nechť platí f(a)f(b) < 0. Pak existuje c (a, b), že f(c) = 0. D.: Položme d = b - a 2 . Pak d (a, b). Pokud f(d) = 0, je c = d. Nechť f(d) = 0. Jestliže f(a)f(d) < 0, položme a1 = a, b1 = d; jestliže f(a)f(d) > 0, položme a1 = d, b1 = b. Jest b1 - a1 = b - a 2 , f(a)f(b1) < 0, f(a1)f(b) < 0, a1 a, b1 b. Dále položme d1 = b1 - a1 2 . Pak d1 (a1, b1) (a, b). Pokud f(d1) = 0, je c = d1. Nechť f(d1) = 0. Jestliže f(a1)f(d1) < 0, položme a2 = a1, b2 = d1; jestliže f(a1)f(d1) > 0, položme a2 = d1, b2 = b1. Jest b2 - a2 = b - a 22 , f(a)f(b2) < 0, f(a2)f(b) < 0, a2 a1, b2 b1. Analogicky postupujeme dále. Buď po konečném počtu kroků nalezneme dk takové, že f(dk) = 0, nebo dostaneme dvě posloupnosti {an}, {bn} takové, že bn - an = b - a 2n , f(a)f(bn) < 0, f(an)f(b) < 0. V prvním případě je c = dk. Nechť nastane druhý případ. 49 {an} je neklesající, ohraničená shora číslem b a tedy podle 1.3.9 existuje c1 = lim n an b. {bn} je nerostoucí, ohraničená zdola číslem a a tedy existuje c2 = lim n bn a. Platí c1 - c2 = lim n an - lim n bn = lim n (an - bn) = lim n a - b 2n = 0, tedy c1 = c2 = c [a, b]. Kdyby f(a)f(c) < 0 a f(c)f(b) < 0, pak by f(a)f(c)f(c)f(b) > 0, neboli f(a)f(b) > 0, což by byl spor. Pokud f(a)f(c) 0, pak podle 1.3.5.1 je 0 f(a) lim f(bn) = lim f(a)f(bn) 0, tedy f(a)f(c) = 0, což je možné jen tak, že f(c) = 0. Pokud f(c)f(b) 0, pak 0 (lim f(an))f(b) = lim f(an)f(b) 0, tedy f(c)f(b) = 0, což je možné jen tak, že f(c) = 0. 2.2.14 Důsledek (Speciální případ Brouwerovy [1881 ­ 1966] věty o pevném bodě) Buď f spojitá funkce zobrazující uzavřený interval [a, b] do sebe. Pak existuje c [a, b] takové, že f(c) = c. D.: Platí f(a) a, f(b) b. Pokud f(a) = a, položíme c = a, pokud f(b) = b, položíme c = b. Nechť f(a) > a, f(b) < b. Definujme funkci g předpisem g(x) = x - f(x). Funkce g je spojitá na [a, b], g(a) < 0, g(b) > 0, takže podle 2.2.13 existuje c (a, b) takové, že g(c) = c - f(c) = 0. 2.2.15 Věta (2. Bolzanova [1781 ­ 1848]) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak na tomto intervalu nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. D.: Buďte M = max{f(x) : x [a, b]}, m = min{f(x) : x [a, b]}, p R takové, že m < p < M. Podle 2.2.12 existují x1 [a, b], x2 [a, b] takové, že f(x1) = M, f(x2) = n. f(x1)-p > 0, f(x2)-p < 0, tedy (f(x1)-p)(f(x2)-p) < 0. Podle 2.2.13 existuje v uzavřeném intervalu s krajními body x1 a x2 číslo c takové, že 0 = (f - p)(c) = f(c) - p, tedy f(c) = p. 2.2.16 Důsledek Spojitým obrazem uzavřeného intervalu je buď jednoprvková množina nebo uzavřený interval. 2.2.17 Poznámka Nyní můžeme dokázat tvrzení uvedené za 1.4.19: Je-li a R, a > 0, a = 1, f(x) = ax , pak Im f = (0, ). D.: Nechť a > 1. Vzhledem k 1.4.19.1 stačí ukázat, že (0, ) Im f. Buď tedy y0 (0, ) libovolné. Poněvadž lim n an = , lim n a-n = 0, existují n1, n2 N, že a-n1 < y0 < an2 . Funkce f(x) = ax je podle 2.2.10 spojitá na (-, ), je tedy spojitá na uzavřeném intervalu [-n1, n2]. Podle 1.4.19.3 je f(-n1) = a-n1 < y0 < an2 = f(n2) a tedy podle 2.2.15 existuje x0 [-n1, n2] takové, že f(x0) = y0. To znamená, že y0 Im f. Platnost tvrzení dokážeme analogicky i v případě 0 < a < 1. 2.2.18 Definice Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá na intervalu I Dom f, jestliže ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každá dvě x1, x2 I taková, že |x1 - x2| < platí |f(x1) - f(x2)| < . 2.2.19 Poznámky 1. Stejnoměrně spojitá funkce na intervalu je na tomto intervalu spojitá. Spojitá funkce na intervalu nemusí být na tomto intervalu spojitá stejnoměrně. 2. Stejnoměrná spojitost je globální vlastnost. 50 3. Nechť funkce f je stejnoměrně spojitá na otevřeném intervalu (a, b). Podle 2.1.6 existují lim xa+ f(x) R, lim xbf(x) R. Funkce ~f zadaná předpisem ~f(x) = lim xa+ f(x), x = a f(x), x (a, b) lim xbf(x), x = b je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. (Funkci stejnoměrně spojitou na otevřeném intervalu lze spojitě prodloužit na krajní body tohoto inter- valu.) 4. Funkce stejnoměrně spojitá na libovolném intervalu je na tomto intervalu ohraničená. D.: Plyne z předchozího tvrzení a 2.2.12. 2.2.20 Věta (Heine [1821 ­ 1881] - Cantor [1845 ­ 1918]) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak je na tomto intervalu spojitá stejnoměrně. D.: Sporem: Připusťme, že f je spojitá na [a, b] nikoliv stejnoměrně. Existuje tedy 0 > 0 takové, že ke každému > 0 existuje dvojice bodů x, y [a, b], že |x - y| < a zároveň |f(x) - f(y)| 0. Zejména tedy pro = 1 n existují xn, yn [a, b], že |xn - yn| < 1 n a |f(xn) - f(yn)| 0. Posloupnost {xn} je ohraničená a tedy podle 1.3.19.2 existuje posloupnost {xnk } vybraná z {xn} taková, že lim k xnk = x0 [a, b]. Dále podle 1.3.5.1 lim k |xnk - ynk | lim k 1 nk = 0, tedy lim k |xnk - ynk | = 0, což znamená lim k ynk = x0. Poněvadž f je spojitá v x0, je lim k f(xnk ) = f(x0) = lim k f(ynk ). To je spor s |f(xnk ) - f(ynk )| 0. 2.3 Derivace 2.3.1 Definice Nechť f je funkce a x0 R. Existuje-li vlastní limita lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 , nazýváme ji derivace funkce f v bodě x0 a označujeme ji f (x0). Je-li tato limita nevlastní, řekneme, že funkce f má v bodě x0 nevlastní derivaci. Neexistuje-li tato limita, řekneme, že funkce f nemá derivaci v bodě x0. 2.3.2 Poznámky 1. Má-li funkce f derivaci v bodě x0, pak je v tomto bodě a nějakém jeho okolí definována. (Existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že O(x0) Dom f.) (Viz 2.1.2.1) 2. Funkce f má v libovolném bodě x0 Dom f nejvýše jednu derivaci. (Viz 2.1.7.1) 3. Derivace je definována pouze v x0 R. Nelze definovat derivaci v nebo -. 4. Existence a hodnota derivace f (x0) je lokální vlastností funkce f v bodě x0. 5. Označíme-li x = x0 + h, lze v definici 2.3.1 psát lim h0 f(x0 + h) - f(x0) h místo lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 . 6. Lze definovat i jednostranné derivace funkce f v bodě x0: Derivace zleva f-(x0) = lim xx0f(x) - f(x0) x - x0 = lim h0+ f(x0) - f(x0 - h) h Derivace zprava f+(x0) = lim xx0+ f(x) - f(x0) x - x0 = lim h0+ f(x0 + h) - f(x0) h . Funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, když v něm má derivaci zprava a derivaci zleva a platí f+(x0) = f-(x0). (Viz 2.1.12) 51 7. Nechť (x, y) R2 : y = f(x) vyjadřuje křivku v rovině (s kartézskými souřadnicemi). Rovnice tečny k této křivce v bodě (x0, f(x0)) = (x0, y0) je y - y0 = f (x0)(x - x0) , rovnice normály v témže bodě je y - y0 = - 1 f (x0) (x - x0) . 2.3.3 Věta Má-li funkce f v bodě x0 Dom f derivaci, je v tomto bodě spojitá. D.: Nechť f (x0) existuje. Pak lim xx0 f(x) = lim xx0 (f(x) - f(x0) + f(x0)) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 (x - x0) + f(x0) = = f (x0) lim xx0 (x - x0) + f(x0) = f (x0) 0 + f(x0) = f(x0) , a tvrzení plyne přímo z definice 2.2.1. 2.3.4 Poznámky 1. Opačné tvrzení neplatí. Funkce spojitá v bodě x0 nemusí mít v tomto bodě derivaci. Například pro f(x) = |x| je f+(x0) = lim x0+ |x| - |0| x - 0 = lim x0+ x x = 1 , f-(x0) = lim x0|x| - |0| x - 0 = lim x0- -x x = -1 . 2. Analogicky platí: Má-li funkce f v bodě x0 Dom f derivaci zprava (resp. zleva), pak je v tomto bodě spojitá zprava (resp. zleva). 2.3.5 Věta Nechť funkce f, g mají derivaci v bodě x0 Dom f Dom g. Pak platí: 1. Pro každé c R je (cf) (x0) = cf (x0). 2. (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0), (f - g) (x0) = f (x0) - g (x0). 3. (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0). 4. Je-li g(x0) = 0, pak f g (x0) = f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0) g2(x0) . Analogická tvrzení platí i o jednostranných derivacích. D.: 1. lim xx0 cf(x) - cf(x0) x - x0 = c lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 = cf (x0). 2. lim xx0 f(x) g(x) - (f(x0) g(x0)) x - x0 = lim xx0 f(x) - f(x0) (g(x) - g(x0)) x - x0 = f (x0) g (x0). 3. lim xx0 f(x)g(x) - f(x0)g(x0) x - x0 = lim xx0 f(x)g(x) - f(x0)g(x) + f(x0)g(x) - f(x0)g(x0) x - x0 = = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 g(x) + f(x0) g(x) - g(x0) x - x0 = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0). (Poslední rovnost platí, poněvadž podle 2.3.3 je lim xx0 g(x) = g(x0).) 52 4. 1 g (x0) = lim xx0 1 g(x) - 1 g(x0) x - x0 = lim xx0 g(x0) - g(x) x - x0 1 g(x)g(x0) = g (x0) g2(x0) . Dokazovaný vztah nyní plyne z předchozího. Tvrzení věty lze stručně zapsat: (cu) = cu , (u v) = u v , (uv) = u v + uv , u v = u v - uv v2 . Matematickou indukcí lze tvrzení zobecnit: (c1f1 + c2f2 + + cnfn) (x0) = c1f1(x0) + c2f2(x0) + + cnfn(x0), (f1f2f3 fn-1fn) (x0) = f1(x0)f2(x0)f3(x0) fn-1(x0)fn(x0) + +f1(x0)f2(x0)f3(x0) fn-1(x0)fn(x0) + + +f1(x0)f2(x0)f3(x0) fn-1(x0)fn(x0). 2.3.6 Věta (o derivaci složené funkce) Nechť funkce f má derivaci v bodě u0 R a nechť funkce má derivaci v bodě x0 R takovém, že (x0) = u0. Pak složená funkce F : x f((x)) má derivaci v bodě x0 a platí F (x0) = f (u0) (x0) = f ((x0)) (x0). D.: F(x) - F(x0) x - x0 = f((x)) - f((x0)) (x) - (x0) (x) - (x0) x - x0 . Jestliže existuje ryzí O(x0) takové, že (x) = (x0) pro každé x O(x0), pak podle 2.1.8 je F (x0) = lim xx0 F(x) - F(x0) x - x0 = lim uu0 f(u) - f(u0) u - u0 lim xx0 (x) - (x0) x - x0 = f (u0) (x0) . Nechť v každém ryzím O(x0) \ {x0} existují body x takové, pro něž (x) = (x0). Ukážeme, že pak (x0) = 0 a také F (x0) = 0, tedy že platí dokazovaný vztah. Buď {xn} taková, že (xn) = (x0), xn = x0, xn x0. Pak podle 2.1.4 (x0) = lim xx0 (x) - (x0) x - x0 = lim n (xn) - (x0) xn - x0 = 0. Buď nyní {xn} libovolná taková, že xn = x0, xn x0. Označme A = {n N : (xn) = (x0)} , B = {n N : (xn) = (x0)} . Pro n A jest F(xn) - F(x0) xn - x0 = f((xn)) - f((x0)) xn - x0 = 0. Je-li B konečná, existuje n0 N, že pro n n0 je n A, tedy pro n n0 je F(xn) - F(x0) xn - x0 = 0, což znamená, že lim n F(xn) - F(x0) xn - x0 = 0. Je-li B nekonečná, existuje vybraná posloupnost {xnk } k=1 B. Dále lim k F(xnk ) - F(x0) xnk - x0 = lim k f((xnk )) - f((x0)) (xnk ) - (x0) (xnk ) - (x0) xnk - x0 = = f ((x0)) lim k (xnk ) - (x0) xnk - x0 = 0, neboť lim k (xnk ) = (x0), jelikož je spojitá v x0. Z 2.1.4 plyne F (x0) = 0. 2.3.7 Věta (o derivaci inversní funkce) Nechť funkce f je ryze monotonní a spojitá na intervalu J. Nechť y0 je vnitřní bod intervalu J a nechť funkce f má v tomto bodě derivaci f (y0) = 0. Pak funkce f-1 inversní k funkci f má derivaci v bodě x0 = f(y0) a platí (f-1 ) (x0) = 1 f (y0) . 53 D.: Poněvadž f je ryze monotonní, pro x = x0 platí y = f-1 (x) = f-1 (x0) = y0. Tedy podle 2.1.8 platí: lim xx0 f-1 (x) - f-1 (x0) x - x0 = lim xx0 1 x - x0 f-1(x) - f-1(x0) = lim xx0 1 f(f-1 (x)) - f(f-1 (x0)) f-1(x) - f-1(x0) = = lim yy0 1 f(y) - f(y0) y - y0 = 1 f (y0) . (Předposlední rovnost plyne ze spojitosti funkce f.) 2.3.8 Definice Buď M Dom f množina bodů, v nichž má funkce f derivaci. Pak zobrazení x0 f (x0) je funkcí s definičním oborem M. Tato funkce se nazývá derivace funkce f a označuje se f . 2.3.9 Přehled vzorců pro derivaci (1) pro každé c R je c = 0 (11) (arcsin x) = 1 1 - x2 (2) (xa ) = axa-1 (12) (arccos x) = - 1 1 - x2 (3) (ex ) = ex (13) (arctg x) = 1 1 + x2 (4) (ax ) = ax ln a (14) (arccotg x) = - 1 1 + x2 (5) (ln x) = 1 x (15) (cu) = cu (6) (loga x) = 1 x ln a (16) (u v) = u v (7) (sin x) = cos x (17) (uv) = u v + uv (8) (cos x) = - sin x (18) u v = u v - uv v2 (9) (tg x) = 1 cos2 x (19) (uv ) = uv v ln u + v u u (10) (cotg x) = - 1 sin2 x (20) (f((x)) = f ((x)) (x) D.: (1) lim xx0 c - c x - x0 = 0. (3) lim h0 ex0+h - ex0 h = ex0 lim h0 eh - 1 h a vzorec plyne z 2.1.14. (5) Podle 2.3.7 je (ln x) = 1 ey = 1 eln x = 1 x . (2) S využitím 2.3.6 dostaneme (xa ) = (ea ln x ) = ea ln x (a ln x) = xa a x = axa-1 . (4) (ax ) = (ex ln a ) = ex ln a (x ln a) = ax (x) ln a = ax ln a. (6) (loga x) = ln x ln a = 1 ln a (ln x) = 1 x ln a . (7) S využitím 2.1.9.9 dostaneme lim h0 sin(x + h) - sin x h = lim h0 sin x cos h + cos x sin h - sin x h = 54 = sin x lim h0 cos h - 1 h + cos x lim h0 sin h h = sin x lim h0 cos h - 1 h + cos x. Dále lim h0 cos h - 1 h = lim h0 cos2 h - 1 h(cos h + 1) = lim h0 - sin2 h h(cos h + 1) = - lim h0 sin h h lim h0 sin h cos h + 1 = 1 0 = 0. (8) (cos x) = (sin(x + 2 )) = cos(x + 2 ) 1 = - sin x. (9) (tg x) = sin x cos x = cos2 x + sin2 x cos2 x = 1 cos2 x . (10) (cotg x) = cos x sin x = - sin2 x - cos2 x sin2 x = - 1 sin2 x . (11) Podle 2.3.7 je (arcsin x) = 1 (sin y) = 1 cos y = 1 1 - sin2 y = 1 1 - x2 . (12) Podle 2.3.7 je (arccos x) = 1 (cos y) = - 1 sin y = - 1 1 - cos2 y = - 1 1 - x2 . (13) Podle 2.3.7 je (arctg x) = 1 (tg y) = 1 1 cos2 y = 1 sin2 y+cos2 y cos2 y = 1 tg2 y + 1 = 1 x2 + 1 . (14) Podle 2.3.7 je (arccotg x) = 1 (cotg y) = 1 - 1 sin2 y = 1 - sin2 y-cos2 y cos2 y = - 1 x2 + 1 . (15)-(18) 2.3.5 (19) (uv ) = ev ln u = ev ln u v ln u + v u u = uv v ln u + v u u . (20) 2.3.6 2.3.10 Příklady 1. y = arccos ax2 + 1 bx2 + 1 , a, b R, 0 < a < b. y = - 1 1 - ax2 + 1 bx2 + 1 1 2 bx2 + 1 ax2 + 1 2ax(bx2 + 1) - 2bx(ax2 + 1) (bx2 + 1)2 = = - (bx2 + 1)(abx3 + ax - abx3 - bx) bx2 - ax2 ax2 + 1 (bx2 + 1)2 = (a - b)x |x| b - a ax2 + 1 (bx2 + 1) = = sgn x b - a ax2 + 1 (bx2 + 1) . 2. y = x x = x 1 x = e 1 x ln x . y = x x - 1 x2 ln x + 1 x 1 x = x x x2 (1 - ln x) 3. Napište rovnici tečny a normály k hyperbole xy = 1 v bodě A = (1 2 , 2). y = 1 x , y = - 1 x2 , y (1 2 ) = -4. tečna: y - 2 = -4(x - 1 2 ) 2y - 4 = -8x + 4 4x + y - 4 = 0 normála: y - 2 = 1 4 (x - 1 2 ) 8y - 16 = 2x - 1 2x - 8y + 15 = 0 4. y = 3 x, x0 = 0. y = 1 3 1 3 x2 pro x = 0, lim x0 1 3 1 3 x2 = , derivace v bodě 0 je nevlastní. 55 5. y = 3 x2, x0 = 0. y = 2 3 1 3 x , y+(0) = lim x0+ 2 3 1 3 x = + y-(0) = lim x0- 2 3 1 3 x = Funkce tedy nemá v bodě 0 derivaci ani nevlastní derivaci. 6. y = sgn x, x0 = 0 (sgn x)x=0 = lim x0 sgn x - sgn 0 x - 0 = lim x0 sgn x x = Pro nevlastní derivaci neplatí tvrzení věty 2.3.3. (Proto také nevlastní derivaci nepovažujeme za derivaci.) 2.4 Derivace vyšších řádů, diferenciál 2.4.1 Definice Buď f funkce, která má derivaci na množině M1 Dom f a buď x0 M1. Má-li funkce f derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci druhou derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji f (x0). Obecně: Buď f funkce, která má na množině Mn-1 Dom f (n - 1)-tou derivaci f(n-1) a buď x0 Mn-1. Má-li funkce f(n-1) derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci n-tou derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji f(n) (x0). 2.4.2 Vzorce pro n-tou derivaci (1) (xa ) (n) = a(a - 1) (a - n + 1)xa-n (2) (ex ) (n) = ex (3) (ax ) (n) = ax lnn a (4) (ln x)(n) = (-1)n-1 (n - 1)! xn (5) (sin x)(n) = sin x + n 2 (6) (cos x)(n) = cos x + n 2 (7) (uv)(n) = n 0 u(n) v + n 1 u(n-1) v + + n n - 1 u v(n-1) + n n uv(n) = = n i=0 n i u(n-i) v(i) (Leibnizova formule) D.: Ve všech případech matematickou indukcí. První krok indukce vždy bezprostředně plyne z 2.3.9. Ukážeme indukční krok. (1) (xa )(n) = (xa )(n-1) = a(a - 1) (a - n + 2)xa-n+1 = a(a - 1) (a - n + 2) xa-n+1 = = a(a - 1) (a - n + 2)(a - n + 1)xa-n (2) (ex )(n) = (ex )(n-1) = (ex ) = ex (3) (ax ) (n) = (ax )(n-1) = ax lnn-1 a = (ax ) lnn-1 a = (ax ln a) lnn-1 a = ax lnn a (4) (ln x)(n) = (ln x)(n-1) = (-1)n-2 (n - 2)! xn-1 = (-1)n-2 (n - 2)! (-n + 1) xn = (-1)n-1 (n - 1)! xn (5) (sin x)(n) = (sin x)(n-1) = sin x + (n - 1) 2 = cos x + (n - 1) 2 = sin x + n 2 (6) Analogicky jako (5) (7) (uv)(n) = (uv)(n-1) = n-1 i=0 n - 1 i u(n-1-i) v(i) = = n-1 i=0 n - 1 i u(n-i) v(i) + u(n-1-i) v(i+1) = = n-1 i=0 n - 1 i u(n-i) v(i) + n i=1 n - 1 i - 1 u(n-i) v(i) = 56 = n - 1 0 u(n) v + n-1 i=1 n - 1 i + n - 1 i - 1 u(n-i) v(i) + n - 1 n - 1 uv(n) = = u(n) v + n-1 i=1 n i u(n-i) v(i) + uv(n) = n i=0 n i u(n-i) v(i) 2.4.3 Definice Buď f funkce definovaná v nějakém okolí bodu x0 R. Řekneme, že tato funkce je diferencovatelná v bodě x0, jestliže existuje R, > 0 takové, že (x0 - , x0 + ) Dom f, a existuje funkce : (x0 - , x0 + ) R taková, že lim h0 (h) = 0 a existuje a R takové, že pro h R, |h| < je f(x0 + h) - f(x0) = ah + h(h). V tomto případě se lineární funkce h ah nazývá diferenciál funkce f v bodě x0 a značí se df(x0). 2.4.4 Poznámky 1. Vyjádření f(x0 + h) - f(x0) = ah + h(h) je možné při libovolném a R. Stačí položit (h) = f(x0 + h) - f(x0) - ah h . Podstatné je však volit a tak, aby lim h0 (h) = 0. 2. Rozdíl f(x0 + h) - f(x0) se nazývá přírůstek funkce f v bodě x0 při přírůstku h nezávisle proměnné a značí se f(x0)(h), stručně f(x0). Pro diferencovatelnou funkci platí f(x0)(h) = df(x0)(h) + h(h). 2.4.5 Věta Funkce f je diferencovatelná v bodě x0 R právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci. V tomto případě a = f (x0). D.: : f (x0) = lim h0 f(x0 + h) - f(x0) h = lim h0 (a + (h)) = a + lim h0 (h) = a. : Nechť f má derivaci v bodě x0. Položme a = f (x0), (h) = f(x0 + h) - f(x0) - f (x0)h h . Pak lim h0 (h) = lim h0 f(x0 + h) - f(x0) h - f (x0) = f (x0) - f (x0) = 0. Platí tedy df(x0)(h) = f (x0) h, df(x0)(h) h = f (x0); stručně df(x0) h = f (x0) Z tohoto vyjádření plyne geometrická interpretace diferenciálu: Diferenciál je přírůstek funkce naměřený na tečně, tedy f(x0) df(x0). Toho lze využít k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Například: Výpočet 4.02. f(x) = x, x0 = 4, h = 0.02, f(x0) = 4 = 2 f (x) = 1 2 x , f (4) = 1 2 4 = 1 4 , df(4) = f (4) h = 0.02 4 = 0.005 f(x0 +h) = f(x0)+f(x0) f(x0)+df(x0) = 2+0.005 = 2.005 (Přesná hodnota je 2.00499) Je-li f(x) = x, pak f (x0) = 1 pro každé x0 R, df(x0)(h) = h, stručně dx = h. Lze tedy psát df(x0) = f (x0)dx, neboli f (x0) = df(x0) dx , stručně f = df dx . Je-li y = f(x), lze psát y = dy dx . Za použití této symboliky dostanou názorný tvar vzorce pro 57 ˇ derivaci složené funkce: df dx = df d d dx . * derivaci inversní funkce: df-1 dy = 1 df dx = dx df , neboli dx dy = 1 dy dx . 2.4.6 Poznámka -- zavedení diferenciálů vyšších řádů Nechť funkce f má v bodě x0 n-tou derivaci f(n) (x0), n 1. n-tý diferenciál (diferenciál n-tého řádu) definujeme jako zobrazení dn f(x0) : h f(n) (x0) hn , symbolicky dn f(x0) = f(n) (x0)dxn . Za použití této symboliky lze n-tou derivaci zapsat f(n) (x) = dn f(x) dxn = dn y dxn . 2.5 Obecné věty o derivaci 2.5.1 Věta (Rolle [1652 ­ 1719]) Nechť funkce f splňuje předpoklady: (i) je spojitá na [a, b], (ii) v každém bodě intervalu (a, b) má vlastní nebo nevlastní derivaci, (iii) f(a) = f(b). Pak existuje c (a, b) takové, že platí f (c) = 0. D.: Je-li f konstantní, lze podle 2.3.9.1 za c vzít libovolný bod z (a, b). Nechť f není konstantní. Podle 2.2.12 existuje c (a, b) takové, že f(c) = max{f(x) : x [a, b]}. Nechť nejprve f(c) > f(a) = f(b). Podle (ii) existuje f (c) R . Připusťme f (c) > 0, tedy lim xc f(x) - f(c) x - c > 0. Existuje ryzí okolí O(c) \ {c} takové, že pro x O(c) \ {c} je f(x) - f(c) x - c > 0. Zvolme x1 [a, b] (O(c) \ {c}), x1 > c. Pak x1 - c > 0, f(x1) - f(c) 0, tedy f(x) - f(c) x - c 0, což je spor. Analogicky vyloučíme možnost f (c) < 0. Je tedy f (c) = 0. Pokud f(a) = f(b) = max{f(x) : x [a, b]}, položíme c = min{f(x) : x [a, b]} a provedeme analogické úvahy. Z důkazu plyne, že za c lze volit bod, v němž nabývá funkce f své extrémní hodnoty. Neplyne z něho, že jiné body s vlastností f (c) = 0 neexistují. Všechny tři předpoklady věty jsou podstatné. 2.5.2 Důsledek Buď f funkce spojitá na intervalu J, která má na tomto intervalu n-tou derivaci. Má-li f na J n kořenů (t.j. existují x0, x1, . . . , xn J, že f(x0) = f(x1) = = f(xn) = 0), pak existuje c J takové, že f(n) (c) = 0. D.: Volme označení tak, že x0 < x1 < < xn. Na intervalech [xi, xi+1] J, i = 0, 1, 2, . . . , n - 1 splňuje f předpoklady Rolleovy věty. Existují tedy c1 i (xi, xi+1) J, i = 0, 1, 2, . . . , n - 1 taková, že f (c1 i ) = 0. Na intervalech [c1 i , c1 i+1] J, i = 0, 1, 2, . . . , n - 2 splňuje f předpoklady Rolleovy věty. Existují tedy c2 i (c1 i , c1 i+1) J, i = 0, 1, 2, . . . , n - 2 taková, že f (c2 i ) = 0. Analogicky postupujeme dále. V n - 1-ním kroku ukážeme, že existují cn-1 0 , cn-1 1 J taková, že f(n-1) (cn-1 0 ) = f(n-1) (cn-1 1 ) = 0. Na intervalu [cn-1 0 , cn-1 1 ] splňuje tedy f(n-1) předpoklady Rolleovy věty a tedy existuje c (cn-1 0 , cn-1 1 ) J takové, že f(n) (c) = 0. 58 2.5.3 Věta (Lagrange [1736 ­ 1813], 1. věta o střední hodnotě, věta o přírůstku funkce) Nechť funkce f splňuje předpoklady: (i) je spojitá na [a, b], (ii) v každém bodě intervalu (a, b) má vlastní nebo nevlastní derivaci. Pak existuje c (a, b) takové, že platí f (c) = f(b) - f(a) b - a . D.: Položme F(x) = (b - a)f(x) - (f(b) - f(a))x. Funkce F splňuje předpoklady 2.5.1: (i): plyne z 2.2.6 (ii): plyne z 2.3.9(2) a 2.3.5. (iii): F(a) = (b - a)f(a) - (f(b) - f(a))a = f(a)(b - a + a) - f(b)a = bf(a) - af(b) F(b) = (b - a)f(b) - (f(b) - f(a))b = f(b)(b - a - b) + f(a)b = bf(a) - af(b) Existuje tedy c (a, b), že F (c) = 0. F (x) = (b-a)f (x)-(f(b)-f(a)), 0 = F (c) = (b-a)f (c)-(f(b)-f(a)), z čehož f (c) = f(b) - f(a) b - a . 2.5.4 Důsledky 1. Splňuje-li funkce f na intervalu [a, b] předpoklady 2.5.3, pak pro libovolná x1, x2 [a, b], x1 = x2 existuje mezi x1 a x2 tak, že platí f () = f(x2) - f(x1) x2 - x1 , neboli f(x2) - f(x1) = f ()(x2 - x1). f(x2) - f(x1) -- přírůstek funkce f mezi body x1, x2. Odtud je odvozen jeden z názvů věty. 2. Nechť funkce f je spojitá na [a, b] a nechť pro každé x (a, b) je f (x) = 0. Pak je f konstatntní na [a, b]. D.: Buďte x1, x2 [a, b] libovolné. Pak podle předchozího f(x2) = f ()(x2 - x1) + f(x1) = f(x1). 3. Nechť funkce f, g jsou spojité na [a, b]. Mají-li f, g vlastní nebo nevlastní derivaci na [a, b] a platí-li f (x) = g (x) pro každé x (a, b), pak existuje c R taková konstanta, že f(x) = g(x) + c identicky na [a, b]. D.: Položme h(x) = f(x) - g(x). Pak h (x) = f (x) - g (x) = 0 a podle předchozího h(x) = c. 2.5.5 Věta (Cauchy [1789 ­ 1857], 2. věta o střední hodnotě, věta o podílu přírůstků funkce) Nechť funkce f, g splňují předpoklady: (i) jsou spojité na [a, b], (ii) v každém bodě intervalu (a, b) existuje vlastní nebo nevlastní derivace f (x) a vlastní derivace g (x) = 0. Pak existuje c (a, b) takové, že platí f(b) - f(a) g(b) - g(a) = f (c) g (c) . D.: g splňuje předpoklady 2.5.3, existuje tedy d (a, b) takové, že g(b) - g(a) b - a = g (d) = 0, z čehož plyne g(b) - g(a) = 0, takže zlomek na levé straně tvrzení věty má smysl. Položme F(x) = (g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x). Přímo ověříme, že tato funkce splňuje předpoklady 2.5.1. Existuje tedy c (a, b) takové, že F (c) = 0. Tedy 0 = (g(b) - g(a))f (c) - (f(b) - f(a))g (c), z čehož plyne tvrzení. 59 x = g(t) y = f(t) t [a, b] -- parametrické vyjádření nějaké křivky. f(b) - f(a) g(b) - g(a) -- směrnice sečny, vedené body A = (g(a), f(a)), B = (g(b), f(b)). y = f(g-1 (x)), y = f (g-1 (x)) g (t) = f (t) g (t) , tedy f (c) g (c) je směrnice tečny v bodě C = (g(c), f(c)). Z důkazu Lagrangeovy věty je vidět, že Lagrangeova věta je důsledkem Rolleovy věty. Z důkazu Cauchyovy věty je vidět, že Cauchyova věta je důsledkem současně Rolleovy a Lagrangeovy věty. Bezprostředně je ale vidět, že Lagrangeova věta je důsledkem Cauchyovy věty a Rolleova věta je důsledkem Lagrangeovy věty. Všechny tři věty jsou tedy ekvivalentní. 2.5.6 Věta (Johann Bernoulli [1667 ­ 1748], de l'Hospitalovo pravidlo [1696]) Nechť f, g jsou funkce, x0 R a nechť lim xx0 f(x) = lim xx0 g(x) = 0 nebo lim xx0 |g(x)| = . Existuje-li lim xx0 f (x) g (x) R , existuje i lim xx0 f(x) g(x) a platí lim xx0 f(x) g(x) = lim xx0 f (x) g (x) . Stejné tvrzení platí i pro jednostranné limity. Je-li lim xx0 f(x) = lim xx0 g(x) = 0 a funkce f g je spojitá v bodě x0 R, důkaz je snadný: lim xx0 f (x) g (x) = f (x0) g (x0) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 lim xx0 g(x) - g(x0) x - x0 = lim xx0 f(x) - f(x0) g(x) - g(x0) = lim xx0 f(x) - 0 g(x) - 0 = lim xx0 f(x) g(x) . Důkazy de l'Hospitalova pravidla v ostatních případech lze nalézt v literatuře. Poznámka: Jestliže lim xx0 f(x) = lim xx0 g(x) = 0 nebo lim xx0 |g(x)| = a lim xx0 f (x) g (x) neexistuje, nelze z toho usuzovat nic o existenci a hodnotě lim xx0 f(x) g(x) . Například lim x x - sin x x - cos x = lim x 1 - sin x x 1 - cos x x = 1 - 0 1 - 0 = 1, ale lim x (x - sin x) (x - cos x) = lim x 1 - cos x 1 + sin x neexistuje. 2.5.7 Zobecnění: Nechť n N a nechť pro k {1, 2, . . . , n - 1} platí lim xx0 f(k) (x) = lim xx0 g(k) (x) = 0 nebo lim xx0 |g(k) (x)| = . Existuje-li lim xx0 f(n) (x) g(n)(x) , existuje i lim xx0 f(x) g(x) a obě limity jsou shodné. Jinými slovy: de l'Hospitalovo pravidlo lze používat opakovaně 2.5.8 Poznámka o neurčitých výrazech Nechť f, g jsou funkce, x0 R takové, že lim xx0 f(x) = a R , lim xx0 g(x) = b R . 1. a = b = 0, typ 0 0 : lim xx0 f(x) g(x) = lim xx0 f (x) g (x) . 2. a = , b = , typ : lim xx0 f(x) g(x) = lim xx0 f (x) g (x) . 3. a = 0, b = , typ 0 : lim xx0 f(x)g(x) = lim xx0 f(x) 1 g(x) = lim xx0 g(x) 1 f(x) , což je některý z předchozích typů. 60 4. a = b = , typ - : lim xx0 (f(x) - g(x)) = lim xx0 1 g(x) - 1 f(x) 1 f(x)g(x) , což je typ 0 0 . 5. a = b = 0, typ 00 : f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) , lim xx0 f(x)g(x) = e lim xx0 g(x) ln f(x) , což je typ 0 . 6. a = , b = 0, typ 0 : lim xx0 f(x)g(x) = e lim xx0 g(x) ln f(x) , což je typ 0 . 7. a = 1, b = , typ 1 : lim xx0 f(x)g(x) = e lim xx0 g(x) ln f(x) , což je typ 0. 2.6 Taylorův vzorec 2.6.1 Označení Buďte f, g funkce, x0 R . Symbol f(x) = O(g(x)), x x0, stručněji f = O(g), x x0 značí: existuje okolí O(x0) Dom f Dom g bodu x0 a konstanta k R tak, že pro všechna x O(x0) platí |f(x)| k |g(x)|. Někdy se v takovém případě říká, že funkce f je malá řádu g. Symbol f(x) = o(g(x)), x x0, stručněji f = o(g), x x0 značí lim xx0 f(x) g(x) = 0. Někdy se v takovém případě říká, že funkce f je nekonečně malá řádu g. 2.6.2 Definice Buďte f, g spojité funkce, x0 Dom f Dom g, n N {0}. Řekneme, že funkce f, g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, jestliže lim xx0 f(x) - g(x) (x - x0)n = 0. Funkce f, g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, pokud f(x) - g(x) = o ((x - x0)n ) , x x0. Poznámka: Je-li rovinná křivka grafem funkce f, která má v x0 Dom f derivaci a funkce g je dána předpisem g(x) = f(x0) + f (x0)(x - x0), pak funkce f a g mají v bodě x0 styk řádu alespoň 1. (Tečna ke grafu funkce má s grafem funkce styk řádu alespoň 1.) D.: lim xx0 f(x) - g(x) x - x0 = lim xx0 f(x) - f(x0) - f (x0)(x - x0) x - x0 = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 - f (x0) = 0 2.6.3 Věta Nechť n N a funkce f, g mají v bodě x0 Dom f Dom g spojitou n-tou derivaci. Funkce f a g mají v bodě x0 styk řádu alespoň n právě tehdy, když platí f(x0) = g(x0), f (x0) = g (x0), f (x0) = g (x0), , f(n) (x0) = g(n) (x0). D.: V obou částech důkazu budeme používat označení F(x) = f(x)-g(x), Gk(x) = (x-x0)k pro k N{0}. Poněvadž existuje F(n) (x0), existují na jistém okolí bodu x0 i F(k) pro k {0, 1, 2, , n - 1} a jsou to podle 2.3.3 funkce spojité v bodě x0. Podle 2.4.2.1 je G (l) k (x) = k(k - 1) (k - l + 1)(x - x0)k-l . Všechny funkce G (l) k jsou v bodě x0 spojité a platí G (l) k (x0) = 0, l = k k!, l = k . : Nechť F(x0) = F (x0) = F (x0) = = F(n) (x0) = 0. Pak s využitím 2.5.7 platí 0 = F(n) (x0) n! = F(n) (x0) G (n) n (x0) = lim xx0 F(n) (x) G (n) n (x) = lim xx0 F(x) Gn(x) = lim xx0 F(x) (x - x0)n . 61 : Nechť lim xx0 F(x) (x - x0)n = 0. Kdyby existovalo k {1, 2, . . . , n} takové, že F(x0) = F (x0) = F (x0) = = F(k-1) (x0) = 0 a F(k) (x0) = 0, pak by s využitím 2.5.7 platilo 0 = F(k) (x0) k! = F(k) (x0) G (k) k (x0) = lim xx0 F(k) (x) G (k) k (x) = lim xx0 F(x) Gk(x) = lim xx0 F(x) (x - x0)k = = lim xx0 F(x) (x - x0)n (x - x0)n-k = 0, což by byl spor. 2.6.4 Definice Buďf funkce, a Dom f. Nechť funkce f má v bodě a derivace až do n-té včetně. Polynom Tn,f,a(x) = Tn(x) = f(a) + f (a) 1! (x - a) + f (a) 2! (x - a)2 + + f(n) (a) n! (x - a)n = n k=0 f(k) (a) k! (x - a)k se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě a (se středem a). Je-li a = 0, nazývá se tento polynom Maclaurinův. 2.6.5 Věta Pro Taylorův polynom platí Tn(a) = f(a), Tn(a) = f (a), Tn (a) = f (a), , T(n) n (a) = f(n) (a) . D.: Tn(a) = f(a) + f (a) 1! (a - a) + f (a) 2! (a - a)2 + + f(n) (a) n! (a - a)n = f(a) Tn(x) = f (a) 1! + f (a) 2! 2(x - a) + + f(n) (a) n! n(x - a)n-1 ; Tn(a) = f (a) Tn (x) = f (a) 2! 2 + f (a) 3! 3 2 (x - a) + + f(n) (a) n! n(n - 1)(x - a)n-2 ; Tn (a) = f (a) ... T (n) n (x) = f(n) (a) n! n(n - 1) 2; T (n) n (a) = f(n) (a) Z vět 2.6.3 a 2.6.5 bezprostředně plyne 2.6.6 Důsledek Nechť funkce f má v bodě a Dom f n-tou derivaci a nechť Tn,f,a je Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě a. Pak funkce f a Tn,f,a mají v bodě x0 styk řádu alespoň n. 2.6.7 Příklad (Maclaurinovy polynomy některých elementárních funkcí 1. f(x) = ex f(x) = f (x) = f (x) = = f(n) (x) = ex , tedy f(0) = f (0) = f (0) = = f(n) (0) = 1 Tn(x) = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! = n k=0 xk k! 2. f(x) = sin x f(0) = 0, f (0) = cos 0 = 1, f (0) = - sin 0 = 0, f (0) = - cos 0 = -1, f (0) = sin 0 = 0, . . . , f(2n-1) (0) = (-1)n-1 , f2n (0) = 0 T2n-1(x) = T2n(x) = x - x3 3! + x5 5! - + (-1)n-1 x2n-1 (2n - 1)! = n k=1 (-1)k-1 x2k-1 (2k - 1)! 62 3. f(x) = cos x f(0) = 1, f (0) = - sin 0 = 0, f (0) = - cos 0 = -1, f (0) = sin 0 = 0, f (0) = cos 0 = 1, . . . , f(2n) (0) = (-1)n , f2n+1 (0) = 0 T2n(x) = T2n+1(x) = 1 - x2 2! + x4 4! - + (-1)n x2n (2n)! = n k=0 (-1)k x2k (2k)! 4. f(x) = ln(1 + x) f(0) = 0, Podle 2.4.2.4 je f(k) (x) = (-1)k-1 (k - 1)! (1 + x)k , a tedy f(k) (0) = (-1)k-1 (k - 1)!. Tn(x) = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + + (-1)n-1 xn n = n k=1 (-1)k-1 xk k 5. f(x) = (1 + x) , R f(0) = 1, Podle 2.4.2.1 je [(1 + x) ](k) = ( - 1)( - 2) ( - k + 1)(1 + x)-k , a tedy f(k) (0) = ( - 1)( - 2) ( - k + 1). Definujme k = ( - 1)( - 2) ( - k + 1) k! . Pak Tn(x) = 1 + 1 x + 2 x2 + 3 x3 + + n xn = n k=0 k xk . Pro N, n je Maclaurinův polynom rozepsáním výrazu (1 + x) podle binomické věty. 2.6.8 Věta (Brook Taylor [1685 ­ 1731]) Buď f funkce, a Dom f, n N. Nechť existuje okolí O(a) bodu a takové, že funkce f má (n + 1)-tou derivaci v každém bodě z O(a). Buď x O(a). Pak v otevřeném intervalu s krajními body a a x existuje číslo c takové, že platí f(x) = f(a) + f (a) 1! (x - a) + f (a) 2! (x - a)2 + + f(n) (a) n! (x - a)n + f(n+1) (c) (n + 1)! (x - a)n+1 . D.: Buď x0 > a, x0 O(a) libovolné. Položíme K = f(x0) - Tn(x0) (x0 - a)n+1 , neboli f(x0) = Tn(x0) + K(x0 - a)n+1 . Dále položíme F(x) = f(x) - Tn(x) - K(x - a)n+1 pro x [a, x0]. Funkce F má podle 2.3.3 a 2.3.5 na [a, x0] spojité derivace až do n-té, neboť f má na tomto intervalu (n + 1)-tou derivaci a Tn(x), (x - a)n+1 mají derivace všech řádů. Podle 2.6.5 platí F(a) = F (a) = F (a) = F(n) (a) = 0. Dále F(x0) = 0. Tedy F splňuje na [a, x0] předpoklady 2.5.1. odtud plyne, že existuje c1 (a, x0) že F (c1) = 0. To dále znamená, že funkce F splňuje na [a, c1] předpoklady 2.5.1, z čehož plyne, že existuje c2 (a, c1) že F (c2) = 0. Tak pokračujeme dále. Nakonec ukážeme, že existuje cn, a < cn < x0 takové, že F(n) (c) = 0. Celkem tedy dostaneme, že funkce F(n) splňuje na [a, cn] předpoklady 2.5.1, z čehož plyne, že existuje c (a, cn) (a, x0) že F(n+1) (c) = 0. Přitom F(n+1) (c) = f(n+1) (c) - 0 - K(n + 1)!, z čehož plyne K = f(n+1) (c) (n + 1)! . Dokázali jsme tedy platnost vzorce pro x = x0 > a, x0 O(a). Poněvadž x0 > a byl libovolný, platí vzorec na pravém okolí bodu a. Jeho platnost na levém okolí bodu a dokážeme analogicky. Poznámky * Vzorec uvedený ve větě lze zapsat: f(x) = Tn(x) + Rn(x). Tento vzorec se nazývá Taylorův (pro a = 0 Maclaurinův); výraz Rn(x) se nazývá zbytek v Taylorově vzorci nebo Taylorův zbytek. 63 Výraz Rn(x) = f(n+1) (c) (n + 1)! (x - a)n+1 se nazývá Lagrangeův tvar (Taylorova) zbytku. Existují i jiné tvary zbytku, vždy však platí Rn(x) = o ((x - a)n ) , x a. * Číslo c lze napsat ve tvaru c = a + (x - a), kde (0, 1). * Je vidět, že Lagrangeova věta 2.5.3 je speciálním případem věty Taylorovy (pro n = 1). Naopak, Taylorova věta byla dokázána jako důsledek věty Rolleovy 2.5.1 2.6.9 Příklad (Zbytky Maclaurinových polynomů některých elementárních funkcí) Sr. 2.4.2 1. f(x) = ex , Rn(x) = ex (n + 1)! xn+1 2. f(x) = sin x, R2n-1(x) = sin(x + n) (2n)! x2n 3. f(x) = cos x, R2n(x) = cos(x + 2n+1 2 ) (2n + 1)! x2n+1 4. f(x) = ln(x + 1), Rn(x) = (-1)n xn+1 (n + 1)(1 + x)n+1 5. f(x) = (1 + x) , Rn(x) = n + 1 (1 + x)-n-1 xn+1 Taylorova věta slouží k přibližnému výpočtu funkčních hodnot 2.6.10 Příklad Najděte Maclaurinův polynom, který na intervalu (- 2 , 2 ) aproximuje funkci f(x) = sin x s přesností 10-5 . Ř.: sin x = T2n-1(x) + R2n-1(x) = n k=1 (-1)k-1 x2k-1 (2k - 1)! + sin(x + n) (2n)! x2n |R2n-1(x)| = sin(x + n) (2n)! x2n |x2n | (2n)! ( 2 )2n (2n)! Snadno ověříme, že |R9(x)| 0.00002 a |R11| 0.0000005 < 10-5 . Tedy stačí vzít T11(x) = x - x3 6 + x5 120 - x7 5 040 + x9 362 880 - x11 39 916 800 . 2.7 Průběh funkce 2.7.1 Věta Nechť funkce f má v bodě x0 Dom f vlastní nebo nevlastní derivaci. Je-li f (x) > 0 (resp. f (x) < 0), pak je f v bodě x0 rostoucí (resp. klesající). D.: Nechť lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 > 0. Pak existuje O(x0) takové, že f(x) - f(x0) x - x0 > 0 pro každé x O(x0). Je-li x O(x0), x < x0, pak x - x0 < 0 a tedy f(x) - f(x0) < 0, tj. f(x) < f(x0). Je-li x O(x0), x > x0, pak x - x0 > 0 a tedy f(x) - f(x0) > 0, tj. f(x) > f(x0). Druhé tvrzení dokážeme analogicky. 64 2.7.2 Věta Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má zde vlastní nebo nevlastní derivaci. f je rostoucí (resp. klesající) na J právě tehdy, když f (x) 0 (resp. f (x) 0) na J, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném subintervalu intervalu J. D.: : Nechť f je rostoucí na J, x0 J libovolný. Pro x J, x > x0 je f(x) > f(x0) a pro x J, x < x0 je f(x) < f(x0), tedy f(x) - f(x0) x - x0 > 0 pro x J. Odtud plyne, že f (x0) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 0. Kdyby rovnost f (x0) = 0 platila na intervalu I J, byla by podle 2.5.4.2 funkce f konstantní na I. : Buďte x1, x2 J, x1 < x2. Na [x1, x2] funkce f splňuje předpoklady 2.5.3 a tedy existuje (x1, x2) takové, že f(x1) - f(x2) x1 - x2 = f () 0, což znamená, že f(x1) f(x2). f je tedy neklesající na J a poněvadž na žádném subintervalu není konstantní, je rostoucí. Druhé tvrzení se dokáže analogicky. 2.7.3 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0 Dom f lokální maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že pro každé x O(x0) Dom f bodu x0 platí f(x) f(x0) (resp. f(x) f(x0)). Lokální maximum (resp. minimum) se nazývá ostré, jestliže existuje ryzí okolí O(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že pro každé x (O(x0) \ {x0}) Dom f platí f(x) < f(x0) (resp. f(x) > f(x0)). Lokální maxima a minima souhrnně nazýváme lokální extrémy, případně ostré lokální extrémy. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 M Dom f absolutní maximum (resp. minimum), na množině M, jestliže pro každé x M platí f(x) f(x0) (resp. f(x) f(x0)). Absolutní maximum (resp. minimum) se nazývá ostré, jestliže příslušné nerovnosti jsou ostré. Absolutní maxima a minima souhrnně nazýváme absolutní extrémy. 2.7.4 Poznámky 1. Má-li funkce v bodě x0 Dom f lokální extrém a existuje-li vlastní nebo nevlastní f (x0), pak f (x0) = 0. (Plyne bezprostředně z 2.7.1.) 2. Body, v nichž f (x0) = 0 nazýváme stacionární body funkce f. Bezprostředně z předchozího tvrzení vyplývá, že funkce může mít lokální extrém buď ve stacionárním bodě a nebo v bodě, kde neexistuje vlastní ani nevlastní derivace. 3. Stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. f(x) = x3 , f (0) = 0, f (x) = 3x2 > 0 pro x = 0. Tedy podle 2.7.2 je f rostoucí na R. 2.7.5 Věta Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 Dom f. Existuje-li levé ryzí okolí L(x0) \ {x0} bodu x0, v němž je f neklesající (resp. nerostoucí) a pravé ryzí okolí P(x0) \ {x0} bodu x0, v němž je f nerostoucí (resp. neklesající), pak má funkce f v bodě x0 lokální maximum (resp. lokální minimum). Existuje-li levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0, v němž je f rostoucí (resp. klesající) a pravé ryzí okolí P(x0)\{x0} bodu x0, v němž je f klesající (resp. rostoucí), pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum). D.: Nechť f je v L(x0) \ {x0} neklesající a v P(x0) \ {x0} nerostoucí. Podle 2.1.15 je lim xx0f(x) = sup{f(x) : x L(x0) \ {x0}}, lim xx0+ f(x) = sup{f(x) : x P(x0) \ {x0}}. Poněvadž f je spojitá v x0, je f(x0) = lim xx0f(x) = lim xx0+ f(x) = sup{f(x) : x (P(x0) L(x0)) \ {x0}}. Nechť f je v L(x0) \ {x0} rostoucí a v P(x0) \ {x0} klesající. Buď x L(x0) \ {x0} libovolný. Pro x1 (x, x0) L(x0) \ {x0} je f(x) < f(x1) f(x0) = sup{f(x) : x L(x0) \ {x0}}. Podobně ukážeme, že pro x P(x0) \ {x0} je f(x0) > f(x). Analogicky ukážeme platnost tvrzení v ostatních případech. 65 Obrácená věta neplatí. Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém, nemusí být v žádném ryzím jednostranném okolí monotonní. Předpoklad o spojitosti funkce f je podstatný. 2.7.6 Důsledky 1. Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 Dom f a existuje levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0 a pravé ryzí okolí P(x0)\{x0} bodu x0 taková, že funkce f má vlastní nebo nevlastní derivaci f (x) na (P(x0)L(x0))\{x0}, přičemž f (x) > 0 (resp. f (x) < 0) na L(x0) \ {x0} a f (x) < 0 (resp. f (x) > 0) na P(x0) \ {x0}. Pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum (resp. minimum). D.: plyne z 2.7.5 a z 2.7.1 2. Nechť f (x0) = 0 a nechť funkce f má v bodě x0 vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Je-li f (x0) < 0, má f v bodě x0 ostré lokální maximum, je-li f (x0) > 0, má f v bodě x0 ostré lokální minimum. D.: Je-li f (x0) < 0, je f (x0) v bodě x0 podle 2.7.1 klesající. Existuje tedy ryzí levé okolí L(x0) \ {x0} bodu x0 takové, že f (x) > 0 na L(x0)\{x0} a existuje ryzí pravé okolí P(x0)\{x0} bodu x0 takové, že f (x) < 0 na P(x0) \ {x0}. Analogicky ukážeme platnost druhého tvrzení. 2.7.7 Poznámka o absolutních extrémech Nechť funkce f je spojitá na [a, b]. Podle 2.2.12 nabývá f na [a, b] své největší i nejmenší hodnoty, tedy svého absolutního maxima a absolutního minima. Absolutních extrémů nabývá buď v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu [a, b]. 2.7.8 Definice Řekneme, že funkce f je konvexní (resp. konkávní) na intervalu J Dom f, jestliže pro každé tři body x1, x2, x3 J, x1 < x2 < x3 platí f(x2) f(x1) + f(x3) - f(x1) x3 - x1 (x2 - x1) (resp. f(x2) f(x1) + f(x3) - f(x1) x3 - x1 (x2 - x1) ). Řekneme, že funkce f je ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na intervalu J Dom f, jestliže pro každé tři body x1, x2, x3 J, x1 < x2 < x3 platí f(x2) < f(x1) + f(x3) - f(x1) x3 - x1 (x2 - x1) (resp. f(x2) > f(x1) + f(x3) - f(x1) x3 - x1 (x2 - x1) ). 2.7.9 Věta Funkce f je konvexní na intervalu J Dom f právě tehdy, když pro každé tři body x1, x2, x3 J, x1 < x2 < x3 je splněna některá z ekvivalentních podmínek (1) f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x1) x3 - x1 , (2) f(x3) - f(x1) x3 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 , (3) f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 . Nerovnost v těchto podmínkách je ostrá právě tehdy, když funkce f je ryze konvexní na intervalu J. Funkce f je konkávní na intervalu J Dom f právě tehdy, když pro každé tři body x1, x2, x3 J, x1 < x2 < x3 je splněna některá z ekvivalentních podmínek (1) f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x1) x3 - x1 , 66 (2) f(x3) - f(x1) x3 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 , (3) f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 . Nerovnost v těchto podmínkách je ostrá právě tehdy, když funkce f je ryze konkávní na intervalu J. D.: Podmínka (1) je zřejmě ekvivalentní s podmínkou v definici 2.7.8. Upravíme podmínku (1): (x3 - x1)(f(x2) - f(x1)) (x2 - x1)(f(x3) - f(x1)) x3f(x2) - x3f(x1) - x1f(x2) + x1f(x1) x2f(x3) - x2f(x1) - x1f(x3) + x1f(x1) x2f(x1) + x3f(x2) + x1f(x3) x1f(x2) + x2f(x3) + x3f(x1) Dále upravíme podmínku (2): (x3 - x2)(f(x3) - f(x1)) (x3 - x1)(f(x3) - f(x2)) x3f(x3) - x3f(x1) - x2f(x3) + x2f(x1) x3f(x3) - x3f(x2) - x1f(x3) + x1f(x2) x2f(x1) + x3f(x2) + x1f(x3) x1f(x2) + x2f(x3) + x3f(x1) Odtud je vidět, že podmínky (1) a (2) jsou ekvivalentní. Stejně (prostým roznásobením) ukážeme ekvivalenci podmínky (3) s podmínkami (1) a (2). Tvrzení pro konkávní funkce dokážeme analogicky. 2.7.10 Věta Nechť funkce f má na intervalu J Dom f derivaci f . Je-li funkce f konvexní (resp. konkávní) na J, pak pro každé dva různé vnitřní body x, x0 J platí f(x) f(x0)+f (x0)(x-x0) (resp. f(x) f(x0)+f (x0)(x-x0)). Je-li funkce f ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na J, pak pro každé dva různé vnitřní body x, x0 J platí f(x) > f(x0) + f (x0)(x - x0) (resp. f(x) < f(x0) + f (x0)(x - x0)). D.: * Buď f konvexní funkce na J a x, x0 libovolné vnitřní body intervalu J. Nechť nejprve x0 < x. Podle (1) pro libovolné (x0, x) platí f() - f(x0) - x0 f(x) - f(x0) x - x0 . Limitním přechodem x0 dostaneme f (x0) f(x) - f(x0) x - x0 , neboli f(x0)+f (x0)(x-x0) f(x). Nechť nyní x < x0. Podle (2) pro libovolné (x, x0) platí f(x0) - f(x) x0 - x f(x0) - f() x0 - . Limitním přechodem x0 dostaneme f(x0) - f(x) x0 - x f (x0), neboli f(x) f(x0)+f (x0)(x-x0). * Je-li f ryze konvexní na J, pak podle již dokázaného pro každé dva vnitřní body x, x0 J platí f(x) f(x0) + f (x0)(x - x0). Připusťme, že existují vnitřní body x1, x3 J, x1 < x3 takové, že f(x3) = f(x1) + f (x1)(x3 - x1). Podle (1) -- s nodifikací pro ryze konvexní funkce -- pro každé x2 (x1, x3) platí f(x2) - f(x1) x2 - x1 < f(x1) + f (x1)(x3 - x1) - f(x1) x3 - x1 f(x2) - f(x1) x2 - x1 < f (x1) f(x2) < f(x1) + f (x1)(x2 - x1) , což je spor s již dokázaným (při označení x = x2, x0 = x1). Analogicky s využitím (2) vyloučíme možnost existence vnitřních bodů x1, x3 J takových, že f(x1) = f(x3) + f (x3)(x1 - x3). Tedy pro všechny vnitřní body x, x0 J platí f(x) > f(x0) + f (x0)(x - x0). * Tvrzení o konkávní funkci dokážeme analogicky. 67 2.7.11 Věta Nechť funkce f má na intervalu J Dom f derivaci f . Funkce f je ryze konvexní (resp. konkávní) na intervalu J právě tehdy, když f je na J rostoucí (resp. klesající). D.: : Buďte x1, x2 J, x1 < x2 libovolné. Podle 2.7.10 je f(x2) > f(x1) + f (x1)(x2 - x1) a f(x1) > f(x2) + f (x2)(x1 - x2), neboli f(x2) - f(x1) x2 - x1 > f (x1) a f(x1) - f(x2) x1 - x2 < f (x2). Odtud f (x1) < f (x2). : Sporem. Nechť f je rostoucí na J a připusťme, že f není ryze konvexní, tedy že existují x1, x2, x3 J, x1 < x2 < x3 takové, že f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 (sr. (3)). Podle 2.5.3 existují 1 (x1, x2) a 2 (x2, x3), že f(x2) - f(x1) x2 - x1 = f (1) a f(x3) - f(x2) x3 - x2 = f (2). Zřejmě 1 < 2 a poněvadž f je rostoucí, je f (1) < f (2), což je spor. Tvrzení o konkávní funkci dokážeme analogicky. Odtud a z 2.7.2 plyne 2.7.12 Důsledek Nechť funkce f má na intervalu J spojitou první derivaci a vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. f je ryze konvexní (resp. konkávní) na J právě tehdy, když f (x) 0 (resp. f (x) 0) na J, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném subintervalu intervalu J. 2.7.13 Definice Nechť f je funkce spojitá v x0 Dom f a nechť existuje vlastní nebo nevlastní derivace f (x0). Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje levé ryzí okolí L(x0)\{x0} bodu x0 a pravé ryzí okolí P(x0)\{x0} bodu x0 taková, že f je ryze konvexní na L(x0) \ {x0} a ryze konkávní na P(x0) \ {x0}, nebo naopak f je ryze konvexní na P(x0) \ {x0} a ryze konkávní na L(x0) \ {x0}. 2.7.14 Poznámky 1. Je-li x0 inflexní bod funkce f a f je spojitá v bodě x0. Pak f má v bodě x0 ostrý lokální extrém. (sr. 2.7.6.1, a 2.7.12). 2. Je-li x0 inflexní bod funkce f a existuje vlastní nebo nevlastní druhá derivace f (x0), pak f (x0) = 0 Opačné tvrzení neplatí. Z f (x0) = 0 neplyne, že by x0 byl inflexní bod funkce f. Například: f(x) = x4 , f (x) = 12x2 , f (0) = 0 a v bodě x0 = 0 není inflexní bod funkce f. 2.7.15 Definice Řekneme, že přímka p : x = x0 je asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže funkce f má v x0 alespoň jednu nevlastní jednostrannou limitu. Řekneme, že přímka p : y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f, jestliže funkce f je definována v okolí (resp. -) a platí lim x (ax + b - f(x)) = 0 (resp. lim x(ax + b - f(x)) = 0). Libovolná funkce může mít nejvýše dvě asymptoty se směrnicí, může však mít libovolný počet asymptot bez směrnice. 68 2.7.16 Věta Přímka y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f právě tehdy, když lim x f(x) x = a, lim x (f(x) - ax) = b lim x- f(x) x = a, lim x(f(x) - ax) = b . D.: : Pokud lim x (ax + b - f(x)) = 0 pak podle 2.1.7.7 a 2.1.7.4 také lim x ax + b - f(x) x = 0, tedy 0 = a - lim x f(x) x , neboli lim x f(x) x = a. Dále z lim x (ax + b - f(x)) = 0 plyne 0 = lim x (ax - f(x)) + b a tedy lim x (f(x) - ax) = b. : Jestliže lim x (f(x) - ax) = b, pak lim x (ax + b - f(x)) = lim x (ax - f(x)) + b = -b + b = 0. 2.7.17 Postup při vyšetřování průběhu funkce 1. Určíme Dom f; pokud je to možné, tak nulové body funkce f a intervaly, na nichž je f kladná a záporná. 2. Vypočítáme f ; určíme nulové body f (stacionární body); body, v nichž f není definována; body, v nichž f je kladná a záporná (Tj. určíme intervaly monotonnosti a lokální extrémy.) 3. Vypočítáme f ; určíme nulové body f ; body, v nichž f není definována; body , v nichž f je kladná a záporná (Tj. určíme intervaly konvexity a konkavity, inflexní body.) 4. Vypočítáme příslušné jednostranné limity v ,,hraničních bodech Dom f (Tj. najdeme všechny asymptoty bez směrnice). Najdeme obě asymptoty se směrnicí (pokud existují). 5. Vypočítáme funkční hodnoty ve význačných bodech (stacionárních, inflexních), případně v několika dalších bodech. V inflexních bodech může být užitečné vypočítat hodnotu derivace. 2.8 Cvičení Vypočítejte derivaci funkce 1) f(x) = ( x + 1) 1 x - 1 , 2) f(x) = x x x, 3) f(x) = 1 + x - x2 1 - x + x2 , 4) f(x) = sin x, 5) f(x) = xex (cos x + sin x), 6) f(x) = 1 - ex 1 + ex , 7) f(x) = x2 log3 x, 8) f(x) = tg(sin x), 9) f(x) = ln 1 - sin x 1 + sin x , 10) f(x) = x arcsin x x + 1 + arctg x - x, 11) f(x) = ln 1 + x - 1 - x 1 + x + 1 - x + 2 arctg 1 - x 1 + x , 12) f(x) = 3sin2 x , 13) f(x) = xxx , 14) f(x) = 1 2 arctg 4 1 + x4 + 1 4 ln 4 1 + x4 + 1 4 1 + x4 - 1 . Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 15) y = 8 4 + x2 v bodě (2, ?), 16) y = x2 v bodě (x0, ?). 17) Úhlem křivek rozumíme úhel tečen těchto křivek ve společném bodě. Určete úhel grafu funkce y = x2 a křivky x2 + y2 = 1. 18) Na grafu funkce y = x3 najděte bod, v němž je tečna rovnoběžná se sečnou spojující body (-1, ?) a (?, 8). Vypočítejte limity 69 19) lim x 4 tg x - 1 sin 4x , 20) lim x0+ ln x ln sin x , 21) lim x x sin a x , 22) lim x0 1 x - 1 ex - 1 , 23) lim x0+ xxx -1 , 24) lim x1 xx - x ln x - x + 1 , 25) lim x 6 x6 + x5 - 6 x6 - x5 , 26) lim x x - x2 ln 1 + 1 x . Najděte Maclaurinův polynom stupně n dané funkce 27) f(x) = x2 + x + 1 x2 - x + 1 , n = 4, 28) f(x) = 1 - 2x + x3 - 3 1 - 3x + x3, n = 3, 29) f(x) = 3 sin x3, n = 7, 30) f(x) = tg x, n = 5. Vyšetřete průběh funkce 31) f(x) = x 3 x2 - 1 , 32) f(x) = x3 2(x + 1)2 , 33) f(x) = xe- x2 2 , 34) f(x) = 3 1 - x3. 35) Najděte nejmenší a největší hodnotu součinu m-té a n-té mocniny kladných čísel, jejichž součet je a. 36) Jaký největší povrch může mít válec vepsaný kouli o poloměru R? 37) Jaký nejmenší objem může mít kužel opsaný kouli o poloměru R? 38) Na elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 najděte v prvním kvadrantu bod takový, že tečna k elipse vedená tímto bodem vytvoří se souřadnými osami trojúhelník nejmenšího obsahu. 39) Jakou výseč je třeba vyříznout z kruhu o poloměru R, aby zbývající část bylo možno svinout do kornoutu o maximálním objemu? Výsledky: 1) -x+1 2x 3 x2 2) 7 8 8 x 3) 2-4x (1+x-x2)2 4) cos x cotg x 2 5) ex (sin x + (2x + 1) cos x) 6) - ex (1+ex) 1-e2x 7) x log3 ex2 8) cos x (sin sin x)2 9) - 1 cos x 10) arcsin x x+1 11) 1-x2 2x(1+x) 12) 3sin2 x sin 2x ln 3 13) (2 ln x + 1)xxx +1 14) - 1 x 4 (1+x4)3 15) x + 2y - 4 = 0, 2x - y - 1 = 0 16) 2x0x - y - x2 0 = 0, x + 2x0y - x0 - 2x3 0 = 0 17) asi 70 37 46 18) (-1, -1), (1, 1) 19) -1 2 20) 1 21) a 22) 1 2 23) 1 24) -2 25) 1 3 26) 1 2 27) 1 + 2x + 2x2 - 2x4 28) 1 2 x2 - 4 3 x3 29) x - 1 18 x7 30) x + 1 3 x3 + 2 15 x5 31) Dom f = R \ {-1, 1}; lichá; nulový bod 0; rostoucí (-, - 3], [ 3, ); klesající [- 3, -1), (-1, 1), (1, 3]; lokální minimum f( 3) = 3 3 2 ; lokální maximum f(- 3) = - 3 3 2 ; konvexní (-, -3), (-1, 0], (1, 3]; konkávní [-3, -1), [0, 1), [3, ); inflexní body f(3) = 3 2 , f(-3) = -3 2 ; asymptoty x = 1, x = -1 32) Dom f = R \ {-1}; nulový bod 0; rostoucí (-, -3], (-1, ); klesající [-3, -1); lokální maximum f(-3) = -27 8 ; konvexní [0, ); konkávní (-, -1), (-1, 0]; inflexní bod f(0) = 0; asymptoty x = -1, x - 2y - 2 = 0 33) Dom f = R; lichá; nulový bod 0; rostoucí [-1, 1]; klesající (-, -1], [1, ]; lokální minimum f(-1) = - 1 e ; lokální maximum f(1) = 1 e ; konvexní [- 3, 0], [ 3, ); konkávní (-, - 3], [0, 3]; inflexní body f(- 3) = - 3 e3 , f(0) = 0, f( 3) = 3 e3 ; asymptota y = 0 34) Dom f = R; nulový bod 1; klesající (-, ); konvexní (-, 0], [1, ); konkávní [0, 1]; inflexní body f(0) = 1, f(1) = 0; asymptota y = -x 35) největší hodnota a m+n m+n mm nn , nejmenší hodnota není 36) R2 (1+ 5) 37) 8 3 R3 38) a 2 , b 2 , Pmin = ab 39) vyříznout úhel 2 1 - 2 3 , Vmax = 2 3 27 R3 70 2.9 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 71 72 Kapitola 3 Doplněk 3.1 Diferenční a sumační počet 3.1.1 Definice Buď {an} n=1 posloupnost. Posloupnost {an} n=1 jejíž členy jsou dány vztahem an = an+1 - an nazýváme (první) diference (vpřed) posloupnosti {an} n=1. Zřejmě platí: Posloupnost {an} je rostoucí (klesající) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti {an} jsou kladné (záporné). 3.1.2 Definice Řekneme, že k N je uzel posloupnosti {an}, jestliže ak = 0 nebo akak-1 < 0. 3.1.3 Věta Buď {an} posloupnost, k N. Jestliže ak > ak-1 a ak ak+1, pak k je uzel posloupnosti {an}; jestliže ak < ak-1 a ak ak+1, pak k je uzel posloupnosti {an}. D.: Nechť ak > ak-1, ak > ak+1. Pak ak = ak+1 - ak < 0, ak-1 = ak - ak-1 > 0, tedy (ak)(ak-1) < 0. Nechť ak > ak-1, ak = ak+1. Pak ak = ak+1 - ak = 0. Analogicky lze ukázat platnost druhého tvrzení. 3.1.4 Věta Buďte {an}, {bn} posloupnosti, c R. Pak platí 1. (can) = can, 2. (an + bn) = an + bn, 3. (an - bn) = an - bn, 4. (anbn) = (an)bn+1 + an(bn) = (an)bn + an+1(bn), 5. Pokud bnbn+1 = 0, pak an bn = (an)bn - an(bn) bnbn+1 . D.: 1. (can) = can+1 - can = c(an+1 - an) = can. 2. (an + bn) = (an+1 + bn+1) - (an + bn) = (an+1 - an) + (bn+1 - bn) = an + bn. 3. Plyne z 1. a 2. 73 4. Platí (anbn) = an+1bn+1 - anbn = an+1bn+1 - anbn+1 + anbn+1 - anbn = = (an+1 - an)bn+1 + an(bn+1 - bn) = (an)bn + an+1(bn) , takže první vztah platí. Druhý plyne z prvního a z komutativity násobení. 5. 1 bn = 1 bn+1 - 1 bn = bn - bn+1 bnbn+1 = - bn bnbn+1 . Podle 4. nyní je an bn = an bn+1 + an 1 bn = an bn+1 - an bn bnbn+1 = (an)bn - an(bn) bnbn+1 . 3.1.5 Definice Buďte {an} posloupnost, m, k N, m k. Sumu členů posloupnosti {an} v mezích od m do k definujeme vztahem k i=m ai = am + am+1 + + ak . 3.1.6 Věta Buďte {an}, {bn} posloupnosti, c R, m, k N, m k. Pak k i=m cai = c k i=m ai , k i=m (ai bi) = k i=m ai k i=m bi . D.: Plyne přímo z distributivního a asociativního zákona. 3.1.7 Věta Buďte {an} posloupnost, m, k N, m k. Označme [an]k n=m = ak - am. Pak platí k i=m ai = [ai]k+1 i=m . D.: k i=m an = (am+1 - am) + (am+2 - am+1) + + (ak - ak-1) + (ak+1 - ak) = ak+1 - am. Věta ukazuje, že diference a sumace jsou v jistém smyslu inversní operátory. 3.1.8 Věta (Sumace "per partes") Buďte {an}, {bn} posloupnosti, m, k N, m k. Pak platí k i=m aibi = [anbn]k+1 n=m - k i=m (ai)bi+1 . D.: Podle 3.1.7 a 3.1.4.4 platí [anbn] k+1 n=m = k i=m (aibi) = k i=m ((ai)bi+1 + aibi) = k i=m (ai)bi+1 + k i=m aibi . 74 Příklad: Najděte součet 1 + 4 + 9 + + n2 . Ř.: n i=1 i2 = n i=1 i2 ((i + 1) - i) = n i=1 i2 i = i3 n+1 i=1 - n i=1 i2 (i + 1) = = (n + 1)3 - 1 - n i=1 (i + 1)2 - i2 (i + 1) = n3 + 3n2 + 3n - n i=1 (2i + 1)(i + 1) = = n3 + 3n2 + 3n - n i=1 (2i2 + 3i + 1) = n3 + 3n2 + 3n - n i=1 1 - 3 n i=1 i - 2 n i=1 i2 = = n3 + 3n2 + 3n - n - 3 n(n + 1) 2 - 2 n i=1 i2 = 2n3 + 6n2 + 4n - 3n2 - 3n 2 - 2 n i=1 i2 . Odtud n i=1 i2 = 2n3 + 3n2 + n 6 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . 3.1.9 Věta (Sztolz [1842 ­ 1903]) 1. Nechť {an} n=1 je posloupnost taková, že lim n an = 0 a {bn} n=1 je ryze monotonní posloupnost taková, že lim n bn = 0. Jestliže lim n an bn = c R , pak také lim n an bn = c. 2. Nechť {an} je posloupnost a {bn} je neohraničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim n an bn = c R , pak také lim n an bn = c. D.: 1. Nechť pro určitost je {bn} n=1 klesající. * c R. Buď > 0 libovolné. Existuje n0 N takové, že pro každé k N, k n0 platí c - < ak+1 - ak bk+1 - bk = ak - ak+1 bk - bk+1 < c + , a poněvadž bk+1 < bk, platí (c - )(bk - bk+1) < ak - ak+1 < (c + )(bk - bk+1). Tato nerovnost platí pro každé k n0, tedy pro každé m, n N, m > n > n0 platí: (c - )(bn - bn+1) < an - an+1 < (c + )(bn - bn+1) (c - )(bn+1 - bn+2) < an+1 - an+2 < (c + )(bn+1 - bn+2) ... ... (c - )(bm-1 - bm) < am-1 - am < (c + )(bm-1 - bm). Seštením těchto nerovností dostaneme (c - )(bn - bm) < an - am < (c + )(bn - bm). Podle 1.3.5.2 a 1.3.6 je lim m (c - )(bn - bm) = (c - )(bn - lim m bm) = (c - )bn. Podobně lim m (c + )(bn - bm) = (c + )bn, lim m (an - am) = an. Tedy podle 1.3.5.1 je (c - )bn an (c + )bn . 75 Poněvadž {bn} n=1 je klesající a lim n bn = 0, je bn > 0 pro každé n N a tedy c - an bn c + . Tato nerovnost platí pro každé n > n0, což znamená, že lim n an bn = c. * c = . Buď K R libovolné. Existuje n0 N takové, že pro každé k N, k n0 platí ak+1 - ak bk+1 - bk = ak - ak+1 bk - bk+1 > K . Odtud pro každé m, n N, m > n > n0 dostaneme: ak - ak+1 > K(bk - bk+1) / m-1 k=n an - am > K(bn - bm) / lim m an Kbn / 1 bn an bn K , což znamená, že lim n an bn = . * c = -. Analogicky jako předchozí případ. Je-li {bn} n=1 rostoucí, provedeme důkaz analogicky. 2. ˇ Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li 1, 2, . . . , k reálná čísla a 1, 2, . . . , k kladná reálná čísla, m, M R taková, že pro každé i {1, 2, . . . , k} platí m < i i < M, pak m < 1 + 2 + + k 1 + 2 + + k < M . Důkaz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k. m < 1 1 < M je splněno triviálně. Z indukčního předpokladu m < 1 + 2 + + k-1 1 + 2 + + k-1 < M, neboli m(1 + 2 + + k-1) < 1 + 2 + + k-1 < M(1 + 2 + + k-1) a z předpokladu tvrzení mk < k < Mk dostaneme sečtením dokazovanou nerovnost. * c R. Buď > 0 libovolné. Existuje n1 N takové, že pro n n1 platí c - 2 < an+1 - an bn+1 - bn < c + 2 . Poněvadž {bn} je podle předpokladu neohraničená a rostoucí, lze bez újmy na obecnosti předpokládat bn1 0. Položme 1 = an1+1 - an1 , 1 = an1+2 - an1+1, . . . , k = an - an-1, 1 = bn1+1 - bn1 , 1 = bn1+2 - bn1+1, . . . , k = bn - bn-1 . Podle pomocného tvrzení je c - 2 < an - an1 bn - bn1 < c + 2 , neboli an - an1 bn - bn1 - c < 2 . 76 Dále platí an bn - c = an - an1 bn + an1 bn - c = an - an1 bn - bn1 bn - bn1 bn + an1 bn - c = = an - an1 bn - bn1 - c bn - bn1 bn + bn - bn1 bn c + an1 bn - c = = an - an1 bn - bn1 - c bn - bn1 bn + (bn - bn1 )c + an1 - cbn bn = = an - an1 bn - bn1 - c 1 - bn1 bn + an1 - cbn1 bn an - an1 bn - bn1 - c 1 - bn1 bn + an1 - cbn1 bn . Poněvadž podle 1.3.12.5 a 1.3.12.4 je lim n bn1 bn = 0 a pro n > n1 je bn1 bn 0, tak existuje n2 N, n2 > n1 takové, že pro n n2 platí 0 1 - bn1 bn 1, neboli 1 - bn1 bn 1 . Poněvadž lim n an1 - cbn1 bn = 0, existuje n3 N takové, že pro n n3 platí an1 - cbn1 bn < 2 . Tedy pro n n0 = max{n1, n2, n3} platí an bn - c < 2 + 2 = , což znamená, že lim n an bn = c. * c = . Buďte h R, > 0 libovolná čísla. Poněvadž lim n an+1 - an bn+1 - bn = , existuje n1 N takové, že pro k n1 je ak+1 - ak bk+1 - bk > 2(h + ) , neboli vzhledem k tomu, že bk+1 - bk > 0 ak+1 - ak > 2(h + )(bk+1 - bk) . Sečtením těchto nerovnic pro k od n1 do n - 1 dostaneme an - an1 > 2(h + )(bn - bn1 ) an bn > 2(h + ) 1 - bn1 bn + an1 bn . Poněvadž podle 1.3.12.5 a 1.3.12.4 je lim n bn1 bn = 0 a lim n an1 bn = 0, existuje n2 N, že pro n n2 platí bn1 bn < 1 2 , neboli 1 - bn1 bn > 1 2 a existuje n3 N, že pro n n3 platí an1 bn > - . 77 Tedy pro n n0 = max{n1, n2, n3} platí an bn > 2(h + ) 1 2 - = h , což znamená, že lim n an bn = . * c = -. Analogicky jako předchozí případ. Poznámky: * Předpoklad o ryzí monotonii posloupnosti {bn} n=1 v první části věty obecně nelze vynechat. Je-li například an = 1 n a bn = (-1)n n , pak lim n an = lim n bn = 0, lim n an+1 - an bn+1 - bn = lim n 1 n+1 - 1 n (-1)n+1( 1 n+1 + 1 n ) = lim n (-1)n+1 n - n - 1 n + n + 1 = lim n (-1)n 2n + 1 = 0 podle 1.3.12.4, avšak an bn = 1 n (-1)n n = (-1)n a posloupnost {(-1)n } n=1 = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, . . . } je oscilující. * Jestliže neexistuje vlastní ani nevlastní lim n an+1 - an bn+1 - bn a ostatní předpoklady Sztolzovy věty jsou splněny, nelze nic tvrdit o existenci lim n an bn . Je-li například an = (-1)n n2 , bn = 1 n , pak lim n an = 0, {bn} je klesající a lim n bn = 0. Přitom an bn = (-1)n+1 (n + 1)2 - (-1)n n2 1 n + 1 - 1 n = (-1)n+1 n2 + (n + 1)2 n2(n + 1)2 n - (n + 1) n(n + 1) = (-1)n 2n2 + 2n + 1 n2 + n a posloupnost (-1)n 2n2 + 2n + 1 n2 + n = -5 2 , 13 6 , -25 12 , 41 20 , -61 30 , 85 42 , . . . nemá limitu. Ale lim n an bn = lim n (-1)n n2 1 n = lim n (-1)n n = 0 . Příklad: Rozhodněte, zda posloupnost (n!)2 (2n)! je konvergentní a pokud ano, určete její limitu. Ř.: Označme an = (n!)2 (2n)! . Pak pro každé n N platí an 0 a an+1 an = ((n + 1)!)2 (2(n + 1))! (2n)! (n!)2 = (n + 1)2 (2n + 2)(2n + 1) = n + 1 2(2n + 1) = n + 1 2 + 1 2 4(n + 1 2 ) = 1 4 + 1 8(n + 1 2 ) 1 4 + 1 8(1 + 1 2 ) 1 4 + 1 12 = 5 12 < 1 , neboli an+1 < an. To znamená, že {an} je klesající, zdola ohraničená posloupnost a tedy podle 1.3.9 existuje a = lim n an R. Posloupnost {(2n)!} je rostoucí a neohraničená, tedy a = lim n (n!)2 (2n)! = lim n ((n + 1)!)2 - (n!)2 (2n + 2)! - (2n)! = lim n (n!)2 ((n + 1)2 - 1) ((2n)!)2((2n + 2)(2n + 1) - 1) = = lim n (n!)2 (2n)! lim n n2 + 2n 4n2 + 6n + 1 = a lim n 1 + 2 n 4 + 6 n + 1 n2 = a 1 4 , neboli a = 1 4 a. Odtud a = 0. 78 3.2 Rovinné křivky 3.2.1 Definice Nechť I R je interval, , : I R spojité funkce. Množina C = {((t), (t)) : t I} R2 se nazývá (rovinná) křivka, funkce , se nazývají parametrizace křivky C. Je-li I = [a, b], body A = ((a), (a)), B = ((b), (b)) se nazývají krajní body křivky C. Křivka C se nazývá uzavřená, jestliže A = B. * Jedna křivka může mít více parametrizací. Například (t) = cos t (t) = sin t , t [0, 2], ~(t) = cos 2t ~(t) = sin 2t , t [0, ], ^(t) = cos t ^(t) = - sin t , t [0, 2], jsou tři různé parametrizace kružnice se středem (0, 0) a poloměrem 1. * Je-li f spojitá funkce, Dom f je interval, pak graf funkce f je křivka s parametrizací (t) = t (t) = f(t) , t Dom f. * Je-li C = {((t), (t)) : t I} křivka, t0 vnitřní bod intervalu I a funkce je na okolí bodu t0 ryze monotonní (k tomu stačí, aby měla v bodě t0 spojitou derivaci a (t0) = 0), pak existuje interval J R, který obsahuje bod (t0) a existuje funkce f definovaná na J tak, že {(x, f(x)) : x J} C. D.: Nechť existuje okolí O(t0) bodu t0 takové, že je na O(t0) ryze monotonní. Na O(t0) existuje funkce -1 inversní k funkci . Označme J = (O(t0)). Pro x = (t) J definujme f(x) = (-1 (x)). 3.2.2 Poznámka o derivaci funkcí daných parametricky * Nechť C = {((t), (t)) : t I} je křivka, , mají spojitou derivaci na I a nechť (t) = 0 pro každé t I. Pak existuje funkce f definovaná na intervalu J = {(t) : t I}, která má na tomto intervalu derivaci, přičemž platí f (x) = (t) (t) pro x = (t) J. D.: Ze spojitosti a z podmínky (t) = 0 na I plyne, že (t) > 0 pro každé t I, nebo (t) < 0 pro každé t I a tedy podle 2.7.2 je na I ryze monotonní. Podle 1.2.16.2 existuje funkce -1 inversní k . Definujme f(x) = (-1 (x)) pro x = (t). Podle 2.3.6 a 2.3.7 je f (x) = [(-1 (x))] = (-1 (x)) 1 (t) = (t) (t) . * Nechť jsou splněny podmínky předchozího tvrzení a nechť funkce , mají na I druhé derivace. Pak také funkce f má na J druhou derivaci a platí f (x) = (t) (t) - (t) (t) ( (t))3 pro x = (t) J. D.: f (x) = (f (x)) = (-1 (x)) (-1(x)) = (-1 (x)) (-1 (x)) - (-1 (x)) (-1 (x)) ( (-1(x)))2 1 (t) . * Analogicky lze postupovat při výpočtu vyšších derivací. * S použitím ,,diferenciální symboliky lze předchozí tvrzení zapsat: f (x) = dy dx = d(t) d(t) = (t)dt (t)dt = (t) (t) = dy dt dx dt , f (x) = df (x) dx = d (t) (t) (t)dt = (t) (t)- (t) (t) ( (t))2 dt (t)dt = (t) (t) - (t) (t) ( (t))3 = d2 y dt2 dx dt - dy dt d2 x dt2 (dx dt )3 . 79 3.2.3 Definice Řekneme, že křivka C je oblouk (jednoduchá křivka), jestliže existuje její parametrizace , taková, že zobrazení t ((t), (t)) je bijektivní. Křivka se nazývá jordanovská (jednoduchá uzavřená), jestliže je uzavřená a existuje její parametrizace , : [a, b] R taková, že platí implikace t1, t2 [a, b], 0 < |t1 - t2| < b - a ((t1), (t1)) = ((t2), (t2)). Jestliže křivka C není uzavřená a není obloukem, pak pro její libovolnou parametrizaci , : I R existují t1, t2 I, t1 = t2 tak, že ((t1), (t1)) = ((t2), (t2)). Bod ((t1), (t1)) = ((t2), (t2)) se nazývá vícenásobný bod (bod větvení) křivky C. 3.2.4 Definice Buď C křivka, , : I R její parametrizace. Nechť t0 je vnitřní bod intervalu I a A = ((t0), (t0)) není vícenásobný bod křivky C a nechť existují derivace (t0), (t0) a platí ( (t0))2 + ( (t0))2 = 0. Přímka procházející bodem A, jejíž směrový vektor je ( (t0), (t0)) se nazývá tečna ke křivce C v bodě A. 3.2.5 Poznámka Nechť křivka C je grafem funkce f, Dom f je interval a f má derivaci v bodě x0. Pak (t) = t (t) = f(t) , t Dom f je parametrizací C. (t) = 1, (t) = f (t). Tečna ke křivce C v bodě (x0, f(x0)) má parametrické rovnice x = x0 + t y = f(x0) + f (x0)t . Eliminací parametru t dostaneme obecnou rovnici tečny x - x0 = y - f(x0) f (x0) , neboli y - y0 = f (x0)(x - x0). Tedy definice 3.2.4 souhlasí s tím, jak byla tečna ke grafu funkce zavedena v 2.3.2.7. Příklad: C : x = (t) = a cos3 t y = (t) = a sin3 t , t [0, 2], a R, a > 0 je jordanovskou křivkou. (t) = -3a cos2 t sin t, (t) = 3a sin2 t cos t. Tečna ke křivce C existuje v každém bodě ((t), (t)) takovém, že 0 = ( (t))2 + ( (t))2 = 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t = 9a2 sin2 t cos2 t, tedy pro t {0, 1 2 , , 3 2 }. 3.2.6 Definice Nechť C je oblouk nebo jordanovská křivka. C se nazývá hladká, existuje-li její parametrizace , : I R taková, že (i) (t), (t) existují pro každý vnitřní bod t I. Je-li C uzavřená, I = [a, b], existují +(a), -(b), +(a), -(b) a platí +(a) = -(b), +(a) = -(b). (ii) ( (t))2 + ( (t))2 = 0 pro každý vnitřní bod t I. Je-li C uzavřená, I = [a, b], navíc platí (+(a))2 + (+(a))2 = 0 = (-(b))2 + (-(b))2 . C se nazývá po částech hladká, existuje-li konečný počet hladkých křivek C1, C2, . . . , Cn takových, že C = C1 C2 Cn. Křivka je hladká, jestliže nemá vícenásobné body a existuje k ní tečna v každém bodě, který není krajní. 3.2.7 Definice Buďte C1 = {(1(t), 1(t)) : t I1}, C2 = {(2(t), 2(t)) : t I2} křivky a nechť (x0, y0) = (1(t1), 1(t1)) = (2(t2), 2(t2)) C1 C2 není ani krajní ani vícenásobný bod žádné z křivek C1, C2. Řekneme, že křivky C1 a C2 mají v bodě (x0, y0) styk řádu alespoň n N {0}, jestliže 80 buď existují kladná čísla 0, a funkce f1, f2 takové, že (t1 - , t1 + ) I1, (t2 - , t2 + ) I2, (x0 - 0, x0 + 0) Dom f1 Dom f2, {(x, f1(x)) : x0 - 0 < x < x0 + 0} = {(1(t), 1(t)) : t1 - < t < t1 + }, {(x, f2(x)) : x0 - 0 < x < x0 + 0} = {(2(t), 2(t)) : t2 - < t < t2 + }, a funkce f1, f2 mají v bodě x0 styk řádu alespoň n, nebo existují kladná čísla 0, a funkce g1, g2 takové, že (t1 - , t1 + ) I1, (t2 - , t2 + ) I2, (y0 - 0, y0 + 0) Dom g1 Dom g2, {(g1(y), y) : y0 - 0 < y < y0 + 0} = {(1(t), 1(t)) : t1 - < t < t1 + }, {(g2(y), y) : y0 - 0 < y < y0 + 0} = {(2(t), 2(t)) : t2 - < t < t2 + }, a funkce g1, g2 mají v bodě y0 styk řádu alespoň n 3.2.8 Definice Nechť C je křivka, K je kružnice se středem (xS, yS) a poloměrem r a (x0, y0) C K. Kružnice K se nazývá oskulační kružnice křivky C v bodě (x0, y0), jestliže křivky C, K mají v bodě (x0, y0) styk řádu alespoň 2. Střed oskulační kružnice se nazývá střed křivosti křivky C v bodě (x0, y0), poloměr oskulační kružnice se nazývá poloměr křivosti křivky C v bodě (x0, y0), jeho převrácená hodnota 1 r se nazývá křivost křivky C v bodě (x0, y0). Množina všech středů křivosti křivky C ve všech jejích bodech se nazývá evoluta křivky C. 3.2.9 Věta Buď C = {((t), (t)) : t I} hladká křivka, t0 vnitřní bod intervalu I a nechť funkce , mají v bodě t0 druhé derivace. Nechť (x0, y0) = ((t0), (t0)) není vícenásobný bod křivky C a platí (t0) (t0) - (t0) (t0) = 0. Pak má křivka C v bodě (x0, y0) jedinou oskulační kružnici o středu (xS, yS) a poloměru r, kde xS = (t0) ( (t0))2 + ( (t0))2 (t0) (t0) - (t0) (t0) (t0) , yS = (t0) + ( (t0))2 + ( (t0))2 (t0) (t0) - (t0) (t0) (t0) , r = (( (t0))2 + ( (t0))2 )3/2 | (t0) (t0) - (t0) (t0)| . D.: Poznamenejme, že z existence druhé derivace funkce v bodě t0 plyne spojitost její první derivace v tomto bodě. Nechť nejprve (t0) = 0. Pak nastává první případ z definice 3.2.7. Nechť K = {(xS + r cos t, yS + r sin t) : t [0, 2]} je oskulační kružnice křivky C v bodě (x0, y0) = ((t0), (t0)) = (xS + r cos 0, yS + r sin 0). Podle 2.6.3 je (-1 (x0)) = f(x0), (-1 (x0)) = f (x0), (-1 (x0)) = f (x0), kde f je funkce definovaná v okolí bodu x0 a daná parametricky rovnicemi kružnice K. Podle 3.2.2 je (-1 (x0)) = (t0) (t0) = r cos 0 -r sin 0 = - cotg 0 , (-1 (x0)) = (t0) (t0) - (t0) (t0) ( (t0))3 = (-r sin 0)(-r sin 0) - (-r cos 0)(r cos 0) -r3 sin3 0 = = - 1 r sin3 0 . 81 Máme tedy soustavu čtyř rovnic pro čtyři neznámé 0, xS, yS, r: (t0) = xS + r cos 0 , (t0) = yS + r sin 0 , (t0) (t0) = - cotg 0 , (t0) (t0) - (t0) (t0) ( (t0))3 = - 1 r sin3 0 , která má jediné řešení dáné formulemi v tvrzení věty. Nechť nyní (t0) = 0. Pak, poněvadž křivka C je hladká, ze vztahu ( (t0))2 + ( (t0))2 = 0 plyne (t0) = 0 a nastává druhý případ z definice 3.2.7. Tento případ vyšetříme analogicky. 3.2.10 Důsledek Nechť funkce f má v bodě x0 druhou derivaci f (x0) = 0. Pak graf funkce f má v bodě (x0, f(x0)) oskulační kružnici, pro jejíž střed a poloměr platí xS = x0 - 1 + (f (x0))2 f (x0) f (x0) , yS = f(x0) + 1 + (f (x0))2 f (x0) , r = (1 + (f (x0))2 )3/2 |f (x0)| . Příklady: 1. Určete křivost paraboly y = x2 v jejím vrcholu. Ř.: f(x) = x2 , f (x) = 2x, f (0) = 0, f (x) = 2, 1 r = 2. 2. Najděte evolutu elipsy (t) = a cos t (t) = b sin t , t [0, 2]. Ř.: (t) = -a sin t, (t) = -a cos t, (t) = b cos t, (t) = -b sin t, ( (t))2 + ( (t))2 = a2 sin2 t + b2 cos2 t, (t) (t) - (t) (t) = ab sin2 t + ab cos2 t = ab. Parametrické rovnice evoluty: x = a cos t - a2 sin2 t + b2 cos2 t ab b cos t = cos t a (a2 - a2 sin2 t - b2 cos2 t) = a2 - b2 a cos3 t y = b sin t - a2 sin2 t + b2 cos2 t ab a sin t = sin t b (b2 - a2 sin2 t - b2 cos2 t) = b2 - a2 b sin3 t 82 Rovnice v kartézských Parametrické rovnice Rovnice v polárních souřadnicích souřadnicích Kružnice x2 + y2 = a2 x = a cos t r = a y = a sin t Elipsa x2 a2 + y2 b2 = 1 x = a cos t r = p 1 + cos , 0 < < 1 y = b sin t Parabola y2 = 2px x = 1 2p t2 r = p 1 + cos y = t Hyperbola x2 a2 - y2 b2 = 1 x = a cos t r = p 1 + cos , > 1 y = b tg t Cassiniovy (x2 + y2)2 - 2e2(x2 - y2) = a4 - e4 r2 = e2 cos2 2 e4 cos2 2 + a4 - e4 křivky Bernoulliova (x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2) x = 2 at 1 + t2 1 + t4 r = a 2 cos2 2, lemniskáta y = 2 at 1 - t2 1 + t4 [- 4 , 4 ] [ 3 4 , 5 4 ] Cykloida x + 2ay - y2 = a arccos a - y a x = a(t - sin t) x - 2ay - y2 = a 2 - arccos a - y a y = a(1 - cos t) Kardioida (x2 + y2 - a2)2 = 4a2((x - a)2 + y2) x = a(2 cos t - cos 2t) r = 2a(1 - cos ) (srdcovka) y = a(2 sin t - sin 2t) Asteroida x2/3 + y2/3 = a2/3 x = a cos3 t 4 (hvězdice) y = a sin3 t 4 Archimedova y x = tg x2 + y2 a r = a, 0 spirála Hyperbolická y x = tg a x2 + y2 r = a spirála Logaritmická y x = tg 1 k ln x2 + y2 a r = aek spirála Tabulka 3.1: Některé křivky 83 84 Část II Integrální počet funkcí jedné proměnné 85 Kapitola 4 Neurčitý integrál 4.1 Primitivní funkce 4.1.1 Definice Buďte f, F funkce definované na intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní k funkci (je neurčitým integrálem z funkce) f na I, jestliže na tomto intervalu platí F = f. Označení: F(x) = f(x)dx. 4.1.2 Poznámky 1. Pokud některý z krajních bodů intervalu I do tohoto intervalu patří, je potřeba v tomto bodě uvažovat příslušnou jednostrannou derivaci. 2. Primitivní funkce je podle 2.3.3 spojitá na I. 3. Primitivní funkce bývá někdy definována obecněji: F je primitivní k f na I, jestliže množina {x I : F (x) = f(x)} je nejvýše spočetná. (F (x) = f(x) skoro všude na I.) V tomto smyslu je například F(x) = |x| zobecněnou primitivní funkcí k f(x) = sgn x na I = (-, ). 4.1.3 Příklady 1. x3 3 = x2 dx na (-, ). 2. ln x = 1 x dx na (0, ) ln(-x) = 1 x dx na (-, 0) ln |x| = 1 x dx na intervalu, který neobsahuje 0. 4.1.4 Věta (o existenci primitivní funkce) Ke každé funkci spojité na intervalu I existuje na tomto intervalu funkce primitivní. D.: Bude proveden později (5.3.6). 4.1.5 Věta Je-li F funkce primitivní k f na I a c R, pak F + c je rovněž primitivní k f na I. Jsou-li F a G funkce primitivní k funkci f na intervalu I, pak existuje konstanta c R taková, že G(x) = F(x)+c pro každé x I. Je-li F funkce primitivná k f na I pak {F + c : c R} je množina všech funkcí primitivních k funkci f na I. D.: (F(x) + c) = F (x) + 0 = f(x), druhé tvrzení plyne z 2.5.4.3, třetí je důsledkem prvních dvou. 87 4.1.6 Nejdůležitější neurčité integrály xn dx = xn+1 n + 1 , n = -1 ex dx = ex dx x = ln |x| ax dx = ax ln a , a > 0, a = 1 dx 1 + x2 = arctg x = - arccotg x sin xdx = - cos x dx 1 - x2 = 1 2 ln 1 + x 1 - x cos xdx = sin x dx 1 - x2 = arcsin x = - arccos x dx sin2 x = - cotg x dx x2 1 = ln |x + x2 1| dx cos2 x = tg x f (x) f(x) dx = ln |f(x)|. Každý z uvedených vzorců platí na libovolném intervalu, na němž je funkce za znakem definována. Platnost uvedených vzorců lze ověřit derivováním. 4.1.7 Věta Nechť fi(x)dx = Fi(x) na intervalu I, ci R pro i {1, 2, . . . , n}. Pak (c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x))dx = c1F1(x) + c2F2(x) + + cnFn(x) na I. D.: Plyne přímo z 2.3.5. Věta říká, že neurčitý integrál je lineární operátor na množině funkcí. 4.1.8 Věta Nechť f(x)dx = F(x) na I. Pak f(ax + b)dx = 1 a F(ax + b) na J = {x R : ax + b I}. D.: Podle 2.3.6 je 1 a F(ax + b) = 1 a F (ax + b)[ax + b] = F (ax + b) = f(ax + b). 4.1.9 Příklad cos2 xdx = 1 + cos 2x 2 dx = 1 2 x + sin 2x 2 = x + sin x cos x 2 4.1.10 Věta (metoda "per partes") Nechť funkce u, v mají derivaci na intervalu I. Existuje-li na I primitivní funkce k jedné z funkcí u v, uv , existuje i ke druhé z nich a platí u (x)v(x)dx + u(x)v (x)dx = u(x)v(x) na I. D.: Nechť existuje primitivní funkce k u v. Podle 2.3.5 je (uv) = u v + uv , tedy uv = (uv) - u v. (u(x)v(x)) dx = u(x)v(x) na I, u (x)v(x)dx existuje a tedy podle 4.1.7 u(x)v (x)dx = u(x)v(x) - u (x)v(x)dx na I, což je vzorec z tvrzení věty. 4.1.11 Poznámky 1. Je-li alespoň jedna z derivací u , v spojitá na I, jsou předpoklady věty 4.1.10 splněny. 88 2. Vzorec uvedený v 4.1.10 ve tvaru u(x)v (x)dx = u(x)v(x) - u (x)(x)vdx dává metodu integrace v případě, kdy integrovaná funkce je součinem dvou funkcí, z nichž jedna je derivací známé funkce. 3. Metodou ,,per partes jsou řešitelné zejména tyto typy integrálů: * xn eax dx : u(x) = xn , v = eax * xn cos axdx : u(x) = xn , v = cos ax * xn sin axdx : u(x) = xn , v = sin ax * xn arctg axdx : u(x) = arctg ax, v = xn * xn arccotg axdx : u(x) = arccotg ax, v = xn * xn arccos axdx : u(x) = arccos ax, v = xn * xn arcsin axdx : u(x) = arcsin ax, v = xn * xa logn b xdx : u(x) = logn b x, v = xa Příklad: ln xdx = x ln x - dx = x ln x - x = x ln x e u = ln x u = 1 x v = 1 v = x 4.1.12 Věta (substituční metoda) Nechť f je funkce definovaná na intervalu I a je prostá funkce, která má derivaci na intervalu J takovém, že (J) = I. f(x)dx existuje na I právě tehdy, když na J existuje f((t)) (t)dt; v tomto případě platí: F(x) = f(x)dx = f((t)) (t)dt = F((t)) , G(t) = f((t)) (t)dt = f(x)dx = G(-1 (x)) . D.: Podle 2.3.6 pokud d dx F(x) = f(x), pak d dt F((t)) = F ((t)) (t) = f((t)) (t). Podle 2.3.6 a 2.3.7 pokud d dt G(t) = f((t)) (t), pak d dx G(-1 (x)) = G (-1 (x)) 1 (t) = f((-1 (x))) (-1 (x)) 1 (-1(x)) = f(x). Schéma použití věty je jednoduché: f((t)) (t)dt = f(x)dx = F(x) = F((t)) (t) = x (t)dt = dx nebo f(x)dx = f((t)) (t)dt = G(t) = G(-1 (x)) x = (t) dx = (t)dt 89 4.1.13 Příklad 1 - x2 dx = 1 - sin2 t cos tdt = cos2 tdt = t + sin t cos t 2 = arcsin x + x 1 - x2 2 x = sin t dx = cos tdt Předposlední rovnost platí podle 4.1.9. f(x) = 1 - x2, I = [-1, 1], (t) = sin t, J = [- 2 , 2 ]. 4.1.14 Integrace racionálních funkcí V rozkladu racionální funkce na parciální zlomky (viz 1.4.15) se vyskytují zlomky tvaru p (x - )m a cx + d [(x - a)2 + b2]n . dx (x - )m = dt tm = 1 1 - m 1 tm-1 = 1 1 - m 1 (x - )m-1 , m = 1 ln |t| = ln |x - |, m = 1 x - = t dx = dt cx + d [(x - a)2 + b2]n = c 2 2(x - a) [(x - a)2 + b2]n + ac + d [(x - a)2 + b2]n 2(x - a) [(x - a)2 + b2]n dx = dt tn = 1 1 - n 1 tn-1 = 1 1 - n 1 ((x - a)2 + b2)n-1 , n = 1 ln |t| = ln |(x - a)2 + b2 |, n = 1 (x - a)2 + b2 = t 2(x - a)dx = dt dx [(x - a)2 + b2]n = bdt (b2t2 + b2)n = 1 b2n-1 dt (t2 + 1)n x - a = bt dx = bdt Označme Kn = dt (t2 + 1)n . Pak K1 = dt t2 + 1 = arctg t Kn = dt (t2 + 1)n = t (t2 + 1)n + 2n t2 (t2 + 1)n+1 dt = u = 1 (t2 + 1)n u = -2nt (t2 + 1)n+1 v = 1 v = t = t (t2 + 1)n + 2n dt (t2 + 1)n - dt (t2 + 1)n+1 = = t (t2 + 1)n + 2n(Kn - Kn+1) Tedy Kn = t (t2 + 1)n + 2nKn - 2nKn+1. Odtud Kn+1 = t 2n(t2 + 1)n + 2n - 1 2n Kn. Neboli (píšeme-li n - 1 místo n) Kn = t 2(n - 1)(t2 + 1)n-1 + 2n - 3 2n - 2 Kn-1 90 4.1.15 Poznámka Je-li R racionální funkce pak následující integrály lze transformovat na integrály z racionální funkce: * R(u(x))u (x)dx, kde u je libovolná funkce -- substituce u(x) = t * R(eax )dx -- substituce eax = t 4.1.16 Definice Polynom ve dvou proměnných je funkce P : R2 R tvaru P(x, y) = an,0xn +an-1,1xn-1 y+an-2,2xn-2 y2 + +a0,nyn + +a2,0x2 +a1,1xy+a0,2y2 +a1,0x+a0,1y+a0,0 . Racionální funkce ve dvou proměnných je funkce R : R2 R tvaru R(x, y) = P(x, y) Q(x, y) , kde P, Q jsou polynomy ve dvou proměnných. 4.1.17 Integrály, které lze transformovat na integrály z racionální funkce Symbolem R(x, y) budeme značit racionální funkci ve dvou proměnných x, y. 1. R x, n ax + b cx + d dx -- substituce ax + b cx + d = tn . 2. R x, ax2 + bx + c dx (Eulerovy substituce) a > 0 : ax2 + bx + c = a x + t c > 0 : ax2 + bx + c = xt c ax2 + bx + c = a(x - 1)(x - 2) : ax2 + bx + c = t(x - 1) 3. Binomické integrály xm (a + bxn )p dx, kde m, n, p Q. p Z : x = tN , kde N je společný jmenovatel čísel m a n m + 1 n Z : a + bxn = tN , kde N je jmenovatel zlomku p m + 1 n + p Z : a xn + b = tN , kde N je jmenovatel zlomku p 4. R(sin x, cos x)dx -- substituce tg x 2 = t V některých případech lze volit jednodušší substituci: R(sin x, - cos x) = -R(sin x, cos x) : sin x = t R(- sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) : cos x = t R(- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x) : tg x = t 4.1.18 Poznámka Primitivní funkce k funkci elementární nemusí být elementární, může být tzv. vyšší funkcí. Vyššími funkcemi jsou zejména 91 sin x x dx = Si(x) ,,integrálsinus cos x x dx = Ci(x) ,,integrálcosinus dx ln x = Li(x) ,,logaritmusintegrál e-x2 dx Gaussova funkce sin x2 dx, cos x2 dx Fresnelovy integrály Binomické integrály xm (a + bxn )p dx, pokud žádné z čísel p, m + 1 n , m + 1 n + p není celé. Není známo obecné pravidlo, které by umožnilo rozhodnout, zda primitivní funkci neumíme vyjádřit jako elementární v důsledku nevhodných integračních metod, nebo zda skutečně vyjadřuje vyšší funkci. 4.2 Cvičení Najděte primitivní funkci 1) 1 - x x 2 dx, 2) (1 - x)3 x 3 x dx, 3) x2 1 - x2 dx, 4) 1 + x2 + 1 - x2 1 - x4 dx, 5) 2x+1 - 5x-1 10x dx, 6) e3x + 1 ex + 1 dx, 7) 1 - sin 2x dx, 8) tg2 x dx, 9) dx (5x - 2)5 , 10) dx 3x2 - 2 , 11) dx 1 + cos x , 12) dx 1 + sin x , 13) x3 dx x8 - 2 , 14) dx (1 + x) x , 15) 1 x2 sin 1 x dx, 16) tg x dx, 17) dx ex + e-x , 18) dx 1 + e2x , 19) xn ln x dx, 20) x2 sin 2x dx, 21) sin x ln(tg x) dx, 22) arctg x dx, 23) 1 - x + 1 1 + 3 x + 1 dx, 24) dx 1 + x + 1 + x , 25) dx (1 - x)2 1 - x2 , 26) dx x3 x2 + 1 , 27) dx x + x2 + x + 1 , 28) cos5 dx, 29) sin 5x cos x dx, 30) dx (2 + cos x) sin x , 31) dx 2 sin x - cos x + 5 , 32) dx (a sin x + b cos x)2 , 33) x dx 1 + 3 x2 . Výsledky: 1) x - 1 x - ln x2 2) - 3 3 x 1 + 3 2 x - 3 5 x2 + 1 8 x3 3) 1 2 ln 1+x 1-x - x 4) arcsin x + ln x + 1 + x2 5) 1 5 ln 2 1 2 x - 2 ln 5 1 5 x 6) 1 2 e2x -ex +x 7) sgn x - 4 (sin x-cos x) 8) tg x-x 9) 2 (30-75x) 5x-2 10) 1 3 ln 3 x - 3x2 - 2 11) tg x 2 12) tg x 2 - 4 13) 2 16 ln x4 - 2 x4+ 2 14) 2 arctg x 15) cos 1 x 16) - ln | cos x| 17) arctg ex 18) ln 1 + e2x - 1 -x 19) xn+1 n+1 ln x - xn+1 (n+1)2 20) x sin x cos x - 2x2 -1 4 cos 2x 21) ln tg x 2 - cos x ln(tg x) 22) x arctg x - ln 1 + x2 23) -6 7 t7 + 6 5 t5 + 3 2 t4 -2t3 -3t2 +6t+3 ln(t2 +1)-6 arctg t, kde t = 6 x + 1 24) x- x- x(1+x) 2 - 1 2 ln x + 1 + x 25) 2-x 3(1-x)2 1 - x2 26) x2+1 2x2 + 1 2 ln 1+ x2+1 |x| 27) 3 2+4t + 1 2 ln t4 |1+2t|3 , kde t = x + x2 + x + 1 28) sin x - 2 3 sin3 x + 1 5 sin5 x 29) -1 8 cos 4x - 1 12 cos 6x 30) 1 6 ln (1-cos x)(2+cos x)2 (1+cos x)3 31) 1 5 arctg 3 tg x 2 +1 5 32) - cos x a(a sin x+b cos x) 33) 3 5 t5 - 2t3 + 3t, kde t = 1 + 3 x2 92 4.3 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 93 94 Kapitola 5 Určitý Riemannův integrál 5.1 Určitý integrál V celém tomto odstavci bude f ohraničená funkce definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. 5.1.1 Definice Dělením uzavřeného intervalu [a, b] rozumíme množinu D = {x0, x1, . . . , xn} takovou, že a = x0 < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b. Čísla x0, x1, . . . , xn nazýváme dělící body, intervaly [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn-1, xn] nazýváme dělící intervaly dělení D. Číslo (D) = max{xi - xi-1 : i = 1, 2, . . . , n} nazýváme norma dělení D. Symbolem ([a, b]) označíme množinu všech dělení intervalu [a, b]. Jsou-li D1 ([a, b]), D2 ([a, b]) taková, že D1 D2 (tj. každý dělící bod D1 je současně dělícím bodem D2), řekneme, že dělení D2 je zjemněním dělení D1. 5.1.2 Definice Buďte D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]), mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]}. Číslo s(D, f) = n i=1 mi(xi - xi-1) nazveme dolním součtem a číslo S(D, f) = n i=1 Mi(xi - xi-1) nazveme horním součtem příslušným k funkci f a dělení D. (Poznamenejme, že existence čísel mi a Mi je zaručena ohraničeností funkce f.) 5.1.3 Tvrzení 1. Pro libovolné D ([a, b]) platí s(D, f) S(D, f). D.: plyne z toho, že mi Mi a xi - xi-1 > 0 pro i = 1, 2, . . . , n. 2. Je-li D2 ([a, b]) zjemněním D1 ([a, b]), pak s(D1, f) s(D2, f), S(D1, f) S(D2, f). (Při zjemnění dělení se dolní součet nezmenší a horní součet nezvětší.) D.: Nechť D2 má o jeden dělící bod více, než D1, tj. D1 = {x0, x1, . . . , xk-1, xk, . . . , xn}, D2 = {x0, x1, . . . , xk-1, z, xk, . . . , xn}. 95 Označme mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, i = 1, 2, . . . , n mk = inf{f(x) : x [xk-1, z]}, mk = inf{f(x) : x [z, xk]}. Pak zřejmě mk mk, mk mk a tedy mk(xk - xk-1) = mk(xk - z) + mk(z - xk-1) mk(xk - z) + mk(z - xk-1). Odtud plyne s(D1, f) = k-1 i=1 mi(xi - xi-1) + mk(xk - xk-1) + n i=k+1 mi(xi - xi-1) k-1 i=1 mi(xi - xi-1) + mk(xk - z) + mk(z - xk-1) + n i=k+1 mi(xi - xi-1) = s(D2, f) . Analogicky ukážeme, že S(D1, f) S(D2, f). Pokud D2 má o p dělících bodů více než D1, ukážeme platnost tvrzení p-násobným opakováním téže úvahy. 3. Nechť m = inf{f(x) : x [a, b]}, M = sup{f(x) : x [a, b]}. Pak pro každé D ([a, b]) platí m(b - a) s(D, f) S(D, f) M(b - a). D.: plyne z 1. a 2., neboť {a, b} ([a, b]) a každé jiné dělení je zjemněním {a, b}. Množiny {s(D, f) : D ([a, b])} a {S(D, f) : D ([a, b])} jsou tedy ohraničené. Obě jsou zřejmě neprázdné. To podle 1.1.7(R14) znamená, že následující definice je korektní. 5.1.4 Definice Číslo b a f(x)dx = sup{s(D, f) : D ([a, b])} nazýváme dolní integrál funkce f na intervalu [a, b] a číslo b a f(x)dx = inf{S(D, f) : D ([a, b])} nazýváme horní integrál funkce f na intervalu [a, b]. 5.1.5 Tvrzení Nechť m = inf{f(x) : x [a, b]}, M = sup{f(x) : x [a, b]}. Pak platí m(b - a) b a f(x)dx b a f(x)dx M(b - a) . D.: plyne z 5.1.3.3 a z definice 5.1.4. 5.1.6 Definice Řekneme, že ohraničená funkce f je na intervalu [a, b] integrace schopna (integrovatelná, integrabilní) v Riemannově smyslu, jestliže b a f(x)dx = b a f(x)dx . 96 V tomto případě definujeme její Riemannův integrál b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx . Jestliže b a f(x)dx < b a f(x)dx , řekneme, že funkce f není na intervalu [a, b] integrace schopna v Riemannově smyslu. 5.1.7 Příklady 1. f(x) = c R pro x [a, b]. Pak m = M = c a tedy podle 5.1.5 je c(b - a) b a f(x)dx b a f(x)dx c(b - a) , z čehož plyne b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx = c(b - a) . 2. f(x) = (x) na [0, 1]. D = {x0, x1, . . . , xn} ([0, 1]), mi = 0, Mi = 1 pro každé i {1, 2, . . . , n}. Tedy s(D, f) = n i=1 mi(xi - xi-1) = n i=1 0(xi - xi-1) = 0, b a (x)dx = 0 , S(D, f) = n i=1 Mi(xi - xi-1) = n i=1 1(xi - xi-1) = xn - x0 = 1, b a f(x)dx = 1 a (x) není integrabilní na [0, 1]. 5.1.8 Definice Nechť D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]), i [xi-1, xi]. Množina = {1, 2, . . . , n} se nazývá výběr representantů dělících intervalů dělení D. Číslo (D, f, ) = n i=1 f(i)(xi - xi-1) se nazývá integrální součet příslušný k funkci f, dělení D a výběru representantů . Poněvadž mi f(i) Mi, platí s(D, f) (D, f, ) S(D, f). Posloupností v širším smyslu rozumíme zobrazení množiny N do libovolné množiny. Lze tedy mluvit o posloupnosti dělení daného intervalu: N ([a, b]). Řekneme, že posloupnost dělení {Dn} n=1 ([a, b]) je nulová, jestliže lim n (Dn) = 0. Ke každému > 0 existuje D ([a, b]) takové, že (D) < . (Stačí položit n = b - a + 1 a interval [a, b] rozdělit na n stejně dlouhých dělících intervalů.) 97 5.1.9 Věta Buď {Dn} n=1 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Pak platí lim n s(Dn, f) = b a f(x)dx , lim n S(Dn, f) = b a f(x)dx . Je-li navíc f integrabilní na [a, b] a n je libovolný výběr representantů dělících intervalů dělení Dn, pak platí lim n s(Dn, f) = lim n S(Dn, f) = lim n (Dn, f, n) = b a f(x)dx . D.: Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každé D ([a, b]), (D) < platí S(D, f) < b a f(x)dx + . Poněvadž f je ohraničená, existuje h R, h > 0, že |f(x)| h pro x [a, b]. Podle 5.1.4 a podle 1.1.6(s2 ) existuje D1 = {y0, y1, . . . , yp} ([a, b]), že b a f(x)dx S(D1, f) < b a f(x)dx + 2 . Položme = 4hp . Pak > 0. Buď D = {x1, x2, . . . , xn} ([a, b]) libovolné takové, že (D) < . Dále položme D2 = D D1 = {z1, z2, . . . , zm} Podle 5.1.3.2 je S(D2, f) S(D, f). Dělící intervaly [xi-1, xi] rozdělíme do dvou druhů: intervaly 1. druhu, jestliže uvnitř něho neleží žádný dělící bod yj intervaly 2. druhu v opačném případě Každý dělící interval 1. druhu je rovněž dělícím intervalem dělení D2. Tento interval přispívá k S(D, f) i k S(D2, f) týmž sčítancem Mi(xi - xi-1), tedy v rozdílu S(D, f) - D(D2, f) se neprojeví. Uvnitř každého intervalu [xi-1, xi] 2. druhu leží alespoň jedno z čísel y1, y2, . . . , yp-1, což znamená, že intervalů 2. druhu je nejvýše p - 1. Interval druhého druhu přispívá k S(D, f) sčítancem Mi(xi - xi-1), který je v absolutní hodnotě menší nebo roven h(D) < h. Absolutní hodnota příspěvku všech intervalů 2. druhu k S(D, f) je tedy < hp. V D2 je každý interval [xi-1, xi] 2. druhu rozdělen dělícími body xi-1 = zr < zr+1 < < zs = xi. Označme Mk = sup{f(x) : x [zk-1, zk]}. Opět |Mk| h a tedy absolutní hodnota příspěvku intervalu [xi-1, xi] do součtu S(D2, f) jest s k=r+1 Mk(zk - zk-1) s k=r+1 h(zk - zk-1) = h(zs - zr) = h(xi - xi-1) < h(D) < h . Absolutní hodnota příspěvků všech intervalů 2. druhu k S(D2, f) je tedy < hp. Odtud plyne, že S(D, f) - S(D2, f) < 2hp = 2 , neboli S(D, f) < S(D2, f) + 2 . Podle 5.1.3.2 je S(D2, f) S(D1, f) a tedy S(D, f) < S(D2, f) + 2 S(D1, f) + 2 < b a f(x)dx + 2 + 2 , což je pomocné tvrzení. 98 Buď nyní R, > 0 libovolné. Podle pomocného tvrzení existuje R, > 0 takové, že pro každé D ([a, b]), (D) < platí S(D, f) < b a f(x)dx + . Poněvadž S(D, f) b a f(x)dx , platí S(D, f) - b a f(x)dx < . Poněvadž posloupnost {Dn} je nulová, k > 0 existuje n0 N takové, že pro n n0 platí (Dn) < . To znamená, že pro n n0 platí S(Dn, f) - b a f(x)dx < , neboli lim n S(Dn, f) = b a f(x)dx . Analogicky dokážeme lim n s(Dn, f) = b a f(x)dx . Je-li f integrabilní na [a, b], je b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx , takže lim n S(Dn, f) = lim n s(Dn, f) = b a f(x)dx . Poslední tvrzení věty nyní plyne z nerovnosti s(D, f) (D, f, ) S(D, f) a z 1.3.7. 5.1.10 Věta (Nutná a dostatečná podmínka integrability) Funkce f je na [a, b] integrabilní právě tehdy, když ke každému R, > 0 existuje D ([a, b]) takové, že S(D, f) - s(D, f) < . D.: : Nechť f je integrabilní. Buďte > 0 libovolné a {Dn} n=1 ([a, b]) libovolná nulová. Podle 5.1.9 existuje n0 N, že s(Dn0 , f) - b a f(x)dx < 2 , S(Dn0 , f) - b a f(x)dx < 2 . 99 Tedy pro Dn0 platí S(Dn0 , f) - s(Dn0 , f) = |S(Dn0 , f) - s(Dn0 , f)| S(Dn, f) - b a f(x)dx + b a f(x)dx - s(Dn, f) < < 2 + 2 = . : Nechť je podmínka splněna. Buď > 0 a D ([a, b]) takové dělení, že S(d, f) - s(D, f) < . Protože b a f(x)dx S(D, f), b a f(x)dx s(D, f) , platí b a f(x)dx - b a f(x)dx < . Poněvadž je libovolné, je možno poslední nerovnost splnit pouze tehdy, když b a f(x)dx b a f(x)dx . Poněvadž opačná nerovnost platí podle 5.1.5 vždy, jest b a f(x)dx = b a f(x)dx a f je integrabilní. 5.1.11 Věta Je-li funkce f monotonní na [a, b], pak je na tomto intervalu integrabilní. D.: Nechť pro určitost je f na [a, b] neklesající. Je-li f(a) = f(b), je f na [a, b] konstantní a podle 5.1.7.1 je integrabilní. Nechť f(a) < f(b). Buď > 0 libovolné a D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]) takové, že (D) < f(b) - f(a) . mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]} = f(xi-1), Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]} = f(xi), tedy S(D, f) - s(D, f) = n i=1 f(xi)(xi - xi-1) - n i=1 f(xi-1)(xi - xi-1) = = n i=1 (f(xi) - f(xi-1))(xi - xi-1) n i=1 (f(xi) - f(xi-1))(D) = = (D)(f(x1) - f(x0) + f(x2) - f(x1) + + f(xn) - f(xn-1)) = = (D)(f(xn) - f(x0)) = (D)(f(b) - f(a)) < f(b) - f(a) (f(b) - f(a)) = = . Podle 5.1.10 je f integrabilní na [a, b]. 100 5.1.12 Věta Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak je na tomto intervalu integrabilní. D.: Buď f spojitá a > 0 libovolné. Podle 2.2.20 je f na [a, b] spojitá stejnoměrně, tedy k b - a > 0 existuje > 0 takové, že pro x, y [a, b], |x - y| < je |f(x) - f(y)| < b - a . Buď D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]), (D) < , mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]}. Podle 2.2.12 existují yi [xi-1, xi], zi [xi-1, xi] takové, že f(yi) = mi, f(zi) = Mi. Dále |yi - zi| < a tedy f(zi) - f(yi) = Mi - mi < b - a . Odtud S(D, f) - s(D, f) = n i=1 f(zi)(xi - xi-1) - n i=1 f(yi)(xi - xi-1) = n i=1 (f(zi) - f(yi))(xi - xi-1) < < b - a n i=1 (xi - xi-1) = b - a (b - a) = a podle 5.1.10 je f integrabilní na [a, b]. 5.1.13 Definice Množina M R se nazývá nulová, jestliže ke každému R, > 0 existuje konečný počet otevřených intervalů (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) takových, že n i=1 (bi - ai) < a M (a1, b1) (a2, b2) (an, bn). Platí * Každá konečná množina je nulová. * Sjednocení konečně mnoha nulových množin je nulová množina. * Množina členů konvergentní posloupnosti je nulová. * Množina členů posloupnosti, která má konečný počet hromadných bodů, je nulová. 5.1.14 Věta Je-li množina bodů nespojitosti funkce f na intervalu [a, b] nulová, pak je f integrabilní na [a, b]. D.: Bude proveden později (5.2.15). Příklad: [a, b] = [0, 1], f(x) = (-1)n , x 1 2n+1 , 1 2n , n = 0, 1, 2, 0, x = 0 . Množina bodů nespojitosti M = 1 2n : n N tvoří konvergentní posloupnost. Je to tedy nulová množina, což znamená, že f je integrabilní na [0, 1]. (Platí b a f(x)dx = 1 3 .) 5.1.15 Věta (Leibnizova [1646 ­ 1716] ­ Newtonova [1642 ­ 1727] formule) Nechť funkce f je integrabilní na [a, b] a nechť funkce F je spojitá na [a, b] a na (a, b) primitivní k f. Pak b a f(x)dx = F(b) - F(a) . 101 D.: Buď D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]). F splňuje na [xi-1, xi] předpoklady 2.5.3. Existuje tedy i (xi-1, xi) takové, že F(xi) - F(xi-1) = F (i)(xi - xi-1) = f(i)(xi - xi-1). Označme = {1, 2, . . . n}. Pak (D, f, ) = n i=1 f(i)(xi - xi-1) = n i=1 (F(xi) - F(xi-1)) = F(b) - F(a) . To znamená: Pro libovolné D ([a, b]) existuje výběr representantů takový, že (D, f, ) = F(b)-F(a). Buď nyní {Dn} n=1 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Ke každému Dn existuje výběr representantů n takový, že (Dn, f, n) = F(b) - F(a). Podle 5.1.9 je b a f(x)dx = lim n (Dn, f, n) = F(b) - F(a) . Budeme používat označení [F(x)]b a = F(b) - F(a). 5.1.16 Poznámka Je-li funkce G spojitá na [a, b] a na (a, b) primitivní k f, pak podle 4.1.5 je G(x) = F(x) + c a tedy [G(x)]b a = [F(x) + c]b a = (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a) = [F(x)]b a . To znamená, že formule z věty 5.1.15 nezávisí na výběru primitivní funkce. 5.1.17 Příklad 1 0 x2 arctg xdx x2 arctg x je na [0, 1] spojitá, tedy podle 5.1.12 integrabilní. x3 3 arctg x + 1 6 ln(x2 + 1) - x2 6 je primitivní k x2 arctg x a na [0, 1] spojitá. Tedy 1 0 x2 arctg xdx = x3 3 arctg x + 1 6 ln(x2 + 1) - x2 6 1 p = 1 3 arctg 1 + 1 6 ln 2 - 1 6 - 1 6 ln 1 = = 1 3 4 + 1 6 ln 2 - 1 6 = 1 12 ( - 2 + ln 2) . 5.1.18 Definice Řekneme, že funkce f definovaná na (a, b) je na tomto intervalu integrace schopna (integrovatelná, integrabilní) v Newtonově smyslu, jestliže existuje funkce F spojitá na [a, b] a primitivní k f na (a, b). V tomto případě definujeme její Newtonův integrál b a f(x)dx = F(b) - F(a) . Věta 5.1.15 říká, že je-li funkce f integrabilní na [a, b] v Riemannově i v Newtonově smyslu, pak se její Riemannův a Newtonův integrál rovnají. 102 5.1.19 Poznámky 1. Integrace ,,per partes pro určité integrály: b a u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)]b a - b a u (x)v(x)dx 2. Substituční metoda pro určité integrály: b a f((x)) (x)dx = (b) (a) f(t)dt b a f(x)dx = -1 (b) -1(a) f((t)) (t)dt 5.2 Vlastnosti Riemannova integrálu V celém odstavci bude pojem ,,integrabilní funkce znamenat funkci integrace schopnou v Riemannově smyslu. 5.2.1 Věta Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b], c, d R, c f(x) d pro každé x [a, b]. Pak c(b - a) b a f(x)dx d(b - a) . D.: Plyne z 5.1.5, neboť c inf{f(x) : x [a, b]}, d sup{f(x) : x [a, b]}. 5.2.2 Důsledky 1. Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže f(x) 0 pro každé x [a, b], pak b a f(x)dx 0 . 2. Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže |f(x)| c pro každé x [a, b], pak b a f(x)dx c(b - a) . D.: Plyne z nerovnosti -c(b - a) b a f(x)dx c(b - a). 5.2.3 Věta (aditivita vzhledem k integrovaným funkcím) Nechť f a g jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Pak je i funkce f + g integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a (f(x) + g(x))dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx . 103 D.: Buď D = {x0, x1, x2, . . . , xn} ([a, b]) libovolné a označme mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, ni = inf{g(x) : x [xi-1, xi]}, pi = inf{f(x) + g(x) : x [xi-1, xi]}. Na intervalu [xi-1, xi] platí mi + ni f(x) + g(x) a tedy mi + ni pi, což znamená, že mi(xi - xi-1) + ni(xi - xi-1) pi(xi - xi-1). Sečtením těchto nerovností pro i od 1 do n dostaneme s(D, f) + s(D, g) s(D, f + g). Buď nyní {Dn} n=0 libovolná nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Pak platí s(Dn, f) + s(Dn, g) s(Dn, f + g) a limitním přechodem n dostaneme podle 5.1.9, 1.3.5.1 a 1.3.6.2 b a f(x)dx + b a g(x)dx b a (f(x) + g(x))dx . Analogicky odvodíme b a (f(x) + g(x))dx b a f(x)dx + b a g(x)dx . Z těchto nerovností plyne tvrzení. 5.2.4 Věta (homogenita vzhledem k integrovaným funkcím) Nechť f je funkce integrabilní na intervalu [a, b] a c R. Pak funkce cf je integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a cf(x)dx = c b a f(x)dx . D.: Nechť D = {x0, x1, x2, . . . , xn} ([a, b]) libovolné a označme mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]}, ni = inf{cf(x) : x [xi-1, xi]}, Ni = sup{cf(x) : x [xi-1, xi]}. Pro c = 0 je tvrzení zřejmé. Nechť c > 0. Pak je ni = cmi, Ni = cMi a tedy s(D, cf) = cs(D, f), S(D, cf) = cS(D, f). Pro libovolnou nulovou {Dn} n=1 ([a, b]) platí: b a cf(x)dx = lim n s(Dn, cf) = c lim n s(Dn, f) = c b a f(x)dx , b a cf(x)dx = lim n S(Dn, cf) = c lim n S(Dn, f) = c b a f(x)dx , z čehož plyne tvrzení. Nechť c < 0. Pak ni = cMi, Ni = cmi a tedy s(D, cf) = cS(D, f), S(D, cf) = cs(D, f) a důkaz dokončíme s využitím nulové posloupnosti {Dn} n=1 ([a, b]). 5.2.5 Důsledek (linearita Riemannova integrálu) Nechť f1, f2, . . . , fn jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b] a c1, c2, . . . , cn R. Pak je funkce c1f1 + c2f2 + + cnfn integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a (c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x))dx = c1 b a f1(x)dx + c2 b a f2(x)dx + + cn b a fn(x))dx . 104 5.2.6 Věta (monotonie vzhledem k integrovaným funkcím) Nechť f a g jsou funkce integrabilní na intervalu [a, b]. Jestliže pro každé x [a, b] platí f(x) g(x), pak b a f(x)dx b a g(x)dx . D.: Pro x [a, b] je g(x) - f(x) 0 a tedy podle 5.2.2.1 a 5.2.5 je 0 b a (g(x) - f(x))dx = b a g(x)dx - b a f(x)dx. 5.2.7 Věta Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b]. Pak je také funkce fg integrabilní na intervalu [a, b]. D.: Nechť nejprve f(x) 0, g(x) 0 pro x [a, b]. Poněvadž funkce f a g jsou integrabilní, jsou ohraničené a tedy existuje k R, k > 0 takové, že f(x) k, g(x) k pro x [a, b]. Buď R, > 0 libovolné. K číslu 2k > 0 existují podle 5.1.10 dělení D1, D2 intervalu [a, b] taková. že S(D1, f) - s(D1, f) < 2k , S(D2, g) - s(D2, g) < 2k . Položme D = {x0, x1, . . . , xn} = D1 D2. Podle 5.1.3.2 platí s(D1, f) s(D, f), S(D1, f) S(D, f) a tedy S(D, f) - s(D, f) S(D1, f) - s(D1, f) < 2k . Obdobně: S(D, g) - s(D, g) < 2k . Označme mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]}, ni = inf{g(x) : x [xi-1, xi]}, Ni = sup{g(x) : x [xi-1, xi]}, pi = inf{f(x)g(x) : x [xi-1, xi]}, Pi = sup{f(x)g(x) : x [xi-1, xi]}. Na intervalu [xi-1, xi] platí 0 mi f(x) Mi, 0 ni g(x) Ni a tedy mini f(x)g(x) MiNi. Odtud dále plyne mini pi Pi MiNi, neboli Pi - pi MiNi - mini = Ni(Mi - mi) + mi(Ni - ni). Poněvadž Ni k, mi k, platí Pi - pi k((Mi - mi) + (Ni - ni)). Poslední nerovnost vynásobíme (xi - xi-1) a takto vzniklé nerovnosti sečteme pro i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme: S(D, fg) - s(D, fg) k(S(D, f) - s(D, f) + S(D, g) - s(D, g)) k 2k + 2k = . Podle 5.1.10 je funkce fg integrabilní. Nechť nyní jsou f, g libovolné. Opět existuje k R, že f(x) k, g(x) k pro x [a, b]. Podle 5.2.5 jsou funkce k - f(x) 0, k - g(x) 0 integrabilní a podle první části důkazu je integrabilní i funkce h(x) = (k - f(x))(k - g(x)). Poněvadž f(x)g(x) = h(x)+kf(x)+kg(x)-k2 , je funkce fg podle 5.2.5 integrabilní na intervalu [a, b]. 5.2.8 Věta Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b]. Je=li |g(x)| c > 0 pro x [a, b], pak je také funkce f g integrabilní na intervalu [a, b]. D.: Nechť g(x) c > 0 pro x [a, b]. Buď R, > 0 libovolné. K číslu c2 > 0 existuje podle 5.1.10 takové D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]), že S(D, g) - s(D, g) < c2 . Označme mi = inf{g(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{g(x) : x [xi-1, xi]}, ni = inf 1 g(x) : x [xi-1, xi] , Ni = sup 1 g(x) x [xi-1, xi] . 105 Platí ni = 1 Mi , Ni = 1 mi , mi c, Mi c. Odtud dostaneme Ni - ni = 1 mi - 1 Mi = Mi - mi miMi 1 c2 (Mi - mi). Tyto nerovnice vynásobíme (xi - xi-1) a sečteme pro i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme S D, 1 g - s D, 1 g 1 c2 (S(D, g) - s(D, g)) < . Podle 5.1.10 je funkce 1 g integrabilní na [a, b]. Je-li g(x) -c < 0 pro x [a, b], je podle první části důkazu funkce - 1 g integrabilní na [a, b] a tedy podle 5.2.4 je také 1 g integrabilní na [a, b]. Tvrzení věty je nyní důsledkem 5.2.7, neboť f g = f 1 g . Poznámka: Předpoklad |g(x)| c > 0 nelze obecně nahradit slabším předpokladem |g(x)| > 0, neboť v takovém případě funkce f g nemusí být ohraničená. Např.: [a, b] = [0, 1], f(x) = 1, g(x) = x, x (0, 1] 1, x = 0 . g je integrabilní na [0, 1] podle 5.1.14, f(x) g(x) = 1 x , x (0, 1] 1, x = 0 není ohraničená. 5.2.9 Věta Je-li funkce f integrabilní na intervalu [a, b], pak také funkce |f| je integrabilní na intervalu [a, b] a platí b a f(x)dx b a |f(x)|dx . D.: Buď R, > 0 libovolné. Existuje D = {x0, x1, . . . , xn} ([a, b]) takové, že S(D, f) - s(D, f) < . Označme mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]}, ni = inf{|f(x)| : x [xi-1, xi]}, Ni = sup{|f(x)| : x [xi-1, xi]}. Buďte x, y [xi-1, xi]. Pak |f(x)|-|f(y)| |f(x)-f(y)| Mi-mi. Odtud plyne, že pro pevně zvolené y je |f(x)| |f(y)|+Mi -mi. Z vlastností suprema plyne Ni |f(y)|+Mi -mi, neboli |f(y)| Ni -(Mi -mi). Z vlastností infima nyní plyne ni Ni - (Mi - mi), neboli Ni - ni Mi - mi. Poslední nerovnice vynásobíme (xi - xi-1) a sečteme přes i = 1, 2, . . . , n. Dostaneme S(D, |f|) - s(D, |f|) S(D, f) - s(D, f) < a podle 5.1.10 je funkce |f| integrabilní. Dále pro x [a, b] platí f(x) |f(x)|, -f(x) |f(x)| a tedy podle 5.2.6 b a f(x)dx b a |f(x)|dx, - b a f(x)dx b a |f(x)|dx, což znamená - b a |f(x)|dx b a f(x)dx b a |f(x)|dx, a to je nerovnost v tvrzení věty. 106 Poznámka: Obrácené tvrzení neplatí. Např. pro f(x) = (x) - 1 2 je |f(x)| = 1 2 , což je funkce integrabilní, ale 1 0 f(x)dx = - 1 2 < 1 2 = 1 0 f(x)dx . (Sr. 5.1.7) 5.2.10 Věta (1. věta o střední hodnotě integrálního počtu) Nechť funkce f a g jsou integrabilní na intervalu [a, b], g(x) 0 pro x [a, b], m = inf{f(x) : x [a, b]}, M = sup{f(x) : x [a, b]}. Pak existuje [m, M] takové, že b a f(x)g(x)dx = b a g(x)dx . D.: Poněvadž m f(x) M a g(x) 0, platí mg(x) f(x)g(x) Mg(x) a tedy podle 5.2.6 a 5.2.4 je m b a g(x)dx b a f(x)g(x)dx M b a g(x)dx . Je-li b a g(x)dx = 0, pak podle 5.2.6 a 5.2.4 je 0 = m b a g(x)dx = b a mg(x)dx b a f(x)g(x)dx b a Mg(x)dx = M b a g(x)dx = 0 a tedy b a f(x)g(x)dx = 0. Rovnost v tvrzení věty je splněna pro libovolné R. Je-li b a g(x)dx > 0, položíme = b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx . Pak m = m b a g(x)dx b a g(x)dx b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx = = b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx M b a g(x)dx b a g(x)dx = M . 5.2.11 Důsledky 1. Nechť funkce f je navíc spojitá. Pak existuje c [a, b] takové, že b a f(x)g(x)dx = f(c) b a g(x)dx . D.: plyne z 2.2.15. 107 2. Nechť m a M mají stejný význam jako v 5.2.10. Pak existuje [m, M] takové, že b a f(x)dx = (b - a) . D.: volbou g(x) = 1. 3. Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Pak existuje c [a, b] takové, že b a f(x)dx = f(c)(b - a) . 5.2.12 Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru) Nechť a, b, c R, a < b < c a f je ohraničená funkce definovaná na [a, c]. Pak platí c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx, c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx. Je-li funkce f integrabilní na [a, b] i na [a, c], pak je integrabilní i na [a, c] a platí c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx. D.: Nechť {Dn} je nulová posloupnost dělení intervalu [a, b] a {Dn} je nulová posloupnost dělení intervalu [b, c]. Pro každé n N položme Dn = Dn Dn. Pak je Dn ([a, b]), (Dn) = max{(Dn), (Dn)}. Tedy lim n (Dn) = 0, neboli {Dn} n=1 je nulová posloupnost dělení intervalu [a, c]. Dále s(Dn, f) = s(Dn, f)+s(Dn, f), S(Dn, f) = S(Dn, f)+S(Dn, f), z čehož limitním přechodem n s využitím 5.1.9 dostaneme první tvrzení. Je-li funkce f integrabilní na intervalech [a, b] a [b, c], platí c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx = c a f(x)dx , což je druhé tvrzení. 5.2.13 Poznámky 1. Druhé tvrzení věty 5.2.12 neplatí pro Newtonův integrál. Např.: a = -1, b = 0, c = 1, f(x) = sgn x. 2. Větu 5.2.12 lze indukcí zobecnit na libovolný konečný počet intervalů: Jsou-li a1, a2, . . . , an R taková, že a1 < a2 < < an a funkce f je integrabilní na každém intervalu [ai-1, ai], i = 2, 3 . . . , n, pak je f integrabilní i na intervalu [a1, an] a platí an a1 f(x)dx = n i=2 ai ai-1 f(x)dx . Analogické tvrzení platí pro horní a dolní integrál. 108 5.2.14 Věta (monotonie vzhledem k integračnímu oboru) Nechť funkce f je integrabilní na intervalu [a, b] a nechť [c, d] (a, b). Pak je f integrabilní i na intervalu [c, d]. D.: Nechť {Dn}, resp. {Dn}, resp. {Dn } je nulová posloupnost dělení intervalu [a, c], resp. [c, d], resp. [d, b]. Pro každé n N položme Dn = Dn Dn Dn . Pak je {Dn} n=1 nulová posloupnost dělení intervalu [a, b] a platí s(Dn, f) = s(Dn, f) + s(Dn) + s(Dn ), S(Dn, f) = S(Dn, f) + S(Dn) + S(Dn ). Odtud dostaneme limitním přechodem n s využitím 5.1.9 b a f(x)dx = c a f(x)dx + d c f(x)dx + b d f(x)dx, b a f(x)dx = c a f(x)dx + d c f(x)dx + b d f(x)dx . Odečtením těchto rovností dostaneme 0 = c a f(x)dx - c a f(x)dx + d c f(x)dx - d c f(x)dx + b d f(x)dx - b d f(x)dx . Poněvadž všechny sčítance jsou nezáporné, musí být nulové. Zejména d c f(x)dx = d c f(x)dx . 5.2.15 Důkaz věty 5.1.14 D.: Buď R, > 0 libovolné. Poněvadž funkce f je na intervalu [a, b] ohraničená, existuje k R, k > 0 takové, že -k f(x) k pro každé x [a, b]. Buď M množina bodů nespojitosti funkce f. Poněvadž je tato množina nulová, existují a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn R, a a1 < b1 < a2 < b2 < < an < bn b takové, že M (a1, b1) (a2, b2) (an, bn) a n i=1 (bi - ai) < 2k . Předpokládejme, že a < a1, bn < b. (V opačném případě bychom provedli analogické úvahy.) Na každém z intervalů [a, a1], [b1, a2], . . . , [bn-1, an], [bn, b] je funkce f spojitá a tedy podle 5.1.12 integrabilní. Na každém intervalu (a1, b1), (a2, b2), , (an, bn) podle 5.1.5 platí -k(bi - ai) bi ai f(x)dx bi ai f(x)dx k(bi - ai), i = 1, 2, . . . , n . Podle 5.2.13.2 je b a f(x)dx = a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx + n i=1 bi ai f(x)dx a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx - k n i=1 (bi - ai) > 109 > a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx - k 2k = = a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx - 2 . Analogicky ukážeme, že b a f(x)dx < a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx + 2 . Odtud 0 b a f(x)dx - b a f(x)dx < . Poněvadž > 0 bylo libovolné, je b a f(x)dx = b a f(x)dx . 5.2.16 Věta Nechť f, g jsou ohraničené funkce na intervalu [a, b] a nechť množina M = {x [a, b] : f(x) = g(x)} je nulová. Je-li jedna z funkcí f, g integrabilní na [a, b], je integrabilní i druhá z nich a platí b a f(x)dx = b a g(x)dx . D.: Nechť funkce f je integrabilní a buď R, > 0 libovolné. Buď k R, k > 0 takové, že -k g(x) k pro x [a, b]. Poněvadž M je nulová, existují a a1 < b1 < a2 < b2 < < an < bn b takové, že M (a1, b1) (a2, b2) (an, bn), n i=1 (bi - ai) 2k . Podle 5.2.14 je funkce f na každém z intervalů [a, a1], [b1, a2], [b2, a3], . . . , [bn, b] integrabilní. Na každém z těchto intervalů jsou funkce f, g shodné, tedy i g je na nich integrabilní a platí a1 a f(x)dx = a1 a g(x)dx, a2 b1 f(x)dx = a2 b1 g(x)dx, . . . , b bn f(x)dx = b bn g(x)dx. Na každém z intervalů [ai, bi] platí -k(bi - ai) bi ai g(x)dx bi ai g(x)dx k(bi - ai) . Analogicky jako v důkazu věty 5.1.14 ukážeme b a g(x)dx > a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx - 2 , b a g(x)dx < a1 a f(x)dx + b bn f(x)dx + n-1 i=1 ai+1 bi f(x)dx + 2 , 110 z čehož opět vyplyne b a g(x)dx = b a g(x)dx. V důsledku věty 5.2.16 není při úvahách o Riemannovu integrálu nutné předpokládat, že ohraničená funkce je definovaná na celém intervalu [a, b]. Stačí, je-li definovaná na [a, b] s výjimkou nulové množiny. Zejména lze tedy hovořit o funkci integrabilní na otevřeném intervalu (a, b). 5.3 Integrál jako funkce horní meze 5.3.1 Úmluva Nechť a R a funkce f je definována v a (tj. a Dom f). Pak klademe a a f(x)dx = 0. Nechť a, b R, a > b a nechť funkce f je integrabilní na intervalu [b, a]. Pak klademe b a f(x)dx = - a b f(x)dx. Snadno ověříme, že při této rozšířené definici zůstávají v platnosti všechna tvrzení předchozího odstavce. Nechť funkce f je integrabilní na [a, b] a x [a, b]. Podle 5.2.14 je funkce f integrabilní na [a, x]. Funkci F(x) = x a f(t)dt definovanou na [a, b] nazýváme integrál jako funkce horní meze. 5.3.2 Věta Nechť funkce f je integrabilní na [a, b]. Pak je funkce F(x) = x a f(t)dt spojitá na [a, b]. D.: Buď x0 [a, b], > 0 libovolné. Poněvadž f je integrabilní, je ohraničená a tedy existuje c R takové, že |f(x)| c pro x [a, b]. Položme = c . Buď x [a, b] (x0 - , x0 + ) libovolný. Pak |F(x0) - F(x)| = x0 a f(t)dt - x a f(t)dt = x x0 f(t)dt |x - x0|c < c = c c = . (První nerovnost plyne z 5.2.2.2) 5.3.3 Věta Nechť je funkce f integrabilní na [a, b] a spojitá v x0 [a, b]. Pak funkce F(x) = x a f(t)dt má derivaci v x0 a platí F (x0) = f(x0). V případě x0 = a nebo x0 = b se jedná o příslušnou jednostrannou derivaci. D.: Buď > 0 libovolné. Poněvadž f je spojitá v x0, k 2 > 0 existuje > 0 takové, že pro x (x0 - , x0 + ) [a, b] platí |f(x) - f(x0)| 2 . 111 Tedy pro x = x0, x (x0 - , x0 + ) [a, b] platí F(x) - F(x0) x - x0 - f(x0) = 1 x - x0 x a f(t)dt - x0 a f(t)dt f(x0)(x - x0) x - x0 = = 1 x - x0 x x0 f(t)dt - x x0 f(x0)dt = = 1 |x - x0| x x0 (f(t) - f(x0))dt 1 |x - x0| x x0 |f(t) - f(x0)|dt 1 |x - x0| x x0 2 dt = = 1 |x - x0| |x - x0| 2 < . Tedy lim xx0 F(x) - F(x0) x - x0 = f(x0). 5.3.4 Důsledek Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak F(x) = x a f(x)dt má na [a, b] derivaci a platí F (x) = f(x). Buď f integrabilní na [a, b], c [a, b] libovolný, pevně zvolený bod. Funkce f je na intervalu s krajními body c, x [a, b] (tj. na intervalu [c, x] pro x > c nebo [x, c] pro x < c) podle 5.2.14 integrabilní. Lze tedy definovat funkci F(x) = x c f(t)dt. 5.3.5 Poznámka Nechť f je funkce integrabilní na [a, b] a c [a, b]. Pak je funkce F(x) = x c f(t)dt spojitá na [a, b]. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 [a, b], má funkce F = x c f(t)dt v tomto bodě derivaci a platí F (x0) = f(x0). D.: Podle 5.3.1 a 5.2.12 je x c f(t)dt = x a f(t)dt - c a f(t)dt. c a f(t)dt je konstanta, tedy spojitá funkce mající nulovou derivaci. Tvrzení nyní plyne z 5.3.2 a z 5.3.3. 5.3.6 Věta (o existenci primitivní funkce) K funkci f spojité na intervalu J existuje na tomto intervalu funkce primitivní. D.: Je-li interval J uzavřený, plyne tvrzení z 5.3.4. Nechť J není uzavřený. Zvolme pevně c J a položme F(x) = x c f(t)dt. F je definována na celém J, neboť pro x J je funkce f spojitá na uzavřeném intervalu s krajními body c a x a tedy podle 5.1.12 integrabilní. Buď x0 J libovolný. Zvolme a, b J, a min{c, x0}, b max{c, x0}. Pak c [a, b], x0 [a, b] a f je spojitá na [a, b]. Podle 5.3.5 tedy platí F (x0) = f(x0). Poněvadž x0 J byl libovolný, platí F (x0) = f(x0) pro každé x J. 112 Je-li f integrabilní funkce na [a, b], lze analogicky uvažovat integrál jako funkci dolní meze G(x) = b x f(t)dt, nebo obecněji G(x) = c x f(t)dt pro c [a, b]. 5.3.7 Poznámka Nechť funkce f je integrabilní na [a, b], c [a, b]. Pak je funkce G(x) = c x f(t)dt spojitá na [a, b]. Je-li funkce f spojitá v bodě x0 [a, b], má funkce G v tomto bodě derivaci a platí G (x0) = -f(x0). 5.4 Nevlastní integrály V dosavadních úvahách o b a f(x)dx jsme předpokládali (i) a, b R, tj. interval (a, b) má konečnou délku, (ii) f je ohraničená na (a, b). V tomto odstavci rozšíříme pojem integrálu na případy, kdy některý z těchto předpokladů není splněn. V takovém případě mluvíme o nevlastních integrálech. Nejdříve budeme uvažovat nesplnění prvního předpokladu. 5.4.1 Definice Nechť a R a f je funkce definovaná na [a, ), která je integrabilní na každém intervalu [a, b], kde b > a, b R. Položme F(t) = t a f(x)dx. Existuje-li vlastní limita lim t F(t), řekneme, že nevlastní integrál a f(x)dx konverguje a klademe a f(x)dx = lim t F(t). Neexistuje-li vlastní limita lim t F(t), řekneme, že nevlastní integrál a f(x)dx diverguje. Analogicky definujeme konvergenci nevlastního integrálu a f(x)dx, a R. Je-li funkce f definována na R a integrabilní na každém uzavřeném intervalu, pak pravíme, že nevlastní integrál f(x)dx konverguje, jestliže pro nějaké a R konvergují nevlastní integrály a f(x)dx a a f(x)dx a klademe f(x)dx = a f(x)dx + a f(x)dx. 5.4.2 Příklady 1. 1 dx xk , k R k = 1 : F(t) = t 1 dx xk = 1 -k + 1 1 xk-1 t 1 = 1 1 - k 1 tk-1 - 1 , lim t F(t) = 1 k - 1 , k > 1 , k < 1 k = 1 : F(t) = t 1 dx x = [ln x]t 1 = ln t - ln 1, lim t F(t) = Tedy 1 dx xk konverguje pro k > 1 a diverguje pro k 1. 113 2. 0 e-kx dx, k R k = 0 : F(t) = t 0 e-kx dx = - e-kx k t 0 = 1 k - e-kt k , lim t F(t) = 1 k , k > 0 , k < 0 k = 0 : F(t) = t 0 dx = t, lim t F(t) = Tedy 0 e-kx dx konverguje pro k > 0 a diverguje pro k 0. 3. - dx 1 + x2 0 dx 1 + x2 = lim t t 0 dx 1 + x2 = lim t [arctg x]t 0 = lim t arctg t = 2 0 - dx 1 + x2 = lim t- 0 t dx 1 + x2 = lim t[arctg x]0 t = lim t(- arctg t) = 2 Tedy - dx 1 + x2 = . 4. 0 cos xdx F(t) = t 0 cos xdx = [sin x]t 0 = sin t, lim t F(t) neexistuje, 0 cos xdx diverguje. 5. 0 f(x)dx, kde f(x) = n, x = n N 0, x N F(t) = t 0 f(x)dx = 0, tedy 0 f(x)dx = 0. Nevlastní integrál může konvergovat, i když je integrovaná funkce neohraničená. V tvrzeních 5.4.3 ­ 5.4.8 budeme předpokládat, že všechny uvažované funkce jsou definovány na [a, ), a R a integrabilní na [a, b] pro každé b > a. Tato tvrzení se týkají integrálů typu a f(x)dx. Po příslušné úpravě předpokladů však platí i pro integrály typu a - f(x)dx. 5.4.3 Věta (Cauchyovo ­ Bolzanovo kriterium) Integrál a f(x)dx konverguje právě tehdy, když ke každému > 0 existuje x0 a takové, že pro každá dvě t1, t2 R, t1 > x0, t2 > x0 platí t2 t1 f(x)dx < . D.: Plyne z 2.1.6. 5.4.4 Věta (Srovnávací kriterium) Nechť na intervalu [a, ) platí 0 f(x) g(x). Konverguje-li a g(x)dx, konverguje i a f(x)dx. Diverguje-li a f(x)dx, diverguje i a g(x)dx. 114 D.: Nechť a g(x)dx konverguje. Podle 5.4.3 existuje x0 a takové, že pro každá t1, t2 R, t1 > x0, t2 > x0 platí t2 t1 g(x)dx < . Volme označení tak, že t1 < t2. Pak podle 5.2.2.1 je t2 t1 g(x)dx 0, t2 t1 f(x)dx 0. Tedy t2 t1 f(x)dx = t2 t1 f(x)dx t2 t1 g(x)dx = t2 t1 g(x)dx < . (První nerovnost plyne z 5.2.6) Podle 5.4.3 a f(x)dx konverguje. Nechť a f(x)dx diverguje. Podle první části důkazu nemůže a g(x)dx konvergovat. 5.4.5 Věta (limitní srovnávací kriterium) Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, b) a nechť existuje lim x f(x) g(x) = c R . Je-li c < a konverguje-li a g(x)dx, pak konverguje i a f(x)dx. Je-li c > 0 a diverguje-li a g(x)dx, pak diverguje i a f(x)dx. D.: Nechť c < a a g(x)dx konverguje. Buď > 0 libovolné. Existuje x0 R, x0 a takové, že pro x x0 platí c - < f(x) g(x) < c + , neboli f(x) < (c + )g(x). Z konvergence a g(x)dx plyne konvergence x0 g(x)dx a tedy i konvergence x0 (c + )g(x)dx. Odtud podle 5.4.4 plyne konvergence x0 f(x)dx a tedy i konvergence a f(x)dx. Nechť c > 0 a a g(x)dx diverguje. lim x g(x) f(x) = 1 c , c < 0, c = . Kdyby a f(x)dx konvergoval, pak by podle první části důkazu a g(x)dx konvergoval. 5.4.6 Důsledky 1. Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, b). Jestliže lim x f(x) g(x) = c (0, ), pak oba nevlastní integrály a f(x)dx a a g(x)dx buď současně konvergují, nebo současně divergují. 2. Buď f nezáporná funkce na intervalu [a, ). * Jestliže existuje k R, k > 1 takové, že lim x xk f(x) < , pak a f(x)dx konverguje. * Jestliže existuje k R, k 1 takové, že lim x xk f(x) > 0, pak a f(x)dx diverguje. * Jestliže existuje k R, k > 0 takové, že lim x ekx f(x) < , pak a f(x)dx konverguje. 115 ˇ Jestliže existuje k R, k 0 takové, že lim x ekx f(x) > 0, pak a f(x)dx diverguje. D.: 5.4.5, 5.4.2.1 a 5.4.2.2. 5.4.7 Věta (Nutná podmínka konvergence nevlastního integrálu) Nechť a f(x)dx konverguje a nechť existuje lim x f(x) = c R . Pak c = 0. D.: Připusťme c > 0. Podle definice limity existují x0 a a k > 0 takové, že pro x x0 je f(x) > k. x0 kdx = lim t k(t - x0) = . Podle 5.4.4 diverguje x0 f(x)dx a tedy i a f(x)dx -- spor. Možnost c < 0 vyloučíme analogicky. Poznámka: Předpoklad o existenci lim x f(x) nelze obecně vynechat, jak ukazuje 5.4.2.5. 5.4.8 Věta Konverguje-li a |f(x)|dx, pak konverguje i a f(x)dx. D.: Buď > 0 libovolné. Podle 5.4.3 existují x0 a a t1, t2 > x0 takové, že t2 t1 |f(x)|dx < . Volme t1 < t2. Pak t2 t1 f(x)dx t2 t1 |f(x)|dx = t2 t1 |f(x)|dx < (první nerovnost platí podle 5.2.9). Tvrzení nyní plyne z 5.4.3. 5.4.9 Definice Nechť f je funkce definovaná na [a, ) a integrabilní na [a, b] pro každé b > a. Řekneme, že nevlastní integrál a f(x)dx konverguje absolutně, jestliže konverguje a |f(x)|dx. Poznámky: * Z 5.4.8 plyne, že konverguje-li a f(x)dx absolutně, pak konverguje. * Je-li f nezáporná funkce na [a, ) a integrál a f(x)dx konverguje, pak konverguje absolutně. Nyní budeme uvažovat nesplnění druhého z předpokladů uvedených na začátku odstavce. 5.4.10 Definice Nechť a, b R, a < b a nechť funkce f je definována na [a, b). Řekneme, že b je singulární bod funkce f, jestliže f není ohraničená na [a, b) a pro každé (a, b) je integrabilní na [a, ]. 5.4.11 Definice Nechť f je funkce definovaná na [a, b) a nechť b je jejím singulárním bodem. Pro t [a, b) položme F(t) = t a f(x)dx. Existuje-li vlastní lim tbF(t), řekneme, že nevlastní integrál b a f(x)dx konverguje a klademe 116 b a f(x)dx = lim tb- F(t). Neexistuje-li vlastní lim tbF(t), řekneme, že nevlastní integrál b a f(x)dx diverguje. Analogicky definujeme singulární bod a pro funkci definovanou na intervalu (a, b] a konvergenci nebo divergenci nevlastního integrálu b a f(x)dx. 5.4.12 Příklad 1 0 dx xk , k R, k > 0 k = 1 : F(t) = 1 t dx xk = 1 1 - k 1 xk-1 1 t = 1 1 - k 1 - 1 tk-1 , lim t0+ F(t) = 1 1 - k , k < 1 , k > 1 k = 1 : F(t) = 1 t dx x = [ln x]t 1 = ln 1 - ln t = - ln t, lim t0+ F(t) = Tedy 1 0 dx xk konverguje pro k < 1 a diverguje pro k 1. Pro nevlastní integrály typu b a f(x)dx platí tvrzení analogická 5.4.3, 5.4.4, 5.4.5 a 5.4.8. Důkazy se provedou shodným způsobem. 5.4.13 Věta (Cauchyovo ­ Bolzanovo kriterium) Integrál b a f(x)dx, kde b je singulární bod funkce f konverguje právě tehdy, když ke každému > 0 existuje x0 [a, b) takové, že pro každá dvě t1, t2 (x0, b) platí t2 t1 f(x)dx < . 5.4.14 Věta (Srovnávací kriterium) Nechť b je singulárním bodem funkce f i funkce g a nechť na intervalu [a, b) platí 0 f(x) g(x). Konverguje-li b a g(x)dx, konverguje i b a f(x)dx. Diverguje-li b a f(x)dx, diverguje i b a g(x)dx. 5.4.15 Věta (limitní srovnávací kriterium) Nechť b je singulárním bodem funkce f i funkce g, funkce f, g jsou nezáporné na [a, b) a nechť existuje lim xb- f(x) g(x) = c R . Je-li c < a konverguje-li b a g(x)dx, pak konverguje i b a f(x)dx. Je-li c > 0 a diverguje-li b a g(x)dx, pak diverguje i b a f(x)dx. 5.4.16 Věta Nechť b je singulárním bodem funkce f. Konverguje-li b a |f(x)|dx, pak konverguje i b a f(x)dx. 117 Analogická tvrzení platí i pro nevlastní integrály typu b a f(x)dx, je-li a singulárním bodem funkce f. 5.5 Aplikace určitého integrálu 5.5.1 Průměrná hodnota (integrální průměr) veličiny y = f(x) na intervalu [a, b] y = 1 b - a b a f(x)dx 5.5.2 Plocha rovinného obrazce 1. Obrazec v kartézských souřadnicích určený nerovnostmi a x b, f1(x) y f2(x). S = b a (f2(x) - f1(x))dx 2. Obrazec v kartézských souřadnicích ohraničený uzavřenou křivkou o parametrických rovnicích x = x(t) y = y(t) , t [, ]. Křivka je orientována kladně, tj. tak, že plocha leží nalevo od křivky. S = - y(t)x (t)dt = x(t)y (t)dt = 1 2 (x(t)y (t) - x (t)y(t))dt 3. Plocha, kterou opisuje průvodič křivky, zadané v polárních souřadnicích rovnicí r = r(), . S = 1 2 (r())2 d 5.5.3 Délka rovinné křivky 1. Křivka zadána parametrickými rovnicemi x = x(t) y = y(t) , t [, ]. s = (x (t))2 + (y (t))2 dt 2. Křivka je grafem funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. s = b a 1 + (f (x))2 dx 3. Křivka zadána v polárních souřadnicích rovnicí r = r(), . s = (r())2 + (r ())2d 118 5.5.4 Objem tělesa 1. Těleso ohraničené rovnoběžnými rovinami vzdálenými od sebe na vzdálenost a se známými plochami řezů S(x) rovinami rovnoběžnými s podstavami ve vzdálenosti x. V = a 0 S(x)dx 2. Těleso vzniklé rotací podgrafu funkce f na intervalu [a, b] kolem osy x. V = b a (f(x))2 dx 3. Těleso vzniklé rotací podgrafu funkce f na intervalu [a, b] kolem osy y. V = 2 b a xf(x)dx 5.5.5 Plocha pláště rotačního tělesa 1. Těleso vzniklé rotací křivky o parametrických rovnicích x = x(t) y = y(t) , t [, ]. S = 2 |y(t)| (x (t))2 + (y (t))2 dt 2. Těleso vzniklé rotací grafu funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. S = 2 b a |f(x)| 1 + (f (x))2 dx 5.6 Cvičení Rozhodněte o konvergenci nevlastních integrálů 1) 0 x2 x4 - x2 + 1 dx, 2) 2 0 dx ln x , 3) 2 lnk x x dx. Vypočítejte plochu obrazce ohraničeného danými křivkami (x, y jsou kartézské souřadnice, r, polární) 4) y = |log10 x| , y = 0, x = 1 10 , x = 10, 5) y = (x + 1)2 , x = sin x, y = 0, 6) x2 a2 + y2 b2 = 1, 7) y2 = x2 (a2 - x2 ), 8) x = 2t - t2 , y = 2t2 - t3 , 9) x = a2 - b2 a cos3 t, y = a2 - b2 b sin3 t, 10) r = a sin 3, 11) r = p 1 - cos , = 4 , = 2 , 12) x2 + y2 2 = 2a2 xy. 119 Vypočítejte délku křivky 13) y = x3, 0 x 4, 14) y = ln(cos x), 0 x a < 2 , 15) x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), 0 t 2, 16) x = a2 - b2 a cos3 t, y = a2 - b2 b sin3 t, 17) r = a sin3 3 , 18) r = a, 0 2. Vypočítejte objem tělesa ohraničeného plochami 19) x2 a2 + y2 b2 = 1, z = c a x, z = 0, 20) x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 1, z = c. 21) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami y = 2x - x2 , y = 0 kolem osy x a objem tělesa vzniklého rotací téhož obrazce kolem osy y. 22) Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o parametrických rovnicích x = a sin3 t, y = b cos3 t kolem osy x a objem tělesa vzniklého rotací téhož obrazce kolem osy y. 23) Vypočítejte povrch tělesa vzniklého rotací asteroidy x2/3 + y2/3 = a2/3 kolem osy x. Výsledky: 1) konverguje 2) diverguje 3) konverguje pro k < -1, diverguje pro k -1 4) 99 ln 10-81 ln 100 5) +2 3 6) ab 7) 4 3 a3 8) 8 15 9) 3 8 (a2 -b2 )2 ab 10) a2 4 11) p2 6 3 + 4 2 12) a2 13) 8 27 10 10 - 1 14) ln tg 4 + a 2 15) 8a 16) 4(a3 -b3 ) ab 17) 3a 2 18) |a| 1 + 42 + ln 2 + 1 + 42 19) 2 3 abc 20) 8 3 abc 21) 16 15 , 8 3 22) 32 105 ab2 , 32 105 a2 b 23) 12 5 a2 5.7 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 120 Kapitola 6 Doplněk 6.1 Numerická integrace 6.1.1 Lemma Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) druhou derivaci. Pak ke každému x [a, b] existuje (a, b) takové, že f(x) = f(a) + f(b) - f(a) b - a (x - a) f () 2 (x - a)(b - x) . D.: Označme P(x) = f(a)+ f(b) - f(a) b - a (x-a). Pak P je jineární polynom a platí P(a) = f(a), P(b) = f(b). Tedy pro x = a nebo x = b platí formule v tvrzení při libovolném (a, b). Buď x0 (a, b) libovolný pevně zvolený bod a položme F(x) = f(x)-P(x)f(x0) - P(x0) (x0 - a)(b - x0) (x-a)(b-x). Pak platí F(a) = F(b) = F(x0) = 0. Podle 2.5.1 existují 1 (a, x0) a 2 (x0, b) takové, že F (1) = F (2) = 0. Dále opět podle 2.5.1 existuje (1, 2) takové, že F () = 0. Pro každé x (a, b) platí P (x) = 0, [(x - a)(b - x)] = -2, tedy 0 = F () = f () + 2 f(x0) - P(x0) (x0 - a)(b - x0) . Odtud f(x0) = f () 2 (x0 -a)(b-x0)+P(x0) a poněvadž x0 (a, b) bylo libovolné, je tvrzení dokázáno. 6.1.2 Lemma Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) druhou derivaci takovou, že |f (x)| M pro každé x (a, b). Pak pro každé x [a, b] platí f(a)+ f(b) - f(a) b - a (x-a)+ M 2 (x2 -(a+b)x+ab) f(x) f(a)+ f(b) - f(a) b - a (x-a)- M 2 (x2 -(a+b)x+ab) . D.: Podle 6.1.1 je pro každé x [a, b] f(x) - f(a) f(b) - f(a) b - a (x - a) = |f ((x))| 2 (x - a)(b - x) M 2 (-x2 + (a + b)x - ab) , z čehož plyne tvrzení. 121 6.1.3 Věta (lichoběžníkové pravidlo) Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) ohraničenou druhou derivaci a buď n N. Označme h = b - a n , xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . . , n , In(f, a, b) = h 2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + + 2f(xn-1) + f(xn)) , M = sup{|f (x)| : x (a, b)} . Pak In(f, a, b) - b a f(x)dx M 12 (b - a)3 n2 . D.: Pro každé i {0, 1, 2, . . . , n - 1} je xi+1 xi f(xi) + f(xi+1) - f(xi) xi+1 - xi (x - xi) M 2 (x2 - (xi + xi+1)x + xixi+1) dx = = xi+1 xi f(xi) + f(xi+1) - f(xi) h (x - xi) M 2 (x2 - (xi + xi+1)x + xixi+1) dx = = f(xi)(xi+1 - xi) + f(xi+1) - f(xi) h (x - xi)2 2 xi+1 xi M 2 x3 3 - (xi + xi+1) x2 2 + xixi+1x xi+1 xi = = hf(xi) + f(xi+1) - f(xi) h h2 2 M 2 x3 i+1 - x3 i 3 - (xi + xi+1) x2 i+1 - x2 i 2 + xixi+1(xi+1 - xi) = = h 2 (f(xi) + f(xi+1)) M 2 h x2 i+1 + xi+1xi + x2 i 3 - x2 i+1 + 2xi+1xi + x2 i 2 + xi+1xi = = h 2 (f(xi) + f(xi+1)) M 12 h(2xi+1xi - x2 i+1 - x2 i ) = h 2 (f(xi) + f(xi+1)) M 12 h3 . Podle 6.1.2 a 5.2.6 platí h 2 (f(xi) + f(xi+1)) - M 12 h3 xi+1 xi f(x)dx h 2 (f(xi) + f(xi+1)) + M 12 h3 . Sečtením těchto nerovností pro n od 0 do n - 1 a s využitím 5.2.13.2 dostaneme h 2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + + 2f(xn-1) + f(xn)) - M 12 h3 n xn x0 f(x)dx h 2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + + 2f(xn-1) + f(xn)) + M 12 h3 n , což je tvrzení. Poněvadž lim n M 12 (b - a)3 n2 = 0, je podle 1.3.7 lim n In(f, a, b) = b a f(x)dx. 122 6.1.4 Věta (Simpsonovo [1710 ­ 1761] pravidlo) Buď f funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na intervalu (a, b) ohraničenou čtvrtou derivaci a buď m N sudé. Označme h = b - a m , xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . . , m , Jm(f, a, b) = h 3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + + 4f(xm-1) + f(xm)) , N = sup{|f(4) (x)| : x (a, b)} . Pak Jm(f, a, b) - b a f(x)dx N 180 (b - a)5 m4 . Myšlenka důkazu: Na každém z intervalů [x2k, x2k+2] nahradíme funkci f kvadratickým polynomem P(x) = (x - x2k+1)(x - x2k+2)f(x2k) (x2k - x2k+1)(x2k - x2k+2) + (x - x2k)(x - x2k+2)f(x2k+1) (x2k+1 - x2k)(x2k+1 - x2k+2) + (x - x2k)(x - x2k+1)f(x2k+2) (x2k+2 - x2k)(x2k+2 - x2k+1) , pro který platí f(x2k) = P(x2k), f(x2k+1) = P(x2k+1), f(x2k+2) = P(x2k+2). 6.1.5 Příklad Hodnota integrál 1 0 dx 1 + x vypočítaná pomocí lichoběžníkového pravidla s n = 8 je 0.6941; odhadnutá chyba je 0.003. Přesná hodnota přitom je 0.6932. Vidíme, že odhad chyby je dosti ,,opatrný , skutečná chyba je více než třikrát menší. 123 124 Část III Nekonečné řady 125 Kapitola 7 Číselné řady 7.1 Pojem řady a jejího součtu 7.1.1 Definice Nechť {an} n=1 je posloupnost reálných čísel. Položme s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ... sn = a1 + a2 + + an . Posloupnost {sn} n=1 se nazývá posloupnost částečných součtů nekonečné řady n=1 an. Poznámka: Budeme uvažovat i nekonečné řady tvaru n=0 an, n=k an a p. Prvky posloupnosti {an} n=1 se nazývají členy řady n=1 an. 7.1.2 Definice Buď n=1 an nekonečná řada a {sn} n=1 posloupnost jejích častečných součtů. Jestliže existuje vlastní limita lim sn = s, řekneme, že řada n=1 an konverguje, číslo s nazýváme jejím součtem a píšeme s = n=1 an. Neexistuje-li vlastní limita lim sn, řekneme, že řada n=1 an diverguje. Je-li přitom lim sn = , řekneme, že řada n=1 an určitě diverguje, neexistuje-li ani nevlastní lim sn, řekneme, že řada n=1 an osciluje. 7.1.3 Příklad -- Geometrická řada n=1 aqn-1 = a + aq + aq2 + aq3 + Členy řady: an = aqn-1 Částečné součty: sn = a1 + a2 + + an = a + aq + + aqn-1 = a(1 + q + + qn-1 ) 127 Platí: sn+1 = a(1 + q + + qn-1 + qn ) = a + aq(1 + q + + qn-1 ) = a + qsn sn+1 = an+1 + sn = aqn + sn Odtud aqn + sn = a + qsn sn(1 - q) = a(1 - qn ) sn = a 1 - qn 1 - q Je-li |q| < 1, pak lim qn = 0; je-li q > 1, pak lim qn = ; je-li q -1, pak neexistuje vlastní ani nevlastní limita posloupnosti {qn } n=1; je-li q = 1, nemá předchozí vyjádření smysl a je sn = na. Celkem: Geometrická řada n=1 aqn-1 konverguje pro |q| < 1 a má součet a 1 - q , určitě diverguje pro q 1 a osciluje pro q -1. 7.1.4 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Řada n=1 an konverguje právě tehdy, když ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro všechna n n0 a m N platí |an+1 + an+2 + + an+m| < . D.: Plyne bezprostředně z 1.3.22. 7.1.5 Věta (nutná podmínka konvergence) Jestliže řada n=1 an konverguje, pak lim an = 0. D.: Nechť n=1 an = lim sn = s. Pak lim an = lim(sn - sn-1) = lim sn - lim sn-1 = s - s = 0. Poznámka: Tato podmínka není postačující -- lim 1 n = 0 ale n=1 1 n určitě diverguje do +. Viz 1.1.2.1. 7.1.6 Definice Buďte n=1 an nekonečná řada, n N libovolné pevně zvolené. Řada Rn = k=1 an+k = an+1 + an+2 + an+3 + (utvořená vynecháním prvních n členů řady n=1 an) se nazývá n-tý zbytek řady n=1 an. 7.1.7 Věta Konverguje-li řada n=1 an, konverguje i každý její zbytek a platí lim Rn = 0. Konverguje-li alespoň jeden zbytek řady n=1 an, konverguje i tato řada. D.: Nechť n=1 an konverguje. Označme {k} k=1 posloupnost částečných součtů zbytku Rn. Je k = sn+k -sn. Posloupnost {sn+k} k=1 konverguje a tedy podle 1.3.6.4 konverguje i {k} k=1. Dále lim n Rn = lim n ( lim k k) = lim n ( lim k (sn+k - sn)) = lim n (s - sn) = s - s = 0. Konverguje-li Rn, je Rn R a tedy k=1 ak = n k=1 ak + Rn, což jakožto součet dvou reálných čísel je reálné číslo. 128 7.1.8 Věta (asociativní zákon) Nechť řada n=1 an konverguje a nechť {nk} k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Označme n0 = 0 a položme bk = ank-1+1 + ank-1+2 + + ank . Pak řada k=1 bk konverguje a platí k=1 bk = n=1 an. D.: Posloupnost částečných součtů řady k=1 bk je vybraná z posloupnosti částečných součtů řady n=1 an: a1 + a2 + a3 + = = (a1 + a2 + + an1 ) + (an1+1 + an1+2 + + an2 ) + + ank-1+1 + ank-1+2 + + ank + = = b1 + b2 + + bk + Tvrzení nyní plyne z 1.3.14. Poznámka: Předpoklad o konvergenci řady n=1 an je podstatný: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + osciluje, posloupnost částečných součtů je 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + = 0 + 0 + 0 + = 0 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + = 1 + 0 + 0 + 0 + = 1 Řada 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + = n=1 (-1)n+1 se nazývá Grandiho. 7.1.9 Věta (distributivní zákon) Nechť řada n=1 an konverguje a nechť c R je libovolné číslo. Pak konverguje i řada n=1 can a platí n=1 can = c n=1 an . D.: Označme sn částečné součty řady n=1 an sn částečné součty řady n=1 can. Pak sn = ca1 + ca2 + + can = c(a1 + a2 + + an) = csn. Tvrzení nyní plyne z poznámky za 1.3.6. Poznámka: Komutativní zákon obecně neplatí. 7.1.10 Věta Konvergují-li řady n=1 an, n=1 bn, pak konverguje i řada n=1 (an + bn) a platí n=1 (an + bn) = n=1 an + n=1 bn . D.: Označme sn částečné součty řady n=1 an sn částečné součty řady n=1 bn Sn částečné součty řady n=1 (an + bn). Pak Sn = (a1 + b1) + (a2 + b2) + + (an + bn) = (a1 + a2 + + an) + (b1 + b2 + + bn) = sn + sn. Tvrzení nyní plyne z 1.3.6.2 129 7.1.11 Věta Nechť řady n=1 a1 n, n=1 a2 n, . . . , n=1 ak n konvergují a nechť c1, c2, . . . , ck jsou reálná čísla. Pak řada n=1 (c1a1 n + c2a2 n + + ckak n) konverguje a platí n=1 (c1a1 n + c2a2 n + + ckak n) = c1 n=1 a1 n + c2 n=1 a2 n + + ck n=1 ak n , neboli n=1 k m=1 cmam n = k m=1 cm n=1 am n . D.: Úplnou indukcí z 7.1.9 a 7.1.10. Poznámka: Zejména pro c1 = c2 = = ck = 1 dostaneme n=1 k m=1 am n = k m=1 n=1 am n . Symbol k v poslední formuli nelze nahradit symbolem . 7.1.12 Věta (Cauchyova o aritmetických průměrech) Nechť {an} n=1 je posloupnost taková, že lim n an = a R . Pak lim n a1 + a2 + + an n = a. D.: Označme bn = a1 + a2 + + an n . Připusťme lim sup n bn > lim n an. Zvolme čísla , R tak, že lim n an < < < lim sup n bn . Existuje n1 N, že pro každé n n1 je an < . Pro n > n1 tedy platí bn = a1 + a2 + + an n = a1 + a2 + + an1 n + an1+1 + an1+2 + + an n < < a1 + a2 + + an1 n + (n - n1) n . Pro n konverguje pravá strana této nerovnosti k . To znamená, že existuje n2 N takové, že pro n n2 je bn < . Odtud plyne, že lim sup n bn , což je spor. Platí tedy lim sup n bn lim n an. Analogicky ukážeme, že lim n an lim inf n bn. Celkem tedy je lim n an lim inf n bn lim sup n bn lim n an, z čehož vyplyne tvrzení. 7.1.13 Poznámka o sumaci divergentních řad Oscilujícím řadám jsme dosud nepřiřazovali žádný symbol jako jejich součet. Někdy je ale užitečné i takovým řadám nějaký ,,součet přiřadit. Taková zobecněná sumace musí splňovat jisté přirozené podmínky: (i) Je-li an = a ve smyslu definice 7.1.2, musí být an = a v zobecněném smyslu. (ii) Je-li an = a, bn = b v zobecněném smyslu a , jsou reálná čísla, pak (an + bn) = a + b v zobecněném smyslu. 130 Sumace, která splňuje (i) a (ii), se nazývá regulární. Cesrova [1859 ­ 1906] metoda (metoda aritmetických průměrů): Nechť n=1 an je řada a {sn} n=1 posloupnost jejích částečných součtů. Jestliže platí lim n s1 + s2 + + sn n = a, pak klademe n=1 an = a v Cesrově smyslu. Z 7.1.12 plyne, že Cesrova sumace je regulární. 7.2 Řady s nezápornými členy n=1 an, an 0 pro každé n N. 7.2.1 Věta Řada n=1 s nezápornými členy buď konverguje nebo určitě diverguje k +. Konverguje právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je ohraničená. D.: sn+1 = sn + an+1 sn. Posloupnost částečných součtů je neklesající a tvrzení plyne z 1.3.4, 1.3.9 a 1.3.12.5. Poznámka: Všechna následující tvrzení mohou být formulována se změněnými předpoklady. Místo ,,pro každé n N lze psát ,,existuje n0 N, že pro všechna n n0 . (Sr. 7.1.7) 7.2.2 Věta (Integrální Cauchyovo - Maclaurinovo kriterium) Nechť f je funkce definovaná na [1, ), která je zde nezáporná a nerostoucí. Nechť f(n) = an pro každé n N Pak řada n=1 konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál 1 f(x)dx. D.: Poněvadž je f na [1, ) monotonní, je podle 5.1.11 integrabilní na [1, b] pro každé b > 1. Označme Jn = n 1 f(x)dx. Pro každé x [i, i + 1], i N platí ai = f(i) f(x) f(i + 1) = ai+1 a tedy ai = i+1 i aidx i+1 i f(x)dx i+1 i ai+1dx = ai+1 . Sečtením těchto nerovností pro i = 1, 2, . . . , n - 1 dostaneme a1 + a2 + + an-1 = sn-1 n 1 f(x)dx = Jn a2 + a3 + + an = sn - a1 , neboli sn - a1 Jn sn-1 . Nechť 1 f(x)dx konverguje. Pak podle 2.1.4 konverguje posloupnost {Jn} a tedy podle 1.3.4 je ohraničená. Existuje K R, že Jn K pro každé n N. Celkem sn K + a1, je shora ohraničená a neklesající, tedy konvergentní (podle 1.3.9) a podle 7.2.1 je i n=1 an konvergentní. Nechť 1 f(x)dx diverguje. Poněvadž f je nezáporná, je funkce F(t) = t 1 f(x)dx neklesající a tedy 1 f(x)dx = . Odtud lim Jn = a také podle poznámky za 1.3.11 lim sn-1 = lim sn = . 131 7.2.3 Příklad n=1 1 nk konverguje pro k > 1 a diverguje pro k 1. (Viz 5.4.2.) 7.2.4 Věta (první srovnávací kriterium) Nechť n=1 an, n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť pro všechna n N platí an bn. Pak platí: Konverguje-li řada n=1 bn, konverguje i řada n=1 an; diverguje-li řada n=1 an, diverguje i řada n=1 bn. D.: Označme sn částečné součty řady n=1 an sn částečné součty řady n=1 bn. Pak sn = a1 + a2 + + an b1 + b2 + + bn = sn. Je-li lim sn = b < , pak pro všechna n N platí sn sn b, neboť posloupnost {sn} n=1 je neklesající. Posloupnost {sn} n=1 je také neklesající a je shora ohraničená, což podle 1.3.9 znamená, že je konvergentní. Je-li lim sn = , je podle poznámky za 1.3.11 také lim sn = . 7.2.5 Definice Buďte n=1 an a n=1 bn řady s nezápornými členy. Je-li an bn pro všechna n N, nazývá se řada n=1 bn majorantou řady n=1 an, řada n=1 an se nazývá minorantou řady n=1 bn. Větu 7.2.4 lze přeformulovat: S konvergentní řadou s nezápornými členy konverguje i každá její minoranta, s divergentní řadou s nezápornými členy diverguje i každá její majoranta. 7.2.6 Věta (limitní srovnávací kriterium) Nechť n=1 an je řada s nezápornými, n=1 bn řada s kladnými členy a nechť existuje lim an bn = c R . Pak platí: Je-li c < a řada n=1 bn konverguje, pak konverguje i řada n=1 an. Je-li c > 0 a řada n=1 bn diverguje, pak diverguje i řada n=1 an. D.: Nechť c < a řada n=1 bn konverguje. Posloupnost an bn n=1 je podle 1.3.4 ohraničená, existuje tedy K R, že pro všechna n N je an bn K, neboli an Kbn. Řada n=1 Kbn je podle 7.1.9 konvergentní, takže podle 7.2.4 je konvergentní i řada n=1 an. Nechť c > 0 a řada n=1 an diverguje. K (0, c) > 0 existuje n0 N takové, že pro všechna n n0 je an bn > c - > 0. Položme k = min a1 b1 , a2 b2 , . . . , an0 bn0 , c - . Pak pro všechna n N je an bn k, neboli an kbn. Kdyby řada n=1 bn konvergovala, pak by podle 7.1.9 a 7.2.4 konvergovala i řada n=1 an, což by byl spor. 132 Důsledek: Buďte n=1 an a n=1 bn řady s kladnými členy. Jestliže existuje lim an bn (0, ), pak řady n=1 an, n=1 bn současně konvergují nebo divergují. 7.2.7 Věta (odmocninové (Cauchyovo) kriterium) Nechť n=1 an je řada s nezápornými členy. Existuje-li takové q [0, 1), že pro všechna n N platí n an q, pak řada n=1 an konverguje. Platí-li pro nekonečně mnoho indexů n nerovnost n an 1, pak řada n=1 an určitě diverguje. D.: Je-li n an q, pak an qn a první tvrzení plyne z 7.2.4 a 7.1.3. Je-li n an 1 pro nekonečně mnoho indexů n, pak an 1 pro nekonečně mnoho indexů n a nemůže být lim an = 0. Druhé tvrzení tedy plyne z 7.1.5 a 7.2.1. 7.2.8 Věta (limitní odmocninové kriterium) Nechť n=1 an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n an = c R . Je-li c < 1, pak řada n=1 an konverguje, je-li c > 1, pak řada n=1 an určitě diverguje. D.: Nechť c < 1 a buď (0, 1 - c). Pak existuje n0 N, že pro všechna n n0 je n an < c + < 1. První tvrzení plyne z 7.2.7 a 7.1.7. Nechť c > 1 a buď (0, c - 1). Pak existuje n0 N, že pro všechna n n0 je n an > c - > 1. Druhé tvrzení plyne z 7.2.7. 7.2.9 Věta (druhé srovnávací kriterium) Buďte n=1 an a n=1 bn řady s kladnými členy a nechť pro všechna n N je an+1 an bn+1 bn . Pak platí: Konverguje-li řada n=1 bn, konverguje i řada n=1 an; diverguje-li řada n=1 an, diverguje i řada n=1 bn. D.: 0 < a2 a1 b2 b1 , 0 < a3 a2 b3 b2 , . . . , 0 < an an-1 bn bn-1 . Vynásobením těchto nerovností dostaneme 0 < an a1 bn b1 , neboli an a1 b1 bn. Konverguje-li řada n=1 bn, konverguje podle 7.1.9 i řada n=1 a1 b1 bn a tedy podle 7.2.4 konverguje řada n=1 an. Nechť řada n=1 an diverguje. Kdyby řada n=1 bn konvergovala, pak by podle již dokázané části věty řada n=1 an konvergovala a to by byl spor. 7.2.10 Věta (podílové (d'Alembertovo [1717 ­ 1783]) kriterium) Nechť n=1 an je řada s kladnými členy. Existuje-li takové q [0, 1), že pro všechna n N platí nerovnost an+1 an q, pak řada n=1 an konverguje. Platí-li pro všechna n N nerovnost an+1 an 1, pak řada n=1 an diverguje. 133 D.: an+1 an q = qn+1 qn a první tvrzení plyne z 7.2.9 a 7.1.3. Je-li an+1 an 1, pak an+1 an, posloupnost {an} n=1 je kladná a neklesající, nemůže tedy být lim an = 0. Druhé tvrzení plyne z 7.1.5. 7.2.11 Věta (limitní podílové kriterium) Nechť n=1 an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim an+1 an = c R . Je-li c < 1, pak řada n=1 an konverguje, je-li c > 1, pak řada n=1 an určitě diverguje. D.: Nechť c < 1 a buď (0, 1 - c). Pak existuje n0 N, že pro všechna n n0 je an+1 an < c + < 1. První tvrzení plyne z 7.2.10 a 7.1.7. Nechť c > 1 a buď (0, c - 1). Pak existuje n0 N, že pro všechna n n0 je an+1 an > c - , tedy an+1 > (c - )an > an, posloupnost {an} n=1 je kladná a rostoucí, nemůže tedy být lim an = 0. Druhé tvrzení plyne z 7.1.5. 7.2.12 Lemma Buď {an} posloupnost kladných čísel. Jestliže lim n an+1 an = a R , pak lim n n an = a. D.: Ukážeme, že lim sup n n an lim n an+1 an = a. Je-li a = , je tvrzení triviální. Nechť a < a zvolme b R, b > a. Existuje n0 N, že pro n n0 je an+1 an < b. Tedy an0+1 an0 < b, an0+2 an0+1 < b, . . . , an an-1 < b , z čehož vynásobením dostaneme an an0 < bn-n0 . Odtud n an < n an0 b n-n0 n . Ze spojitosti exponenciální funkce plyne lim n b n-n0 n = lim n b1- n0 n = b . Dále lim n n an0 = lim n e 1 n ln an0 = 1 . Celkem tedy lim sup n n an b. Poněvadž b > a bylo libovolné, je lim sup n n an a. Analogicky ukážeme lim inf n n an lim n an+1 an = a, takže celkem a lim inf n n an lim sup n n an a. Z lemma plyne: pokud lze dokázat konvergenci řady s nezápornými členy pomocí podílového kriteria, pak ji lze dokázat i pomocí kriteria odmocninového. Podílové kriterium tedy není silnější, než odmocninové. 134 7.2.13 Další kriteria konvergence Buď n=1 an řada s kladnými členy. 1. Logaritmické kriterium: Nechť existuje lim ln an ln n = c. Je-li c < -1, pak řada n=1 an konverguje, je-li c > -1, pak řada n=1 an diverguje. 2. Raabeovo kriterium: Nechť existuje lim n an an+1 - 1 = c. Je-li c > 1, pak řada n=1 an konverguje, je-li c < 1, pak řada n=1 an diverguje. 3. Gaussovo [1777 ­ 1855] kriterium: Nechť existuje > 0 a ohraničená posloupnost {n} n=1 takové že an an+1 = + n + n n1+ . Je-li > 1, pak řada n=1 an konverguje. Je-li < 1, pak řada n=1 an diverguje. Je-li = 1 a > 1, pak řada n=1 an konverguje. Je-li = 1 a 1, pak řada n=1 an diverguje. 7.3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní 7.3.1 Věta Buď {an} n=1 posloupnost. Jestliže konverguje řada n=1 |an|, pak konverguje i řada n=1 an. D.: Nechť n=1 |an| konverguje a buď > 0 libovolné. Podle 7.1.4 existuje n0 N takové, že pro každé m N a n n0 platí | |an+1| + |an+2| + + |an+m| | = |an+1| + |an+2| + + |an+m| < a tedy |an+1 + an+2 + + an+m| |an+1| + |an+2| + + |an+m| < , což podle 7.1.4 znamená, že n=1 an konverguje. 7.3.2 Definice Buď {an} n=1 posloupnost. Řekneme, že řada n=1 an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada n=1 |an|. Řekneme, že řada n=1 an konverguje neabsolutně (relativně), jestliže konverguje, avšak řada n=1 |an| určitě di- verguje. 7.3.3 Poznámky 1. Jestliže konverguje řada s nezápornými (nekladnými) členy, pak konverguje absolutně. 2. Poněvadž řada n=1 |an| má nezáporné členy, platí pro absolutní konvergenci analogická kriteria jako v 7.2. 135 3. Konverguje-li řada n=1 an neabsolutně, pak má podle 7.1.7 nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů. 7.3.4 Věta Jestliže řada n=1 an konverguje absolutně, pak n=1 an n=1 |an|. D.: Označme sn posloupnost částečných součtů řady n=1 an a Sn posloupnost částečných součtů řady n=1 |an|. Pak |sn| = |a1 + a2 + + an| |a1| + |a2| + + |an| = Sn. Podle 1.3.6.1 a 1.3.5.1 je n=1 an = lim n sn = lim n |sn| lim n Sn = n=1 |an|. 7.3.5 Věta Jestliže řada n=1 an konverguje absolutně a {cn} n=1 je ohraničená posloupnost, pak řada n=1 cnan konverguje absolutně. D.: Existuje k R, že |cn| < k pro každé n N. Buď > 0 libovolné. Podle 7.1.4 existuje n0 N takové, že pro každé n n0 a každé m N platí |an+1| + |an+2| + + |an+m| < k . Tedy také |cn+1an+1| + |cn+2an+2| + + |cn+man+m| = |cn+1| |an+1| + |cn+2| |an+2| + + |cn+m| |an+m| < < k|an+1| + k|an+2| + + k|an+m| = k(|an+1| + |an+2| + + |an+m|) < k k = , a tedy podle 7.1.4 řada n=1 cnan konverguje. 7.3.6 Definice Řada n=1 an se nazývá alternující, jestliže platí anan+1 < 0 pro každé n N. (T.j. členy řady střídají znaménka.) Je-li {an} n=1 posloupnost kladných čísel, pak jsou řady n=1 (-1)n-1 an a n=1 (-1)n an alternující. 7.3.7 Věta (Leibnizovo [1646 ­ 1716] kriterium) Nechť {an} n=1 je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Alternující řada n=1 (-1)n-1 an konverguje právě tehdy, když lim n an = 0. D.: Nutnost plyne z 7.1.5. Nechť lim n an = 0. Poněvadž {an} je nerostoucí posloupnost kladných čísel, pro každé k N platí ak - ak+1 0. Pro všechna n N a každé m N sudé platí 0 (an+1 - an+2) + (an+3 - an+4) + + (an+m-1 - an+m) = = an+1 - (an+2 - an+3) - - (an+m-2 - an+m-1) - an+m an+1 , a pro všechna n N a každé m N liché platí 0 (an+1 - an+2) + (an+3 - an+4) + + (an+m-2 - an+m-1) + an+m = = an+1 - (an+2 - an+3) - (an+4 - an+5) - - (an+m-1 - an+m) an+1 . 136 Tedy pro všechna n, m N platí 0 an+1 - an+2 + an+3 - an+4 + + (-1)m-1 an+m an+1 . Buď > 0 libovolné. Poněvadž lim n an = 0, existuje n0 N takové, že pro každé n n0 platí an < . Pro libovolné n n0 a každé m N tedy platí |(-1)n an+1 + (-1)n+1 an+2 + + (-1)n+m-1 an+m| = = |(-1)n ||an+1 - an+2 + an+3 - an+4 + + (-1)m-1 an+m| = = an+1 - an+2 + an+3 - an+4 + + (-1)m-1 an+m an+1 < , což podle 7.1.4 znamená, že řada n=1 (-1)n-1 an konverguje. 7.3.8 Příklad Leibnizova řada n=1 (-1)n-1 n konverguje. Poněvadž podle 1.1.2.1 řada n=1 1 n diverguje, konverguje Leibnizova řada neabsolutně. 7.3.9 Poznámka Předpoklad, že {an} n=1 je nerostoucí posloupnost, nelze v 7.3.7 vynechat. Například řada n=1 (-1)n 2 + (-1)n n = -1 + 3 2 - 1 3 + 3 4 - 1 5 + 3 6 - - 1 2n + 1 + 3 2n + 2 - diverguje. Kdyby tato řada konvergovala, pak by podle 7.1.8 konvergovala také řada -1 + 3 2 + - 1 3 + 3 4 + - 1 5 + 3 6 + + - 1 2n + 1 + 3 2n + 2 + = 1 2 + 5 12 + 9 30 + + 4n + 1 4n2 + 6n + 2 + , avšak podle 7.2.6 řada n n=0 4n+1 4n2+6n+2 diverguje, neboť lim n 4n+1 4n2+6n+2 1 n = lim n 4n2 + n 4n2 + 6n + 2 = 1 a harmonická řada n=1 1 n podle 7.2.3 diverguje. 7.3.10 Další kriteria neabsolutní konvergence 1. Dirichletovo [1805 ­ 1859] kriterium Nechť {cn} n=1 je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel s lim n cn = 0 a nechť posloupnost částečných součtů řady n=1 an je ohraničená. Pak řada n=1 cnan konverguje. 2. Abelovo [1802 ­ 1829] kriterium Nechť řada n=1 an konverguje a {cn} n=1 je monotonní ohraničená posloupnost. Pak řada n=1 cnan kon- verguje. 137 7.3.11 Definice Nechť {n} n=1 je permutace množiny N (posloupnost přirozených čísel taková, že každé číslo se v ní vyskytuje právě jednou) a nechť n=1 an je nekonečná řada. Pak řada n=1 an se nazývá přeřazením řady n=1 an. (Řada n=1 an vznikla z řady n=1 an přeřazením.) Například: a1 + a2 + a3 + a4 + a2 + a1 + a4 + a3 + a6 + a5 + a1 + a3 + a2 + a5 + a7 + a4 + a9 + a11 + a6 + 7.3.12 Definice Řekneme, že pro konvergentní řadu n=1 an platí komutativní zákon, jestliže každá řada n=1 an vzniklá z této řady přeřazením konverguje a má týž součet. Řada, pro niž platí komutativní zákon, se nazývá bezpodmínečně konvergentní, řada, pro niž neplatí komutativní zákon, se nazývá podmíněně konvergentní. 7.3.13 Věta Pro absolutně konvergentní řadu n=1 an platí komutativní zákon, t.j. absolutně konvergentní řada je bezpodmínečně konvergentní. D.: Nechť n=1 |an| konverguje a buď > 0 libovolné. Podle 7.1.4 existuje r N takové, že pro každé n r, m N platí |an+1| + |an+2| + + |an+m| < . Čísla 1, 2, . . . , r se vyskytují v permutaci {n} n=1 množiny N. Poněvadž jich je konečně mnoho, existuje t N, že {1, 2, . . . , r} {n}t n=1. Pro libovolné n t a k N platí an+1 + an+2 + + an+k |ar+1| + |ar+2| + + |ar+m|, kde r + m je největší z indexů n+1, n+2, . . . , n+k. Tedy an+1 + an+2 + + an+k < a podle 7.1.4 řada n=1 an konverguje absolutně. Označme sn částečné součty řady n=1 an a Sn částečné součty řady n=1 an . Pro n max{r, t} platí |sn - Sn| = |a1 + a2 + + ar + ar+1 + ar+2 + + an - (a1 + a2 + + an )| |ar+1| + |ar+2| + + |ar+m| < , tedy lim n (sn - Sn) = 0, což znamená lim n sn = lim n Sn. 7.3.14 Lemma Nechť n=1 an je neabsolutně konvergentní řada. Pak řada sestavená z jejích kladných (resp. záporných) členů je určitě divergentní k + (resp. k -). D.: Nechť n=1 pn je řada s kladnými členy sestavená z kladných členů řady n=1 an a n=1 (-qn) je řada s kladnými členy sestavená ze záporných členů řady n=1 an. Označme sn částečné součty řady n=1 an, s+ n částečné součty řady n=1 pn, sn částečné součty řady n=1 (-qn). Buďte k, l taková přirozená čísla, že sn = s+ k - sl . Přitom k + l = n a pro n také k , l . Kdyby lim k s+ k R a lim l sl R, pak by |a1| + |a2| + + |an| = s+ k + sl , z čehož by vyplynulo, že řada 138 n=1 an konverguje absolutně. Kdyby lim k s+ k = a lim l sl R, pak by podle 1.3.12.2 a 1.3.4 platilo lim l sn = a řada n=1 an by divergovala. Kdyby lim k s+ k R a lim l sl , pak by platilo lim l sn = - a řada n=1 an by divergovala. Podle 7.2.1 tedy je lim k s+ k = lim l sl = . 7.3.15 Věta (Riemann [1826 ­ 1866]) Z libovolné neabsolutně konvergentní řady lze vhodným přeřazením obdržet řadu konvergentní k libovolnému předem danému číslu, řadu určitě divergentní nebo řadu oscilující. D.: Nechť n=1 an je neabsolutně konvergentní řada a nechť {pn} n=1 je posloupnost jejích kladných členů, {-qn} n=1 je posloupnost jejích zápornných členů. Podle 7.3.14 jsou řady n=1 pn, n=1 qn určitě divergentní k +. Buď a R libovolné. Buď n1 N nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + + pn1 > a . Buď m1 N nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + + pn1 - q1 - q2 - - qm1 < a . Dále buď n2 > n1 nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + + pn1 - q1 - q2 - - qm1 + pn1+1 + pn1+2 + + pn2 > a a m2 > m1 nejmenší číslo s vlastností p1 + p2 + + pn1 - q1 - q2 - - qm1 + pn1+1 + pn1+2 + + pn2 - qm1+1 - qm1+2 - - qm2 < a . Atd. Výsledkem je jistá řada vzniklá přeřazením řady n=1 an. Nechť {sn} n=1 je její posloupnost částečných součtů. Je-li sn > a, pak sn - a poslední záporný člen. Tedy ql < sn - a < pk pro vhodná k, l. Poněvadž n=1 an konverguje, je podle 7.1.5 lim l ql = lim k pk = 0 a tedy lim n sn = a. Dále ukážeme, že řadu n=1 an lze přeřadit tak, aby vzniklá řada divergovala k +. Buď n1 N takové, že p1 + p2 + + pn1 > 1 . Buď n2 N, n2 > n1 takové, že p1 + p2 + + pn1 - q1 + pn1+1 + pn1+2 + + pn2 > 2 . Buď n3 N, n3 > n2 takové, že p1 + p2 + + pn1 - q1 + pn1+1 + pn1+2 + + pn2 - q2 + pn2+1 + pn2+2 + + pn3 > 3 . Atd. Výsledkem je řada určitě divergující k +. 139 Analogicky lze ukázat, že řadu n=1 an lze přeřadit tak, aby vzniklá řada divergovala k -. Nakonec řadu n=1 an přeřadíme tak, aby výsledkem byla řada oscilující. Buď n1 N takové, že p1 + p2 + + pn1 > 1 . Buď m1 N takové, že p1 + p2 + + pn1 - q1 - q2 - - qm1 < -1 . Buď n2 N, n2 > n1 takové, že p1 + p2 + + pn1 - q1 - q2 - - qm1 + pn1+1 + pn1+2 + + pn2 > 1 . Atd. Výsledkem je oscilující řada. Z Riemannovy věty plyne, že neabsolutně konvergentní řada je podmíněně konvergentní. 7.4 Dvojné řady 7.4.1 Definice Zobrazení f : N2 R se nazývá dvojná posloupnost. Zápis: f(m, n) = fmn, nebo amn, bmn, . . . {amn} m,n=1, stručně {amn} Čísla amn se nazývají členy této posloupnost. Lze je uspořádat do schématu (nekonečné matice): a11 a12 a13 . . . a21 a22 a23 . . . a31 a32 a33 . . . ... ... ... ... 7.4.2 Poznámky Snadno lze definovat ohraničenost dvojné posloupnosti: Existují konstanty k, K R že pro všechna m, n N je k amn K. Nelze definovat monotonnost dvojné posloupnosti. Lze definovat monotonnost vzhledem k jednomu indexu: {amn} m,n=1 je monotonní vzhledem k druhému indexu, je-li posloupnost {amn} n=1 monotonní pro každé m N. 7.4.3 Definice Řekneme, že dvojná posloupnost {amn} m,n=1 má limitu a R, jestliže ke každému > 0 existují čísla m0, n0 N taková, že pro každá dvě m, n N, m m0, n n0 platí |amn - a| < . Píšeme lim m,n amn = a, lim amn = a, amn a. Má-li posloupnost {amn} limitu a R, řekneme, že je konvergentní. 7.4.4 Poznámky 1. Analogicky lze definovat nevlastní limity dvojné posloupnosti. 2. Některé věty o limitách posloupnosti lze snadno přenést na dvojné posloupnosti. Zejména 1.3.3, 1.3.5.1­3, 1.3.6 a 1.3.7. 140 3. Konvergentní dvojná posloupnost nemusí být ohraničená. Například 1 2 3 4 . . . 1 1 1 1 . . . 1 1 1 1 . . . 1 1 1 1 . . . ... ... ... ... ... má limitu 1 a není ohraničená. 7.4.5 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Dvojná posloupnost {amn} konverguje právě tehdy, když ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro každé dvě dvojice (m, n), (p, q) N2 takové, že m n0, n n0, p n0, q n0 platí |amn - apq| < . D.: ,, Triviální (analogicky jako 1.3.22). ,, Položme bn = ann (diagonální posloupnost). {bn} n=1 je cauchyovská, existuje tedy lim n bn = a R. Ukážeme, že také lim m,n amn = a. Buď > 0 libovolné. K 2 > 0 existuje n1 N, že pro m n1, n n1, p n1, q n1 platí |amn - apq| < 2 . K 2 > 0 existuje n2 N, že pro n n2 platí |bn - a| < 2 . Pro každé n n0 = max{n1, n2} platí |amn - a| = |amn - ann + bn - a| |amn - ann| + |bn - a| < 2 + 2 = . 7.4.6 Definice Buď {amn} m,n=1 dvojná posloupnost a položme smn = m i=1 n j=1 aij = i m j n aij . Dvojná posloupnost {smn} se nazývá posloupnost částečných součtů dvojné řady m,n=1 amn = amn. Řekneme, že dvojná řada amn konverguje a má součet s, jestliže lim m,n smn = s R. Řekneme, že tato dvojná řada určitě diverguje k (k -), jestliže lim m,n smn = ( lim m,n smn = -). 7.4.7 Poznámky Snadno lze dokázat následující tvrzení: 1. Nutná podmínka konvergence dvojné řady m,n=1 amn je lim m,n amn = 0. (amn = smn - sm-1 n - sm n-1 + sm-1 n-1) 2. Cauchyovo - Bolzanovo kriterium: Dvojná řada m,n=1 amn konverguje právě tehdy, když ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro každé dvě dvojice (m, n), (p, q) N2 takové, že m n0, n n0 platí n i n + p m j m + q aij < . 141 3. Jestliže m,n=1 amn = a R, m,n=1 bmn = b R, c1, c2 R, pak m,n=1 (c1amn + c2bmn) = c1 m,n=1 amn + c2 m,n=1 bmn. 4. Nechť amn 0 pro všechna m, n N. Dvojná řada m,n=1 amn konverguje právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je shora ohraničená. 5. Nechť pro všechna m, n N platí 0 amn bmn. Potom: konverguje-li řada m,n=1 bmn, pak konverguje i řada m,n=1 amn; diverguje-li řada m,n=1 amn, pak diverguje i řada m,n=1 bmn. 6. Konverguje-li řada m,n=1 |amn|, pak konverguje i řada m,n=1 amn. 7.4.8 Definice Řekneme, že dvojná řada m,n=1 amn konverguje absolutně, jestliže konverguje dvojná řada m,n=1 |amn|. 7.4.9 Věta (komutativní zákon pro dvojné řady) Nechť dvojná řada m,n=1 amn konverguje absolutně a nechť N2 = kI Nk je disjunktní rozklad množiny N2 a nechť každá množina Nk je vyjádřena ve tvaru konečné nebo spočetné posloupnosti. Je-li množina Nk nekonečná, pak řada (m,n)Nk amn absolutně konverguje. Označíme-li (m,n)Nk amn = zk, pak platí kI zk = m,n=1 amn. Přitom je-li množina I nekonečná, řada kI zk konverguje absolutně. Náznak důkazu: Množinu N2 lze vyjádřit jako prostou posloupnost {(m1, n1), (m2, n2), . . . , (ml, nl), . . . }. Označíme-li bl = aml,nl , lze řadu l=1 bl považovat za přeřazení dvojné řady m,n=1 amn. Podle 7.3.13 řada l=1 bl konverguje absolutně a platí l=1 bl = m,n=1 amn. Zřejmě (m,n)Nk |amn| m,n=1 |amn| a tedy podle 7.4.7.4 řada (m,n)Nk amn konverguje absolutně. Řadu k zk = k (m,n)Nk amn lze považovat za přeřazení řady l=1 bl. Podle 7.3.13 řada k zk konverguje absolutně a platí k zk = l bl. (Podrobný důkaz viz např. Jarník, Diferenciální počet II, Věta 39) 7.4.10 Sumační metody dvojných řad Konstrukce popsaná v předchozí větě se nazývá sumační metoda dvojné řady. Aplikovat sumační metodu na dvojnou řadu amn znamená -- Množinu N2 vyjádřit jako sjednocení konečné nebo spočetné posloupnosti po dvou disjunktních množin Nk. -- Každou množinu Nk uspořádat do konečné nebo spočetné posloupnosti. 142 -- Utvořit součty (řady) (m,n)Nk amn = zk. -- Utvořit součet (řadu) k zk. Jestliže dvojná řada amn konverguje absolutně, pak konverguje absolutně i každá takto vytvořená řada a platí amn = zk. Některé významné sumační metody: * Sumace po čtvercích N1 = {(1, 1)} N2 = {(2, 1), (2, 2), (1, 2)} N3 = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3)} ... Pak amn = a11 + (a21 + a22 + a12) + (a31 + a32 + a33 + a23 + a13) + * Sumace po diagonálách N1 = {(1, 1)} N2 = {(2, 1), (1, 2)} N3 = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)} ... Pak amn = a11 + (a21 + a12) + (a31 + a22 + a13) + * Dvojnásobné řady Nk = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), . . . } (k-tý řádek) nebo Nk = {(1, k), (2, k), (3, k), . . . } (k-tý sloupec) Pak m,n=1 amn = m=1 n=1 amn nebo m,n=1 amn = n=1 m=1 amn 7.5 Součin řad 7.5.1 Definice Buďte n=1 an, n=1 bn nekonečné řady. Jejich součinem rozumíme dvojnou řadu m,n=1 cmn, kde cmn = ambn. 7.5.2 Věta Nechť řady n=1 an = a, n=1 bn = b konvergují absolutně. Pak jejich součin m,n=1 cmn konverguje rovněž absolutně a platí m,n=1 cmn = ab. D.: Označme s = |am|, t = |bn|, m částečné součty řady |am|, n částečné součty řady |bn|, ~m částečné součty řady am, ~n částečné součty řady bn, smn částečné součty dvojné řady |cmn| = |ambn|. smn = m i=1 n j=1 |aibj| = m i=1 |ai| n j=1 |bj| = mn st a podle 7.4.7.4 |cmn| konverguje, tedy cmn konverguje absolutně. Na dvojnou řadu cmn lze aplikovat sumaci po čtvercích. Dostaneme cmn = c11 + (c21 + c22 + c12) + (c31 + c32 + c33 + c23 + c13) + . Částečné součty této řady jsou s1 = c11 = a1b1 = ~1~1 s2 = c11 +(c21 +c22 +c12) = a1b1 +a2b1 +a2b2 +a1b2 = (a1 +a2)b1 +(a1 +a2)b2 = (a1 +a2)(b1 +b2) = ~2~2 143 ... sn = ~n~n Aplikací nějaké sumační metody dostaneme konkrétní tvary součinů řad. Sumace po čtvercích Dirichletův součin řad n=1 an n=1 bn = a1b1 + (a2b1 + a2b2 + a1b2) + (a3b1 + a3b2 + a3b3 + a2b3 + a1b3) + = = n=1 an n-1 i=1 bi + anbn + bn n-1 i=1 ai Sumace po diagonálách Cauchyův součin řad n=1 an n=1 bn = a1b1 + (a2b1 + a1b2) + (a3b1 + a2b2 + a1b3) + = n=1 n k=1 akbn-k+1 n=0 an n=0 bn = n=0 n k=0 akbn-k 7.5.3 Věta Nechť n=1 an = a, n=1 bn = b jsou konvergentní řady a nechť n=1 cn je jejich Dirichletův součin. Pak n=1 cn konverguje a platí n=1 cn = ab. D.: Označíme-li n částečné součty řady n=1 an, n částečné součty řady n=1 bn, sn částečné součty řady n=1 cn, pak analogicky jako v důkazu věty 7.5.2 ukážeme, že sn = nn, z čehož podle 1.3.6.3 vyplyne lim n sn = ab, tedy n=1 cn = ab. Poznámka: Pro Cauchyův součin podobné tvrzení neplatí: Položme an = bn = (-1)n n + 1 . Podle 7.3.7 řady n=0 an, n=0 bn konvergují. Nechť n=0 cn je jejich Cauchyův součin, tedy cn = (-1)n 1 1 n + 1 + 1 2 n + 1 3 n - 1 + + 1 n + 1 1 , |cn| = 1 1 n + 1 + 1 2 n + 1 3 n - 1 + + 1 n + 1 1 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 1 n + 1 + + 1 n + 1 n + 1 = n + 1 n + 1 = 1 , takže nemůže platit lim n cn = 0 a podle 7.1.5 řada n=0 cn nekonverguje. 144 7.5.4 Věta (Mertens [1840 ­ 1927]) Nechť řady n=0 an = a, n=0 bn = b konvergují a alespoň jedna z nich absolutně. Nechť n=0 cn je jejich Cauchyův součin. Pak n=0 cn konverguje a platí n=0 cn = ab. D.: Nechť an konverguje absolutně a označme n, resp. n, resp. sn částečné součty řady an, resp. bn, resp. cn. Pak lim n n = a, lim n n = b, sn = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b1 + a2b0) + + (a0bn + a1bn-1 + + anb0) = = a0(b0 + b1 + + bn) + a1(b0 + b1 + + bn-1) + + anb0 = = a0n + a1n-1 + + an0 Označme n = n - b. Pak n = b + n a lim n n = 0. Tedy sn = a0(b + n) + a1(b + n-1) + + an(b + 0) = b(a0 + a1 + + an) + a0n + a1n-1 + + an0 . Označme n = a0n + a1n-1 + + an0 Pak sn = bn + n. Nyní stačí ukázat, že lim n n = 0, neboť lim n bn = b lim n n = ab. Řada |an| konverguje, to znamená, že má ohraničené částečné součty, neboli existuje m R, m > 0, že |a0| + |a1| + + |an| m, n = 0, 1, 2, . . . lim n n = 0, to znamená, že posloupnost {n} n=0 je ohraničená, neboli existuje k R, k > 0, že |n| < k, n = 0, 1, 2, . . . Buď > 0 libovolné. Poněvadž lim n n = 0, k číslu 2m > 0 existuje n1 N, že pro každé n n1 platí |n| < 2m . |an| konverguje, takže podle 7.1.4 k číslu 2k > 0 existuje n2 N, že pro každé n n2 a p N platí |an+1| + |an+2| + + |an+p| < 2k . Buď n0 = max{n1, n2}. Pro libovolné n > 2n0 platí |n| = |a0n + a1n-1 + + an0| |a0| |n| + |a1| |n-1| + + |an0 | |n-n0 | + |an0+1| |n-n0-1| + + |an| |0| (|a0| + |a1| + + |an0 |) 2m + (|an0+1| + |an0+2| + + |an|)k m 2m + 2k k = , což znamená lim n n = 0. 7.5.5 Věta (Cesro [1859 ­ 1906]) Nechť n=0 an = a, n=0 bn = b jsou konvergentní řady a nechť n=0 cn je jejich Cauchyův součin. Je-li {sn} n=0 posloupnost částečných součtů řady n=0 cn, pak lim n s0 + s1 + + sn n + 1 = ab. 145 D.: Označme n, resp n částečný součet řady n=0 an, resp. n=0 bn a dále n = n - a, n = n - b. Pak lim n n = a, lim n n = b, lim n n = lim n n = 0, n = a + n, n = b + n. V důkazu věty 7.5.4 jsme ukázali, že sn = a0n + a1n-1 + + an0. Odtud plyne s0 + s1 + + sn = a00 + (a01 + a10) + + (a0n + a1n-1 + + an0) = = (a0 + a1 + + an)0 + (a0 + a1 + + an-1)1 + + a0n = = (a + n)(b + 0) + (a + n-1)(b + 1) + + (a + 0)(b + n) = = (n + 1)ab + a(0 + 1 + + n) + b(0 + 1 + + n) + +n0 + n-11 + + 0n . Dále s0 + s1 + + sn n + 1 = ab + a 0 + 1 + + n n + 1 + b 0 + 1 + + n n + 1 + n0 + n-11 + + 0n n + 1 . Podle 7.1.12 je lim n 0 + 1 + + n n + 1 = lim n 0 + 1 + + n n + 1 = 0. K dokončení důkazu tedy stačí ukázat, že lim n n0 + n-11 + + 0n n + 1 = 0. Posloupnosti {n}, {n} jsou podle 1.3.4 ohraničené, a tedy existuje k R, k > 0 takové, že |n| k, |n| k pro každé n N. Buď nyní > 0 libovolné. K k > 0 existuje n1 N, že pro n n1 je |n| < k a existuje n2 N, že pro n n2 je |n| < k . Buď n0 = max{n1, n2}. Pro n > 2n0 platí |0n + 1n-1 + + n0 n-n0 + n0+1n-n0-1 + + n0| (|0| |n| + |1| |n-1| + + |n0 | |n-n0 |) + (|n0+1| |n-n0-1| + + |n| |0|) < k k + k k + + k k + k k + k k + + k k = (n + 1) . To znamená, že pro n > n0 je n0 + n-11 + + 0n n + 1 < . Z 7.1.12 a 7.5.5 bezprostředně plyne 7.5.6 Věta (Abel [1802 ­ 1829]) Buďte n=0 an = a, n=0 bn = b konvergentní řady a n=0 cn jejich Cauchyův součin. Jestliže n=0 cn konverguje, pak n=0 cn = ab. Poznámka: Porovnáním s 7.1.13 vidíme, že platí i obecnější tvrzení: Buďte n=0 an = a, n=0 bn = b konvergentní řady. Jestliže jejich Cauchyův součin n=0 cn konverguje v Cesrově smyslu, pak n=0 cn = ab v Cesrově smyslu. 7.6 Cvičení Najděte součty řad 1) 1 13 + 1 35 + 1 57 + 1 79 + . . . 2) 1 3 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48 + . . . 3) 2 3 + 3 9 + 4 27 + 5 81 + 6 243 + . . . 4) 1 + q cos + q2 cos 2 + q3 cos 3 + . . . Rozhodněte o konvergenci řad 146 5) n=1 n 1 1000 6) n=1 1 1000n+1 7) n=1 1 n n+1 8) n=1 n! nn 9) n=1 3n n! nn 10) n=1 n-1 n+1 n(n-1) 11) n=1 n5 2n+3n 12) n=2 ln 1 + (-1)n n 13) Dokažte, že řada převrácených hodnot členů aritmetické posloupnosti diverguje. Výsledky: 1)1 2 2)3 4 3)5 4 4) 1-q cos 1-2q cos +q2 5)diverguje 6)diverguje 7)konverguje 8)konverguje 9)diverguje 10)konverguje 11)konverguje 12)konverguje 7.7 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 147 148 Kapitola 8 Řady funkcí 8.1 Posloupnosti a řady funkcí 8.1.1 Definice Nechť fn, n N a f jsou reálné funkce takové, že Dom f n=1 Dom fn. Řekneme, že posloupnost funkci {fn} n=1 bodově konverguje k funkci f na množině M n=1 Dom fn a píšeme lim n fn = f, jestliže pro každé x M číselná posloupnost {fn(x)} konverguje k f(x), neboli když pro každé x M je lim n fn(x) = f(x). Množina x n=1 Dom fn : {fn(x)} konverguje , se nazývá obor bodové konvergence posloupnosti funkcí {fn}. Posloupnost funkcí {fn} bodově konverguje k funkci f na množině M, jestliže ke každému > 0 a každému x M existuje n0 N takové, že pro každé n n0 je |fn(x) - f(x)| < . Všimněme si, že číslo n0 závisí na i na x. Má-li každá z funkcí posloupnosti {fn} nějakou vlastnost, limitní funkce f = lim n fn tutéž vlastnost mít může, ale nemusí. -- Jsou-li všechny funkce fn nezáporné (nekladné), je i funkce f nezáporná (nekladná). -- Jsou-li všechny funkce fn neklesající (nerostoucí), je i funkce f neklesající (nerostoucí). -- Jsou-li všechny funkce fn klesající (rostoucí), nemusí být funkce f klesající (rostoucí). Např. fn(x) = x n , f(x) = lim n fn(x) = lim n x n = 0 -- Jsou-li všechny funkce fn ohraničené, nemusí být funkce f ohraničená. Např. fn(x) = n nx + 1 na intervalu (0, ), f(x) = lim n fn(x) = 1 x -- Jsou-li všechny funkce fn spojité, nemusí být funkce f spojitá. Např. fn(x) = x2n , x [-1, 1], f(x) = lim n fn(x) = 0, x (-1, 1) 1, |x| = 1 8.1.2 Definice Řekneme, že posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M n=1 Dom fn k funkci f a píšeme fn f, jestliže ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro každé n n0 a každé x M platí |fn(x) - f(x)| < . 149 Všimněme si, že číslo n0 závisí pouze na . Jestliže posloupnost funkcí {fn} konverguje na množině M k funkci f stejnoměrně, pak na této množině konverguje k funkci f bodově. Opak obecně neplatí. Je-li množina M uzavřeným intervalem [a, b] a každá z funkcí fn je spojitá, je stejnoměrná konvergence těchto funkcí konvergencí posloupnosti v metrickém prostoru (C[a, b], C) (sr. 11.1.2.4). Podle 11.4.2.6 je tento prostor úplný, což znamená, že stejnoměrná limita spojitých funkcí je funkcí spojitou. 8.1.3 Příklady Nechť fn(x) = 2nx 1 + n2x2 . * Posloupnost funkcí {fn} konverguje na intervalu [1, 2] stejnoměrně k funkci f(x) 0. D.: Buď > 0 libovolné. Položme n0 = 2 + 1 . Pak n0 > 2 , 2 n0 < . Pro n n0 platí |fn(x) - f(x)| = |fn(x)| = 2nx 1 + n2x2 < 2nx n2x2 = 2 nx 2 n 2 n0 < . * Posloupnost funkcí {fn} konverguje na intervalu [0, 1] bodově k funkci f(x) 0, ale tato konvergence není stejnoměrná. D.: lim n 2nx 1 + n2x2 = lim n 2x n 1 n2 + x2 = 0 pro libovolné x R. fn( 1 n ) = 2n 1 n 1 + n2 1 n2 = 2 2 = 1 pro každé n N. Pro (0, 1) je tedy |fn( 1 n ) - f(x)| = |fn( 1 n )| = 1 > . 8.1.4 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M n=1 Dom fn právě tehdy, když ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro všechna n n0, m n0 a každé x M platí |fm(x) - fn(x)| < . D.: ,, analogie 1.3.22 ,, Pro každé x M je číselná posloupnost {fn(x)} cauchyovská. Existuje tedy bodová lim n fn = f. Ukážeme, že fn f. Buď > 0 libovolné. Existuje n0 N, že pro n, m n0 a každé x M platí |fm(x) - fn(x)| < 2 . Odtud |fn(x) - f(x)| = lim m |fn(x) - fm(x)| 2 < . Poznámka: Posloupnost funkcí, která má vlastnost z 8.1.4, se nazývá stejnoměrně cauchyovská. 8.1.5 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na množině M n=1 Dom fn k funkci f a nechť g je funkce ohraničená na M. Pak gfn gf na M. D.: Existuje k R, že |g(x)| < k pro každé x M. Buď > 0 libovolné. K k > 0 existuje n0 N, že pro n n0 a x M platí |fn(x) - f(x)| < k . Nyní pro každé x M a n n0 platí |g(x)fn(x) - g(x)f(x)| = |g(x)||fn(x) - f(x)| < k k = . 150 8.1.6 Věta Buďte {fn}, {gn} posloupnosti funkcí a M n=1 Dom fn n=1 Dom gn Jestliže fn f, gn g na M pak fn + gn f + g na M. D.: Buď > 0 libovolné. K 2 > 0 existuje n1 N, že pro všechna x M a n n1 je |fn(x) - f(x)| < 2 . K 2 > 0 existuje n2 N, že pro všechna x M a n n2 je |gn(x) - g(x)| < 2 . Tedy pro všechna x M a n n0 = max{n1, n2} platí |fn(x) + gn(x) - f(x) - g(x)| |fn(x) - f(x)| + |gn(x) - g(x)| < 2 + 2 = . 8.1.7 Důsledek Nechť f1 n f1 , f2 n f2 , . . . , fk n fk , c1, c2, . . . , ck R. Pak c1f1 n + c2f2 n + + ckfk n = k i=1 cifi n k i=1 cifi . 8.1.8 Definice Buď {fn} posloupnost funkcí, M n=1 Dom fn. Pro každé n N položme sn = f1 + f2 + + fn. Posloupnost funkcí {sn} se nazývá posloupnost částečných součtů řady funkcí n=1 fn. Řekneme, že řada funkcí n=1 fn bodově konverguje na množině M a má zde součet s, jestliže {sn} bodově konverguje k funkci s na M. Množina x n=1 Dom fn : fn(x) konverguje , se nazývá obor bodové konvergence řady funkcí n=1 fn. Řekneme, že řada funkcí n=1 fn stejnoměrně konverguje na množině M a má zde součet s, jestliže {sn} stejnoměrně konverguje k funkci s na M. n=1 fn = s bodově na M, jestliže pro každé x M je n=1 fn(x) = s(x). Jestliže řada funkcí konverguje na nějaké množině stejnoměrně, pak na ní konverguje bodově. Opak obecně neplatí. 8.1.9 Věta Nechť řady funkcí n=1 f1 n = s1 , n=1 f2 n = s2 , . . . , n=1 fk n = sk konvergují ke svým součtům stejnoměrně na množině M k j=1 n=1 Dom fj n a c1, c2, . . . , ck R. Pak řada n=1 k j=1 cjfj n konverguje stejnoměrně k k j=1 cjsj na M. D.: Plyne z 8.1.7. 8.1.10 Věta (Cauchyovo - Bolzanovo kriterium) Řada funkcí n=1 fn konverguje stejnoměrně na množině M n=1 Dom fn právě tehdy, když ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro všechna n n0, m N a x M platí |fn+1(x) + fn+2(x) + + fn+m(x)| < . D.: Aplikací 8.1.4 na posloupnost částečných součtů. 151 8.1.11 Definice Řekneme, že řada funkcí n=1 fn konverguje na množině M n=1 Dom fn absolutně, jestliže pro každé x M konverguje (číselná) řada n=1 |fn(x)|. 8.1.12 Věta (srovnávací kriterium) Buďte {fn} n=1 a {gn} n=1 posloupnosti funkcí, M n=1 Dom fn n=1 Dom gn a nechť |fn(x)| gn(x) pro všechna n N a x M. Jestliže řada funkcí n=1 gn konverguje stejnoměrně na M, pak řada funkcí n=1 fn konverguje na M stejnoměrně a absolutně. D.: Nejprve poznamenejme, že z podmínky |fn(x)| gn(x) plyne, že všechny funkce gn jsou nezáporné. Absolutní bodová konvergence plyne z 7.2.4. Ukážeme, že konvergence je stejnoměrná. Buď > 0 libovolné. Podle 8.1.10 existuje n0 N takové, že pro všechna n n0, m N, x M platí |gn+1(x) + gn+2(x) + + gn+m(x)| = gn+1(x) + gn+2(x) + + gn+m(x) < . Tedy |fn+1(x) + fn+2(x) + + fn+m(x)| |fn+1(x)| + |fn+2(x)| + + |fn+m(x)| gn+1(x) + gn+2(x) + + gn+m(x) < . 8.1.13 Důsledek (Weierstrassovo [1815 ­ 1897] kriterium) Buď {fn} n=1 posloupnosti funkcí, M n=1 Dom fn a nechť pro všechna n N a x M platí |fn(x)| an R. Jestliže (číselná) řada n=1 an konverguje, pak řada funkcí n=1 fn konverguje absolutně a stejnoměrně na M. 8.1.14 Kriteria stejnoměrné konvergence Buď {fn} n=1 posloupnosti funkcí, M n=1 Dom fn. {fn} n=1 se nazývá nerostoucí (resp. neklesající) na M, jestliže pro každé x M je číselná posloupnost {fn(x)} n=1 nerostoucí (resp. neklesající). Je-li {fn} n=1 nerostoucí nebo neklesající, nazývá se monotonní. {fn} n=1 se nazývá stejnoměrně ohraničená na M, jestliže existuje konstanta k R taková, že pro všechna x M a všechna n N je |fn(x)| k. 1. Dirichletovo kriterium: Nechť posloupnost funkcí {gn} n=1 je monotonní na M, gn 0 na M a posloupnost částečných součtů řady funkcí n=1 fn je stejnoměrně ohraničená na M. Pak řada n=1 fngn stejnoměrně konverguje na M. 2. Důsledek Dirichletova kriteria: Nechť číselná posloupnost {an} n=1 je monotonní taková, že lim n an = 0 a posloupnost částečných součtů řady funkcí n=1 fn je stejnoměrně ohraničená M. Pak řada funkcí n=1 anfn stejnoměrně konverguje na M. 3. Abelovo kriterium: Nechť posloupnost funkcí {gn} n=1 je stejnoměrně ohraničená na M a nechť řada funkcí n=1 fn stejnoměrně konverguje na M. Pak řada n=1 fngn stejnoměrně konverguje na M. 152 8.2 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad 8.2.1 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn spojitá v bodě x0 J, pak je f spojitá v bodě x0. D.: Buď > 0 libovolné. Poněvadž fn f na J, existuje n1 N, že pro n n1, x J platí |fn(x) - f(x)| < 3 . Poněvadž fn je spojitá v x0, existuje > 0, že pro x (x0 - , x0 + ) J platí |fn(x) - fn(x0)| < 3 . Poněvadž fn(x0) f(x0), existuje n2 N, že pro n n2 platí |fn(x0) - f(x0)| < 3 . Pro n max{n1, n2} a každé x (x0 - , x0 + ) J platí |f(x) - f(x0)| = |f(x) - fn(x) + fn(x) - fn(x0) + fn(x0) - f(x0)| |f(x) - fn(x)| + |fn(x) - fn(x0)| + |fn(x0) - f(x0)| < 3 + 3 + 3 = . 8.2.2 Důsledek Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn spojitá na J, pak je f spojitá na J. 8.2.3 Věta (Moore [1882­1974] - Osgood [1864­1943]) Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu J Dom fn k funkci f. Nechť x0 J nebo x0 je krajní bod intervalu J a nechť pro všechna n N existuje lim xx0 fn(x) = an R. (V případě, že x0 je krajní bod intervalu J, jedná se o příslušnou jednostrannou limitu.) Pak existuje lim n an R a lim xx0 f(x) R a platí lim n an = lim xx0 f(x), neboli lim n lim xx0 fn(x) = lim xx0 lim n fn(x) . D.: Buď > 0 libovolné. Podle 8.1.4 existuje n1 N takové, že pro všechna m, n n0, x J platí |fm(x) - fn(x)| < 2 . Limitním přechodem pro x x0 dostaneme |am - an| 2 < . Posloupnost {an} je tedy Cauchyovská a podle 1.3.22 existuje lim n an = a R. Ukážeme, že lim xx0 f(x) = a: fn f na J existuje n2 N, že pro n n2, x J je |fn(x) - f(x)| < 3 . lim xx0 fn(x) = an existuje > 0, že pro x ((x0 - , x0 + ) \ {x0}) J je |fn(x) - an| < 3 . lim n an = a existuje n3 N, že pro n n3 je |an - a| < 3 . Pro n max{n2, n3} platí |f(x) - a| = |f(x) - fn(x) + fn(x) - an + an - a| < 3 + 3 + 3 = . 8.2.4 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu a x0 [a, b] je libovolný. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a pro každé x [a, b] platí x x0 f(t)dt = lim n x x0 fn(t)dt, neboli x x0 lim n fn(t) dt = lim n x x0 fn(t)dt , 153 přičemž konvergence posloupnosti funkcí na pravé straně je stejnoměrná na intervalu [a, b]. D.: Nejdříve ukážeme, že f = lim n fn je integrabilní. Buď > 0 libovolné. Poněvadž fn f, existuje n0 N takové, že pro všechna x [a, b] platí |fn0 (x) - f(x)| < 4(b - a) . Poněvadž funkce fn0 je integrabilní, podle 5.1.10 existuje dělení D = {x0, x1, . . . , xk} ([a, b]) takové, že S(D, fn0 ) - s(D, fn0 ) < 2 . Označme ~mi = inf{fn0 (x) : x [xi-1, xi]}, ~Mi = sup{fn0 (x) : x [xi-1, xi]}, mi = inf{f(x) : x [xi-1, xi]}, Mi = sup{f(x) : x [xi-1, xi]}. Pak | ~mi - mi| < 4(b - a) , | ~Mi - Mi| < 4(b - a) , takže Mi - mi < ~Mi - ~mi + 2(b - a) . Dále S(D, f) - s(D, f) = k i=1 Mi(xi - xi-1) - k i=1 mi(xi - xi-1) = k i=1 (Mi - mi)(xi - xi-1) k i=1 ~Mi - ~mi + 2(b - a) (xi - xi-1) = = k i=1 ~Mi - ~mi (xi - xi-1) + 2(b - a) k i=1 (xi - xi-1) = = S(D, fn0 ) - s(D, fn0 ) + 2 < 2 + 2 = , což podle 5.1.10 znamená, že funkce f je integrabilní. Označme R[a, b] množinu všech Riemannovsky integrabilních (a tedy ohraničených) funkcí definovaných na intervalu [a, b]. Pro , R[a, b] položme S(, ) = sup{|(x) - (x)| : x [a, b]} . Analogicky jako v 11.1.2.4 ověříme, že (R[a, b], S) je metrický prostor a snadno nahlédneme, že stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí integrabilních na intervalu [a, b] je konvergencí posloupnosti v prostoru (R[a, b], S). (Podle první části důkazu je prostor (R[a, b], S) úplný.) Definujme zobrazení F : R[a, b] C[a, b] předpisem F()(x) = x x0 (t)dt . Pro , R[a, b] platí: C(F(), F()) = max {|F()(x) - F()(x)| : x [a, b]} = = max x x0 (t)dt - x x0 (t)dt : x [a, b] = = max x x0 ((t) - (t))dt : x [a, b] max x x0 |(t) - (t)|dt : x [a, b] max x x0 sup{|() - ()| : [a, b]}dt : x [a, b] = = max {|(x - x0)| S(, ) : x [a, b]} = max {(b - x0), (x0 - a)} S(, ) . 154 Označíme-li tedy L = max{(b - x0), (x0 - a)}, je C(F(), F()) LS(, ), což znamená, že F je Lipschitzovské zobrazení a podle 11.5.10 spojité. Podle 11.5.3 převádí spojité zobrazení metrických prostorů konvergentní posloupnost na konvergentní posloupnost a platí lim n F(fn) = F lim n fn , což je formule z tvrzení věty. Navíc konvergence posloupnosti v prostoru C[a, b] je stejnoměrnou konvergencí posloupnosti funkcí. 8.2.5 Věta Nechť posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a platí b a f(t)dt = lim n b a fn(t)dt, neboli b a lim n fn(t) dt = lim n b a fn(t)dt . D.: plyne bezprostředně z 8.2.4 a z toho, že z konvergence stejnoměrné plyne bodová. 8.2.6 Věta Buď {fn} posloupnost funkcí diferencovatelných na otevřeném intervalu J Dom fn. Nechť existuje x0 J takový bod, že (číselná) posloupnost {fn(x0)} konverguje. Jestliže posloupnost funkcí {fn} konverguje stejnoměrně na J, pak posloupnost {fn} konverguje stejnoměrně na J k diferencovatelné funkci f, pro niž platí f (x) = lim n fn(x) pro každé x J, neboli lim n fn(x) = lim n fn(x) , tj. d dx lim n fn(x) = lim n d dx fn(x) . D.: Především poznamenejme, že vzhledem k 5.2.16 zůstává věta 8.2.4 v platnosti, zaměníme-li [a, b] za (a, b). Podle 5.3.3 a 4.1.5 existuje posloupnost {cn} taková, že fn(x) = cn + x x0 fn(t)dt . Odtud plyne, že fn(x0) = cn a tedy podle předpokladu existuje c = lim n cn. Podle předpokladu dále existuje funkce g taková, že fn g na J. Pro x J položme f(x) = c + x x0 g(t)dt . Funkce f je podle 5.3.3 diferencovatelná. Podle 8.2.4 x0 fn(t)dt x0 g(t)dt, takže fn = cn + x0 fn(t)dt c + x0 g(t)dt = f a podle 5.3.3 pro každé x J je f (x) = g(x) = lim n fn(x). Poznámky: 1. Předpoklad o existenci x0 J takového, že existuje lim n fn(x0) R nelze obecně vynechat. Např.: fn(x) n, fn 0 0, avšak {fn} nekonverguje. 155 2. Z předpokladu stejnoměrné konvergence posloupnosti diferencovatelných funkcí {fn} neplyne (ani bodová) konvergence posloupnosti funkcí {fn}. Např.: fn(x) = 1 n sin nx, J = (-2, 2). Pak fn 0, fn(x) = cos nx, fn() = cos n = (-1)n . Následující věty plynou z předchozích užitím posloupnosti částečných součtů řady funkcí. 8.2.7 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu J Dom fn k funkci f. Je-li každá z funkcí fn spojitá na J, pak je f spojitá na J. 8.2.8 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu J Dom fn k funkci f. Nechť x0 J nebo x0 je krajní bod intervalu J a nechť pro všechna n N existuje lim xx0 fn(x) = an R. (V případě, že x0 je krajní bod intervalu J, jedná se o příslušnou jednostrannou limitu.) Pak řada an konverguje, existuje lim xx0 f(x) R a platí an = lim xx0 f(x), neboli lim xx0 fn(x) = lim xx0 fn(x) . 8.2.9 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu a x0 [a, b] je libovolný. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a pro každé x [a, b] platí x x0 f(t)dt = x x0 fn(t)dt, neboli x x0 fn(t) dt = x x0 fn(t)dt , přičemž konvergence řady funkcí na pravé straně je stejnoměrná na intervalu [a, b]. 8.2.10 Věta Nechť řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] Dom fn k funkci f. Nechť všechny funkce fn jsou na [a, b] integrabilní v Riemannově smyslu. Pak funkce f je integrabilní na [a, b] a platí b a f(t)dt = b a fn(t)dt, neboli b a fn(t) dt = b a fn(t)dt . 8.2.11 Věta Buď fn řada funkcí diferencovatelných na otevřeném intervalu J Dom fn. Nechť existuje x0 J takový bod, že (číselná) řada fn(x0) konverguje. Jestliže řada funkcí fn konverguje stejnoměrně na J, pak řada fn konverguje stejnoměrně na J k diferencovatelné funkci f, pro niž platí f (x) = fn(x) pro každé x J, neboli fn(x) = fn(x) , tj. d dx fn(x) = d dx fn(x) . 156 8.3 Mocninné řady 8.3.1 Definice Buď {an} n=0 posloupnost reálných čísel, x0 R. Mocninná (potenční) řada se středem x0 a koeficienty an je řada funkcí n=0 an(x - x0)n . Specielně pro x0 = 0 jde o řadu n=0 anxn = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . Substituce y = x - x0 převede řadu n=0 an(x - x0)n v řadu n=0 anyn . Proto se v první části tohoto odstavce (po 8.3.11) omezíme na mocninné řady tvaru n=0 anxn . Mocninná řada konverguje ve svém středu a má zde součet a0. 8.3.2 Definice Buď n=0 anxn mocninná řada. Jestliže tato řada konverguje pro každé x R, řekneme, že řada n=0 anxn vždy konverguje. Jestliže tato řada pro každé x = 0 diverguje, řekneme, že řada n=0 anxn vždy diverguje. Příklady: 1. Řada n=1 nn xn vždy diverguje. Buď x1 R libovolné. Pro n 2 |x1| je |nn xn 1 | 2n , a tedy nemůže být lim n nn xn 1 = 0. Podle 7.1.5 (číselná) řada n=1 nn xn 1 diverguje. 2. Řada n=1 xn n! vždy konverguje. lim n xn+1 (n+1)! xn n! = lim n |x| n + 1 = 0, takže podle 7.2.11 číselná řada n=1 xn n! řada absolutně konverguje. 8.3.3 Věta Buď n=0 anxn mocninná řada. Jestliže existuje x0 R takové, že (číselná) řada n=0 anxn 0 konverguje, pak pro každé x R, |x| < |x0| řada n=0 anxn konverguje absolutně. Jestliže existuje x0 R takové, že (číselná) řada n=0 anxn 0 diverguje, pak pro každé x R, |x| > |x0| řada n=0 anxn diverguje. Jestliže mocninná řada n=0 anxn ani vždy nekonverguje, ani vždy nediverguje, pak existuje r R takové, že tato řada konverguje absolutně pro každé x R, |x| < r a diverguje pro každé x R, |x| > r. D.: ˇ Nechť n=0 anxn 0 konverguje. Buď x R, |x| < x0. Poněvadž n=0 anxn 0 konverguje, podle 7.1.5 je lim n |anxn 0 | = 0 a tedy podle 1.3.4 existuje k R, že 157 |anxn 0 | k pro každé n N. Pro x R, |x| < |x0| platí |anxn | = anxn 0 xn xn 0 = |anxn 0 | x x0 n < k x x0 n . Podle 7.1.3 řada n=0 k x x0 n konverguje a tedy podle 7.2.4 konverguje i řada n=0 |anxn |, neboli n=0 anxn konverguje absolutně. * Nechť n=0 anxn 0 diverguje. Kdyby existovalo x1 R, |x1| > |x0| takové, že by n=0 anxn 1 konvergovala, pak by podle již dokázané části konvergovala i řada n=0 anxn 0 . * Označme M = x R : x 0, n=0 anxn konverguje . Poněvadž n=0 anxn vždy nediverguje, existuje podle předchozího tvrzení horní závora množiny M. Podle 1.1.7 existuje r = sup M R. Je-li x R, |x| > r, pak x M, n=0 anxn diverguje. Je-li x R, |x| < r, pak podle 1.1.6(s2 ) existuje x0 M takové, že x0 > |x|. Podle prvního tvrzení řada n=0 anxn konverguje absolutně. 8.3.4 Definice Číslo r z 8.3.3 se nazývá poloměr konvergence mocninné řady n=0 anxn , a otevřený interval (-r, r) se nazývá konvergenční interval této řady. Jestliže řada n=0 anxn vždy konverguje, klademe r = , jestliže tato řada vždy diverguje, klademe r = 0. Příklad: n=1 xn n Pro x = 1 se jedná o řadu harmonickou, tedy podle 1.1.2.1 divergentní. Pro x = -1 se jedná o řadu Leibnizovu, tedy podle 7.3.8 konvergentní. V tomto případě je tedy r = 1, konvergenční interval je (-1, 1), obor konvergence je [-1, 1). 8.3.5 Věta (Cauchy [1789 ­1857] - Hadamard [1865 ­ 1963]) Buď anxn mocninná řada a r její poloměr konvergence. Pak 1 r = lim sup n n |an| . Přitom klademe r = 0 pro lim sup n n |an| = a r = pro lim sup n n |an| = 0. D.: * Nechť lim sup n n |an| = 0. Ukážeme, že anxn vždy konverguje. Buď x0 R, x0 = 0 libovolné. Pak 1 2|x0| > 0 = lim sup n n |an|. Tedy existuje n0 N, že pro n n0 platí 1 2|x0| > n |an|, tedy 1 2 n 1 |x0|n > |an|. Odtud |an| |x0|n < 1 2 n . Řada 1 2 n podle 7.1.3 konverguje a tedy podle 7.2.4 řada anxn 0 konverguje absolutně. * Nechť lim sup n n |an| = . Ukážeme, že anxn vždy diverguje. Buď x0 R, x0 = 0 libovolné. Pak pro nekonečně mnoho indexů n platí n |an| > 1 |x0| a tedy pro nekonečně mnoho indexů n platí |an| |x0|n > 1. To znamená, že nemůže být lim n anxn 0 = 0 a tedy podle 7.1.5 řada anxn 0 diverguje. 158 ˇ Nechť 0 < a = lim sup n n |an|. ­ Buď x0 R, 0 < |x0| < 1 a . Ukážeme, že anxn 0 konverguje. Zvolme b R, |x0| < b < 1 a . Pak 1 b > a a tedy existuje n0 N, že pro n n0 je n |an| < 1 b . Odtud n |an| |x0| < |x0| b , |anxn 0 | < 1 bn |x0|n = |x0| b n . Poněvadž |x0| b < 1, řada |x| b n podle 7.1.3 konverguje, a tedy podle 7.2.4 řada anxn 0 konverguje absolutně. ­ Buď x0 R, |x0| > 1 a . Ukážeme, že anxn 0 diverguje. Pro nekonečně mnoho indexů n platí n |an| > 1 |x0| , |anxn 0 | > 1 a nemůže být lim n |anxn 0 | = 0. Podle 7.1.5 řada anxn 0 diverguje. 8.3.6 Důsledek Buď {an} posloupnost kladných čísel. Jestliže existuje lim n an+1 an = a R , pak mocninná řada anxn má poloměr konvergence r = 1 a (přitom klademe r = 0 pro a = a r = pro a = 0). D.: Plyne z 7.2.12. 8.3.7 Věta Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak tato řada konverguje stejnoměrně na libovolném uzavřeném intervalu [a, b] (-r, r). Konverguje-li řada anrn , pak mocninná řada anxn konverguje stejnoměrně na uzavřeném intervalu [a, r] pro libovolné a (-r, r). Konverguje-li řada an(-r)n , pak mocninná řada anxn konverguje stejnoměrně na uzavřeném intervalu [-r, a] pro libovolné a (-r, r). D.: Položme c = r - 1 2 (r - max{|a|, |b|}). Pak pro každé x0 [a, b] je |x0| < c, tedy |anxn 0 | < |ancn |. Podle 8.3.3 řada |ancn | konverguje a tedy podle 8.1.13 řada anxn konverguje absolutně a stejnoměrně na [a, b]. Nechť řada anrn konverguje. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat r = 1. (V opačném případě lze použít substituci x x r .) (Číselná) řada an = an1n konverguje. Ukážeme, že řada funkcí anxn konverguje stejnoměrně na [0, 1]. Buď > 0 libovolné. Podle 7.1.4 existuje n0 N takové, že pro n n0 a libovolné m N je |an+1 + an+2 + + an+m| < 2 . Buď x [0, 1). Pak |an+1xn+1 + an+2xn+2 + + an+mxn+m | = = |an+1(xn+1 - xn+2 + xn+2 - xn+3 + xn+3 - - xn+m + xn+m ) + +an+2(xn+2 - xn+3 + xn+3 - - xn+m + xn+m ) + + +an+m-1(xn+m-1 - xn+m + xn+m ) + an+mxn+m | = = |an+1(xn+1 - xn+2 ) + (an+1 + an+2)(xn+2 - xn+3 ) + +(an+1 + an+2 + an+3)(xn+3 - xn+4 ) + + (an+1 + an+2 + + an+m-1)(xn+m-1 - xn+m ) + +(an+1 + an+2 + + an+m)xn+m | = 159 = |(1 - x)[an+1xn+1 + (an+1 + an+2)xn+2 + (an+1 + an+2 + an+3)xn+3 + + +(an+1 + an+2 + + an+m-1)xn+m-1 ] + (an+1 + an+2 + + an+m)xn+m | (1 - x)(xn+1 + xn+2 + xn+3 + + xn+m-1 ) + xn+m = = (1 - x) 2 xn+1 1 - xn+m-1 1 - x + 2 xn+m = 2 (xn+1 - x2n+m + xn+m ) xn+1 < . Tedy pro každé x [0, 1] je |an+1xn+1 + an+2xn+2 + + an+mxn+m | < , což podle 8.1.10 znamená, že řada funkcí anxn konverguje stejnoměrně na [0, 1]. Třetí tvrzení lze dokázat analogicky. 8.3.8 Věta (Abel [1802 ­ 1829]) Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r. Pak součet s této řady je funkce spojitá na intervalu (-r, r). Nechť 0 < r < a řada anrn (resp. řada an(-r)n ) je konvergentní. Pak součet s řady anxn je funkce zleva spojitá v bodě r (resp. zprava spojitá v bodě -r). D.: Věta plyne z 8.3.7, 8.2.7 a 8.2.8. 8.3.9 Poznámky 1. Nechť mocninná řada n=0 anxn má poloměr konvergence r. Pak řada n=0 an n + 1 xn+1 = n=1 an-1 n xn = x 0 n=0 antn dt má také poloměr konvergence r. (sr. 8.2.9) D.: lim sup n n |an| n + 1 = lim sup n n 1 n + 1 lim sup n n |an| = 1 r = r 2. Nechť mocninná řada n=0 anxn má poloměr konvergence r. Pak řada n=0 (n + 1)an+1xn = n=1 nanxn-1 = n=0 anxn má také poloměr konvergence r. (sr. 8.2.11) 3. Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r. Pak součet s(x) této řady má na (-r, r) derivace všech řádů, přičemž k-tou derivaci obdržíme k-násobným derivováním této řady ,,člen po členu a vzniklá mocninná řada má opět poloměr konvergence r. 8.3.10 Příklad arctg(x) = x 0 d dt arctg tdt = x 0 dt 1 + t2 = x 0 n=0 (-1)n t2n dt = = n=0 (-1)n x 0 t2n dt = n=0 (-1)n t2n+1 2n + 1 x 0 = n=0 (-1)n x2n+1 2n + 1 4 = arctg 1 = n=0 (-1)n 1 2n + 1 = 4 n=0 (-1)n 1 2n + 1 160 4 499999 n=0 (-1)n 1 2n + 1 = 3.141590653589793240462643383269502884197 (Podtržením jsou vyznačeny nesprávné cifry; jsou čtyři na prvních čtyřiceti desetinných místech.) 8.3.11 Definice Buď f funkce, která má v bodě x0 R derivace všech řádů. Taylorovou řadou funkce f v bodě x0 rozumíme mocninnou řadu f(x0) + f (x0) 1! (x - x0) + f (x0) 2! (x - x0)2 + f (x0) 2! (x - x0)3 + = n=0 f(n) (x0) n! (x - x0)n . Specielně pro x0 = 0 mluvíme o Maclaurinově řadě. 8.3.12 Věta Nechť funkce f má v bodě x0 R derivace všech řádů. Její Taylorova řada konverguje na nějakém intervalu J obsahujícím bod x0 k funkci f právě tehdy, když pro posloupnost jejích Taylorových zbytků platí lim n Rn = 0. D.: Využijeme větu 2.6.8 a označení v ní používané. Pro posloupnost {sn} částečných součtů Taylorovy řady platí sn(x) = Tn(x) = f(x) - Rn. 8.3.13 Věta Nechť mocninná řada n=0 an(x - x0)n má poloměr konvergence r. Pak je tato řada Taylorovou řadou svého součtu f v konvergenčním intervalu (f(n) (x0) = ann!). D.: Analogicky jako 2.6.5. 8.3.14 Definice Funkce f se nazývá analytická v bodě x0 R, jestliže existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že na něm lze f vyjádřit jako součet mocninné řady. T.j. pro x O(x0) platí f(x) = n=0 an(x - x0)n . Funkce f se nazývá analytická na otevřeném intervalu J, je-li analytická v každém x J. Je-li funkce f analytická, její vyjádření mocninou řadou (rozvoj do mocninné řady) je Taylorovou řadou. Zejména analytická funkce f má derivace všech řádů. Opačné tvrzení neplatí. Funkce, která má derivace všech řádů nemusí být analytická. Příklad: Funkce f(x) = e-1/|x| , x = 0 0, x = 0 má v bodě 0 derivace všech řádů rovny 0, tedy její Maclaurinova řada 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + má na intervalu (-, ) součet 0, a přitom f(x) > 0 pro x = 0, což znamená, že funkce f není v bodě 0 analytická. D.: Je-li x > 0, pak f(x) = e-1/x , f (x) = 1 x2 e-1/x , f (x) = - 2 x3 e-1/x + 1 x4 e-1/x = P2 1 x e-1/x , kde P2 je polynom, f = P2 1 x - 1 x2 e-1/x + 1 x2 P2 1 x e-1/x = P3 1 x e-1/x , kde P3 je polynom, atd. lim x0+ f(n) (x) = lim x0+ Pn 1 x e-1/x = lim t Pn(t)e-1/x = 0. Je-li x < 0, pak f(x) = e1/x , f (x) = - 1 x2 e1/x = Q1 1 x e1/x , kde Q1 je polynom, f (x) = 2 x3 e1/x + 1 x4 e1/x = Q2 1 x e1/x , kde Q2 je polynom, atd. 161 lim x0- f(n) (x) = lim x0- Qn 1 x e1/x = lim t Qn(-t)e-t = 0. Celkem tedy je f(n) (0) = lim x0 f(n) (x) = 0. 8.3.15 Maclaurinovy řady některých elementárních funkcí 1. ex = n=0 xn n! , r = 2. sin x = n=0 (-1)n x2n+1 (2n + 1)! , r = 3. cos x = n=0 (-1)n x2n (2n)! , r = 4. ln(1 + x) = n=1 (-1)n+1 xn n , r = 1, x (-1, 1] 5. (1 + x) = n=0 n xn , r = 1, x (-1, 1) 6. arctg x = n=0 (-1)n x2n+1 2n + 1 , r = 1, x [-1, 1] Sr. 2.6.7 a 8.3.10. 8.3.16 Aplikace mocninných řad 1. Výpočet funkčních hodnot 2. Výpočet limit 3. Výpočet derivací 4. Výpočet určitých i neurčitých integrálů 5. Sumace číselných řad 6. Výpočet obecného členu posloupnosti zadané rekurentně 7. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice 8.4 Cvičení Rozhodněte o konvergenci a absolutní konvergenci řad 1) n=1 (-1)n n n 2) n=2 (-1)n n+(-1)n 3) n=1 ln n2 +1 n2 cos n2 n2+1 4) Ukažte, že druhá mocnina (chápaná jako Cauchyův součin) konvergentní řady n=1 (-1)n n je řada divergentní. Najděte obory konvergence a absolutní konvergence řad funkcí 5) n=1 n xn 6) n=1 xn 1-xn 7) n=1 (-1)n+1 x+n 8) n=1 1 nx 9) n=0 xn 1+x2n 10) n=1 x(x+n) n n 11) n=1 n22n 3n xn (1 - x) 12) n=0 n n+1 x 2x+1 n 13) n=1 ln(1+xn ) n2 Rozhodněte, zda uvedené řady konvergují na daném intervalu stejnoměrně 14) n=1 (-1)n x+2n , (-2, 2) 15) n=1 (1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n )xn , [-1 2 , 2 3 ] 16) n=0 x-1 xn , [1, 2] Najděte poloměry konvergence mocninných řad 162 17) n=1 n! an2 (a > 1) 18) n=0 xn an+bn (a > 0, b > 0) 19) n=0 n 2n+1 n x2n Najděte obory konvergence mocninných řad 20) n=1 nxn 2n 21) n=0 (-1)n 2n+1 x2n+1 21) n=0 en n+1 xn Funkce rozviňte v Maclaurinovu řadu 22) x 1+x-2x2 23) 1 1-x-x2 24) 1- 1 2 x 1-x+x2 25) x (1-x)(1-x2) 26) 1 (1-x2) 1-x2 27) x arctg x - ln 1 + x2 Najděte součet mocninné řady 28) n=0 n2 +1 2nn! xn 29) n=1 xn n 30) n=1 (-1)n-1 n(2n-1) x2n 31) n=1 n2 xn-1 32) n=0 2n+1 n! x2n 33) n=1 n n+1 xn Najděte součet číselné řady 34) 1 - 1 4 + 1 7 - 1 10 + 1 13 - . . . 35) n=0 n+1 2nn! 36) 1 - 1 2 + 13 24 - 135 246 + 1357 2468 - . . . 37) n=0 n (2n+1)! S přesností alespoň 0.001 vypočítejte integrály 39) 0.2 0 sin x2 dx 40) 0.4 0 1-e-x x dx 41) 0.1 0 dx 1+x4 Vypočítejte limity 42) lim x0 cos x-e- x2 2 x4 43) lim x ((x3 - x2 + x 2 )e 1 x - x6 + 1) 44) lim x0 1-(cos x)sin x x3 Výsledky: 1)diverguje 2)konverguje relativně 3)konverguje absolutně 5)absolutně pro x (-, -1) (1, ) 6)absolutně pro x (-1, 1) 7)relativně pro x R \ {-1, -2, -3, . . . } 8)absolutně pro x (1, ) 9)absolutně pro x R \ {-1, 1} 10)absolutně pro x (-1, 1), relativně pro x < 1 11)absolutně pro x 1- 2 2 , 1 2 1 2 , 1+ 2 2 12)absolutně pro x (-, -1) (-1 3 , ) 13)absolutně pro x (-1, 1] 14)ano 15)ano 16)ne 17) 18)max{a, b} 19) 2 20)(-2, 2) 21)[-1, 1] 22) -1 e , 1 e 23)1 3 n=1 (1 - (-2)n )xn , |x| < 1 2 24) 1 5 n=0 5+1 2 n+1 + (-1)n 5-1 2 n+1 xn = n=0 anxn , kde {an} je Fibonacciho posloupnost 1,1,2,3,5,8,13,21,..., an = an-1 + an-2, |x| < 5-1 2 25) n=0 (cos n 3 )xn , |x| < 1 26)1 2 n=1 n + 1-(-1)n 2 xn , |x| < 1 27) n=0 (2n+1)!! (2n)!! x2n , |x| < 1 28) n=1 (-1)n+1 x2n 2n(2n-1) , |x| 1 29) e x 2 (1+ x 2 + x2 4 ) 30)ln 1 1-x , -1 x < 1 31) 2x arctg x-ln(1+x2 ), |x| 1 32) 1+x (1-x)3 , |x| < 1 33) ex2 (1+2x2 ) 34)ln(1-x) x + 1 1-x , |x| < 1 35)1 3 ln 2 + 3 9 36)3 2 e 37) 2 2 38) 1 2e 39) 0.001 40) 0.364 41) 0.1 42) - 1 12 43) 1 6 44) 1 2 8.5 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 163 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 164 Kapitola 9 Fourierovy řady 9.1 Hilbertův prostor 9.1.1 Definice Buď V reálný vektorový prostor a : V × V R zobrazení, které pro všechna u, v, w V splňuje podmínky: (U1) u = 0 u u > 0, (U2) u v = v u , (U3) u v = u v , (U4) u + v w = u w + v w . Zobrazení se nazývá skalární (nebo též vnitřní ) součin vektorů. 9.1.2 Poznámky 1. u = 0 u u = 0 D.: Je-li u = 0 pak u = 0v pro libovolný vektor v V a tedy podle (U3) je u u = 0v u = 0 v u = 0 Je-li u u = 0, podle (U1) nemůže být u = 0. 2. u v = u v D.: u v = v u = v u = u v První rovnost plyne z (U2), druhá z (U3) a třetí opět z (U2). 3. u v + w = u v + u w D.: u v + w = v + w u = v u + w u = u v + u w První rovnost plyne z (U2), druhá z (U4) a třetí opět z (U2). 9.1.3 Věta (Cauchyova [1789 ­ 1857] - Bunjakovského [1804 ­ 1889] - Schwarzova [1843 ­ 1921] nerovnost) Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem . Pak pro všechna u, v V platí u v u u v v , přičemž rovnost nastane právě tehdy, když vektory u, v jsou lineárně závislé. 165 D.: Nechť u v = 0. Pro každé R podle (U1), 9.1.2.1 a pravidel pro počítání se skalárním součinem platí 0 u + v u + v = 2 u u + 2 u v + v v , což znamená, že kvadratická rovnice s neznámou u u 2 + 2 u v + v v = 0 (9.1) má nejvýše jeden reálný kořen, tedy 4 u v 2 - 4 u u v v 0, neboť koeficient u 2 je kladný. Odtud plyne dokazovaná nerovnost. Ukážeme, že jsou-li vektory u, v lineárně závislé, nastane ve Schwarzově nerovnosti rovnost. Nechť tedy v = u, pak | u v | = | u u | = 2 u u u u = u u u u = = u u v v . Nakonec ukážeme, že nastává-li ve Schwarzově nerovnosti rovnost, jsou vektory u, v lineárně závislé. Nechť tedy u v 2 = u u v v . Je-li u u = 0, má rovnice (9.1) kořen = u v u u a pro takové je u + v u + v = 0, což podle 9.1.2.1 znamená, že u + v = 0, neboli v = -u. Je-li u u = 0, je tvrzení triviální. 9.1.4 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem . Pro u V položme ||u|| = u u . Pak pro všechna u, v V, R platí (N1) u = 0 ||u|| > 0, (N2) ||u|| = || ||u||, (N3) ||u + v|| ||u|| + ||v||. D.: Jediné netriviální tvrzení je (N3). S využitím 9.1.3 dostaneme: ||u + v|| 2 = u + v u + v = u u + 2 u v + v v = = ||u|| 2 + 2| u v | + ||v|| 2 ||u|| 2 + 2 u u v v + ||v|| 2 = (||u|| + ||v||) 2 . Cauchyovu - Bunjakovského - Schwarzovu nerovnost lze zapsat: u v ||u|| ||v|| nebo u v 2 ||u|| 2 ||v|| 2 . 9.1.5 Definice Buď V reálný vektorový prostor a |||| : V R zobrazení, které pro všechna u, v V, R splňuje podmínky (N1), (N2), (N3) z 9.1.4. Pak |||| se nazývá norma (na vektorovém prostoru V ). 9.1.6 Věta Buď V reálný vektorový prostor s normou ||||. Definujme zobrazení : V × V R předpisem (u, v) = ||u - v||. Pak je metrika na V . D.: Axiomy totožnosti a symetrie jsou zřejmé. Trojúhelníková nerovnost plyne z (N3): (u, w) = ||u - w|| = ||u - v + v - w|| ||u - v|| + ||v - w|| = (u, v) + (v, w). Je-li V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , budeme V uvažovat současně s normou zavedenou v 9.1.4 a s metrikou zavedenou v 9.1.6. 166 9.1.7 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , pak zobrazení : V × V R je spojité. D.: Na V × V zavedeme metriku 2 předpisem 2((u1, v1), (u2, v2)) = ||u1 - u2|| 2 + ||v1 - v2|| 2 . Pro všechny dvojice (u1, v1), (u2, v2) V × V platí ||u1 - u2|| 2((u1, v1), (u2, v2)), ||v1 - v2|| 2((u1, v1), (u2, v2)) . Buď (u0, v0) V × V libovolná dvojice a > 0 libovolné číslo. Položme = (||u0|| + ||v0||) 2 + 2 - ||u0|| - ||v0|| 2 . Pak > 0 a 2 + (||u0|| + ||v0||) = 2 . Buď dále (u1, v1) V × V libovolná dvojice taková, že 2((u1, v1), (u0, v0)) < . Pak s využitím 9.1.3 dostaneme | u1 v1 - u0 v0 | = | u1 - u0 v1 - v0 + u0 v1 - v0 + u1 - u0 v0 | | u1 - u0 v1 - v0 | + | u0 v1 - v0 | + | u1 - u0 v0 | ||u1 - u0|| ||v1 - v0|| + ||u0|| ||v1 - v0|| + ||v0|| ||u1 - u0|| 2 + ||u0|| + ||v0|| = 2 < , což znamená, že zobrazení je spojité v (u0, v0). Poněvadž (u0, v0) byla libovolná dvojice z V × V , je toto zobrazení spojité na V × V . 9.1.8 Důsledek Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem a {vn} n1 posloupnost vektorů taková, že lim n vn = v. Pak lim n ||vn|| = ||v|| a pro libovolný vektor u V platí lim n vn u = v u . D.: Plyne z 11.5.3. 9.1.9 Definice Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem . Řekneme, že vektory u, v V jsou ortogonální a píšeme uv, jestliže u = 0 = v a u v = 0. Řekneme, že množina S V je ortogonální, jestliže pro každé dva různé vektory u, v S je uv. Jestliže navíc pro každý vektor u S platí ||u|| = 1, nazývá se množina S ortonormální. Je-li množina S ortogonální, je množina 1 ||u|| u : u S zřejmě ortonormální. Označení: Je-li V vektorový prostor a S V , pak podprostor generovaný množinou S (lineární obal množiny S, množinu všech lineárních kombinací vektorů z S) označíme Lin(S). Mohutnost množiny M označíme card M. 9.1.10 Věta (Gramova [1850­1916] - Schmidtova [1876­1959] ortogonalizace) Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem a S V konečná nebo spočetná lineárně nezávislá množina. Pak existuje ortonormální množina R V taková, že Lin(S) = Lin(R) a card S = card R. 167 D.: Nechť S = {u1, u2, . . . }. Definujme vektory x1, x2, . . . a u1, u2, . . . takto: x1 = u1 v1 = 1 ||x1|| x1 x2 = u2 - u2 v1 v1 v2 = 1 ||x2|| x2 ... ... xk+1 = uk+1 - k i=1 uk+1 vi vi vk+1 = 1 ||xk+1|| xk+1 ... ... Tento postup končí, je-li množina S konečná vyčerpáním všech jejích prvků. Jinak můžeme neomezeně pokračovat. Položíme R = {v1, v2, . . . }. Zřejmě je card S = card R. Úplnou indukcí ověříme, že vektor vn je lineární kombinací vektorů u1, u2, . . . , un a naopak, vektor un je lineární kombinací vektorů v1, v2, . . . , vn. Tedy Lin(S) = Lin(R). Je-li množina {x1, x2, . . . , xk} ortogonální, tak pro každé j {1, 2, . . . , k} platí xk+1 xj = uk+1 - k i=1 uk+1 vi vi xj = = uk+1 xj - k i=1 uk+1 vi vi xj = = uk+1 xj - k i=1 uk+1 xi 1 ||xi|| 2 xi xj = = uk+1 xj - uk+1 xj = 0 . Tedy xk+1xj pro každé j {1, 2, . . . , n}, což znamená, že množina {x1, x2, . . . , xk, xk+1} je ortogonální. Z principu matematické indukce plyne, že množina {x1, x2, . . . } je ortogonální a tedy množina R je ortonormální. 9.1.11 Poznámka Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem a {un} n=1 posloupnost vektorů z V . Pro každé n N položme sn = n i=1 ui. Řekneme, že nekonečná řada vektorů n=1 un konverguje k vektoru s a píšeme n=1 un = s, jestliže lim n sn = s v prostoru s metrikou zavedenou v 9.1.4. 9.1.12 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , {un} n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V a {n} n=1 posloupnost reálných čísel. * Je-li prostor V úplný a číselná řada n=1 2 n konverguje, pak také řada vektorů n=1 nun konverguje. * Jestliže řada vektorů n=1 nun konverguje k vektoru v V , pak číselná řada n=1 2 n konverguje a pro každé n N platí n = v un . D.: Označme sn = n k=1 kuk. Nechť V je úplný a n=1 2 n konverguje. Buď > 0 libovolné. Podle 7.1.4 existuje n0 N takové, že pro 168 n n0, m N je n+m k=n+1 2 k < . Pro n n0, p n0, p > n je tedy ||sp - sn|| 2 = p k=n+1 kuk 2 = p k=n+1 kuk p k=n+1 kuk = = p k=n+1 p j=n+1 kj uk uj = p k=n+1 2 k < , což znamená, že posloupnost {sn} n=1 je cauchyovská a protože je V úplný, je tato posloupnost konver- gentní. Nechť n=1 nun = v V . Kdyby n=1 2 n = , pak by z analogického výpočtu jako v předchozím kroku vyplynulo, že posloupnost {sn} n=1 by nebyla cauchyovská, což by byl spor s její předpokládanou konver- gencí. S využitím 9.1.8 dostaneme v uk = lim n n i=1 iui uk = lim n n i=1 i ui uk = lim n k = k . 9.1.13 Definice Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , {un} n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V a v V . Čísla n = v un se nazývají Fourierovy koeficienty vektoru v vzhledem k ortonormální posloupnosti {un} n=1 a řada n=1 nun se nazývá Fourierova řada vektoru v vzhledem k ortonormální posloupnosti {un} n=1. 9.1.14 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , {un} n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V , v V , {n} n=1 posloupnost Fourierových koeficientů vektoru v vzhledem k posloupnosti {un} n=1 a {n} n=1 libovolná posloupnost reálných čísel. Pak pro každé n N platí nerovnost v - n i=1 iui v - n i=1 iui (mezi všemi lineárními kombinacemi vektorů u1, u2, . . . , un má od vektoru v nejmenší vzdálenost ta, jejíž koeficienty jsou Fourierovými koeficienty vektoru v) a v - n i=1 iui 2 = ||v|| 2 - n i=1 2 i (Besselova identita). 169 D.: Dokazovaná nerovnost i Besselova identita plynou z rovnosti v - n i=1 iui 2 = v - n i=1 iui v - n i=1 iui = = ||v|| 2 - n i=1 i ui v - n i=1 i v ui + n i=1 n j=1 ij ui uj = = ||v|| 2 - 2 n i=1 ii + n i=1 2 i = ||v|| 2 + n i=1 (2 i - 2ii) = = ||v|| 2 + n i=1 (i - i)2 - 2 i = ||v|| 2 - n i=1 2 i + n i=1 (i - i)2 . 9.1.15 Důsledek (Besselova [1784 ­ 1846] nerovnost) Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , {un} n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V , v V , {n} n=1 posloupnost Fourierových koeficientů vektoru v vzhledem k posloupnosti {un} n=1. Pak platí n i=1 2 i ||v|| 2 . Z Besselovy nerovnosti a z 9.1.12 plyne, že v úplném prostoru Fourierova řada libovolného vektoru konverguje. 9.1.16 Věta Buď V reálný vektorový prostor se skalárním součinem , který je úplný, {un} n=1 ortonormální posloupnost vektorů z V a v V . Fourierova řada n=1 nun vektoru v vzhledem k {un} n=1 konverguje k vektoru v právě tehdy, když platí n=1 2 n = ||v|| 2 (Parsevalova rovnost). D.: Podle 9.1.8 a 9.1.14 platí v - n=1 nun 2 = lim n v - n i=1 iui 2 = lim n ||v|| 2 - n i=1 2 i = ||v|| 2 - n=1 2 n . 9.1.17 Definice Reálný vektorový prostor, který je úplný a v němž existuje nekonečná ortonormální podmnožina se nazývá Hilbertův prostor. 9.1.18 Příklad Nechť 2 je množina posloupností {i} i=1 takových, že řada i=1 2 i konverguje. Jsou-li {i} i=1, {i} i=1 2 pak řada i=1 ii konverguje absolutně. 170 D.: |ii| max{2 i , 2 i } k i=1 max{2 i , 2 i } k i=1 2 i + k i=1 2 i i=1 2 i + i=1 2 i < . Řada s nezápornými členy i=1 max{2 i , 2 i } má ohraničenou posloupnost částečných součtů. Podle 7.2.1 tato řada konverguje, takže podle 7.2.4 konverguje i řada i=1 |ii|. 2 tvoří reálný vektorový prostor a lze snadno ověřit, že zobrazení : 2 × 2 R definované pro u = {i} i=1 2 , v = {i} i=1 2 předpisem u v = i=1 ii je skalární součin. Položme en = {ni} i=1, kde ij = 0, i = j 1, i = j . Pak zřejmě pro každé n N je en 2 , ||en|| = 1, en em = 0 pro n = m. Tedy {en} n=1 je ortonormální posloupnost v 2 . Buď u = {i} i=1 2 libovolný vektor. Fourierovy koeficienty tohoto vektoru vzhledem k {en} n=1 jsou n = u en = i=1 ini = n . Dále lim n u - n i=1 iei 2 = lim n u - n i=1 iei u - n i=1 iei = = lim n u u - 2 n i=1 i u ei + n i=1 n j=1 ij ei ej = = lim n i=1 2 i - 2 n i=1 2 i + n i=1 2 i = lim n i=n+1 2 i = 0 , takže Fourierova řada libovolného vektoru u 2 konverguje k u. 9.2 Prostor L2 (a, b) Nechť a, b R , a < b. Symbolem C2 (a, b) označíme množinu všech funkcí f spojitých na intervalu (a, b), pro něž b a (f(x))2 dx < . Jsou-li a, b R a lim xa+ f(x) R, lim xbf(x) R, je nerovnost triviální. V opačném případě říká, že příslušný nevlastní integrál konverguje. 9.2.1 Poznámky 1. Jsou-li f, g C2 (a, b), pak b a |f(x)g(x)|dx < a - < b a f(x)g(x)dx < . D.: Nechť uvažované integrály jsou nevlastní. (V opačném případě by tvrzení bylo triviální.) b a |f(x)g(x)|dx b a max{(f(x))2 , (g(x))2 }dx b a (f(x))2 dx + b a (g(x))2 dx < . Druhá nerovnost plyne z 5.4.8. 2. Jsou-li f, g C2 (a, b), pak také f + g C2 (a, b) a pro každé R je f C2 (a, b). 171 D.: b a (f(x) + g(x))2 dx = b a (f(x))2 dx + 2 b a f(x)g(x)dx + b a (g(x))2 dx b a (f(x))2 dx + 2 b a f(x)g(x)dx + b a (g(x))2 dx b a (f(x))2 dx + 2 b a |f(x)g(x)| dx + b a (g(x))2 dx < , b a (f(x))2 dx = 2 b a (f(x))2 dx < . 3. C2 (a, b) tvoří reálný vektorový prostor, nulovým vektorem je funkce f 0. (Budeme ji značit 0.) D.: Plyne bezprostředně z předchozího tvrzení. 4. Zobrazení : C2 (a, b) × C2 (a, b) R dané předpisem (f, g) = b a f(x)g(x)dx je skalárním součinem. D.: Nejprve poznamenejme, že zobrazení je podle 1. definováno korektně. Ověříme platnost podmínky (U1): Nechť f = 0. Pak existuje x0 (a, b) takové, že f(x0) = 0 a ze spojitosti funkce f plyne existence okolí O(x0) = (x0 - , x0 + ) (a, b) bodu x0 takového, že (f(x0))2 > 0 pro všechna x O(x0). Podle 5.2.1 je x0+ x0- (f(x))2 dx 2 a tedy (f, f) = b a (f(x))2 dx = x0- a (f(x))2 dx + x0+ x0- (f(x))2 dx + b x0+ (f(x))2 dx 0 + 2 + 0 > 0. Platnost podmínek (U2) ­ (U4) je zřejmá. 5. Jsou-li f, g C2 (a, b), pak b a f(x)g(x)dx b a (f(x))2dx b a (g(x))2dx . D.: Plyne z předchozího tvrzení a z 9.1.3. 9.2.2 Definice Buď f funkce definovaná na intervalu (a, b). Řekneme, že funkce f je po částech spojitá, je-li množina jejich bodů nespojitosti konečná. Řekneme, že funkce f je po částech monotonní, existují-li čísla x0, x1, . . . , xn R taková, že a = x0 < x1 < < xn-1 < xn = b a funkce f je monotonní na každém z intervalů (xi-1, xi), i = 1, 2, . . . , n. Symbolem ~L2 (a, b) označíme množinu všech po částech spojitých funkcí f definovaných na intervalu (a, b), pro něž b a (f(x))2 dx < . Pro každou funkci f ~L2 (a, b) označíme symbolem N(f) množinu jejích bodů nespojitosti. 9.2.3 Poznámky 1. Na množině ~L2 (a, b) definujme relaci předpisem: f g b a (f(x) - g(x))2 dx = 0. Pak je relací ekvivalence na množině ~L2 (a, b). 172 D.: Reflexivita a symetrie jsou zřejmé. Nechť f g, g h. Buďte x0, x1, . . . , xn R taková, že a = x0 < x1 < < xn-1 < xn = b a N(f) N(g) N(h) {x0, x1, . . . , xn}. Pak každá z funkcí f, g, h je spojitá v každém intervalu (xi-1, xi) a platí xi xi-1 (f(x) - g(x))2 dx = xi xi-1 (g(x) - h(x))2 dx = 0, i = 1, 2, . . . , n. S využitím 9.2.1.5 dostaneme 0 b a (f(x) - h(x))2 dx = b a (f(x) - g(x) + g(x) - h(x))2 dx = = b a (f(x) - g(x))2 dx + 2 b a (f(x) - g(x))(g(x) - h(x))dx + b a (g(x) - h(x))2 dx = = 0 + 2 n i=1 xi xi-1 (f(x) - g(x))(g(x) - h(x))dx + 0 2 n n=1 xi xi-1 (f(x) - g(x))(g(x) - h(x))dx 2 n n=1 xi xi-1 (f(x) - g(x))2dx xi xi-1 (g(x) - h(x))2dx = 0 . takže b a (f(x) - h(x))2 dx = 0, což znamená f h. 2. Jsou-li f, g, f1, g1 ~L2 (a, b) a platí f f1, g g1, pak - < b a f(x)g(x)dx = b a f1(x)g1(x)dx < . D.: Buďte x0, x1, . . . , xn R taková, že a = x0 < x1 < < xn-1 < xn = b a N(f) N(g) N(f1) N(g1) {x0, x1, . . . , xn}. Pak b a f(x)g(x)dx = n i=1 xi xi-1 f(x)g(x)dx a f, g C2 (xi-1, xi) pro každé i = 1, 2, . . . , n. Z 9.2.1.1 tedy plyne - < b a f(x)g(x)dx < . Dále podle 9.2.1.2 f, g1, f-f1, g-g1 C2 (xi-1, xi) a xi xi-1 (f(x)-f1(x))2 dx = xi xi-1 (g(x)-g1(x))2 dx = 0 pro každé i = 1, 2, . . . , n. S využitím 9.2.1.5 dostaneme 0 b a f(x)g(x)dx - b a f1(x)g1(x)dx = b a (f(x)g(x) - f1(x)g1(x))dx = = b a (f(x)g(x) - f(x)g1(x) + f(x)g1(x) - f1(x)g1(x))dx = = b a f(x)(g(x) - g1(x))dx + b a (f(x) - f1(x))g1(x)dx b a f(x)(g(x) - g1(x))dx + b a (f(x) - f1(x))g1(x)dx = 173 = n i=1 xi xi-1 f(x)(g(x) - g1(x))dx + n i=1 xi xi-1 (f(x) - f1(x))g1(x)dx = n i=1 xi xi-1 f(x)(g(x) - g1(x))dx + n i=1 xi xi-1 (f(x) - f1(x))g1(x)dx n i=1 xi xi-1 (f(x))2dx xi xi-1 (g(x) - g1(x))2dx+ + n i=1 xi xi-1 (f(x) - f1(x))2dx xi xi-1 (g1(x))2dx = 0 . Odtud plyne rovnost mezi integrály. 3. Jsou-li f1, g1, f2, g2 ~L2 (a, b) takové, že f1 f2, g1 g2 a R, pak f1 + g1 f2 + g2 a f1 f2. D.: 0 = b a (f1(x) - f2(x))2 dx = b a ((f1(x) - f2(x)) - 0)2 dx, takže f1 - f2 0. Podle předchozího je b a (f1(x) - f2(x))(g1(x) - g2(x))dx = b a 0(g1(x) - g2(x))dx = 0, tedy b a ((f1(x) + g1(x)) - (f2(x) + g2(x)))2 dx = b a ((f1(x) - f2(x)) + (g1(x) - g2(x)))2 dx = = b a (f1(x) - f2(x))2 dx + 2 b a (f1(x) - f2(x))(g1(x) - g2(x))dx + b a (g1(x) - g2(x))2 dx = 0 . Dále b a (f1(x) - f2(x))2 dx = 2 b a (f1(x) - f2(x))2 dx = 0 . Pro každé f ~L2 (a, b) položme f = {h ~L2 (a, b) : f h}. Neboli: množiny f jsou třídy rozkladu množiny ~L2 (a, b) podle ekvivalence , f ~L2 (a, b)/ ; f = g f g. Označme L2 (a, b) = ~L2 (a, b)/ . Dále pro f , g L2 (a, b), R klademe f + g = f1 + g1 (součet) f = f (násobení skalárem) přičemž f1 f , g1 g . Podle 9.2.3.3 součet ani násobení skalárem nezávisí na výběru representantů f1, g1. Množina L2 (a, b) tvoří reálný vektorový prostor. Jeho nulovým prvkem 0 je třída obsahující funkci f 0. Zobrazení : L2 (a, b) × L2 (a, b) R definované pro f , g L2 (a, b) předpisem f g = b a f1(x)g1(x)dx , kde f1 f , g1 g , nezávisí podle 9.2.3.2 na výběru representantů f1, g1. 174 Nechť f1 f . Pak platí f f = b a (f1(x))2 dx 0 , f f = 0 b a (f1(x))2 dx = 0 f1 0 0 f f = 0 . Je tedy splněna podmínka (U1) z 9.1.1. Platnost podmínek (U2) ­ (U4) je zřejmá. Zobrazení je skalárním součinem na L2 (a, b). V dalším budeme pro zjednodušení zápisu prvky množiny L2 (a, b) značit stejně jako funkce z množiny ~L2 (a, b). (Třídy rozkladu ztotožňujeme s representanty.) Vzdálenost dvou funkcí f, g v prostoru L2 (a, b) je ||f - g|| = b a (f(x) - g(x))2dx a nazývá se střední odchylka funkcí f, g. Konvergence posloupnosti funkcí v prostoru L2 (a, b) se nazývá konvergence (posloupnosti funkcí) podle středu. 9.3 Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému Uvažujme prostor L2 (-, ) a posloupnost funkcí {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . }. Platí 1 1 = dx = 2 , cos nx cos nx = - cos2 nxdx = - 1 + cos 2nx 2 dx = 1 2 + sin 2nx 4n = , sin nx sin nx = - sin2 nxdx = - 1 - cos 2nx 2 dx = 1 2 sin 2nx 4n = , 1 cos nx = cos nxdx = 1 n sin nx = 0 , 1 sin nx = sin nxdx = - 1 n cos nx = - 1 n ((-1)n - (-1)n ) = 0 , sin nx cos mx = sin nx cos mxdx = 1 2 (sin(n + m)x + sin(n - m)x)dx = 0 . Odtud plyne, že uvažovaná posloupnost funkcí je ortogonální v prostoru L2 (-, ) a tedy posloupnost funkcí 1 2 , 1 cos x, 1 sin x, 1 cos 2x, 1 sin 2x, . . . , 1 cos nx, 1 sin nx, . . . 175 je ortonormální posloupností funkcí v prostoru L2 (-, ). Tato posloupnost se nazývá trigonometrický systém funkcí. Je-li f L2 (-, ), pak Fourierova řada této funkce vzhledem ke zmíněné ortonormální posloupnosti je 0 1 2 + n=1 n cos nx + n sin nx , kde 0 = 1 2 f(x)dx, n = 1 f(x) cos nxdx, n = 1 f(x) sin nxdx, n = 1, 2, 3, . . . . Tuto řadu lze zapsat v přehlednějším tvaru a0 2 + n=1 (an cos nx + bn sin nx) , kde an = 1 f(x) cos nxdx , n = 0, 1, 2, . . . bn = 1 f(x) sin nxdx , n = 1, 2, . . . . Z 9.1.16 a 7.3.13 plyne 9.3.1 Věta Buď f L2 (-, ). Fourierova řada funkce f vzhledem k trigonometrickému systému konverguje k funkci f podle středu (v metrice prostoru L2 (-, )) právě tehdy, když a2 0 4 + n=1 a2 n + n=1 b2 n = ||f|| 2 . Z 9.1.4 a 7.1.5 plyne 9.3.2 Věta Nechť f L2 (-, ) a a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . jsou Fourierovy koeficienty této funkce vzhledem k trigonometrickému systému. Pak lim n an = lim n bn = 0. 9.3.3 Věta (Dirichlet [1805 ­ 1859]) Nechť funkce f je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [-, ]. Pak její Fourierova řada vzhledem k trigonometrickému systému bodově konverguje na intervalu [-, ] k funkci ~f, přičemž ~f(x) = f(x), x (-, ), f je spojitá v x 1 2 lim txf(t) + lim tx+ f(t) , x (-, ), f není spojitá v x 1 2 lim t-+ f(t) + lim tf(t) , x {-, } . D.: Viz V. Novák, Nekonečné řady. Poznamenejme jen, že podle 2.1.15 příslušné jednostranné limity existují. 176 Zřejmě ~f f, t.j. ~f = f v prostoru L2 (-, ). (Bodový) součet Fourierovy řady vzhledem k trigonometrickému systému je 2-periodická funkce. Tedy (bodový) součet Fourierovy řady je 2-periodické rozšíření funkce, která je na intervalu (-, ) ekvivalentní (ve smyslu 9.2.3.1) funkci f. Je-li f L (-, ) sudá funkce, pak bn = 0, n = 1, 2, . . . a Fourierova řada této funkce vzhledem k trigonometrickému systému má tvar a0 2 + n=1 an cos nx kde an = 2 0 f(x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, . . . . Tato řada se nazývá kosinová (řada funkce f). Je-li f L2 (-, ) lichá funkce, pak an = 0, n = 0, 1, 2, . . . a Fourierova řada této funkce vzhledem k trigonometrickému systému má tvar n=1 an sin nx kde bn = 2 0 f(x) sin nxdx, n = 0, 1, 2, . . . . Tato řada se nazývá sinová (řada funkce f). 9.3.4 Příklad Nechť f(x) = x pro x [-, ]. Je to funkce lichá, proto an = 0, n = 0, 1, 2, . . . . bn = 1 x sin nxdx = 1 - 1 n x cos nx - + 1 n cos nxdx = = 1 - 1 n cos n - 1 n cos n) + 1 n2 [sin nx] - = = - 2 n cos n = - 2 n (-1)n = (-1)n+1 2 n Tedy pro x (-, ) je x = 2 n=1 (-1)n+1 n sin nx . Zejména pro x = 2 je 2 = 2 n=1 (-1)n+1 n sin n 2 = 2(1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ) = 2 n=0 (-1)n 2n + 1 , tedy = 4 n=0 (-1)n 2n + 1 . 9.3.5 Věta (Dirichlet [1805 ­ 1859] - Jordan [1838 ­ 1922]) Nechť funkce f je 2-periodická, ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [-, ]. Jeli f spojitá na intervalu (a, b), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k trigonometrickému systému konverguje stejnoměrně k funkci f na každém uzavřeném podintervalu intervalu (a, b). D.: Viz V. Novák, Nekoneěné řady. Poznamenejme jen, že interval (a, b) nemá žádný vztah k intervalu [-, ]. 177 9.3.6 Příklad f(x) = x2 pro x [-, ]. S využitím výsledku 9.3.4 dostaneme f(x) = 2 x 0 tdt = 2 x 0 2 n=1 (-1)n+1 n sin nt dt = 4 n=1 (-1)n+1 n x 0 sin ntdt = = 4 n=1 (-1)n+1 n 1 n [- cos nt]x 0 = 4 n=1 (-1)n+1 n2 (cos 0 - cos nx) = = 4 n=1 (-1)n+1 n2 (1 - cos nx) = 4 n=1 (-1)n+1 n2 - 4 n=1 (-1)n+1 n2 cos nx (Výpočet je korektní, neboť řada n=1 (-1)n+1 n2 (1 - cos nx) konverguje absolutně.) Současně platí a0 2 = 4 n=1 (-1)n+1 n2 = 1 2 f(x)dx = 1 2 - x2 dx = 1 6 [x3 ] - = 2 3 . Tedy pro x [-, ] je x2 = 2 3 - 4 n=1 (-1)n+1 n2 cos nx . Zejména pro x = je 2 = 2 3 - 4 n=1 (-1)n+1 n2 cos n = 2 3 - 4 n=1 (-1)n+1 n2 (-1)n = 2 3 + 4 n=1 1 n2 , z čehož 2 = 6 n=1 1 n2 . Mimochodem také vyšlo 2 = 12 n=1 (-1)n+1 n2 . 9.3.7 Fourierovy řady funkcí z prostoru L2 (a, b) Nechť f L2 (a, b) je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní. Položme g(t) = f b - a 2 t + a + b 2 . Pak g je ohraničená, po částech spojitá a po částech monotonní funkce definovaná na intervalu [-, ] a platí f(x) = g 2x - a - b b - a . Podle 9.3.3 je g(t) 0 2 + n=1 (n cos nt + n sin nt) , kde n = 1 g(t) cos ntdt , n = 0, 1, 2, . . . n = 1 g(t) sin nxdt , n = 1, 2, . . . . 178 Substitucí t = 2x - a - b b - a , dt = 2 b - a dx a při označení n = 2 b - a n, n = b + a b - a n dostaneme cos nt = cos(nx - ) = cos nx cos n + sin nx sin n , sin nt = sin(nx - ) = sin nx cos n - cos nx sin n , n = 2 b - a b a g(nx - ) cos(nx - )dx = = 2 b - a cos n b a f(x) cos nxdx + sin n b a f(x) sin nxdx , n = 2 b - a b a g(nx - ) sin(nx - )dx = = 2 b - a cos n b a f(x) sin nxdx - sin n b a f(x) cos nxdx . Označme an = 2 b - a b a f(x) cos 2n b - a xdx , n = 0, 1, 2, . . . , (9.2) bn = 2 b - a b a f(x) sin 2n b - a xdx , n = 0, 1, 2, . . . . Tedy f(x) = g 2x - a - b b - a a0 2 + n=1 [(an cos n + bn sin n)(cos nx cos n + sin nx sin n) + +(bn cos n - an sin n)(sin nx cos n - cos nx sin n)] = = a0 2 + n=1 [(cos nx cos2 n + sin nx sin n cos n - sin nx sin n cos n + cos nx sin2 n)an + (cos nx sin n cos n + sin nx sin2 n + + sin nx cos2 n - cos nx sin n cos n)bn] = = a0 2 + n=1 (an cos nx + bn sin nx) . To znamená, že f(x) a0 2 + n=1 an cos 2n b - a x + bn sin 2n b - a x , (9.3) kde koeficienty an, bn jsou dány vztahy (9.2). Pro bodovou a stejnoměrnou konvergenci řady (9.3) platí věty analogické 9.3.3 a 9.3.5. 9.3.8 Příklad Definujme funkci ( ) zvanou vzdálenost k nejbližžšímu celému číslu předpisem (x) = min{x - [x], [x + 1] - x}. Tato funkce má zřejmě periodu 1. Najdeme její Fourierovu řadu na intervalu [0, 1]. a0 = 2 1 2 0 xdx + 1 1 2 (1 - x)dx = 2 x2 2 1 2 0 (1 - x)2 2 1 1 2 = 2 1 8 + 1 8 = 1 2 , 179 an = 2 1 2 0 x cos 2nxdx + 1 1 2 (1 - x) cos 2nxdx = = 2 x 2n sin 2nx + 1 4n22 cos 2nx 1 2 0 + 1 2n sin 2nx - x 2n sin 2nx - 1 4n22 cos 2nx 1 1 2 = = 2 1 4n22 cos n - 1 4n22 - 1 4n22 + 1 4n22 cos n = 1 n22 ((-1)n - 1) = 0, n sudé - 2 n22 , n liché bn = 2 1 2 0 x sin 2nxdx + 1 1 2 (1 - x) sin 2nxdx = = 2 1 4n22 sin 2nx - x 2n cos 2nx 1 2 0 + x 2n cos 2nx - 1 4n22 sin 2nx - 1 2n cos 2nx 1 1 2 = = 2 - 1 4n cos n + 1 2n - 1 2n - 1 4n cos n + 1 2n cos n = 0 Celkem (x) = 1 4 - 2 2 n=0 1 (2n + 1)2 cos 2(2n + 1)x . Zejména pro x = 0 dostaneme 0 = 1 4 - 2 2 n=0 1 (2n + 1)2 , tj. 2 = 8 n=0 1 (2n + 1)2 . 9.4 Cvičení Rozviňte ve Fourierovu řadu na intervalu [-, ] funkce 1) f(x) = x2 2) f(x) = |x| 3) f(x) = | sin x| Rozviňte ve Fourierovu řadu funkce 4) f(x) = ex , x [-h, h] 5) f(x) = x, x [a, a + 2l] 6) f(x) = x cos x, x [- 2 , 2 ] Rozviňte ve Fourierovu řadu periodické funkce 7) f(x) = sgn(cos x) 8) f(x) = arcsin(sin x) 9) f(x) = x - [x] Rozviňte ve Fourierovu řadu 2-periodické funkce, jestliže 10) f(x) = x pro x [0, ) a f je sudá, 11) f(x) = x pro x [0, ) a f je lichá, 12) f(x) = 4 pro x [0, ) a f je lichá, 13) f(x) = 2 8 - x 4 pro x [0, ) a f je sudá, a určete součty těchto řad. Najděte součty řad 14) k=1 (-1)k-1 k2 15) k=1 1 k2 16) k=1 1 (2k-1)2 17) 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + . . . 18) 1 + 1 5 - 1 7 - 1 11 + 1 13 + 1 17 - . . . 19) 1 - 1 5 + 1 7 - 1 11 + 1 13 + . . . Výsledky: 1)2 3 + 4 k=1 (-1)k k2 cos kx 2) 2 - 4 k=0 1 (2k+1)2 cos(2k + 1)x 3) 2 - 4 k=1 1 (2k-1)(2k+1) cos 2kx 4) 2 sh h 1 2h + k=1 (-1)k h2+(k)2 (h cos kx h - k sin kx h 5) a + l + 2l k=1 1 k (sin ka l cos kx l - cos ka l sin kx l ) 180 6) 16 k=1 (-1)k+1 k (4k2-1)2 sin 2kx 7) 4 k=0 (-1)k 2k+1 cos(2k + 1)x 8) 4 k=0 (-1)k (2k+1)2 sin(2k + 1)x 9) 1 2 - 1 k=1 sin 2kx k 10) 2 - 4 k=0 1 (2k+1)2 cos(2k + 1)x 11) 2 k=1 (-1)k-1 k sin kx 12) k=0 sin(2k+1)x 2k+1 13) k=1 cos(2k-1)x (2k-1)2 14) 2 12 15) 2 6 16) 2 8 17) 4 18) 3 19) 2 3 9.5 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 181 182 Kapitola 10 Doplněk 10.1 Fourierův integrál Buď f spojitá funkce definovaná na intervalu (-, ) taková, že |f(t)|dt konverguje. Dále buď > 0. Podle 9.3.7 pro každé x - 2 , 2 je f(x) = a0 2 + n=1 an cos 2n x + bn sin 2n x , kde an = 2 2 - 2 f(t) cos 2n tdt, n = 0, 1, 2, . . . bn = 2 2 - 2 f(t) sin 2n tdt, n = 1, 2, . . . . Tedy f(x) = 1 2 - 2 f(t)dt + n=1 2 2 - 2 f(t) cos 2n t cos 2n x + sin 2n t sin 2n x dt = = 1 2 - 2 f(t)dt + 1 2 - 2 f(t) n=1 2 cos 2n (t - x) dt . Abychom dostali vzorec platný pro každé x (-, ), provedeme limitní přechod . Z konvergence nevlastního integrálu |f(t)|dt plyne lim 2 - 2 f(t)dt < a tedy lim 1 2 - 2 f(t)dt = 0 . Výraz m n=1 2 cos 2n (t - x) 183 je integrální součet příslušný k funkci g() = cos (t-x), dělení D = 0, 2 , 4 , . . . , 2m intervalu 0, 2m a výběru representantů 2 , 4 , . . . , 2m (sr. 5.1.8). Lze tedy očekávat, že za jistých předpokladů bude platit lim n=1 2 cos 2n (t - x) = 0 cos (t - x)d a také f(x) = 1 0 f(t) cos (t - x)dt d = 1 0 cos x f(t) cos tdt + sin x f(t) sin tdt d . 10.1.1 Věta Nechť funkce f je definována na intervalu (-, ) s případnou výjimkou izolované množiny bodů. Je-li splněna alespoň jedna z podmínek (i) integrál f(t)dt absolutně konverguje, (ii) funkce f a její derivace jsou po částech spojité na každém konečném intervalu, přičemž případné body nespojitosti jsou prvního druhu a navíc platí lim xf(x) = lim x f(x) = 0, pak pro každé x R platí 1 2 lim tx+ f(t) + lim txf(t) = 0 (a() cos x + b() sin x) d , kde a() = 1 f(t) cos tdt, b() = 1 f(t) sin tdt. D.: V. Jarník, Integrální počet II, str. 524 ­ 533. (Věta je tam dokázána s poněkud obecnějšími předpoklady.) Zejména je-li f v bodě x spojitá, platí f(x) = 0 (a() cos x + b() sin x) d . Je-li funkce f sudá, pak a() = 2 0 f(t) cos tdt, b() 0 , Je-li funkce f lichá, pak a() 0, b() = 2 0 f(t) sin tdt. Příklad: Funkci f(x) = e-x , 0 < x < , > 0 vyjádřit Fourierovým integrálem 184 a) jako sudou funkci a() = 2 0 e-t cos tdt = 2 0 e-t Re eit dt = 2 Re 0 e(i-)t dt = = 2 Re 1 i - e(i-)t 0 = 2 Re 1 i - = 2 Re + i 2 + 2 = 2 (2 + 2) e-x = 2 0 cos x 2 + 2 d b) jako lichou funkci b() = 2 0 e-t sin tdt = 2 0 e-t Im eit dt = 2 (2 + 2) e-x = 2 0 sin x 2 + 2 d 10.2 Aplikace Fourierových řad Řešení lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty a s periodickou pravou stranou x + px + qx = f(t) , (10.1) kde p, q R, f je reálná T-periodická funkce po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu [0, T]. Hledáme partikulární T-periodické řešení rovnice (10.1), které je po částech spojité a po částech monotonní na intervalu [0, T]. Označme = 2 T . Podle 9.3.7 pro všechna t R, v nichž je funkce f spojitá, platí f(t) = a0 2 + n=1 (an cos nt + bn sin nt) , kde an = 2 0 f(t) cos ntdt, n = 0, 1, 2, . . . bn = 2 0 f(t) sin ntdt, n = 1, 2, . . . . Řešení rovnice (10.1) hledáme ve tvaru x(t) = A0 2 + n=1 (An cos nt + Bn sin nt) . Jest x (t) = n=1 n (Bn cos nt - An sin nt) , x (t) = - n=1 n2 2 (An cos nt + Bn sin nt) . Dosazením do rovnice (10.1) dostaneme qA0 2 + n=1 (((q - n2 2 )An + pnBn) cos nt + ((q - n2 2 )Bn - pnAn) sin nt) = = a0 2 + n=1 (an cos nt + bn sin nt) . 185 Z nezávislosti (ortogonality) funkcí 1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, . . . , cos nt, sin nt, . . . plyne qA0 2 = a0 2 , (q - n2 2 )An + pnBn = an , (10.2) -pnAn + (q - n2 2 )Bn = bn . Pokud q = 0, dostaneme z první rovnice A0 = a0 q . Determinant soustavy lineárních algebraických rovnic (10.2) je (q - n2 2 ) pn -pn (q - n2 2 ) = (q - n2 2 )2 + p2 n2 2 . Nechť nejprve komplexní číslo in není kořenem charakteristické rovnice diferenciální rovnice (10.1) pro každé n N, tedy (in)2 + ipn + q = 0 , (q - n2 2 ) + ipn = 0 , (q - n2 2 )2 + p2 n2 2 = 0 . V tomto případě má systém (10.2) jediné řešení. Je-li navíc q = 0, má diferenciální rovnice (10.1) T-periodické, po částech spojité a po částech monotonní řešení, které je Fourierovou řadou určeno jednoznačně až na izolovanou množinu bodů nespojitosti. Je-li q = 0, a0 = 0, má rovnice (10.1) nekonečně mnoho T-periodických řešení, které se od sebe liší o aditivní konstantu. Jestliže pro nějaké n0 N je komplexní číslo in kořenem charakteristické rovnice diferenciální rovnice (10.1) a a2 n0 + b2 n0 = 0, nemá systém (10.2) řešení. To znamená, že rovnice (10.1) nemá po částech spojité a po částech monotonní T-periodické řešení. V tomto případě mluvíme o resonanci. Jestliže pro nějaké n0 N je komplexní číslo in kořenem charakteristické rovnice diferenciální rovnice (10.1), a2 n0 + b2 n0 = 0 a současně q = 0 nebo a0 = 0, má rovnice (10.1) nekonečně mnoho T-periodických řešení. Příklad: x - x = | sin t| Funkce f(t) = | sin t| je -periodická, spojitá a sudá. Je tedy = 2 a | sin t| = a0 2 + n=1 an cos 2nt , přičemž an = 2 0 sin t cos 2ntdt = 1 0 (sin(1 + 2n)t + sin(1 - 2n)t)dt = = - 1 cos(1 + 2n)t 1 + 2n + cos(1 - 2n)t 1 - 2n 0 = - 1 (-1)1+2n 1 + 2n + (-1)1-2n 1 - 2n - 1 1 + 2n - 1 1 - 2n = = 2 1 1 + 2n + 1 1 - 2n = 4 (1 - 4n2) . Je tedy | sin t| = 2 - 4 n=1 cos 2nt 4n2 - 1 . Partikulární -periodické řešení je - 2 + n=1 (An cos 2nt + Bn sin 2nt) , 186 přičemž (-1 - 4n2 )An = - 4 (4n2 - 1) , (-1 - 4n2 )Bn = 0 . Odtud An = 4 (16n4 - 1) , Bn = 0 a tedy -periodické řešení je - 2 + 4 n=1 cos 2nt 16n4 - 1 . Obecné řešení přidružené homogenní rovnice je Aet + Be-t , takže obecné řešení dané rovnice je x(t) = Aet + Be-t - 2 + 4 n=1 cos 2nt 16n4 - 1 . 187 188 Část IV Diferenciální počet funkcí n proměnných 189 Kapitola 11 Metrické prostory 11.1 Pojem metriky 11.1.1 Definice Buď P = množina a : P2 [0, ) zobrazení, které pro všechna x, y, z P splňuje (M1) (x, y) = 0 x = y (axiom totožnosti) (M2) (x, y) = (y, x) (axiom symetrie) (M3) (x, y) + (y, z) (x, z) (trojúhelníková nerovnost) Zobrazení nazýváme metrika na P, prvky množiny P nazýváme body metrického prostoru (P, ), číslo (x, y) nazýváme vzdálenost bodů x, y. 11.1.2 Příklady 1. Diskrétní metrický prostor P = libovolná množina, (x, y) = 1, x = y 0, x = y . 2. Metrika na R P = R, (x, y) = |x - y|. 3. Metriky na Rn P = Rn , x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn 2(x, y) = n i=1 (xi - yi)2 euklidovská metrika 1(x, y) = n i=1 |xi - yi| součtová metrika (taxíkářská metrika) (x, y) = max{|xi - yi| : i = 1, 2, . . . , n} maximální metrika Axiomy (M1), (M2) jsou splněny triviálně. (M3) ověříme postupně: 1: 1(x, y) + 1(y, z) = n i=1 |xi - yi| + n i=1 |yi - zi| = n i=1 (|xi - yi| + |yi - zi|) n i=1 |xi - zi| = 1(x, z) : (x, y) + (y, z) = max{|xi - yi| : i = 1, 2, . . . , n} + max{|yi - zi| : i = 1, 2, . . . , n} max{|xi - yi| + |yi - zi| : i = 1, 2, . . . , n} |xi - yi| + |yi - zi| |xi - zi| pro libovolné i {1, 2, 3, . . . , n} a tedy (x, y) + (y, z) max{|xi - zi| : i = 1, 2, . . . , n} = (x, z) 2: Vyjdeme z nerovnosti n i=1 uivi n i=1 u2 i n i=1 v2 i (Cauchy-Buňakovski-Schwarz) ui = pi + qi, vi = qi : n i=1 (pi + qi)qi n i=1 (pi + qi)2 n i=1 q2 i 191 ui = pi, vi = pi + qi : n i=1 pi(pi + qi) n i=1 p2 i n i=1 (pi + qi)2 Sečtením: n i=1 (pi + qi)2 n i=1 (pi + qi)2 n i=1 p2 i + n i=1 q2 i neboli n i=1 (pi + qi)2 n i=1 p2 i + n i=1 q2 i (Minkowského nerovnost) Píšeme-li v poslední nerovnosti xi - yi místo pi a yi - zi místo qi, dostaneme n i=1 (xi - zi)2 n i=1 (xi - yi)2 + n i=1 (yi - zi)2, tedy 2(x, z) 2(x, y) + 2(y, z). 4. Buď P = C[a, b] -- množina funkcí spojitých na intervalu [a, b] C(f, g) = max{|f(x) - g(x)| : x [a, b]} metrika stejnoměrné konvergence I(f, g) = b a |f(x) - g(x)|dx integrální metrika 2.2.12 ukazuje, že C je definována korektně. (M1) a (M2) jsou opět splněny triviálně. Platnost (M3) pro C ověříme podobně jako v případě na Rn . Platnost (M3) pro I ověříme s využitím 5.2.6 a 5.2.3: I(f, h) = b a |f(x) - h(x)|dx = b a |f(x) - g(x) + g(x) - h(x)|dx b a (|f(x) - g(x)| + |g(x) - h(x)|)dx = b a |f(x) - g(x)|dx + b a |g(x) - h(x)|dx = = I(f, g) + I(g, h) . 5. Buď P = -- množina ohraničených posloupností ({an}, {bn}) = sup{|an - bn| : n N} Platnost (M1), (M2) a (M3) ověříme stejně, jako v případě na Rn . 11.1.3 Definice Buď (P, ) metrický prostor. Pro a P, r R, r > 0 definujeme: K[a, r] = {x P : (x, a) r} -- uzavřená koule se středem a a poloměrem r, K(a, r) = {x P : (x, a) < r} -- otevřená koule se středem a a poloměrem r, Speciálně: otevřená koule O(a) = O(a) = K(a, ) se nazývá (epsilonové ) okolí bodu a. Zřejmě platí: O(a) O(a). 11.1.4 Definice Buď (P, ) metrický prostor. Pro = A, B P definujeme: (A, B) = inf{(a, b) : a A, b B} -- vzdálenost množin A, B, d(A) = sup{(x, y) : x A, y A} -- průměr množiny A. Jestliže množina {(x, y) : x A, y A} není ohraničená shora, klademe d(A) = Vzdálenost bodu x od množiny A definujeme: (x, A) = ({x}, A). 11.1.5 Definice Buď (P, ) metrický prostor, A P. Řekneme, že množina A je ohraničená, jestliže d(A) < . Množina A je zřejmě ohraničená, jestliže existuje bod a a číslo r > 0, že A K(a, r). 192 11.1.6 Poznámka Buď (P, ) metrický prostor, A P. Pro x, y A definujeme A(x, y) = (x, y). Zobrazení A je zřejmě metrika na A. 11.1.7 Definice Buď (P, ) metrický prostor, A P. Metriku A zavedenou v 11.1.6 nazýváme metrikou indukovanou na množině A metrikou . Metrický prostor (A, A) nazýváme podprostorem metrického prostoru (P, ). Píšeme (A, A) (P, ). 11.1.8 Věta Buďte (P1, 1), (P2, 2) metrické prostory. Položme P = P1 × P2 a definujme zobrazení : P2 [0, ) předpisem ((x1, x2), (y1, y2)) = (1(x1, y1)) 2 + (2(x2, y2)) 2 . Pak je metrika na P. D.: Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Nechť (R, ) je metrický prostor a a, b, c R. Pak existují , , R2 takové body, že (a, b) = 2(, ), (b, c) = 2(, ), (a, c) = 2(, ), kde 2 je euklidovská metrika na R2 . Pro stručnost označme r = (a, b), s = (a, c), t = (b, c). Nyní stačí volit = (0, 0), = (r, 0), = r2 + s2 - t2 2r , (2rs - r2 - s2 + t2)(2rs + r2 + s2 - t2) 2r . (Jedná se o konstrukci trojúhelníka v rovině, známe-li délky stran.) Nechť (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) P. * Pro (x1, x2), (y1, y2) je ((x1, x2), (y1, y2)) = 0 právě tehdy, když 1(x1, y1) = 0 a 2(x2, y2) = 0, což podle (M1) nastane právě tehdy, když x1 = y1 a x2 = y2, tedy (x1, x2) = (y1, y2). splňuje (M1). * ((x1, x2), (y1, y2)) = (1(x1, y1)) 2 + (2(x2, y2)) 2 = (1(y1, x1)) 2 + (2(y2, x2)) 2 = = ((y1, y2), (x1, x2)), takže splňuje (M2). * Podle pomocného tvrzení existují reálná čísla 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 taková, že 1(x1, y1) = 2 i=1 (i - i)2, 1(x1, z1) = 2 i=1 (i - i)2, 1(y1, z1) = 2 i=1 (i - i)2, 2(x2, y2) = 4 i=3 (i - i)2, 2(x2, z2) = 4 i=3 (i - i)2, 2(y2, z2) = 4 i=3 (i - i)2 . Pak ((x1, x2), (y1, y2)) = 4 i=1 (i - i)2 = 2 ((1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4)) , ((y1, y2), (z1, z2)) = 4 i=1 (i - i)2 = 2 ((1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4)) , ((x1, x2), (z1, z2)) = 4 i=1 (i - i)2 = 2 ((1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4)) , kde 2 je euklidovská metrika na R4 . Poněvadž 2 splňuje nerovnost (M3), splňuje ji také . 193 11.1.9 Definice Buďte (P1, 1), (P2, 2) metrické prostory, P = P1 ×P2 a metrika definovaná v 11.1.8. Prostor (P, ) nazýváme (kartézským) součinem prostorů (P1, 1) a (P2, 2). 11.1.10 Definice Buďte (P1, 1), (P2, 2) metrické prostory. Zobrazení f : P1 P2 se nazývá isometrické (izometrie), jestliže 2(f(x), f(y)) = 1(x, y) pro všechny dvojice bodů (x, y) P2 . Jestliže existuje izometrie f : P1 P2, řekneme, že prostory (P1, 1), (P2, 2) jsou isometrické. Například všechna shodná zobrazení známá z geometrie jsou izometriemi. 11.1.11 Poznámka Isometrické zobrazení je prosté. D.: Kdyby existovaly body x, y P1 takové, že f(x) = f(y), pak by podle (M1) platilo 0 = 2(f(x), f(y)) = 1(x, y) = 0, což by byl spor. Tedy metrický prostor a jeho isometrický obraz lze považovat za dvě kopie téhož prostoru. 11.2 Podmnožiny metrického prostoru 11.2.1 Definice Buď (P, ) metrický prostor, A P. Bod a P se nazývá ­ vnitřní bod množiny A, jestliže existuje > 0 takové, že O(a) A, ­ vnější bod množiny A, jestliže existuje > 0 takové, že O(a) A = , ­ hraniční bod množiny A, jestliže pro každé > 0 platí O(a) A = , O(a) (P \ A) = , ­ bod uzávěru množiny A, jestliže (a, A) = 0, ­ hromadný bod množiny A, jestliže pro každé > 0 platí (O(a) A) \ {a} = , ­ izolovaný bod množiny A, jestliže existuje > 0 takové, že O(a) A = {a}. Množina všech vnitřních bodů množiny A se nazývá vnitřek množiny A a značí se A (někdy int A), Množina všech hraničních bodů množiny A se nazývá hranice množiny A a značí se A (někdy fr A), Množina všech bodů uzávěru množiny A se nazývá uzávěr množiny A a značí se A (někdy cl A), Množina všech hromadných bodů množiny A se nazývá derivace množiny A a značí se A . Příklad P = R, (x, y) = |x - y| a) A = (0, 1) : A = (0, 1), A = {0, 1}, A = [0, 1], A = [0, 1] b) A = [0, 1) Q : A = , A = [0, 1], A = [0, 1], A = [0, 1] b) A = [0, 1] {2} : A = (0, 1), A = {0, 1, 2}, A = [0, 1] {2}, A = [0, 1] 194 11.2.2 Věta Buď (P, ) metrický prostor, A, B P. Pak platí 1. = , = . 2. P = P, P = P. 3. A A A. 4. A B A B, A B . 5. A B = A B, A B = (A B) . 6. A = P \ (P \ A) , A = P \ P \ A. 7. A = A, (A ) = A . D.: 1. ­ 4. je triviální 6. x P \ (P \ A) x (P \ A) ( > 0)( = O(x) (P \ (P \ A)) = O(x) A) (x, A) = 0 x A x P \ P \ A x P \ A := (x, P \ A) > 0 (y P \ A)((x, y) ) O(x) (P \ A) = O(x) A x A 5. x A B x A x B (1)(O1 (x) A) (2)(O2 (x) B) Omin{1,2}(x) A B x (A B) x (A B) ( > 0)(O(x) A B) ( > 0)(O(x) A O(x) B) x A x B x A B S využitím 6., již dokázané části a de Morganových pravidel dostaneme A B = [P \ (P \ A) ] [P \ (P \ B) ] = P \ [(P \ A) (P \ B) ] = P \ [(P \ A) (P \ B)] = = P \ [P \ (A B)] = A B 7. Buď x A. Pak 0 = (x, A) = inf{(x, y) : y A} inf{(x, y) : y A}, neboť podle 3. je A A a tedy {(x, y) : y A} {(x, y) : y A}. Poněvadž ale inf{(x, y) : y A} = (x, A) 0, jest (x, A) = 0 a tedy x A, t.j. A A. Opačná inkluze plyne z 3. Druhou část tvrzení dokážeme analogicky. 11.2.3 Definice Buď (P, ) metrický prostor, A P. Množina A se nazývá otevřená, jestliže A = A , množina A se nazývá uzavřená, jestliže A = A. Zejména podle 11.2.2.6 A je otevřená množina, A je uzavřená množina. 11.2.4 Věta Buď (P, ) metrický prostor, A P. Množina A je otevřená právě tehdy, když P \ A je uzavřená; množina A je uzavřená právě tehdy, když P \ A je otevřená. D.: Nechť A = A . Podle 11.2.2.6 je A = P \ P \ A. Z toho plyne, že P \ A = P \ (P \ P \ A) = P \ A a tedy P \ A je uzavřená. Nechť P \ A = P \ A. Pak podle 11.2.2.6 je A = P \ P \ A = P \ (P \ A) = A. Platnost druhého tvrzení ukážeme analogicky. 195 11.2.5 Věta Buď (P, ) metrický prostor a T soustava všech otevřených množin prostoru (P, ). Pak platí (T1) P T , T , (T2) A T , B T A B T , (T3) ( I)(A T ) I A T . D.: (T1) Plyne z 11.2.2.1 a 11.2.2.2. (T2) Je-li x A B, pak x A = A , x B = B a tedy existují 1, 2, že O1 (x) A, O2 (x) B. Položíme-li = min{1, 2}, pak O(x) A B, tedy každý x A B je vnitřním bodem, což znamená, že A B je otevřená. (T3) Nechť x I A. Pak existuje 0 I, že x A0 . Poněvadž A0 je otevřená, existuje > 0 takové, že O(x) A0 I A. 11.2.6 Věta Buď (P, ) metrický prostor a F soustava všech uzavřených množin prostoru (P, ). Pak platí (i) P F, F, (ii) A F, B F A B F, (iii) ( I)(A F) I A F. D.: Plyne z 11.2.4, 11.2.5 a z de Morganových pravidel. 11.2.7 Poznámky Z 11.2.5 plyne, že průnik libovolného konečného systému otevřených množin je otevřená množina; z 11.2.6 plyne, že sjednocení libovolného konečného systému uzavřených množin je uzavřená množina. Průnik nekonečného systému otevřených množin nemusí být otevřená množina: An = - 1 n , 1 n , n N. n=1 An = {0}, což není otevřená množina v R s metrikou (x, y) = |x - y|. Sjednocení nekonečného systému uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: An = -1 + 1 n , 1 - 1 n , n N. n=1 An = (-1, 1) . 11.2.8 Věta Buď (P, ) metrický prostor, A P. Pak A = A P \ A. D.: x A ( > 0)(O(x) A = = O(x) (P \ A)) ( > 0)((x, A) < (x, P \ A) < ) (x, A) = 0 (x, P \ A) = 0 x A P \ A . 11.2.9 Definice Buď (P, ) metrický prostor, A P. Množina A se nazývá hustá v prostoru (P, ), jestliže A = P. 196 11.2.10 Věta Buď (P, ) metrický prostor, A P. Množina A je hustá v P právě tehdy, když ke každému > 0 a každému x P existuje a A, že (x, a) < , t.j. a O(x). (Neboli když každý bod x P je hromadným bodem množiny A.) D.: ,, : Nechť A = P. Vezmeme > 0 a x P libovolná. S využitím vlastnosti 1.1.6(i2 ) dostaneme x P = A (x, A) = 0 inf{(x, a) : a A} = 0 existuje a A, že (x, a) < . ,, : Jestliže existuje x P \ A, pak podle 11.2.4 a definice otevřené množiny existuje > 0, že O(x) P \ A, tedy (x, a) pro každé a A. Podle 11.2.2.3 je A A, což znamená, že (x, a) pro každé a A. 11.3 Konvergence 11.3.1 Definice Buď (P, ) metrický prostor a {xn} n=1 posloupnost bodů z P (t.j. zobrazení N P). Řekneme, že posloupnost {xn} n=1 konverguje k bodu x P (je konvergentní v P) a píšeme lim n xn = x (stručně lim xn = x, xn x), jestliže lim n (xn, x) = 0. 11.3.2 Příklady 1. (P, ) diskrétní (viz 11.1.2.1) xn x (n0 N)(n n0 xn = x) 2. (R2 , 1) (viz 11.1.2.3) (xn, yn) (x, y) xn x, yn y v R s metrikou (x, y) = |x - y|. D.: (xn, yn) (x, y) 0 = lim(|xn - x| + |yn - y|) = lim |xn - x| + lim |yn - y|. Avšak podle 1.3.5.1 lim |xn - x| 0, lim |yn - y| 0, takže lim |xn - x| = 0, lim |yn - y| = 0. Analogické tvrzení platí pro všechny metrické prostory z 11.1.2.3. 3. (C[a, b], C) (viz 11.1.2.4) fn f v tomto prostoru ( > 0)(n0 N)(n n0)(x [a, b])(|fn(x) - f(x)| < ). (Má-li posloupnost funkcí definovaných na intervalu [a, b] vlastnost uvedenou na pravé straně ekvivalence, řekneme, že posloupnost funkcí {fn} n1 stejnoměrně konverguje na intervalu [a, b] k funkci f.) D.: fn f v (C[a, b], C) ( > 0)(n0 N)(n n0)(C(fn, f) < ) ( > 0)(n0 N)(n n0)(max{|fn(x) - f(x)| : x [a, b]} < ) ( > 0)(n0 N)(n n0)(x [a, b])(|fn(x) - f(x)| < ) 11.3.3 Definice Buď (P, ) metrický prostor a {xn} n=1 posloupnost bodů z P. Řekneme, že posloupnost {xn} n=1 je ohraničená, jestliže množina {xn : n N} je ohraničená ve smyslu definice 11.1.5. 11.3.4 Věta Buď (P, ) metrický prostor. Pak platí 1. Každá posloupnost {xn} P má nejvýše jednu limitu v P. 2. Posloupnost konvergentní v (P, ) je ohraničená v (P, ). 3. lim n xn = x P právě tehdy, když pro každou posloupnost {xnk } vybranou z {xn} platí lim k xnk = x. D.: 1.3.3, 1.3.4, 1.3.14. 197 11.3.5 Definice Buď (P, ) metrický prostor a {xn} n=1 posloupnost bodů z P. Řekneme, že posloupnost {xn} n=1 je cauchyovská, jestliže ke každému > 0 existuje n0 N, že pro všechna m, n n0 je (xm, xn) < . 11.3.6 Věta Buď (P, ) metrický prostor a {xn} n=1 posloupnost bodů z P. Je-li {xn} n=1 konvergentní v (P, ), pak je cauchyovská. D.: Nechť xn x a buď > 0 libovolné. K 2 > 0 existuje n0 N, že pro všechna n n0 je (xn, x) < 2 . Pro libovolné m n0 a libovolné n n0 tedy s využitím trojúhelníkové nerovnosti platí (xm, xn) (xm, x) + (xn, x) < 2 + 2 = . Obrácené tvrzení obecně neplatí: P = (0, 1), (x, y) = |x - y|, {xn} n=1 = { 1 n } n=1 je cauchyovská, ale není konvergentní; 0 P. 11.3.7 Věta Buď (P, ) metrický prostor a A P. Množina A je uzavřená v (P, ) právě tehdy, když pro každou konvergentní posloupnost {xn} A, xn x platí x A. D.: ,, Nechť A = A, {xn} libovolná konvergentní, xn x. Kdyby x A, pak by = (x, A) > 0 a tedy pro každé xn by platilo (xn, x) > , což by bylo ve sporu s xn x. ,, Nechť platí podmínka. Buď y A libovolný bod. Pak (y, A) = 0. Podle 1.1.6(i2 ) ke každému 1 n > 0 existuje xn A, že (xn, y) < 1 n . To znamená, že pro takto vytvořenou posloupnost {xn} platí lim (xn, y) = 0, xn y. Z podmínky plyne, že y A. Tedy A A a podle 11.2.2.3 A = A. 11.3.8 Definice Buď P množina a , metriky na P. Řekneme, že a jsou ekvivalentní metriky na P, jestliže pro každou posloupnost {xn} n=1 P platí: xn x v (P, ) právě tehdy když xn x v (P, ). 11.3.9 Příklady 1. P = Rn . Metriky 1, 2, zavedené v 11.1.2.3 jsou ekvivalentní: xk = (xk 1, xk 2, . . . , xk n) Rn , x = (x1, x2, . . . , xn) Rn . lim k xk = x v (Rn , 1) ( > 0)(k0 N)(k k0)(i {1, 2, . . . , n})(|xk i - xi| < ) lim k xk = x v (Rn , 2) ( > 0)(k0 N)(k k0)(i {1, 2, . . . , n})(|xk i - xi| < ) lim k xk = x v (Rn , ) ( > 0)(k0 N)(k k0)(i {1, 2, . . . , n})(|xk i - xi| < ) 2. P = C[a, b]. Metriky I a C (viz 11.1.2.3) nejsou ekvivalentní: fn(x) = 0, x a, (n + 1)a + (n - 1)b 2n (n - 1)a + (n + 1)b 2n , b 2nx - (n + 1)a - (n - 1)b b - a , x (n + 1)a + (n - 1)b 2n , a + b 2 -2nx + (n - 1)a + (n + 1)b b - a , x a + b 2 , (n - 1)a + (n + 1)b 2n , f 0 198 I(fn, f) = b a fn(x)dx = b - a 2n 0 C(fn, f) = 1 11.3.10 Poznámka Buďte , ekvivalentní metriky na P. Z 11.3.7 plyne, že množina A P je uzavřená v (P, ) právě tehdy, když je uzavřená v (P, ). Z 11.2.4 dále plyne, že množina A P je otevřená v (P, ) právě tehdy, když je otevřená v (P, ). 11.3.11 Věta Buďte , metriky na množině P. Jestliže existují kladné konstanty a, b takové, že pro všechny dvojice bodů (x, y) P2 je a(x, y) (x, y) b(x, y), pak jsou metriky a ekvivalentní. D.: Nechť je podmínka splněna, x P, a nechť {xn} n=1 P je taková posloupnost, že lim n (xn, x) = 0. Pak a(xn, x) (xn, x) b(xn, x) a z 1.3.7 plyne lim n (xn, x) = 0. Důkaz se dokončí analogickou úvahou s využitím nerovnosti 1 b (x, y) (x, y) 1 a (x, y), která je ekvivalentní s nerovností v podmínce věty. 11.4 Úplné a kompaktní prostory 11.4.1 Definice Metrický prostor (P, ) se nazývá úplný, jestliže v něm má každá cauchyovská posloupnost limitu. 11.4.2 Příklady 1. Prostor R s metrikou (x, y) = |x - y| je podle 1.3.22 úplný. 2. Prostory (Rn , 1), (Rn , 2), (Rn , ) (viz 11.1.2) jsou úplné: Je-li posloupnost {xk } k=1 = {(xk 1, xk 2, . . . , xk n)} k=1 cauchyovská v prostoru (Rn , 1), pak je zřejmě každá z posloupností {xk 1} k=1, {xk 2} k=1, . . . , {xk n} k=1 cauchyovská v prostoru (R, 1). Pak podle 1.3.22 každá tato posloupnost je konvergentní v (R, 1), lim k xk 1 = x1, lim k xk 2 = x2, . . . , lim k xk n = xn. Odtud vyplyne, že i posloupnost {xk } k=1 je konvergentní v prostoru (Rn , 1), lim k xk 1 = (x1, x2, . . . , xn) Rn . Podle 11.3.9.1 jsou metriky 1, 2, ekvivalentní. 3. Diskrétní metrický prostor (P, ) (viz 11.1.2.1) je úplný. Buď = 1 2 . (xn, xm) < 1 2 právě tehdy, když xn = xm. Tedy je-li {xn} n=1 cauchyovská, pak je od jistého indexu počínaje stacionární a to podle 11.3.2.1 znamená, že je konvergentní. 4. Q s metrikou indukovanou 1 není úplný: Např. {(1 + 1 n )n } n=1 konverguje v (R, 1) k e Q. 5. Prostor (C[a, b], I) (viz 11.1.2.4) není úplný: [a, b] = [-1, 1] fn(x) = -1, x [-1, 1 n ) nx, x [- 1 n , 1 n ] 1, x ( 1 n , 1] , I(fn, fn+p) = p n2 + np , lim n I(fn, fn+p) = 0, tedy {fn} je cauchyovská. Avšak jediná možná limita posloupnosti funkcí {fn} je 199 funkce f(x) = -1, x [-1, 0) 0, x = 0 1, x (0, 1] , což není spojitá funkce, f C[-1, 1] a tedy {fn} není v (C[-1, 1], I) konvergentní. 6. Prostor (C[a, b], C) (viz 11.1.2.4) je úplný: Buď {fn} n=1 libovolná posloupnost funkcí cauchyovská v (C[a, b], C). Buď > 0 libovolné číslo. K němu existuje n0 N takové, že pro všechna n, m n0 je C(fn, fm) < . Buď x0 [a, b] libovolný bod. Pak pro n, m n0 je |fn(x0) - fm(x0)| max{|fn(x) - fm(x)| : x [a, b]} = C(fn, fm) < , což znamená, že číselná posloupnost {fn(x0)} n=1 je cauchyovská a tedy podle 1.3.22 konvergentní. Poněvadž x0 [a, b] byl libovolný bod, existuje lim n fn(x) pro každé x [a, b]. Definujme funkci f : [a, b] R předpisem: f(x) = lim n fn(x). Ukážeme, že sup{|fn(x) - f(x)| : x [a, b]} 0: Poněvadž {fn} je cauchyovská, tak k 2 > 0 existuje n1 N takové, že pro všechna n, m n1 je C(fn, fm) < 2 . Pro každé x [a, b] a všechna n, m n1 je tedy |fn(x) - fm(x)| < 2 , což podle 1.3.5.1 znamená, že pro každé x [a, b] a každé n n1 je lim m |fn(x) - fm(x)| 2 . Tedy pro n n1 a každé x [a, b] je |fn(x) - f(x)| = lim m |fn(x) - fm(x)| 2 , takže pro n n1 je sup{|fn(x) - f(x)| : x [a, b]} 2 < . Zbývá ukázat, že funkce f je spojitá. Podle předchozího tvrzení k 3 > 0 existuje n2 N, že sup{|fn2 (x) - f(x)| : x [a, b]} < 3 . Buď x1 [a, b] libovolný bod. Poněvadž funkce fn2 je spojitá, k číslu 3 > 0 existuje > 0, že pro všechna x [a, b] taková, že |x1 - x| < je |fn2 (x1) - fn2 (x)| < 3 . Pro x [a, b] takové, že |x1 - x| < tedy platí |f(x1) - f(x)| = |f(x1) - fn2 (x1) + fn2 (x1) - fn2 (x) + fn2 (x) - f(x)| |f(x1) - fn2 (x1)| + |fn2 (x1) - fn2 (x)| + |fn2 (x) - f(x)| sup{|fn2 (x) - f(x)| : x [a, b]} + |fn2 (x1) - fn2 (x)| + sup{|fn2 (x) - f(x)| : x [a, b]} < < 3 + 3 + 3 = , což znamená, že funkce f je spojitá v bodě x1 [a, b]. Poněvadž tento bod byl libovolný, je f spojitá na [a, b]. 11.4.3 Věta Je-li metrický prostor (P, ) úplný a množina A P je uzavřená, pak metrický prostor (A, A), kde A je metrika indukovaná metrikou , je úplný. D.: Buď {xn} n=1 libovolná cauchyovská posloupnost. Poněvadž (P, ) je úplný, existuje lim n xn = x P. Podle 11.3.7 je x A. 11.4.4 Definice Buď (P, ) metrický prostor. Řekneme, že metrický prostor (Q, ) je úplným obalem metrického prostoru (P, ), jestliže (i) (Q, ) je úplný prostor, (ii) (P, ) (Q, ), (iii) Množina P je hustá v (Q, ). Například (R, 1) je úplným obalem (Q, 1). 200 11.4.5 Věta Ke každému metrickému prostoru (P, ) existuje jeho úplný obal. Tento úplný obal je určen jednoznačně v tomto smyslu: Jsou-li (Q1, 1) a (Q2, 2) dva úplné obaly prostoru (P, ), pak (Q1, 1) a (Q2, 2) jsou isometrické. Kroky důkazu: 1. Na množině všech cauchyovských posloupností z prostoru (P, ) definujeme relaci vztahem: {xn} {yn} (xn, yn) 0. 2. Ukážeme, že je ekvivalence. 3. Položíme Q = P| (rozklad množiny P podle ekvivalence ). Prvky množiny Q jsou třídy ekvivalence . Označíme [{xn}] Q takovou třídu ekvivalence, že {xn} [{xn}]. 4. Položíme ([{xn}], [{yn}]) = lim n (xn, yn). Ukážeme, že nezáleží na výběru representantů a že je metrikou na Q. 5. Ztotožníme [{x, x, . . . }] Q s x P. Pak je (P, ) (Q, ). 6. Ukážeme, že prostor (Q, ) je úplný. 7. Ukážeme, že P = Q. 8. Ukážeme, že je-li (Q1, 1) úplným obalem prostoru (P, ), pak (Q, ) a (Q1, 1) jsou isometrické. 11.4.6 Definice Řekneme, že metrický prostor (P, ) je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů lze vybrat posloupnost konvergentní. Řekneme, že množina A P je kompaktní, jestliže podprostor (A, A) je kompaktní. 11.4.7 Věta Je-li A kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ), pak je A uzavřená a ohraničená. D.: Připusťme, že A = A, tedy že existuje x A \ A. Pak (x, A) = 0 a podle definice infima existuje {xn} A, že (xn, x) 0, neboli xn x. Pro každou vybranou posloupnost {xnk } z posloupnosti {xn} je podle 11.3.4.3 lim k xnk = x A, což je spor s kompaktností A. Připusťme, že A není ohraničená. Buď x1 A libovolný bod. Existuje x2 A \ K(x1, 1). (Kdyby neexistoval, byla by množina A ohraničená.) Dále existuje x3 A \ K(x1, (x1, x2) + 1) atd. Posloupnost {xn} i každá posloupnost z ní vybraná není cauchuovská, neboť (xn, xm) 1 a tedy podle 11.3.6 nemůže být konvergentní. 11.4.8 Věta Množina A Rn je kompaktní v (Rn , 1) právě tehdy, když je v tomto prostoru uzavřená a ohraničená. D.: Nutnost podmínky plyne z 11.4.7. Dokážeme její dostatečnost. Buď {xk } k=1 = {(xk 1, xk 2, . . . , xk n)} k=1 posloupnost bodů z A. Poněvadž A je ohraničená, je každá z číselných posloupností {xk i } k=1, i = 1, 2, . . . , n ohraničená. Podle 1.3.19.1 lze z každé {xk i } k=1 vybrat posloupnost {xkl i } l=1 konvergentní. Vybereme tedy z posloupnosti xk 1 k=1 konvergentní posloupnost {x1 1 } 1=1 a označíme x0 1 = lim 1 x1 1 . Potom z posloupnosti {x1 2 } 1=1 vybereme konvergentní posloupnost {x2 2 } 2=1 a označíme x0 = lim 2 x2 1 . Tak postupujeme dále, až z posloupnosti x n-1 n n-1=1 vybereme konvergentní posloupnost {xn n } n=1, kterou budeme pro přehlednost značit xl n l=1 , a označíme x0 n = lim l xl n. Tímto postupem získáme posloupnost (xl 1, xl 2, . . . , xl n) l=1 , která je vybraná z posloupnosti (xk 1, xk 2, . . . , xk n) l=1 a platí lim l (xl 1, xl 2, . . . , xl n) = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = x0 . Poněvadž A je uzavřená, je podle 11.3.7 x0 A. Z ekvivalence metrik 1, 2, (viz 11.3.9.1) plyne, že analogické tvrzení platí i pro (Rn , 2) a (Rn , ). 201 11.4.9 Věta Je-li metrický prostor (P, ) kompaktní, pak je úplný. D.: Buď {xn} n=1 libovolná cauchyovská posloupnost v prostoru (P, ). Poněvadž (P, ) je kompaktní, existuje posloupnost {xnk } k=1 vybraná z posloupnosti {xn} n=1 taková, že lim k xnk = x P. Ukážeme, že x = lim n xn. Buď > 0 libovolné číslo. Poněvadž {xnk } k=1 konverguje k x, tak k 2 > 0 existuje k0 N takové, že pro k k0 je (xnk , x) < 2 . Poněvadž {xn} n=1 je cauchyovská, tak k 2 > 0 existuje n1 N takové, že pro n n1 a m n1 platí (xn, xm) < 2 . Položme n0 = max{n1, nk0 } a nechť n n0 a k > k0 jsou libovolná čísla. Pak také nk > n0. S využitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme (xn, x) (xn, xnk ) + (xnk , x) < 2 + 2 = , což znamená, že x = lim n xn. 11.5 Zobrazení metrických prostorů 11.5.1 Definice Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory, F : P Q. Řekneme, že zobrazení F je spojité v bodě x0 P, jestliže ke každému okolí V bodu F(x0) v (Q, ) existuje okolí U bodu x0 v (P, ) tak, že F(U) V . Řekneme, že zobrazení F je spojité na P, jestliže je spojité v každém bodě x P. Zobrazení F je spojité v bodě x0, jestliže ( > 0)( > 0)(x P)((x, x0) < (F(x), F(x0)) < ). 11.5.2 Věta Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory. Zobrazení F : P Q je spojité na P právě tehdy, když ke každé otevřené množině V F(P) existuje otevřená množina U P taková, že F(U) V . D.: : Nechť F je spojité, V F(P) otevřená. Ke každému y0 V existuje x0 P takové, že F(x0) = y0. Poněvadž V je otevřená, k libovolnému y0 V existuje y0 > 0 takové, že Oy0 (y0) V . K y0 existuje y0 > 0 takové, že F(Oy0 (x0)) Oy0 . Množina U = y0V Oy0 (x0) je podle 11.2.5(T3) otevřená a zřejmě platí F(U) = V . : Buď x0 P libovolný bod, V okolí bodu F(x0). Existuje otevřená U P taková, že F(U) V . Poněvadž U je otevřená, existuje okolí O(x0) bodu x0 takové, že O(x0) U. Pak F(O(x0)) F(U) V a tedy F je spojité v bodě x0. 11.5.3 Věta (Heineova podmínka) Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory. Zobrazení F : P Q je spojité v bodě x0 P právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn} n=1 bodů z P takovou, že xn x0 v (P, ) platí F(xn) F(x0) v (Q, ). D.: : Nechť {xn} P, xn x0. Buď O(F(x0)), > 0, libovolné okolí bodu F(x0) . Existuje > 0 takové, že F(O(x0)) O(F(x0)). K > 0 existuje n0 N takové, že pro všechna n n0 je (xn, x0) < , neboli xn O(x0). Odtud plyne, že F(xn) O(F(x0)) pro všechna n n0, neboli (F(xn), F(x0)) < pro všechna n n0. To ovšem znamená, že F(xn) F(x0). 202 : Nechť platí podmínka a připusťme, že F není spojité v bodě x0. Pak existuje okolí V = O(F(x0)) bodu F(x0) takové, že v každém okolí U bodu x0 existuje x, že F(x) V . Zejména v okolí O 1 n (x0) existuje bod xn takový, že F(xn) V . Platí xn x0 a tedy F(xn) F(x0), což znamená, že existuje n0 N takové, že (F(xn0 ), F(x0)) < , tedy F(xn0 ) O(F(x0)) = V , což je spor. 11.5.4 Věta Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory, A P, F : P Q spojité zobrazení. Je-li množina A kompaktní, pak je i F(A) kompaktní. D.: Nechť A je kompaktní a buď {yn} libovolná posloupnost bodů z F(A). Ke každému yn F(A) existuje xn A takové, že F(xn) = yn. Poněvadž A je kompaktní, lze z posloupnosti {xn} vybrat posloupnost konvergentní {xnk }, lim k xnk = x0 A v (P, ). Označme y0 = F(x0). Pak y0 F(A) a podle 11.5.3 lim k ynk = lim k F(xnk ) = F(x0) = y0 v (Q, ). Našli jsme tedy posloupnost {ynk } vybranou z {yn}, která konverguje k y0 F(A). To znamená, že F(A) je kompaktní množina. 11.5.5 Důsledek (Weierstrassovy věty) Reálná funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená a nabývá na něm své největší a nejmenší hodnoty. D.: Uzavřený interval [a, b] je podle 11.4.8 kompaktní v (R, 1) a tedy podle 11.5.4 je f([a, b]) kompaktní. Podle 11.4.8 je f([a, b]) ohraničená a uzavřená. K 1 n > 0 existuje yn f([a, b]) takové, že sup f([a, b]) - 1 n < yn, yn sup f([a, b]) a podle 11.3.7 je sup f([a, b]) f([a, b]). Funkce f nabývá na [a, b] svého suprema, tedy své největší hodnoty. Analogicky ukážeme, že funkce f nabývá na [a, b]) i své nejmenší hodnoty. 11.5.6 Věta Buďte (P, ), (Q, ), (R, ) metrické prostory, F : P Q, G : Q R. Je-li zobrazení F spojité v bodě x0 P a zobrazení G je spojité v bodě F(x0) Q, pak je složené zobrazení G F : P R spojité v bodě x0. Je-li zobrazení F spojité na P a zobrazení G je spojité na Q, pak je složené zobrazení G F : P R spojité na P. D.: K O(G(F(x0))) R existuje O(F(x0)) Q, že G(O(F(x0))) O(G(F(x0))), poněvadž G je spojité v F(x0). K O(F(x0)) Q existuje O(x0) P, že F(O(x0)) O(F(x0)), neboť F je spojité v x0. Nyní G F(O(x0)) = G(F(O(x0))) G(O(F(x0))) O(G(F(x0))). Druhé tvrzení je důsledkem prvního. 11.5.7 Definice Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory, F : P Q. Řekneme, že zobrazení F je stejnoměrně spojité na P, jestliže ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každé dva body x, y P taková, že (x, y) < platí (F(x), F(y)) < . Stejnoměrně spojité zobrazení je zřejmě spojité. 11.5.8 Věta (Heine - Cantor) Buď (P, ) kompaktní metrický prostor, (Q, ) metrický prostor, F : P Q spojité zobrazení. Pak je F stejnoměrně spojité. D.: Nechť (P, ) je kompaktní a F : P Q spojité. Připusťme, že F není stejnoměrně spojité. Pak existuje 0 > 0 takové, že ke každému > 0 existují x, y P tak, že (x, y) < a (F(x), F(y)) 0. K = 1 n existují xn, yn P, že (xn, yn) < 1 n a (F(xn), F(yn)) 0. Poněvadž P je kompaktní, lze z posloupnosti {xn} n=1 vybrat posloupnost {xnk } k=1 tak, že lim k xnk = x0 P. 203 Dále (x0, ynk ) (x0, xnk ) + (xnk , ynk ) 0 pro k a tedy také lim k ynk = x0. Podle 11.5.3 platí (F(xnk ), F(ynk )) (F(xnk ), F(x0)) + (F(x0), F(ynk )) 0 pro k , což je spor s (F(x), F(y)) 0. 11.5.9 Definice Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory, F : P Q. Řekneme, že zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje konstanta L R, L > 0 taková, že pro všechny x, y P je (F(x), F(y)) L(x, y). Konstanta L se nazývá Lipschitzova konstanta. Řekneme, že zobrazení F je kontrakce, je-li lipschitzovské s konstantou L < 1. 11.5.10 Věta Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory, F : P Q. Je-li zobrazení F lipschitzovské, pak je stejnoměrně spojité (a tedy také spojité). D.: Nechť F je lipschitzovské s konstantou L. Buď > 0 libovolné. Položíme = L . Jsou-li x, y P libovolné body takové, že (x, y) < , pak (F(x), F(y)) L(x, y) < L = L L = . 11.5.11 Příklady 1. Buď f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], která má na tomto intervalu ohraničenou první derivaci. Pak f je lipschitzovská s konstantou L = sup{|f (x)| : x [a, b]}. D.: Podle 2.5.4.1 ke každým x, y [a, b] existuje z intervalu o krajních bodech x a y takové, že f(x) - f(y) = f ()(x - y). Odtud |f(x) - f(y)| = |f ()| |x - y| L|x - y|. 2. (C[a, b], C), (R, 1), F : C[a, b] R definované předpisem F(f) = b a f(x)dx. * 1(F(f), F(g)) = b a f(x)dx - b a g(x)dx = b a (f(x) - g(x))dx b a |f(x) - g(x)|dx b a max{|f() - g()| : [a, b]}dx = max{|f() - g()| : [a, b]} b a dx = = (b - a)C(f, g) (první nerovnost platí podle 5.2.9, druhá podle 5.2.6.) Zobrazení F je tedy lipschitzovské s konstantou b - a, což podle 11.5.10 znamená, že je spojité. * Z 11.5.3 plyne: Jestliže posloupnost funkcí {fn} n=1 spojitých na intervalu [a, b] konverguje k funkci f v prostoru (C[a, b], C) (stejnoměrně konverguje k funkci f, sr. 11.3.2.3), pak platí b a f(x)dx = b a lim n fn(x)dx = lim n b a fn(x)dx. 11.5.12 Definice Buďte (P, ), (Q, ) metrické prostory, F : P Q a x0 P hromadný bod. Řekneme, že zobrazení F má v bodě x0 P limitu y0 Q a píšeme lim xx0 F(x) = y0, jestliže ke každému okolí V bodu y0 v (Q, ) existuje okolí U bodu x0 v (P, ) tak, že F(U \ {x0}) V . Zřejmě platí: * lim xx0 F(x) = y0 ( > 0)( > 0)(x P)(0 < (x, x0) < (F(x), F(x0)) < ). * Jestliže má zobrazení F v bodě x0 limitu F(x0), pak je v tomto bodě spojité. 204 ˇ lim xx0 F(x) = y0 právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn} n=1 bodů z P takovou, že pro každé n N je xn = x0 a xn x0 v (P, ) platí F(xn) y0 v (Q, ). 11.5.13 Definice Nechť P je množina a F : P P. Bod x P se nazývá pevný bod zobrazení F, jestliže F(x) = x. 11.5.14 Věta (Banach [1892­1945], o kontrakci) Buď (P, ) úplný metrický prostor, F : P P kontrakce. Pak existuje jediný pevný bod zobrazení F. Tento pevný bod je limitou posloupnosti {xn} n=1, kde x1 P je libovolný bod a xn+1 = F(xn). D.: ˇ Nejdříve ukážeme, že posloupnost {xn}, xn+1 = F(xn) je cauchyovská: Pro libovolné n N platí (xn, xn+1) = (F(xn-1), F(xn)) L(xn-1, xn) = L (F(xn-2), F(xn-1)) L2 (xn-2, xn-1) = Ln-1 (x1, x2). Odtud a z (M3) plyne, že pro libovolná n, p N platí (xn, xn+p) (xn, xn+1) + (xn+1, xn+2) + + (xn+p-1, xn+p) Ln-1 (x1, x2) + Ln (x1, x2) + Ln+1 (x1, x2) + + Ln+p-2 (x1, x2) = = Ln-1 + Ln + Ln+1 + + Ln+p-2 (x1, x2) = 1 + L + L2 + + Lp-1 Ln-1 (x1, x2) = = 1 - Lp 1 - L Ln-1 (x1, x2) Ln-1 (x1, x2) 1 - L 0 pro n , neboť Ln-1 0 pro n . * Poněvadž (P, ) je úplný, existuje x0 = lim n xn P. * (x0, F(x0)) (x0, xn) + (xn, F(x0)) = (x0, xn) + (F(xn-1), F(x0)) (x0, xn) + L(xn-1, x0) 0 pro n neboť lim n (x0, xn) = lim n (xn-1, x0) = 0 pro n . * Je-li y jiný pevný bod zobrazení F, pak (y, x0) = (F(y), F(x0)) L(y, x0). Odtud plyne, že (1 - L)(y, x0) 0 a poněvadž O < L < 1, musí být (y, x0) = 0. 11.5.15 Aplikace (Newtonova iterační metoda) Nechť reálná funkce g má na uzavřeném intervalu I druhou derivaci a nenulovou první derivaci. Jestliže existuje > 0 takové, že pro každé x I platí |g(x)g (x)| (g (x)) 2 < 1 - , pak rovnice g(x) = 0 má na intervalu I jediný kořen x0 a platí x0 = lim n xn, kde posloupnost {xn} n=1 je dána rekurentně: x1 I je libovolné číslo, xn+1 = xn - g(xn) g (xn) . D.: Uvažujme metrický prostor (I, ) s přirozenou metrikou (x, y) = |x - y|. Tento prostor je podle 11.4.8 kompaktní. Definujme funkci f : I R předpisem f(x) = x- g(x) g (x) . Číslo x0 je kořenem rovnice g(x) = 0 právě tehdy, když je pevným bodem zobrazení (funkce) f. Podle 2.5.3 platí (f(x), f(y)) = |f(x)-f(y)| = |f ()| |x-y|, kde je nějaké číslo mezi x a y. Označme L = sup{|f ()| : I}. Podle předpokladu |f ()| = 1 (g ()) 2 - g()g () (g ()) 2 = g()g () (g ()) 2 < 1 - pro každé I. Funkce f je tedy kontrakcí a tvrzení plyne z 11.5.14. 11.6 Cvičení 1) Ověřte, že (x, y) = ln(1+|x-y|) a (x, y) = |x - y| 1 + |x - y| jsou metriky na R. Jsou tyto metriky ekvivalentní? 205 2) Vypočítejte vzdálenost funkcí f(x) = ln(1 + x) a g(x) = x e - 1 v prostoru C[0, 1] s metrikami C a I. 3) Vypočítejte vzdálenost množiny M = (x, y) R2 : y |x|3 od bodu (1 2 , 0) v prostoru (R2 , 2) 4) Vypočítejte vzdálenost bodu (3, 2) od množiny M = (x, y) R2 : y + bx 0 , kde b 0, v prostoru (R2 , 1). 5) Vypočítejte průměr množiny M = {f(x) = xn : n N} v prostoru (C[0, 1], I). 6) Najděte vnitřek, uzávěr, hranici a derivaci množiny A = 1 n : n N [1, 2) ((2, 3) Q) v prostoru (R, ). 7) Rozhodněte, zda platí tvrzení: Jsou-li množiny A, B uzavřené a (A, B) = 0, pak A B = . Pokud ano, dokažte; pokud ne, uveďte protipříklad. 8) Mohou existovat neprázdné podmnožiny A, B metrického prostoru takové, že A B, A = B a A B = ? Pokud ne, dokažte; pokud ano, udejte příklad. 9) Nechť F je zobrazení prostoru (C[a, b], C) do prostoru (R, ) dané předpisem F(f) = f a + b 2 . Rozhodněte, zda je toto zobrazení spojité. Je stejně definované zobrazení spojité na prostoru (C[a, b], I)? 10) Nechť A, B jsou neprázdné uzavřené a disjunktní množiny v prostoru (P, ). Najděte spojité zobrazení F : P R (R uvažujeme s přirozenou metrikou ) takové, že F(x) = 1, x A 0, x B . 11) Rozhodněte, zda zobrazení F : [0, 1] [0, 1] dané předpisem F(x) = x je Lipschitzovské. Existuje pevný bod tohoto zobrazení? 12) Najděte kořen rovnice cos x = x s přesností na čtyři desetinná místa. Výsledky: 1) Ano 2) ln(e - 1) - e-2 e-1 . = 0.1233, 2 ln 2 - 1-2e 2-2e . = 0.0953 3) 7 108 4) 2 + 3b pokud b < 1, 3 + 2 b , pokud b 1 5) 1 2 6) A = (1, 2) (2, 3), A = 1 n : n N [1, 3], A = 1 n : n N [2, 3], A = {0} [1, 3] 7) Ne. Např. v prostoru R2 , 2 jsou množiny A = {(x, 0) : x 1}, B = (x, 1 x ) : x 1 uzavřené a (A, B) = 0. 8) Ano. Např. v prostoru (R, ) množiny A = [0, 1] I, B = [0, 2] Q. 9) Ano, ne 10) F(x) = (x,B) (x,A)+(x,B) 11) Ne. Dokonce dva: 0 a 1 12) 0.7391 11.7 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 206 Kapitola 12 Diferenciální počet 12.1 Spojitost a limita 12.1.1 Definice Buď M Rn , M = . Zobrazení f : M R nazveme (reálnou) funkcí n (reálných) proměnných. Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se Dom f, množina f(M) se nazývá obor hodnot funkce f a značí se Im f. Zápis: y = f(x), y = f(x1, x2, . . . , xn) pro n = 2 : z = f(x, y) pro n = 3 : u = f(x, y, z) a p. 12.1.2 Definice Buď f funkce n proměnných. Řekneme, že tato funkce je ohraničená, je-li množina Im f ohraničená (jakožto podmnožina R). Na množině Rn uvažujeme některou z ekvivalentních metrik 1, 2, (sr. 11.1.2.3 a 11.3.9.1). Na množině Dom f potom je příslušná indukovaná metrika. Funkci n proměnných lze tedy považovat za zobrazení metrického prostoru Dom f na metrický prostor Im f. O funkci f řekneme, že je spojitá, stejnoměrně spojitá, lipschitzovská, je-li toto zobrazení spojité, stejnoměrně spojité, lipschitzovské. Lze použít všechna tvrzení z 11.5. Nebude-li řečeno jinak, budeme používat maximální metriku . V tomto případě O(x) = O(x1, x2, . . . , xn) = (x1 - , x1 + ) × (x2 - , x2 + ) × × (xn - , xn + ). Abychom mohli i pro funkce n proměnných zavést pojem nevlastní limity, definujme okolí nevlastních bodů: x = (x1, x2, . . . , xn) (R )n , O(x) = (a1, b1) × (a2, b2) × × (an, bn) kde ai = xi - , xi R -, xi = c R, xi = , bi = xi + , xi R , xi = c R, xi = , i = 1, 2, . . . , n. 12.1.3 Definice Buď f funkce n proměnných, x0 hromadný bod množiny Dom f. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu a R a píšeme lim xx0 f(x) = a, jestliže ke každému O(a) existuje O(x0) takové, že pro každé x (O(x0)Dom f)\{x0} platí f(x) O(a). 12.1.4 Věta (Heineova podmínka) Funkce f n proměnných má v bodě x0 limitu a právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn} n=1 takovou, že xn Dom f pro každé n N, xn = x0 a xn x0 platí f(xn) a. 207 D.: Analogicky důkazu 11.5.3. Věta již byla dokonce obecněji zformulována za 11.5.12 12.1.5 Věta 1. Funkce f má v bodě x0 nejvýše jednu limitu. 2. Má-li funkce f v bodě x0 limitu a R, pak existuje okolí O(x0) takové, že funkce f je na (O(x0) Dom f) \ {x0} ohraničená. 3. Nechť lim xx0 f(x) = 0 a existuje okolí O(x0) takové, že funkce g je na (O(x0) Dom f) \ {x0} ohraničená. Pak lim xx0 f(x)g(x) = 0. 4. Nechť lim xx0 f(x) = a R, lim xx0 g(x) = b R. Pak platí: lim xx0 |f(x)| = |a|. lim xx0 (f(x) + g(x)) = a + b. lim xx0 (f(x) - g(x)) = a - b. lim xx0 (f(x)g(x)) = ab. Je-li navíc b = 0, pak lim xx0 f(x) g(x) = a b . 5. Nechť existuje okolí O(x0) takové, že pro x (O(x0) Dom f Dom g Dom h) \ {x0} platí f(x) g(x) h(x). Jestliže lim xx0 f(x) = lim xx0 h(x) = a R , pak lim xx0 g(x) = a. D.: Analogický důkazu podobných tvrzení v 2.1. 12.1.6 Věta (výpočet limity funkce dvou proměnných) Funkce z = f(x, y) má v bodě (x0, y0) limitu a R právě tehdy, když existuje > 0 a funkce g : (0, ) [0, ) taková, že lim r0+ g(r) = 0 a |f(x0 + r cos , y0 + r sin ) - a| g(r) pro každé r (0, ) a každé [0, 2). D.: Na R2 uvažujme euklidovskou metriku 2. Buď > 0 libovolné. Poněvadž lim r0+ g(r) = 0, existuje > 0 takové, že pro r (0, ) je g(r) < . Tedy pro x O((x0, y0)) \ {(x0, y0)} platí |f(x, y) - a| < . Příklad: f(x, y) = x2 + (y - 1)2 y x2 + (y - 1)2 , (x0, y0) = (0, 1). f(r cos , 1 + r sin ) = r2 cos2 + (1 + r sin )r2 sin2 r2 cos2 + r2 sin2 = r2 + r3 sin3 r2 = 1 + r sin3 lim r0+ (1 + r sin3 ) = 1, což ukazuje, že a by se mohlo rovnat 1. |f(r cos , 1 + r sin ) - 1| = |r sin3 | Poněvadž lim r0+ |r sin3 | = 0, je lim (x,y)(x0,y0) x2 + (y - 1)2 y x2 + (y - 1)2 = 1. 208 12.2 Derivace 12.2.1 Definice Buď f funkce n proměnných, x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) Dom f. Položme (x) = f(x0 1, x0 2, . . . , x0 i-1, x, x0 i+1, x0 i+2, . . . , x0 n). Má-li funkce (jedné proměnné) v bodě x0 i vlastní derivaci, nazveme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle i-té proměnné v bodě x0 a značíme ji f xi (x0 ), fxi (x0 ), fxi (x0 ), f|i(x0 ). f xi (x0 ) = lim xx0 f(x0 1, x0 2, . . . , x0 i-1, x, x0 i+1, x0 i+2, . . . , x0 n) - f(x0 1, x0 2, . . . , x0 i-1, x0 i , x0 i+1, x0 i+2, . . . , x0 n) x - x0 i . Má-li funkce f parciální derivaci fxi ve všech bodech nějaké množiny M Dom f, je tato parciální derivace sama funkcí. Značíme ji f xi , fxi , fxi , f|i. 12.2.2 Poznámky 1. Z definice 12.2.1 plyne jednoduché pravidlo pro výpočet parciálních derivací: x1, x2, . . . , xi-1, xi+1, xi+2, . . . , xn považujeme za parametry a xi za proměnnou, podle níž derivujeme. 2. Funkce, která má v bodě x0 parciální derivace podle všech proměnných, nemusí být v tomto bodě spojitá. Např. f(x, y) = 1, xy = 0 0, xy = 0 , fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0 a f není spojitá v (0, 0). 12.2.3 Věta Nechť funkce f a g mají na otevřené množině M Dom f Dom g parciální derivaci f|i, g|i. Pak jejich součet, rozdíl a součin mají parciální derivaci podle i-té proměnné na M a platí: (f g)|i(x) = f|i(x) g|i(x), (fg)|i(x) = f|i(x)g(x) + f(x)g|i(x), Ve všech bodech množiny M, v nichž g(x) = 0 navíc platí f g |i (x) = f|i(x)g(x) - f(x)g|i(x) (g(x))2 . D.: Plyne z 2.3.5. 12.2.4 Věta (o střední hodnotě) Nechť funkce f má parciální derivace ve všech bodech množiny [a1, b1] × [a2, b2] × × [an, bn] Dom f podle všech proměnných. Pak existují čísla 1 (a1, b1), 2 (a2, b2), . . . n (an, bn) taková, že f(b1, b2, . . . , bn) - f(a1, a2, . . . , an) = i=1 f|i(b1, b2, . . . , bi-1, i, ai+1, ai+2, . . . , an)(bi - ai) . Zejména pro n = 2: f(x1, y1) - f(x0, y0) = fx(, y0)(x1 - x0) + fy(x1, )(y1 - y0), kde (x0, x1), (y0, y1). D.: Provedeme pro n = 2. S využitím 2.5.3 dostaneme: f(x1, y1)-f(x0, y0) = f(x1, y1)-f(x1, y0)+f(x1, y0)-f(x0, y0) = fy(x1, )(y1 -y0)+fx(, y0)(x1 -x0). 12.2.5 Definice Nechť funkce f má parciální derivaci podle i-té proměnné na otevřené množině M Dom f, x0 M. Existuje-li parciální derivace funkce f|i podle j-té proměnné v bodě x0 , nazveme tuto derivaci druhou parciální derivací funkce f podle i-té a j-té proměnné a značíme ji 2 f xixj (x0 ), fxixj (x0 ), fxixj (x0 ), f|i,j(x0 ). V případě, že i = j, 209 mluvíme o smíšené parciální derivaci. Analogicky definujeme parciální derivace vyšších řádů v bodě x0. Také parciální derivace vyšších řádů lze považovat za funkce. 12.2.6 Věta (Schwarz [1843 ­ 1921]) Nechť funkce f má parciální derivace fxixj , fxj xi spojité v bodě x0 . Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. fxixj (x0 ) = fxj xi (x0 ). D.: Provedeme pro n = 2. Položme F(h) = f(x0 + h, y0 + h) - f(x0 + h, y0) - f(x0, y0 + h) + f(x0, y0) h2 (y) = f(x0 + h, y) - f(x0, y), (x) = f(x, y0 + h) - f(x, y0). S využitím 2.5.3 dostaneme F(h)= 1 h2 ((y0 + h) - (y0)) = 1 h2 (y0 + 1h)h = = 1 h (fy(x0 + h, y0 + 1h) - fy(x0, y0 + 1h)) = 1 h fyx(x0 + 2h, y0 + 1h)h = = fyx(x0 + 2h, y0 + 1h), kde 1, 2 (0, 1). Analogicky odvodíme F(h) = 1 h2 ((x0 + h) - (x0)) = fxy(x0 + 3h, y0 + 4h), kde 3, 4 (0, 1). Tedy fyx(x0 + 2h, y0 + 1h) = fxy(x0 + 3h, y0 + 4h) a ze spojitosti druhých parciálních derivací plyne pro h 0: fyx(x0, y0) = fxy(x0, y0). 12.2.7 Důsledek Má-li funkce f na otevřené množině M Dom f spojité parciální derivace až do řádu m, pak hodnota m-té parciální derivace v libovolném bodě této množiny závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle i-té proměnné (i = 1, 2, . . . , n), nikoliv na pořadí, v jakém se derivovalo. 12.2.8 Definice Buď Vn n-rozměrný vektorový prostor nad R, f funkce n proměnných, x0 Dom f, v Vn. Položme (t) = f(x0 + tv). Má-li funkce derivaci v bodě 0, nazveme tuto derivaci derivací funkce f ve směru v v bodě x0 (směrovou derivací) a značíme ji fv(x0 ), fv(x0 ). Má-li funkce f derivaci ve směru v ve všech bodech nějaké množiny M Dom f, je tato směrová derivace sama funkcí, značíme ji fv. fv(x) = lim t0 f(x + tv) - f(x) t . 12.2.9 Poznámky 1. Je-li ei = (0, 0, . . . , 0, i 1 , 0, 0, . . . , 0) (e1, e2, . . . , en je standardní báze Vn), pak fei = f|i. 2. Pro směrové derivace platí: (f g)v = fv gv, (fg)v = fvg + fgv, f g v = fvg - fgv g2 . 3. Existují-li směrové derivace fv(x0 ) pro všechny v Vn, funkce f nemusí být spojitá v x0 . Např. f(x, y) = 1, y = x2 , x > 0 0, jinak má derivace v (0,0) v jakémkoliv směru, ale není v tomto bodě spojitá. 210 12.2.10 Věta (o střední hodnotě) Nechť funkce f má derivaci ve směru v ve všech bodech úsečky {x : x = x0 + tv, t [0, t0]}. Pak existuje (0, 1), že platí f(x0 + t0v) - f(x0 ) = t0fv(x0 + t0v) . D.: Položme (t) = f(x0 +tv). Podle předpokladu pro každé t [0, t0] existuje (t). To podle 2.3.3 znamená, že je spojitá na [0, t0]. Odtud dále podle 2.5.3 plyne (t0) - (0) = (t0)t0, což je tvrzení. 12.2.11 Věta Buď f funkce n proměnných, v Vn. Jestliže existuje fv(x), pak pro každé c R existuje fcv(x) a platí fcv(x) = cfv(x). D.: fcv(x) = lim t0 f(x + tcv) - f(x) t = lim t0 c f(x + tcv) - f(x) ct = cfv(x). 12.2.12 Věta Buď f funkce n proměnných, u Vn, v Vn, x0 Dom f. Nechť fu existuje v x0 a je spojitá v nějakém okolí O(x0 ) a nechť fv(x0 ) existuje. Pak existuje fu+v(x0 ) a platí fu+v(x0 ) = fu(x0 ) + fv(x0 ). D.: Položme (t) = f(x0 + t(u + v)). S využitím 12.2.10 dostaneme (t) - (0) t = f(x0 + tu + tv) - f(x0 + tv) + f(x0 + tv) - f(x0 ) t = = f(x0 + tu + tv) - f(x0 + tv) t + f(x0 + tv) - f(x0 ) t = = tfu(x0 + tv) t + f(x0 + tv) - f(x0 ) t fu(x0 ) + fv(x0 ) pro t 0. Poznámka: Předpoklad o spojitosti fu v nějakém okolí O(x0 ) obecně nelze vynechat. Např.: f(x, y) = xy(x + y) x2 + y2 , (x, y) = (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) , (x0 , y0 ) = (0, 0), u = (1, 0), v = (0, 1). fu(0, 0) = lim t0 t0(t + 0) t3 = 0, fv(0, 0) = lim t0 0t(0 + t) t3 = 0, fu(0, 0) + fv(0, 0) = 0, fu+v(0, 0) = lim t0 tt(t + t) t(t2 + t2) = 1. 12.2.13 Definice Buď f funkce n proměnných, x0 Dom f a nechť má f v x0 derivaci ve směru každého vektoru v Vn a nechť funkce : Vn R daná předpisem (v) = fv(x0 ) je lineární formou na Vn, což znamená, že existuje vektor a Vn takový, že (v) = a v, kde značí skalární součin. Pak vektor a nazveme derivací (gradientem) funkce f v bodě x0 a značíme a = f (x0 ) = f(x0 ) = grad f(x0 ). Má-li funkce f derivaci ve všech bodech nějaké množiny M Dom f, pak je tato derivace zobrazením M Vn (vektorovou funkcí). Značíme ji f , f, grad f. 12.2.14 Poznámky 1. Nechť funkce f má derivaci ve směru každého vektoru v Vn která je spojitou funkcí na otevřené množině M Dom f. Pak podle 12.2.11 a 12.2.12 má f na M derivaci. 2. Nechť f (x0 ) = a = (a1, a2, . . . , an), (v) = fv(x0 ) = a v, ei = (0, 0, . . . , 0, i 1 , 0, 0, . . . , 0). Pak (ei) = a ei = ai. Tedy ai = fei (x0 ) = f|i(x0 ), f (x0 ) = (f|1, f|2, . . . , f|n, ). 211 3. Funkce, která má v bodě x0 derivaci, nemusí být v tomto bodě spojitá. (Stejný příklad jako v 12.2.9.3) 4. Geometrický význam derivace: Nechť f má derivaci v bodě x0 Dom f. Pak pro libovolný vektor v Vn platí fv(x0 ) = f (x0 ) v = ||f (x0 )|| ||v|| cos , kde je úhel, který svírají vektory f (x0 ), v. Odtud plyne, že fv(x0 ) je maximální pro cos = 1, tj. pro = 0, tedy v případě, že vektory f (x0 ) a v jsou rovnoběžné. To znamená, že směrová derivace je největší ve směry f (x0 ). Gradient -- směr, ve kterém funkce nejrychleji roste. 12.3 Diferenciál 12.3.1 Definice Nechť f je funkce n proměnných, x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) vnitřní bod Dom f. Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x0 , jestliže existují reálná čísla a1, a2, . . . , an taková, že platí lim (h1,h2,...,hn)(0,0,...,0) f(x0 1 + h1, x0 2 + h2, . . . , x0 n + hn) - f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - (a1h1 + a2h2 + + anhn) h2 1 + h2 2 + + h2 n = 0 . Lineární funkce df(x0 ) daná předpisem (h1, h2, . . . , hn) (a1h1 + a2h2 + + anhn) se nazývá (totální) diferenciál funkce f v bodě x0 . Ekvivalentní formulace: Funkce f je diferencovatelná v bodě x0 , jestliže existují reálná čísla a1, a2, . . . , an a funkce n proměnných tak, že f(x0 1 + h1, x0 2 + h2, . . . , x0 n + hn) - f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = = (a1h1 + a2h2 + + anhn) + h2 1 + h2 2 + + h2 n (h1, h2, . . . , hn) , přičemž lim (h1,h2,...,hn)(0,0,...,0) (h1, h2, . . . , hn) = 0 . Definice 12.3.1 je v souladu s definicí 2.4.3 h2 1 + h2 2 + + h2 n je euklidovská vzdálenost bodu (h1, h2, . . . , hn) od počátku soustavy souřadnic. Místo ní lze uvažovat vzdálenost v libovolné ekvivalentní metrice. 12.3.2 Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x0 , pak je v tomto bodě spojitá. D.: f(x) - f(x0 ) = f(x0 1 + (x1 - x0 1), x0 2 + (x2 - x0 2), . . . , x0 n + (xn - x0 n)) - f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = =(a1(x1 - x0 1) + a2(x2 - x0 2) + + an(xn - x0 n)+ + (x1 - x0 1)2 + (x2 - x0 2)2 + + (xn - x0 n)2 ((x1 - x0 1), (x2 - x0 2), . . . , (xn - x0 n)), z čehož plyne lim xx0 f(x) = f(x0 ). 12.3.3 Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x0 , pak má v tomto bodě parciální derivace podle všech proměnných a platí a1 = f|1(x0 ), a2 = f|2(x0 ), . . . , an = f|n(x0 ), neboli df(x0 )(h1, h2, . . . , hn) = n i=1 f|i(x0 )hi. D.: Z 12.3.1 a 12.2.1 plyne 0 = lim h0 f(x0 1, x0 2, . . . , x0 i-1, x0 i + h, x0 i+1, . . . , x0 n) - f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - aih |h| = f|i(x0) - ai, h 0 ai - f|i(x0), h < 0 a tedy f|i(x0) = ai. 212 12.3.4 Věta Má-li funkce n proměnných f v bodě x0 spojité parciální derivace podle všech proměnných, pak je v tomto bodě diferencovatelná. D.: Pro stručnost zápisu provedeme pro n = 2. Ze spojitosti parciálních derivací plyne jejich existence v jistém okolí bodu (x0, y0). S využitím 12.2.4 dostaneme: lim (h,k)(0,0) f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0) - fx(x0, y0)h - fy(x0, y0)k h2 + k2 = = lim (h,k)(0,0) fx(x0 + 1h, y0)h + fy(x0 + h, y0 + 2k)k - fx(x0, y0)h - fy(x0, y0)k h2 + k2 = = lim (h,k)(0,0) (fx(x0+1h, y0)-fx(x0, y0)) h h2 + k2 + lim (h,k)(0,0) (fy(x0+h, y0+2k)-fy(x0, y0)) k h2 + k2 = = 0. Poslední rovnost plyne z 12.1.5.3, neboť fx a fy jsou spojité a h h2 + k2 1, k h2 + k2 1. 12.3.5 Poznámky 1. Podobně jako za větou 2.4.5 lze zdůvodnit, že přírůstky h1, h2, . . . , hn nezávisle proměnných můžeme označit dx1, dx2, . . . , dxn. Diferenciál pak zapíšeme df(x0 ) = n i=1 f|i(x0 )dxi = f(x0 ) x1 dx1 + f(x0 ) x2 dx2 + + f(x0 ) xn dxn. d = x1 dx1 + x2 dx2 + + xn dxn Zejména: df(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy df = fxdx + fydy = f x dx + f y dy d = x dx + y dy 2. Tečná rovina Rovina z = ax + by + c v prostoru R3 se nazývá tečná rovina ke grafu funkce z = f(x, y) v bodě T = (x0, y0, f(x0, y0)), jestliže f(x0, y0) = ax0 + by0 + c , lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) - ax - by - c (x - x0)2 + (y - y0)2 = 0 . Z těchto rovnic dostaneme: 0= lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) - f(x0, y0) + f(x0, y0) - ax - by - c (x - x0)2 + (y - y0)2 = = lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) - f(x0, y0) - a(x - x0) - b(x - y0) (x - x0)2 + (y - y0)2 . Podle 12.3.1 je tedy df(x, y)(x - x0, y - y0) = a(x - x0) + b(y - y0), takže podle 12.3.3 a = fx(x0, y0), b = fy(x0, y0). Z první rovnice dostaneme c = f(x0, y0) - x0fx(x0, y0) - y0fy(x0, y0). Rovnice tečné roviny tedy je z = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) + f(x0, y0). Označíme-li z0 = f(x0, y0), je rovnice tečné roviny z - z0 = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) (x - x0, y - y0), neboli z - z0 = f (x0, y0) (x - x0, y - y0). 213 Obecně v (n + 1)-rozměrném prostoru je rovnice tečné nadroviny ke grafu funkce n proměnných y = f(x) v bodě x0 y - f(x0 ) = f (x0 ) (x - x0 ). 3. Geometrický význam diferenciálu: přírůstek funkce měřený na tečné nadrovině. f(x) f(x0 ) + df(x0 )(x - x0 ). 4. Příklad funkce dvou proměnných, která má v bodě (0, 0) derivaci, je v tomto bodě spojitá, ale k jejímu grafu neexistuje v tomto bodě tečná rovina: f(x, y) = x, y = x2 , x > 0 2y x - x, x2 2 < y < x2 , x > 0 2x - y x , x2 < y < 2x2 , x > 0 0, jinak Spojitost a existence derivace v daném bodě tedy ještě nezaručí diferencovatelnost funkce. 12.3.6 Definice Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy Cm v bodě x0 Dom f, existuje-li okolí O(x0 ) bodu x0 takové, že O(x0 ) Dom f a funkce f má na O(x0 ) spojité všechny parciální derivace až do řádu m včetně. Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy Cm na otevřené množině M Dom f, je-li třídy Cm v každém bodě množiny M. Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy C v bodě x0 Dom f, je-li v tomto bodě třídy Cm pro každé m N. Řekneme, že funkce n proměnných f je třídy C na otevřené množině M Dom f, je-li třídy C v každém bodě množiny M. Z 12.3.4 plyne, že funkce třídy C1 v bodě x0 je v tomto bodě diferencovatelná. 12.3.7 Definice Nechť funkce n proměnných f je třídy Cm v bodě x0 . Diferenciál m-tého řádu funkce f v bodě x0 definujeme vztahem dm f(x0 )(h1, h2, . . . , hn) = i1+i2++in=m m! i1!i2! in! m f(x0 ) xi1 1 xi2 2 xin n hi1 1 hi2 2 hin n dm f(x0 ) = i1+i2++in=m m! i1!i2! in! m f(x0 ) xi1 1 xi2 2 xin n dxi1 1 dxi2 2 dxin n = = x1 dx1 + x2 dx2 + + xn dxn m f(x0 ) dm = x1 dx1 + x2 dx2 + + xn dxn m Zejména pro n = 2: dm f(x0, y0)(h, k) = n i=0 m i m f(x0, y0) xiym-i hi km-i dm f(x0, y0) = n i=0 m i m f(x0, y0) xiym-i dxi dym-i = x dx + y dy m f(x0y0) d2 f = fxxdx2 + 2fxydxdy + fyydy2 d3 f = fxxxdx3 + 3fxxydx2 dy + 3fxyydxdy2 + fyyydy3 214 12.3.8 Definice Buďte g1, g2, . . . , gn funkce n proměnných. Funkce n proměnných F se nazývá kmenová funkce diferenciálu g1(x1, x2, . . . , xn)dx1 + g2(x1, x2, . . . , xn)dx2 + + gn(x1, x2, . . . , xn)dxn na otevřené množině M n i=1 Dom gi, jestliže na této množině platí F|1(x) = g1(x), F|2(x) = g2(x), . . . , F|n(x) = gn(x), tj. dF = n i=1 gidxi. 12.3.9 Věta Nechť g1, g2, . . . , gn jsou funkce n proměnných, které jsou třídy C1 na otevřené množině M n i=1 Dom gi. Kmenová funkce diferenciálu g1dx1 + g2dx2 + + gndxn existuje právě tehdy, když gi xj = gj xi pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n, i = j. D.: Provedeme pro n = 2. : Nechť existuje kmenová funkce F, dF = g1dx + g2dy. Pak Fx = g1, Fy = g2. Derivace Fxy = g1y, Fyx = g2x jsou spojité a tedy podle 12.2.6 záměnné. To znamená, že g1 y = Fxy = Fyx = g2 x . : Nechť g1 y = g2 x . Pro (x0, y0), (x, y) M takové, že {(x0 +t(x-x0), y0 +t(y -y0)) : t [0, 1]} M položme F(x, y) = x x0 g1(t, y)dt + y y0 g2(x0, t)dt. Pak podle 5.3.3 Fx(x, y) = g1(x, y). Dále s využitím 2.5.3 dostaneme y x x0 g1(t, y)dt = lim h0 x x0 g1(t, y + h)dt - x x0 g1(t, y)dt h = = lim h0 x x0 g1(t, y + h) - g1(t, y) h dt = lim h0 x x0 g1|2(t, y + h)dt = = lim h0 x x0 g2|1(t, y + h)dt = lim h0 (g2(x, y + h) - g2(x0, y + h) = = g2(x, y) - g2(x0, y) Odtud Fy(x, y) = g2(x, y) - g2(x0, y) + g2(x0, y) = g2(x, y). 12.4 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec 12.4.1 Věta (řetězové pravidlo) Nechť f je funkce m proměnných a g1, g2, . . . , gm jsou funkce n proměnných, které mají spojité parciální derivace prvního řádu v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n). Označme u0 1 = g1(x0 ), u0 2 = g2(x0 ), . . . , u0 m = gm(x0 ). Je-li funkce z = f(u1, u2, . . . , um) diferencovatelná v bodě (u0 1, u0 2, . . . , u0 n), pak má složená funkce n proměnných 215 z = F(x1, x2, . . . , xn) = f(g1(x1, x2, . . . , xn), g2(x1, x2, . . . , xn), . . . , gn(x1, x2, . . . , xn)) parciální derivace prvního řádu v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) a platí F|i(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = m j=1 f|j(u0 1, u0 2, . . . , u0 n)gj|i(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = m j=1 f uj (u0 1, u0 2, . . . , u0 n) gj xi (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) , stručně z xi = z u1 u1 xi + z u2 u2 xi + + z um um xi , nebo zxi = zu1 u1xi + zu2 u2xi + + zun unxi . D.: Provedeme pro m = n = 2, u = u(x, y), v = v(x, y), u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0), z = F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)). F x (x0, y0) = lim h0 F(x0 + h, y0) - F(x0, y0) h = lim h0 f(u(x0 + h, y0), v(x0 + h, y0)) - f(u(x0, y0), v(x0, y0)) h . Poněvadž f je diferencovatelná v (u0, v0), existuje podle 12.3.1 a 12.3.3 funkce = (h, k) taková, že lim (h,k)(0,0) (h, k) = 0 a f(u(x0 + h, y0), v(x0 + h, y0)) - f(u0, v0) = = fu(u0, v0)(u(x0 + h, y0) - u0) + fv(u0, v0)(v(x0 + h, y0) - v0)+ + (u(x0 + h, y0) - u0)2 + (v(x0 + h, y0) - v0)2 (u(x0 + h, y0) - u0, v(x0 + h, y0) - v0) . Označme (h) = (u(x0 + h, y0) - u0)2 + (v(x0 + h, y0) - v0)2 (u(x0 + h, y0) - u0, v(x0 + h, y0) - v0). Pak F x (x0, y0) = lim h0 1 h (fu(u0, v0)(u(x0 + h, y0) - u0) + fv(u0, v0)(v(x0 + h, y0) - v0) + (h)) = = fu(u0, v0)ux(x0, y0) + fv(u0, v0)vx(x0, y0) + lim h0 (h) h . Ukážeme, že lim h0 (h) h = 0: Podle 2.5.6 lim h0 (u(x0 + h, y0) - u0)2 + (v(x0 + h, y0) - v0)2 h2 = = lim h0 2(u(x0 + h, y0) - u0)ux(x0 + h, y0) + 2(v(x0 + h, y0) - v0)vx(x0 + h, y0) 2h = = (ux(x0, y0))2 + (vx(x0, y0))2 , tedy funkce (u(x0 + h, y0) - u0)2 + (v(x0 + h, y0) - v0)2 h je ohraničená a tvrzení plyne z 12.1.5.3. Dokázali jsme tedy F x (x0, y0) = fu(u0, v0)ux(x0, y0) + fv(u0, v0)vx(x0, y0) . Analogicky dokážeme F y (x0, y0) = fu(u0, v0)uy(x0, y0) + fv(u0, v0)vy(x0, y0) . 216 12.4.2 Poznámky 1. Vzorce ve větě 12.4.1 lze zapsat maticově: z x1 , z x2 , . . . , z xn = z u1 , z u2 , . . . , z um u1 x1 , u1 x2 , . . . , u1 xn u2 x1 , u2 x2 , . . . , u2 xn ... ... ... ... um x1 , um x2 , . . . , um xn 2. Pomocí řetězového pravidla lze počítat i druhé parciální derivace: Nechť funkce u = u(x, y), v = v(x, y) mají druhé parciální derivace v bodě (x0, y0). Označme u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0). Je-li funkce z = f(u, v) třídy C2 v bodě (u0, v0), pak složená funkce z = F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) má druhé parciální derivace v bodě (x0, y0) a v něm platí Fxx = fuuu2 x + 2fuvuxvx + fvvv2 x + fuuxx + fvvxx Fxy = fuuuxuy + fuv(uxvy + uyvx) + fvvvxvy + fuuxy + fvvxy Fyy = fuuu2 y + 2fuvuyvy + fvvv2 y + fuuyy + fvvyy D.: Odvodíme první formuli. Ostatní lze odvodit analogicky. Fxx = (zx)x = (zuux + zvvx)x = (zu)xux + zuuxx + (zv)xvx + zvvxx = = (zuuux + zuvvx)ux + (zvuux + zvvvx)vx + zuuxx + zvvxx = = zuuu2 x + zuvuxvx + zvuuxvx + zvvv2 x + zuuxx + zvvxx . Odtud již plyne dokazovaná formule, neboť podle 12.3.6 a 12.2.6 je zuv = zvu = fuv. 3. Předchozí vzorce si lze pamatovat pomocí formální mocniny nebo součinu. Např.: u u x + v v x 2 = 2 u2 u x 2 + 2 2 uv u x v x + 2 v2 v x 2 , což jsou první tři členy prvního vzorce. 4. Analogicky lze počítat i derivace vyšších řádů. 12.4.3 Věta (Taylor) Nechť funkce n proměnných f je v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) třídy Cm+1 , tj, existuje okolí O(x0 ) bodu x0 takové, že f má na něm spojité parciální derivace až do řádu m + 1 včetně. Buď x = (x1, x2, . . . , xn) O(x0 ). Pak existuje (0, 1) takové, že platí f(x1, x2, . . . , xn) = f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)+ + 1 1! (fx1 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(x1 - x0 1) + fx2 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(x2 - x0 2) + + fxn (x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(xn - x0 n)) + + + 1 m! i1+i2++in=m m! i1!i2! in! m f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) xi1 1 xi2 2 xin n (x1 - x0 1)i1 (x2 - x0 2)i2 (xn - x0 n)in + + 1 (m + 1)! i1++in=m+1 (m + 1)! i1!i2! in! m f(x0 1 + (x1 - x0 1), . . . , x0 n + (xn - x0 n)) xi1 1 xin n (x1 - x0 1)i1 (xn - x0 n)in . D.: Položme F(t) = f(x0 1 + t(x1 - x0 1), x0 2 + t(x2 - x0 2), . . . , x0 n + t(xn - x0 n)). Tvrzení nyní plyne z 2.6.8, 12.4.1 a 12.4.2.4 217 Vzorec v předchozí větě se nazývá Taylorův. Polynom n proměnných Tm(x1, x2, . . . , xn) = f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)+ + 1 1! (fx1 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(x1 - x0 1) + fx2 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(x2 - x0 2) + + fxn (x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(xn - x0 n)) + + + 1 m! i1+i2++in=m m! i1!i2! in! m f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) xi1 1 xi2 2 xin n (x1 - x0 1)i1 (x2 - x0 2)i2 (xn - x0 n)in + se nazývá Taylorův polynom m-tého stupně funkce f se středem x0 a výraz Rm(x1, x2, . . . , xn) = = 1 (m + 1)! i1++in=m+1 (m + 1)! i1!i2! in! m f(x0 1 + (x1 - x0 1), . . . , x0 n + (xn - x0 n)) xi1 1 xin n (x1 - x0 1)i1 (xn - x0 n)in se nazývá zbytek v Taylorově vzorci. Taylorův vzorec lze stručněji zapsat pomocí diferenciálů: Tm(x) = f(x0 ) + 1 1! df(x0 )(x1 - x0 1, . . . , xn - x0 n) + 1 2! d2 f(x0 )(x1 - x0 1, . . . , xn - x0 n) + + + 1 m! dm f(x0 )(x1 - x0 1, . . . , xn - x0 n) Rm(x) = 1 (m + 1)! dm+1 f(x0 )(x0 1 + (x1 - x0 1), . . . , x0 n + (xn - x0 n)) 12.5 Průběh funkce více proměnných 12.5.1 Definice Řekneme, že funkce f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. minima), jestliže existuje okolí O(x ) bodu x takové, že O(x ) Dom f a pro každé x O(x ) platí f(x) f(x ) (resp. f(x) f(x )). Jsou-li tyto nerovnosti pro x = x ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu). (Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré) lokální extrémy. 12.5.2 Příklad 1. f(x, y) = x2 + y2 má v bodě (x , y ) ostré lokální minimum, neboť f(x, y) > 0 = f(0, 0) pro každý (x, y) R2 \ {(0, 0)}. 2. f(x, y) = 1, (x, y) = (0, 0) 0, jinak má v bodě (x , y ) ostré lokální maximum. V bodě ostrého lokálního extrému funkce nemusí být diferencovatelná ani spojitá. 12.5.3 Definice Řekneme, že x Rn je stacionárním bodem funkce f, jestliže f má v tomto bodě parciální derivace podle všech proměnných a platí f|1(x ) = f|2(x ) = = f|n(x ) = 0 . 218 12.5.4 Věta Nechť funkce f má v bodě x Rn lokální extrém a nechť v tomto bodě existují všechny parciální derivace funkce f. Pak x je stacionárním bodem funkce f. D.: Kdyby f|i(x ) > 0, pak by podle 2.7.2 existovalo > 0, že f(x 1, x 2, . . . , x i-1, x i - , x i+1, . . . , x n) < f(x 1, x 2, . . . , x i-1, x i , x i+1, . . . , x n) f(x 1, x 2, . . . , x i-1, x i + , x i+1, . . . , x n) > f(x 1, x 2, . . . , x i-1, x i , x i+1, . . . , x n) a tedy by v x nemohl být lokální extrém. Podobně vyloučíme možnost f|i(x ) < 0. Poznámka: Stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. f(x, y) = x2 -y2 , (x , y ) = (0, 0). 12.5.5 Definice Je-li x Rn stacionárním bodem funkce f a f přitom nenabývá v x lokálního extrému, řekneme, že x je sedlový bod (sedlo) funkce f. 12.5.6 Několik pojmů z lineární algebry * Nechť A = (aij) je symetrická matice, h = (h1, h2, . . . , hn)T Vn, (h) = hT Ah = n i,j=1 aijhihj kvadratická forma. Řekneme, že matice A je negativně semidefinitní negativně definitní positivně semidefinitní positivně definitní platí-li pro každý nenulový h Vn (h) 0 (h) < 0 (h) 0 (h) > 0 . Řekneme, že matice A je indefinitní, existují-li vektory h, k Vn, že (h) < 0, (k) > 0. * Platí: ­ Symetrická matice A je positivně (resp. negativně) definitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná (resp. záporná). Symetrická matice A je positivně (resp. negativně) semidefinitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice A jsou nezáporná (resp. nekladná). ­ Symetrická matice A je positivně definitní právě tehdy, když všechny hlavní minory matice A, tj. determinanty a11 , a11 a12 a21 a22 , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , . . . , det A jsou kladné. Symetrická matice A je negativně definitní právě tehdy, když hlavní minory matice A střídají znaménka počínaje záporným. 12.5.7 Věta Nechť x Rn je stacionární bod funkce f a nechť f je třídy C2 v bodě x . Položme A = (aij) = (f|ij(x )). Je-li matice A v positivně (resp. negativně) definitní, má funkce f v bodě x ostré lokální minimum (resp. maximum). Je-li matice A indefinitní, funkce f nemá v bodě x lokální extrém. D.: Nechť A je positivně definitní. Buď h = (h1, h2, . . . , hn) Vn libovolný, ale pevně zvolený vektor. Položme Fh(x) = n i,j=1 f|ij(x)hihj. Poněvadž funkce f je třídy C2 v bodě x , je funkce Fh spojitá v bodě x a poněvadž (f|ij(x )) je positivně 219 definitní, existuje okolí O(x ) bodu x takové, že pro každé x O(x ) je Fh(x) > 0. Poněvadž h byl libovolný vektor, tak pro všechny x, ^x O(x ) platí Fx-x (^x) > 0. Nyní podle 12.4.3 je pro x O(x ) f(x) = f(x ) + 1 2 n i,j=1 f|ij(x + (x - x ))(xi - x i )(xj - x j ) = f(x ) + 1 2 Fx-x (x + (x - x )) , kde [0, 1]. Tedy x + (x - x ) O(x ) (uvažujeme euklidovskou metriku) a f(x) > f(x ), což znamená, že funkce f nabývá v bodě x svého ostrého lokálního minima. Tvrzení pro maximum se dokáže analogicky. Nechť A je nyní indefinitní. Pak existují vektory h = (h1, h2, . . . , hn), k = (k1, k2, . . . , kn) Vn takové, že n i,j=1 f|ij(x )hihj < 0 a n i,j=1 f|ij(x )kikj > 0. Poněvadž f je třídy C2 v bodě x , existuje okolí O1(x ) bodu x takové, že pro všechna x O1(x ) je n i,j=1 f|ij(x)hihj < 0 a n i,j=1 f|ij(x)kikj > 0. Buď O2(x ) libovolné okolí bodu x , h, k taková kladná čísla, že x1 = x + hh O1(x ) O2(x ) a x2 = x + kk O1(x ) O2(x ). S využitím 12.4.3 dostaneme f(x1) = f(x ) + 1 2 n i,j=1 f|ij(x + hh)2 hhihj < f(x ) , f(x2) = f(x ) + 1 2 n i,j=1 f|ij(x + kk)2 kkikj > f(x ) , takže v bodě x není lokální extrém funkce f. Je-li matice (f|ij(x )) positivně nebo negativně semidefinitní, nelze o kvalitě stacionárního bodu rozhodnout. 12.5.8 Důsledek Nechť funkce dvou proměnných f je třídy C2 ve svém stacionárním bodě (x , y ). Jestliže D(x , y ) = fxx(x , y )fyy(x , y ) - (fxy(x , y ))2 > 0 , pak má funkce f v bodě (x , y ) ostrý lokální extrém a to minimum, pokud fxx(x , y ) > 0 a maximum, pokud fxx(x , y ) < 0. Jestliže D(x , y ) < 0, pak v bodě (x , y ) lokální extrém nenastává. D.: První tvrzení bezprostředně plyne z 12.5.7 a z tvrzení o minorech v 12.5.6. Nechť D(x , y ) < 0. Uvažujme kvadratickou formu (h1, h2) = fxx(x , y )h2 1 + 2fxy(x , y )h1h2 + fyy(x , y )h2 2 = = h2 2 fxx(x , y ) h1 h2 2 + 2fxy(x , y ) h1 h2 + fyy(x , y ) . Poněvadž D(x , y ) < 0 má kvadratický polynom P() = fxx(x , y )2 + 2fxy(x , y ) + fyy(x , y ) dva reálné různé kořeny, což znamená, že nabývá kladných i záporných hodnot. Existují tedy vektory (~h1, ~h2) a (^h1, ^h2) takové, že (~h1, ~h2) > 0 a (^h1, ^h2) < 0. To znamená, že forma je indefinitní. 12.5.9 Definice Buď f funkce n proměnných, M Dom f. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě x M globálního minima (resp. maxima) na množině M, jestliže f(x) f(x ) (resp. f(x) f(x )) pro každé x M. Jsou-li nerovnosti ostré pro každé x = x , mluvíme o ostrých globálních minimech (resp. maximech) na M. (Ostrá) globální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré) globální extrémy funkce f na množině M. Místo slova ,,globální se někdy používá slovo ,,absolutní . 220 12.5.10 Poznámka Je-li bod globálního extrému x na množině M vnitřním bodem této množiny, pak je x bodem lokálního extrému. Funkce f tedy může mít globální extrém na množině M v bodě lokálního extrému funkce f nebo v hraničním bodě množiny M, pokud tento bod do množiny M patří. 12.5.11 Poznámka Nechť funkce f je třídy C2 v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n). Grafem funkce g : (x1, x2, . . . , xn) f(x0 ) + f|1(x0 )(x1 - x0 1) + f|2(x0 )(x1 - x0 2) + + f|n(x0 )(xn - x0 n) je podle 12.3.5.2 tečná nadrovina ke grafu funkce f v bodě x0 . Nechť A = (aij) = (f|ij(x0 )). Stejným způsobem jako v důkazu věty 12.5.7 lze dokázat: Je-li matice A positivně definitní, pak existuje okolí O(x0 ) bodu x0 takové, že pro všechna x O(x0 ) je f(x) > g(x). Body grafu funkce f v okolí bodu x0 leží nad tečnou nadrovinou, funkce je v bodě x0 konvexní. Je-li matice A negativně definitní, pak existuje okolí O(x0 ) bodu x0 takové, že pro všechna x O(x0 ) je f(x) < g(x). Body grafu funkce f v okolí bodu x0 leží pod tečnou nadrovinou, funkce je v bodě x0 konkávní. 12.6 Cvičení Zjistěte, zda existuje limita funkce y = f(x, y) v daném bodě (x0, y0); pokud ano, vypočítejte ji. 1) f(x, y) = x2 y2 x2y2 - (x - y)2 , (0, 0), 2) f(x, y) = x3 y3 x2 + y2 , (0, 0), 3) f(x, y) = x2 + y(y - 1)2 x2 + (y - 1)2 , (0, 1), 4) f(x, y) = 1 xy tg xy 1 + xy , (0, ), 5) f(x, y) = sin x 2x + y , (, ), 6) f(x, y) = logx(x + y), (1, 0). Vypočítejte parciální derivace prvního a druhého řádu funkcí 7) f(x, y) = xy + x y , 8) f(x, y) = ln(x + y2 ), 9) f(x, y) = arctg x + y 1 - xy , 10) f(x, y) = xy , 11) f(x, y, z) = 1 x2 + y2 + z2 , 12) f(x, y, z) = x y z . 13) Ukažte, že funkce f(x, y) = ln (x - a)2 + (y - b)2 (resp. f(x, y, z) = 1/ (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 ) splňuje Laplaceovu rovnici fxx + fyy = 0 (resp. fxx + fyy + fzz = 0). 14) Najděte derivaci funkce f(x, y) = x2 -xy +y2 ve směru jednotkového vektoru, který svírá úhel s kladným směrem osy x, v bodě (1, 1). Pro jaké je tato derivace největší, nejmenší, rovna nule? 15) Vypočítejte směrovou derivaci funkce f(x, y) = 1 - x2 a2 - y2 b2 v bodě a 2 , b 2 , ve směru jednotkového vektoru vnitřní normály ke křivce x2 a2 + y2 b2 = 1 v bodě a 2 , b 2 . 16) Vypočítejte úhel mezi gradienty funkce f(x, y, z) = x2 + y2 - z2 v bodech (, 0, 0), (0, , 0). 17) Najděte příklad funkce z = f(x, y), která je v bodě (0, 0) spojitá, má v něm derivaci, ale nemá diferenciál. Vypočítejte první diferenciál dané funkce v daném bodě 18) f(x, y) = arctg x + y 1 - xy , ( 3, 1), 19) f(x, y, z) = xyz , (e, 1, 0). 20) Najděte rovnici tečné roviny k elipsoidu x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 v bodě (x1, y1, z1). Zjistěte, zda následující výrazy jsou diferenciály nějaké kmenové funkce. Pokud ano, určete ji. 21) dx 1 + x2 + dy 1 + y2 , 22) ydx - xdy 2x2 + 2xy + y2 , 23) (3x2 - 3yz + 2)dx + (3y2 - 3xz + ln y + 1)dy + (3z2 - 3xy + 1)dz. Najděte první a druhé parciální derivace složených funkcí 24) u(x, y) = f y x , 25) u(x, y) = f xy, x y , 26) u(x, y, z) = f x y , y z . Ukažte, že funkce u splňuje danou rovnici (, jsou libovolné funkce). 221 27) yux - xuy = 0, u(x, y) = (x2 + y2 ), 28) xux + yuy + zuz = nu, u(x, y, z) = xn y x , z x , 29) uxx - 2uxy + uyy = 0, u(x, y) = x(x + y) + y(x + y). Postupným derivováním eliminujte z výrazů funkce , . 30) u(x, y) = x + (xy), 31) u(x, y, z) = (x - y, y - z), 32) u(x, y) = (x)(y). Diferenciální rovnice transformujte do nových proměnných , . 33) x2 uxx - y2 uyy = 0, = y x , = xy. 34) y2 uxx + x2 uyy - 2xyuxy = xux + yuy, = x2 + y2, = arctg y x . 35) (1 + x2 )uxx + (1 + y2 )uyy + xux + yuy = 0, = ln y + 1 + y2 , = ln x + 1 + x2 . Určete Taylorův polynom 2. stupně s daným středem následujících funkcí 36) f(x, y) = arctg 1 + x + y 1 - x + y , (0, 0), 37) f(x, y) = xy , (1, 1), 38) f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 3 - xyz, (1, 1, 1). Najděte stacionární body daných funkcí a určete jejich druh 39) f(x, y) = x2 - y2 + 2y - 1, 40) f(x, y) = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y + 1, 41) f(x, y) = x3 + y3 - 3xy, 42) f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 2 - 3xz - 2y + 2z, 43) f(x, y, z) = xy2 z3 (1 - x - 2y - 3z), 44) f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z - sin(x + y + z). Výsledky: 1) neexistuje 2) 0 3) 1 4) neexistuje 5) neexistuje 6) neexistuje 7) fx = y + 1 y , fy = x - x y2 , fxx = 0, fyy = 2x y3 , fxy = 1 - 1 y2 8) fx = 1 x+y2 , fy = 2y x+y2 , fxx = -1 (x+y2)2 , fyy = 2x-2y2 (x+y2)2 , fxy = -2y (x+y2)2 9) fx = 1 x2+1 , fy = 1 y2+1 , fxx = -2x (x2+1)2 , fyy = -2y (y2+1)2 , fxy = 0 10) fx = yxy-1 , fy = xy ln x, fxx = (y2 - y)xy-2 , fyy = xy (ln x)2 , fxy = xy-1 (1 + y ln x) 11) fx = -x (x2+y2+z2)3 , fy = -y (x2+y2+z2)3 , fz = -z (x2+y2+z2)3 , fxx = 2x2 -y2 -z2 (x2+y2+z2)5 , fyy = -x2 +2y2 -z2 (x2+y2+z2)5 , fzz = -x2 -y2 +2z2 (x2+y2+z2)5 , fxy = 3xy (x2+y2+z2)5 , fxz = 3xz (x2+y2+z2)5 , fyz = 3yz (x2+y2+z2)5 12) fx = z x x y z , fy = -z y x y z , fz = x y z ln x y , fxx = z2 -z x2 x y z , fyy = z2 +z y2 x y z , fzz = x y z ln x y 2 , fxy = - z2 xy x y z , fxz = 1+z ln x y x x y z , fyz = - 1+z ln x y y x y z 14) cos + sin , 4 , 5 4 , 3 4 nebo 7 4 15) 2(a2+b2) ab 16) 2 17) f(x, y) = 2x2 - y, x > 0, y [x2 , 2x2 ) 2y - x2 , x > 0, y x2 2 , x2 0, jinak 18) dx 4 + dy 2 19) dx 20) xx1 a2 + yy1 b2 + zz1 c2 = 1 21) arctg x+y 1-xy 22) - arctg x+y x 23) x3 + y3 + z3 - 3xyz + 2x + z + y ln y 24) ux = - y x2 f y x , uy = 1 x f y x , uxx = y x3 2f y x + y x f y x , uyy = 1 x2 f y x , uxy = - 1 x2 f y x + y x f y x 25) ux = yf|1 + 1 y f|2, uy = xf|1 - x y2 f|2, uxx = y2 f|11 + 2f|12 + 1 y2 f|22, uyy = x2 f|11 - 2x2 y2 f|12 + x2 y4 f|22 + 2x y3 f|2, uxy = xyf|11 - x y3 f|22 + f|1 - 1 y2 f|2 26) ux = 1 y f|1, uy = - x y2 f|1 + 1 z f|2, uz = - y z2 f|2, uxx = 1 y2 f|11, uyy = x2 y4 f|11 - 2x y2z f|12 + 1 z2 f|22 + x y3 f|1, uzz = y2 z4 f|22 + 2y z3 f|2, uxy = - x y3 f|11 + 1 yz f|12 - 1 y2 f|1, uxz = - 1 z2 f|12, uyz = x yz2 f|12 - y z3 f|22 - 1 z2 f|2 30) xux - yuy = x 31) ux + uy + uz = 0 32) uuxy = uxuy 33) u = 1 2 u 34) u = 0 35) u + u = 0 36) 4 + x - xy 37) 1 - y + xy 38) (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 - (x - 1)(y - 1) - (x - 1)(z - 1) - (y - 1)(z - 1) 39) (0, 1) sedlo 40) na přímce y = x+1 (neostré) lokální minimum 41) (1, 1) ostré lokální minimum, (0, 0) sedlo 42) (2, 1, 4) ostré lokální minimum, (1, 1, 1) sedlo 43) 1 7 , 1 7 , 1 7 ostré lokální maximum, 0, y, 1 3 (2y - 1) , (x, 0, y), (x, y, 0) nejsou ostré lokální extrémy 44) 2k+1 2 , 2k+1 2 , 2k+1 2 ostré lokální maximum, (k, k, k) ostré lokální minimum 222 12.7 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 223 224 Kapitola 13 Implicitní funkce a zobrazení 13.1 Implicitní funkce 13.1.1 Definice Nechť F je funkce dvou proměnných, (x0, y0) R2 je takový bod, že F(x0, y0) = 0 a > 0 je reálné číslo. Řekneme, že funkce y = f(x) je na (x0 - , x0 + ) zadána implicitně rovnicí F(x, y) = 0, jestliže pro x (x0 - , x0 + ) je F(x, f(x)) = 0. 13.1.2 Věta Nechť F je funkce dvou proměnných a jsou splněny předpoklady: * existuje (x0, y0) Dom F, že F(x0, y0) = 0, * existuje a R, a > 0, že F je spojitá na množině R = (x0 - a, x0 + a) × (y0 - a, y0 + a) Dom F, * F má spojitou parciální derivaci podle y v bodě (x0, y0) a platí F(x0, y0) y = 0. Pak existuje kladné číslo a jediná spojitá funkce y = f(x), která je na (x0 -, x0 +) zadána implicitně rovnicí F(x, y) = 0. D.: Na R2 uvažujme metriku a položme d = Fy(x0, y0). Podle předpokladu je d = 0. Poněvadž Fy je spojitá v bodě (x0, y0), k |d| 2 > 0 existuje > 0 takové, že pro (x, y) O(x0, y0) = (x0 - , x0 + ) × (y0 - , y0 + ) je |Fy(x, y) - d| < |d| 2 , neboli pro (x, y) O(x0, y0) je 1 Fy(x, y) d < 1 2 . (13.1) Buď Q = {g C[x0 - , x0 - ] : g(x0) = y0, |g(x) - y0| < pro x [x0 - , x0 - ]}. Pro g Q tedy platí g(x0) = y0, F(x0, g(x0)) = F(x0, y0) = 0, g i F jsou spojité a tedy k existuje 1 > 0 takové, že pro x [x0 - 1, x0 + 1] je g(x) F(x, g(x)) d - y0 < . (13.2) Položme = min{, 1} a P = QC[x0 -, x0 +]. Množina P tedy obsahuje funkce z Q, jejichž definiční obor je zúžen na [x0 - , x0 + ]. Definujme zobrazení T : P C[x0 - , x0 + ] předpisem: T(g)(x) = g(x) F(x, g(x)) d . Je-li funkce f pevným bodem zobrazení T (sr. 11.5.13), pak f(x) = f(x) F(x, g(x)) d pro x [x0 - , x0 + ], neboli F(x, f(x)) = 0 pro x [x0 -, x0 +], tj. f je spojitá funkce, která je na (x0 -, x0 +) implicitně zadána rovnicí F(x, y) = 0. 225 Existenci jediné funkce f této vlastnosti dokážeme pomocí Banachovy věty o kontrakci 11.5.14. Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence C (viz 11.1.2.4). Pak T(g)(x0) = g(x0) F(x0, g(x0)) d = y0 pro g Q. |T(g)(x) - y0| < podle (13.2) pro x [x0 - , x0 + ], tedy T(g) P. S využitím 2.5.4.1 dostaneme C(T(g), T(h)) = max x0-xx0+ |T(g)(x) - T(h)(x)| = = max x0-xx0+ g(x) F(x, g(x)) d - h(x) + F(x, h(x)) d = = max x0-xx0+ g(x) - h(x) Fy(x, )(g(x) - h(x)) d = = max x0-xx0+ |g(x) - h(x)| 1 Fy(x, ) d . Přitom leží mezi hodnotami g(x) a h(x), g, h P, tedy O(y0), takže podle (13.1) je C(T(g), T(h)) 1 2 max x0-xx0+ |g(x) - h(x)| = 1 2 C(g, h) , což znamená, že T je kontrakce na P. 13.1.3 Poznámka Jsou-li splněny předpoklady věty 13.1.2, existuje jediná spojitá funkce f daná implicitně rovnicí F(x, y) = 0. Kromě ní může existovat více nespojitých funkcí g, pro něž F(x, g(x)) = 0. Např.: F(x, y) = y(y - 1), (x0, y0) = (0, 0) f(x) 0, g1(x) = 0, x 0 1, x > 0 , g2(x) = (x), . . . 13.1.4 Věta Nechť jsou splněny předpoklady věty 13.1.2 a nechť navíc má F na R spojité parciální derivace. Pak funkce y = f(x), která je v okolí bodu (x0, y0) implicitně zadána rovnicí F(x, y) = 0 má v bodě x0 derivaci a platí f (x0) = Fx(x0, y0) Fy(x0, y0) . D.: F(x, f(x)) = 0 na okolí bodu x0. Derivováním tohoto vztahu podle x (sr. 12.4.1) dostaneme Fx(x, f(x)) + Fy(x, f(x))f (x) = 0. Dosazením x0 za x a snadnou úpravou dostaneme dokazovaný vztah. 13.1.5 Poznámka Nechť jsou splněny předpoklady věty 13.1.2 a nechť navíc má F na R spojité druhé parciální derivace. Pak funkce y = f(x), která je v okolí bodu (x0, y0) implicitně zadána rovnicí F(x, y) = 0 má v bodě x0 druhou derivaci. Lze ji vypočítat postupem analogickým postupu při důkazu věty 13.1.4. Analogicky lze postupovat při výpočtu derivací vyšších řádů. 13.1.6 Definice Nechť F je funkce tří proměnných, (x0, y0, z0) R3 je takový bod, že F(x0, y0, z0) = 0 a > 0 je reálné číslo. Řekneme, že funkce z = f(x, y) je na (x0 - , x0 + ) × (y0 - , y0 + ) zadána implicitně rovnicí F(x, y, z) = 0, jestliže pro x (x0 - , x0 + ), y (y0 - , y0 + ) je F(x, y, f(x, y)) = 0. 226 13.1.7 Věta Nechť F je funkce tří proměnných a jsou splněny předpoklady: * existuje (x0, y0, z0) Dom F, že F(x0, y0, z0) = 0, * existuje a R, a > 0, že F je spojitá na množině R = (x0 - a, x0 + a) × (y0 - a, y0 + a) × (z0 - a, z0 + a) Dom F, * F má spojitou parciální derivaci podle z v bodě (x0, y0, z0) a platí F(x0, y0, z0) z = 0. Pak existuje kladné číslo a jediná spojitá funkce z = f(x, y), která je na (x0 - , x0 + ) × (y0 - , y0 + ) zadána implicitně rovnicí F(x, y, z) = 0. D.: Modifikovaný důkaz věty 13.1.2 13.1.8 Věta Nechť jsou splněny předpoklady věty 13.1.7 a nechť navíc má F na R spojité parciální derivace. Pak funkce z = f(x, y), která je v okolí bodu (x0, y0, z0) implicitně zadána rovnicí F(x, y, z) = 0 má v bodě (x0, y0) parciální derivace a platí fx(x0, y0) = Fx(x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0) , fy(x0, y0) = Fy(x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0) . D.: Přímým výpočtem jako u 13.1.4 13.1.9 Poznámky 1. Má-li funkce F na R spojité druhé parciální derivace, pak má i funkce z = f(x, y) v bodě (x0, y0) druhé parciální derivace. Lze je vypočítat analogickým postupem. Analogicky lze postupovat při výpočtu derivací vyšších řádů. 2. Analogicky lze definovat implicitně zadanou funkci n proměnných, dokázat její jednoznačnou existenci a počítat její derivace. 13.2 Diferencovatelná zobrazení Zobrazení F : Rn Rm (x1, x2, . . . , xn) (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)) Zobrazení F je určeno m funkcemi n proměnných f1, f2, . . . , fm. Tyto funkce nazýváme složky nebo souřadnicové funkce zobrazení F, píšeme F = (f1, f2, . . . , fm). Dom F = Dom f1 × Dom f2 × × Dom fn. 13.2.1 Poznámka Zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm je spojité v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) Rn právě tehdy, když všechny funkce f1, f2, . . . , fm jsou spojité v tomto bodě. D.: : Buď > 0 libovolné. K němu existuje > 0 takové, že pro každé (x1, x2, . . . , xn) O(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = (x0 1 - , x0 1 + ) × (x0 2 - , x0 2 + ) × × (x0 n - , x0 n + ) platí F(x1, x2, . . . , xn) O(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)) = = (f1(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - , f1(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) + ) × ×(f2(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - , f2(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) + )×, . . . , × ×(fm(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - , fm(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) + ) . 227 Jinými slovy: k > 0 existuje > 0, že pro (x1, x2, . . . , xn) O(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) je fj(x1, x2, . . . , xn) (fj(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - , fj(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) + ) , tedy fj je spojitá funkce. To platí pro každé j {1, 2, . . . , m}. : K > 0 existuje j > 0, že pro (x1, x2, . . . , xn) Oj (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) je fj(x1, x2, . . . , xn) (fj(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) - , fj(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) + ) , j = 1, 2, . . . , m . Položíme = min{1, 2, . . . , m}. Pak pro (x1, x2, . . . , xn) O(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) je F(x1, x2, . . . , xn) O(F(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)) . 13.2.2 Definice Řekneme, že zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm je diferencovatelné v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), jestliže každá z funkcí f1, f2, . . . , fm je diferencovatelná v tomto bodě. Zobrazení dF(x0 ) : Rn Rm dané předpisem (h1, h2, . . . , hn) (df1(x0 )(h1, h2, . . . , hn), df2(x0 )(h1, h2, . . . , hn), . . . , dfm(x0 )(h1, h2, . . . , hn)) se nazývá diferenciál zobrazení F v bodě (x0 1, x0 2, . . . , x0 n). Zobrazení F se nazývá diferencovatelné, je-li diferencovatelné v každém bodě z Dom f. 13.2.3 Poznámky 1. Diferenciál zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) je lineární zobrazení určené maticí A = (aij) = fi xj (x0 ) = (fi|j(x0 )). D.: h1 h2 ... hn df1(x0 )(h1, h2, . . . , hn) df2(x0 )(h1, h2, . . . , hn) ... dfm(x0 )(h1, h2, . . . , hn) = n k=1 f1 xk (x0 )hk n k=1 f2 xk (x0 )hk ... n k=1 fm xk (x0 )hk = A h1 h2 ... hn 2. Je-li f : Rn R funkce n proměnných diferencovatelná v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), pak se podle 12.3.5.3 v okolí bodu x0 ,,její přírůstek chová jako lineární funkce df(x0 ) , f(x) = f(x0 ) df(x0 )(x - x0 ). Je-li tedy F(f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm zobrazení diferencovatelné v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), pak pro x z okolí bodu x0 platí F(x) - F(x0 ) = f1(x) - f1(x0 ) f2(x) - f2(x0 ) ... fm(x) - fm(x0 ) df1(x0 )(x - x0 ) df2(x0 )(x - x0 ) ... dfm(x0 )(x - x0 ) = n k=1 f1 xk (x0 )(xk - x0 k) n k=1 f2 xk (x0 )(xk - x0 k) ... n k=1 fm xk (x0 )(xk - x0 k) = = fi(x0 ) xj (x - x0 ) = dF(x0 )(x - x0 ) . 228 13.2.4 Definice Nechť zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm je diferencovatelné v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n). Matice F (x0 ) = (fi|j(x0 )) = f1 x1 (x0 ) f1 x2 (x0 ) . . . f1 xn (x0 ) f2 x1 (x0 ) f2 x2 (x0 ) . . . f2 xn (x0 ) ... ... ... ... fm x1 (x0 ) fm x2 (x0 ) . . . fm xn (x0 ) se nazývá Jacobiho matice zobrazení F v bodě x0 (derivace zobrazení F v bodě x0 ). Je-li n = m pak se determinant Jacobiho matice zobrazení F v bodě x0 nazývá Jacobián (Jacobiho determinant) zobrazení F v bodě x0 . Označuje se J(F(x0 )), D(f1, f2, . . . , fn) D(x1, x2, . . . , xn) (x0 ), (f1, f2, . . . , fn) (x1, x2, . . . , xn) (x0 ) . 13.2.5 Poznámka Je-li F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm diferencovatelné zobrazení, pak zobrazení x F (x) je zobrazením Dom F do množiny matic typu m × n. Značíme ho F . Je-li F = (f1, f2, . . . , fn) : Rn Rn diferencovatelné zobrazení, pak zobrazení x J(F(x)) je funkcí n proměnných. 13.2.6 Věta (o derivaci složeného zobrazení) Nechť F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm , G = (g1, g2, . . . , gp) : Rm Rp jsou diferencovatelná zobrazení. Pak složené zobrazení H = (h1, h2, . . . , hn) = G F : Rn Rp je také diferencovatelné a pro jeho Jacobiho matici platí H (x1, x2, . . . , xn) = G (F(x1, x2, . . . , xn)) F (x1, x2, . . . , xn) . Je-li n = m = p, pak při označení (y1, y2, . . . , ym) = F(x1, x2, . . . , xn) pro Jacobiány zobrazení F, G, H platí J(H(x1, x2, . . . , xn)) = J(G(y1, y2, . . . , ym))J(F(x1, x2, . . . , xn)) . D.: hi(x1, x2, . . . , xn) = gi(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)). Podle 12.4.1 je hi xj (x1, x2, . . . , xn) = = p k=1 gi|k(f1((x1, x2, . . . , xn), f2((x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))fk|j(x1, x2, . . . , xn) pro i = 1, 2, . . . , p, j = 1, 2, . . . , n. Druhé tvrzení plyne z věty o determinantu součinu matic. 13.2.7 Věta (o lokální inversi) Nechť zobrazení F : Rn Rn je diferencovatelné v bodě (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) a F(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = (y0 1, y0 2, . . . , y0 n). Je-li Jacobiho matice F (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) regulární (tj. det F (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = J(F(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)) = 0), pak existuje okolí O(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) bodu (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), v němž je zobrazení F prosté, tedy existuje inversní zobrazení F-1 : F(O(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)) Rn . Inversní zobrazení F-1 je diferencovatelné v bodě (y0 1, y0 2, . . . , y0 n) a pro jeho Jacobiho matici platí (F-1 ) (y0 1, y0 2, . . . , y0 n) = (F (x0 1, x0 2, . . . , x0 n))-1 . 229 Náznak důkazu: Pokud F(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) = 0 tak na O(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) platí F(x1, x2, . . . , xn) dF(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)(x1 - x0 1, x2 - x0 2, . . . , xn - x0 n) . Lineární zobrazení na pravé straně přibližné rovnosti je prosté právě tehdy, když jeho matice, tj. Jacobiho matice zobrazení F, je regulární. Jacobiho matice identického zobrazení F-1 F, F-1 F(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn) je jednotková matice E. Podle 13.2.6 platí E = (F-1 ) (F(x0 1, x0 2, . . . , x0 n)) F (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), z čehož bezprostředně plyne dokazovaný vztah. 13.2.8 Definice Řekneme, že zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm je třídy Ck , k N {} v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), jestliže každá z funkcí f1, f2, . . . , fm je třídy Ck v bodě x0 . Řekneme, že zobrazení F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm je třídy Ck , k N {}, jestliže je třídy Ck v každém bodě Dom F. Poznámka: Je-li zobrazení F třídy Ck , pak Dom F je otevřená množina. 13.2.9 Poznámka Řekneme, že matice A o n sloupcích a m řádcích je regulární (v zobecněném smyslu), jestliže její hodnost je rovna min{m, n}, tj. má-li maximální hodnost. Tedy je-li m = n, det A = 0 (jak je obvyklé v lineární algebře) n > m, řádky matice A jsou lineárně nezávislé n < m, sloupce matice A jsou lineárně nezávislé Je-li n < m a matice A je regulární, pak lineární zobrazení : Vn Vm, (v) = A v je prosté. Kdyby totiž existovaly vektory u, v Vn takové, že u = v a (u) = (v), pak by 0 0 ... 0 = (u) - (v) = (u - v) = A (u - v) . Jinými slovy, existovala by lineární kombinace sloupců matice A s koeficienty, které by nebyly všechny nulové, rovnající se nulovému vektoru, což by znamenalo, že sloupce matice A nejsou lineárně nezávislé a to by byl spor. 13.2.10 Definice Buď F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm zobrazení. Řekneme, že zobrazení F je regulární, jestliže je třídy C1 a pro každé x Dom F je matice F (x) regulární. Poznámka: Je-li zobrazení F : Rn Rm regulární a n < m, pak ke každému bodu x Dom F existuje okolí O(x) Dom F takové, že F je na O(x) prosté. Zdůvodnění plyne z 13.2.3.2 a z 13.2.9. 13.2.11 Věta (o implicitním zobrazení) Nechť F = (f1, f2, . . . , fm) : Rn+m Rm je zobrazení, které splňuje předpoklady * existuje bod (x0 , y0 ) = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n, y0 1, y0 2, . . . , y0 m) Dom F takový, že F(x0 , y0 ) = 0, * existuje okolí Oa(x0 , y0 ) bodu (x0 1, x0 2, . . . , x0 n, y0 1, y0 2, . . . , y0 m) takové, že F je spojité na Oa(x0 , y0 )Dom F, 230 ˇ všechny prvky matice Fy(x, y) = f1 y1 (x, y) f1 y2 (x, y) . . . f1 ym (x, y) f2 y1 (x, y) f2 y2 (x, y) . . . f2 ym (x, y) ... ... ... ... fm y1 (x, y) fm y2 (x, y) . . . fm ym (x, y) jsou spojité v bodě (x0 , y0 ) a platí det Fy(x0 , y0 ) = 0. Pak existuje okolí O(x0 ) bodu (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) v Rn a jediné spojité zobrazení G : O(x0 ) Rm takové, že pro každé x O(x0 ) je F(x, G(x)) = 0. Jsou-li navíc v bodě (x0 , y0 ) spojité všechny prvky matice Fx(x, y) = f1 x1 (x, y) f1 x2 (x, y) . . . f1 xn (x, y) f2 x1 (x, y) f2 x2 (x, y) . . . f2 xn (x, y) ... ... ... ... fm x1 (x, y) fm x2 (x, y) . . . fm xn (x, y) , pak je zobrazení G diferencovatelné v bodě x0 a pro jeho Jacobiho matici platí G (x0 ) = -(Fy(x0 , y0 ))-1 Fx(x0 , y0 ) . Náznak důkazu: První tvrzení v podstatě říká, že za uvedených předpokladů lze z rovnice F(x, y) = 0 vypočítat y = G(x). Je-li F diferencovatelné v bodě (x0 , y0 ), pak podle 13.2.3.2 je 0 = F(x, y) dF(x0 )(x - x0 , y - y0 ) = = n k=1 f1 xk (x0 , y0 )(xk - x0 k) + m j=1 f1 yj (x0 , y0 )(yj - y0 j ) n k=1 f2 xk (x0 , y0 )(xk - x0 k) + m j=1 f2 yj (x0 , y0 )(yj - y0 j ) ... n k=1 fm xk (x0 , y0 )(xk - x0 k) + m j=1 fm yj (x0 , y0 )(yj - y0 j ) = = Fx(x0 , y0 ) (x - x0 ) + Fy(x0 , y0 ) (y - y0 ) . Z předpokladu det Fy(x0 , y0 ) = 0 plyne existence (Fy(x0 , y0 ))-1 a z přibližné rovnosti 0 Fx(x0 , y0 ) (x - x0 ) + Fy(x0 , y0 )(y - y0 ) plyne přibližná rovnost y - y0 -(Fy(x0 , y0 ))-1 (Fx(x0 , y0 ) (x - x0 )) = (-(Fy(x0 , y0 ))-1 Fx(x0 , y0 )) (x - x0 ) , neboli y y0 + (-(Fy(x0 , y0 ))-1 Fx(x0 , y0 )) (x - x0 ) . 231 Takže y lze z rovnice F(x, y) přibližně vypočítat. Současně y = G(x) y0 + dG(x0 )(x - x0 ) = G (x0 ) (x - x0 ) , takže Jacobiho matice zobrazení G v bodě x0 je dána vzorcem z druhého tvrzení věty. Přesný důkaz lze provést precizací uvedené myšlenky pomocí příslušných limitních přechodů. Jiná metoda důkazu spočívá ve ,,vícerozměrné modifikaci důkazu věty 13.1.2. 13.3 Diferencovatelné variety 13.3.1 Definice Buďte m, n N, 1 m n. Řekneme, že množina M Rn je m-rozměrná nadplocha v n-rozměrném prostoru, jestliže ke každému y = (y1, y2, . . . , yn) M existuje jeho okolí O(y) v Rn , otevřená množina Uy Rm a prosté spojité zobrazení Fy : Uy Rn tak, že y Fy(Uy) = O(y) M. Je-li každé ze zobrazení Fy, y M navíc regulární, řekneme, že M je m-rozměrná (diferencovatelná) varieta v n-rozměrném prostoru. Je-li každé z regulárních zobrazení Fy, y M navíc třídy Ck , řekneme, že M je m-rozměrná varieta třídy Ck v n-rozměrném prostoru. * n-rozměrné nadplochy (variety) v n-rozměrném prostoru jsou otevřené množiny. * Jednorozměrné nadplochy se nazývají křivky, dvourozměrné nadplochy se nazývají plochy. * Jednorozměrné variety se nazývají hladké křivky, dvourozměrné variety se nazývají hladké plochy. Poznamenejme, že hladká jordanovská křivka definovaná v 3.2.6 a hladký oblouk {((t), (t) : t I}, kde I je otevřený interval jsou hladkými křivkami v právě uvedeném smyslu. Definice 3.2.6 je však poněkud obecnější, zahrnuje i oblouky s jedním nebo oběma krajními body. 13.3.2 Věta Buďte g1, g2, . . . , gk diferencovatelné funkce n proměnných, n > k. Položme M = {(x1, x2, . . . , xn) Dom g1 Dom g2 Dom gk : g1(x1, x2, . . . , xn) = g2(x1, x2, . . . , xn) = = gk(x1, x2, . . . , xn) = 0}. Jestliže v každém bodě x = (x1, x2, . . . , xn) M je hodnost matice g1 x1 (x) g1 x2 (x) . . . g1 xn (x) g2 x1 (x) g2 x2 (x) . . . g2 xn (x) ... ... ... ... gk x1 (x) gk x2 (x) . . . gk xn (x) rovna k, pak množina M je (n - k)-rozměrnou diferencovatelnou varietou. D.: Buď (^x1, ^x2, . . . , ^xn) M. Poněvadž matice g1 x1 (^x) g1 x2 (^x) . . . g1 xn (^x) g2 x1 (^x) g2 x2 (^x) . . . g2 xn (^x) ... ... ... ... gk x1 (^x) gk x2 (^x) . . . gk xn (^x) 232 je regulární, existují vesměs různé indexy j1, j2, . . . , jk {1, 2, . . . , n} takové, že matice g1 xj1 (^x) g1 xj2 (^x) . . . g1 xjk (^x) g2 xj1 (^x) g2 xj2 (^x) . . . g2 xjk (^x) ... ... ... ... gk xj1 (^x) gk xj2 (^x) . . . gk xjk (^x) je regulární. Označíme-li i1, i2, . . . , in-k vesměs různé indexy z {1, 2, . . . , n} \ {j1, j2, . . . , jk}, x = (xi1 , xi2 , . . . , xin-k ), y = (xj1 , xj2 , . . . , xjk ), pak jsou splněny předpoklady 13.2.11. Existuje tedy otevřená množina U(^x1,^x2,...,^xn) = O(^x) Rn-k a zobrazení (^x1,^x2,...,^xn) : O(^x) O(^y) Rk takové, že pro každé x O(x) je (x, (^x1,^x2,...,^xn)(x)) M. Položíme F(^x1,^x2,...,^xn)(x) = (x, (^x1,^x2,...,^xn)(x)). Stejnou konstrukci lze provést v každém bodě z M. Řekneme, že varieta M z věty 13.3.2 je zadána rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , k. 13.3.3 Heuristická úvaha Buď g diferencovatelná funkce dvou proměnných. Pak M = {(x, y) R2 : g(x, y) = 0} je jednorozměrná diferencovatelná varieta (hladká křivka). Buď (^x, ^y) M takový, že g y = 0. Pak podle 13.1.2 existuje funkce y = y(x) taková, že v okolí ^x její graf splývá s M. Tečna ke grafu funkce y(x) v bodě (^x, ^y) je dána rovnicí y - ^y = y (^x)(x - ^x) . Přitom y (^x) = gx(^x, ^y) gy(^x, ^y) , takže obecná rovnice tečny je gx(^x, ^y)x + gy(^x, ^y)y - gx(^x, ^y)^x - gy(^x, ^y)^y = 0 . Normálový vektor ke grafu funkce y(x) v bodě (^x, ^y) tedy je (gx(^x, ^y), gy(^x, ^y)) = grad g(^x, ^y) = g (^x, ^y). Tečný vektor ke křivce M v bodě (^x, ^y) je tedy kolmý k vektoru grad g(^x, ^y). 13.3.4 Pojmy z lineární algebry Nechť Vn je n-rozměrný unitární prostor (vektorový prostor se skalárním součinem) a v1, v2, . . . , vm Vn. Označme Lin(v1, v2, . . . , vm) podprostor prostoru Vn generovaný vektory v1, v2, . . . , vm (lineární obal množiny vektorů {v1, v2, . . . , vm}). Je-li W Vn vektorový podprostor, označme W jeho ortogonální doplněk (vektorový podprostor, jehož každý prvek je kolmý k libovolnému prvku z W), tzn. je=li u W a v W , pak u v = 0. 13.3.5 Definice Nechť funkce g1, g2, . . . , gk splňují předpoklady 13.3.2, M je diferencovatelná varieta zadaná rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , k a nechť (^x1, ^x2, . . . , ^xn) M. Vektorový prostor NM (^x1, ^x2, . . . , ^xn) = Lin(g1(^x1, ^x2, . . . , ^xn), g2(^x1, ^x2, . . . , ^xn), . . . , gk(^x1, ^x2, . . . , ^xn)) nazýváme normálový prostor k M v bodě (^x1, ^x2, . . . , ^xn). Vektorový prostor TM (^x1, ^x2, . . . , ^xn) = (NM (^x1, ^x2, . . . , ^xn)) nazýváme tečný prostor k M v bodě (^x1, ^x2, . . . , ^xn). 233 13.3.6 Věta Buď M diferencovatelná varieta zadaná rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , k a nechť ^x = (^x1, ^x2, . . . , ^xn) M je pevně zvolený bod, x = (x1, x2, . . . , xn) M je libovolný. Pak existuje vektor h TM (^x), R a zobrazení : R Rn takové, že x - ^x = h + () a lim 0 () = o (nulový vektor). D.: Libovolný vektor r Vn lze vyjádřit ve tvaru r = p + q, kde p TM (^x), q TM (^x) = NM (^x). Tedy také x - ^x = u + w, kde u = (u1, u2, . . . , un) TM (^x), w = (w1, w2, . . . , wn) NM (^x). Položme = ||x - ^x|| a pro = 0 položme h = (h1, h2, . . . , hn) = u , tedy u = h. Dále označme () = (1(), 2(), . . . , n()) = (w1, w2, . . . , wn). Je-li = 0, pak x = ^x, u = w = o a tedy (0) = o. Nechť vektory vj = (vj 1, vj 2, . . . , vj n), j = 1, 2, . . . , n - k tvoří bázi tečného prostoru TM (^x). Poněvadž ^x = x-u-w = x-h-() M a ()vj pro každé j = 1, 2, . . . , n-k, musí 1(), 2(), . . . , n() splňovat systém rovnic gi(x1 - h1 - 1(), x2 - h2 - 2(), . . . , xn - hn - n()) = 0, i = 1, 2, . . . , k vj 11() + vj 22() + + vj nn() = 0, j = 1, 2, . . . , n - k (13.3) Levou stranu tohoto systému lze považovat za zobrazení G : Rn+1 Rn , jímž zobrazujeme (n + 1)-tice čísel (, 1, 2, . . . , n). Budeme aplikovat větu o implicitním zobrazení 13.2.11 a používat označení v ní zavedené. G(, 1, . . . , n) = = - g1 x1 (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - n) . . . - g1 xn (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - ) - g2 x1 (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - n) . . . - g2 xn (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - ) ... ... ... - gk x1 (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - n) . . . - gk xn (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - ) v1 1 . . . v1 n v2 1 . . . v2 n ... ... ... vn-k 1 . . . vn-k n . Prvních k řádků této matice je lineárně nezávislých podle 13.3.2, posledních n - k řádků je také lineárně nezávislých, neboť vektory v1 , v2 , . . . , vn-k tvoří bázi vektorového podprostoru. Libovolný z posledních n - k řádků je lineárně nezávislý na libovolné lineární kombinaci prvních k řádků, neboť je to vektor ortogonální k libovolnému z nich. Podobně libovolný z prvních k řádků je lineárně nezávislý na libovolné lineární kombinaci posledních n - k řádků. Matice G je tedy regulární, jsou splněny předpoklady věty 13.2.11, takže 1, 2, . . . , n lze ze soustavy rovnic (13.3) vyjádřit jako funkce proměnné . Máme tedy definováno zobrazení : R Rn takové, že (0) = o. Dále platí G(, 1, . . . , n) = 234 = -h1 g1 x1 (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - n) - - hn g1 xn (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - ) -h1 g2 x1 (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - n) - - hn g2 xn (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - ) ... -h1 gk x1 (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - n) - - hn gk xn (x1 - h1 - 1, . . . , xn - hn - ) 0 0 ... 0 , takže G(0, 1, . . . , n) = -h g1(^x), -h g2(^x), . . . , -h gk(^x), 0, 0, . . . , 0 T = o , neboť vektory h a gi(^x) jsou kolmé pro jakékoliv i {1, 2, . . . , k}. Odtud podle 13.2.11 plyne, že 1(0) = 2(0) = = n(0) = 0 a dále podle 2.5.6 lim 0 j() = 0, j = 1, 2, . . . , n. 13.4 Vázané extrémy 13.4.1 Definice Buď f : Rn R, M Dom f. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě ^x = (^x1, ^x2, . . . , ^xn) M lokálního maxima (resp. minima) vzhledem k množině M, jestliže existuje okolí O(^x) bodu x takové, že pro každé x O(^x) M platí f(x) f(^x) (resp. f(x) f(^x)). Jsou-li nerovnosti pro x = ^x ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu) vzhledem k množině M. (Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré) lokální extrémy vzhledem k množině M. Nechť f, g1, g2, . . . , gm jsou funkce n proměnných třídy C1 , m < n. Úlohu: najít lokální extrémy funkce f vzhledem k diferencovatelné varietě zadané rovnicemi gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, n = 1, 2, . . . , m, tj. f(x1, x2, . . . , xn) extrém g1(x1, x2, . . . , xn) = 0 g2(x1, x2, . . . , xn) = 0 ... gm(x1, x2, . . . , xn) = 0 (13.4) nazýváme konečnědimenzionální hladkou extremální úlohou s omezeními typu rovnosti. Stručně úlohou na vázaný (podmíněný) extrém. 13.4.2 Definice Funkci L : Rn+m+1 R danou předpisem L(x1, x2, . . . , xn, 0, 1, . . . , m) = 0f(x1, x2, . . . , xn) + m k=1 kgk(x1, x2, . . . , xn) nazýváme Lagrangeovou funkcí úlohy (13.4), čísla 0, 1, . . . , m nazýváme Lagrangeovy multiplikátory. 235 13.4.3 Věta (Lagrange 1797) Je-li ^x = (^x1, ^x2, . . . , ^xn) řešením úlohy (13.4), pak existují Lagrangeovy multiplikátory 0, 1, . . . , m, z nichž alespoň jeden je nenulový tak, že x1 L(^x1, ^x2, . . . , ^xn, 0, 1, . . . , m) = = xn L(^x1, ^x2, . . . , ^xn, 0, 1, . . . , m) = 0 . (13.5) D.: Nechť ^x je bodem lokálního minima úlohy (13.4). xj L(^x1, ^x2, . . . , ^xn, 0, 1, . . . , m) = 0 xj f(^x1, ^x2, . . . , ^xn) + m k=1 k xj gk(^x1, ^x2, . . . , ^xn), j = 1, 2, . . . , n Podmínka (13.5) má tedy ve vektorovém zápisu tvar 0f (^x1, ^x2, . . . , ^xn) + m k=1 kgk(^x1, ^x2, . . . , ^xn) = o . Připusťme, že vektory f (^x1, ^x2, . . . , ^xn), g1(^x1, ^x2, . . . , ^xn), g2(^x1, ^x2, . . . , ^xn), . . . , gm(^x1, ^x2, . . . , ^xn) jsou lineárně nezávislé. Uvažujme zobrazení F : Rn Rm+1 dané předpisem F(x) = f(x) - f(^x) g1(x) g2(x) ... gm(x) . Podle našeho předpokladu je hodnost matice x1 f(^x) x2 f(^x) . . . xn f(^x) x1 g1(^x) x2 g1(^x) . . . xn g1(^x) x1 g2(^x) x2 g2(^x) . . . xn g2(^x) ... ... ... ... x1 gm(^x) x2 gm(^x) . . . xn gm(^x) rovna m + 1. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že proměnné jsou očíslovány tak, že det x1 f(^x) x2 f(^x) . . . xm+1 f(^x) x1 g1(^x) x2 g1(^x) . . . xm+1 g1(^x) x1 g2(^x) x2 g2(^x) . . . xm+1 g2(^x) ... ... ... ... x1 gm(^x) x2 gm(^x) . . . xm+1 gm(^x) = 0 . To znamená, že zobrazení G : Rm+1 Rm+1 dané předpisem G(x1, x2, . . . , xm+1) = f(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) - f(^x1, ^x2, . . . , ^xn) g1(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) g2(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) ... gm(x1, x2, . . . , xm, xm+1, ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) 236 splňuje předpoklady 13.2.7. Odtud plyne, že ke každému dostatečně malému > 0 existují x1(), x2(), . . . , xm+1() takové, že f(x1(), x2(), . . . , xm+1(), ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) - f(^x1, ^x2, . . . , ^xn) = g1(x1), x2(), . . . , xm+1(), ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) = 0 g2(x1), x2(), . . . , xm+1(), ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) = 0 ... gm(x1), x2(), . . . , xm+1(), ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) = 0 . Našli jsme tedy bod (x1(), x2(), . . . , xm+1(), ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) O(^x) M takový že f(x1(), x2(), . . . , xm+1(), ^xm+2, ^xm+3, . . . , ^xn) = f(^x1, ^x2, . . . , ^xn) - < f(^x), což znamená, že ^x není bodem lokálního minima úlohy (13.4) a to je spor. Vektory f (^x1, ^x2, . . . , ^xn), g1(^x1, ^x2, . . . , ^xn), g2(^x1, ^x2, . . . , ^xn), . . . , gm(^x1, ^x2, . . . , ^xn) jsou tedy lineárně závislé, z čehož plyne tvrzení věty. Pro lokální minimum se důkaz provede analogicky. 13.4.4 Poznámky 1. Věta 13.4.3 poskytuje návod na vyhledání bodu ,,podezřelého z toho , že v něm může mít úloha (13.4) lokální extrém: Řešíme soustavu n + m rovnic 0 xi f(^x1, ^x2, . . . , ^xn) + m k=1 k xi gk(^x1, ^x2, . . . , ^xn) = 0, i = 1, 2, . . . , n gj(^x1, ^x2, . . . , ^xn) = 0, j = 1, 2, . . . , m (13.6) pro n + m + 1 neznámých ^x1, ^x2, . . . , ^xn, 0, 1, . . . , m. Má-li tato soustava řešení takové, že l = 0 pro nějaké l {0, 1, . . . , m}, pak (^x1, ^x2, . . . , ^xn) je bod, v němž úloha (13.4) může mít lokální extrém. Soustava rovnic (13.6) je pro Lagrangeovy multiplikátory 0, 1, . . . , m lineární. To znamená, že multiplikátory jsou určeny jednoznačně až na nenulovou multiplikativní konstantu. Stačí tedy položit l = 1 a řešit n + m rovnic pro n + m neznámých. 2. 0 nemusí být nenulový. Uvažujme například úlohu najít lokální extrém funkce f(x, y) = x za podmínky g(x, y) = x2 + y2 = 0. Pak (^x, ^y) = (0, 0) je řešením této úlohy (neboť je to jediný bod vyhovující podmínce). Kdyby 0 = 1, pak by L(x, y, 1, ) = x + (x2 + y2 ) a systém rovnic (13.5) by měl tvar 1 + 2^x = 0, 2^y = 0. Z první rovnice dostaneme = 0, potom ^x = - 1 2 a ze druhé rovnice ^y = 0. Pak ale ^x2 + ^y2 = 1 42 = 0. 3. Jsou-li vektory g1(^x), g2(^x), . . . , gm(^x) lineárně nezávislé, pak 0 = 0 a tedy lze položit 0 = 1. (Toto tvrzení plyne z důkazu věty 13.4.3) 4. Geometrický význam podmínky (13.5) pro případ n = 2, m = 1 a rovnicí g(x, y) = 0 je určena hladká křivka: Podle předchozí poznámky je 0 = 0 a tedy f (^x, ^y) = - 1 0 g (^x, ^y), což znamená, že vektory f (^x, ^y) (směr nejrychlejšího růstu funkce f v bodě (^x, ^y)) a g (^x, ^y) (směr normály ke křivce dané rovnicí g(x, y) = 0 v bodě (^x, ^y)) jsou rovnoběžné. 13.4.5 Věta Nechť (^x1, ^x2, . . . , ^xn) M, ^x1, ^x2, . . . , ^xn, 0 = 1, 1, . . . , m splňují (13.5) a nechť funkce f, g1, g2, . . . , gm jsou třídy C2 v bodě (^x1, ^x2, . . . , ^xn). Označme L = xixj L(^x1, ^x2, . . . , ^xn, 1, 1, . . . , m) . (L je čtvercová 237 matice řádu n.) Jestliže pro každý vektor h Tm(^x) platí hT L h > 0 (resp. hT L h < 0), pak v bodě (^x1, ^x2, . . . , ^xn) nabývá funkce f lokálního minima (resp. maxima) vzhledem k množině M. Jestliže existují vektory h, k Tm(^x) takové, že hT L h < 0 < kT L k, pak v bodě (^x1, ^x2, . . . , ^xn) funkce f lokálního extrému vzhledem k množině M nenabývá. Náznak důkazu: Podle 13.3.6 lze vektor x - ^x pro libovolný bod x m vyjádřit ve tvaru x - ^x = h + (), kde h je jednotkový vektor z Tm(^x) a lim 0 () = 0. Pro každý bod x = (x1, x2, . . . , xn) M je f(x1, x2, . . . , xn) = L(x1, x2, . . . , xn, 1, 1, 2, . . . , m). Funkci L(x1, x2, . . . , xn, 1, 1, 2, . . . , m) budeme považovat za funkci n proměnných x1, x2, . . . , xn. Poněvadž platí (13.5), je dL(x, 1, 1, . . . , m) = 0 a tedy s využitím 12.4.3 pro x M platí: f(x) = L(x, 1, 1, . . . , m) = L(^x, 1, 1, . . . , m) + 1 2! d2 L(x + (x - ^x), 1, 1, . . . , m)(x - ^x) = = f(^x) + 1 2! d2 L(x + (x - ^x), 1, 1, . . . , m)(h + ()) = = f(^x) + 2 2! d2 L(x + (x - ^x), 1, 1, . . . , m)(h) + 1 2! d2 L(x + (x - ^x), 1, 1, . . . , m)(()) . Tedy f(x) - f(^x) = 2 2! d2 L(x + (x - ^x), 1, 1, . . . , m)(h) + 1 2! d2 L(x + (x - ^x), 1, 1, . . . , m)(()) . Druhý sčítanec na pravé straně je v absolutní hodnotě malý pro malé , znaménko prvního sčítance je pro x dostatečně blízké ^x stejné, jako znaménko výrazu hT L h. 13.4.6 Poznámka Z vět 13.4.3 a 13.4.5 plyne návod na řešení úlohy (13.4) v případě, že vektory g1(x), g2(x), . . . , gm(x) jsou lineárně nezávislé pro jakékoliv x Rn : (i) Vytvoříme Lagrangeovu funkci L(x1, x2, . . . , xn, 1, 1, . . . , m) = f(x1, x2, . . . , xn) + m k=1 kgk(x1, x2, . . . , xn) . (ii) Najdeme ^x1, ^x2, . . . , ^xn, 1, . . . , m jako řešení soustavy rovnic xj L(^x1, ^x2, . . . , ^xn, 1, 1, . . . , m) = 0, j = 1, 2, . . . , n gk(^x1, ^x2, . . . , ^xn) = 0, k = 1, 2, . . . , m (iii) Ze systému lineárních rovnic gk(^x) x1 h1 + gk(^x) x2 h2 + + gk(^x) xn hn = 0, k = 1, 2, . . . , m vypočteme m z proměnných h1, h2, . . . , hn v závislosti na n - m zbývajících. (iv) Vypočítáme druhý diferenciál Lagrangeovy funkce d2 L(^x1, ^x2, . . . , ^xn, 1, 1, 2, . . . , n)(h1, h2, . . . , hn) , přičemž (h1, h2, . . . , hn) je vektor vypočítaný v předchozím kroku a určíme jeho znaménko. Je-li kladné, nastává v bodě (^x1, ^x2, . . . , ^xn) lokální minimum úlohy (13.4), je-li záporné, pak maximum. 238 13.5 Cvičení 1) dokažte, že rovnice x4 - xy + y4 = 1 vyjadřuje v okolí bodu (0, 1) jistou funkci y = y(x). Zjistěte, zda je tato funkce v bodě 0 konvexní nebo konkávní. 2) Vyšetřete průběh funkce y = y(x) dané implicitně rovnicí x2 + y2 2 = x2 - y2 . Vypočítejte druhý diferenciál funkce z = z(x, y), dané implicitně, v obecném bodě 3) x z = ln z y + 1, 4) xyz = x + y + z. Najděte lokální extrémy funkce z = z(x, y) dané implicitně rovnicí 5) x2 + y2 + z2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z = 2, 6) x2 + y2 + z2 = a2 . 7) Napište rovnici tečny ke kružnici, která je průnikem roviny x + y + z = 0 se sférou x2 + y2 + z2 = 1, v bodě 6 6 , 6 6 , - 6 3 . 8) Najděte extrémní vzdálenosti počátku souřadnic od bodů křivky dané rovnicí 5x2 + 6xy + 5y2 = 8. Výsledky: 1) konkávní 2) Bernoulliho lemniskáta 3) -z2 (ydx-xdy)2 y2(x+z)3 4) 2 (1-xy)2 y(yz - 1)dx2 + 2zdxdy + x(xz - 1)dy2 5) zmin = z -3 - 6, -3 - 6 = -4 - 2 6, zmax = z -3 + 6, -3 + 6 = -4 + 2 6 6) zmin = z(0, 0) = -a, zmax = z(0, 0) = a. 7) x = 6 6 + t, y = 6 6 - t, z = - 6 3 8) Nejmenší vzdálenost 1 je od bodů 2 2 , 2 2 , - 2 2 , - 2 2 ; největší vzdálenost 2 je od bodů ( 2, - 2), (- 2, 2) 13.6 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 239 240 Kapitola 14 Doplněk 14.1 Vektorové funkce, skalární a vektorová pole 14.1.1 Poznámky o vektorech v R3 1. Označení: a, b, . . . -- vektory, o -- nulový vektor a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), . . . -- složky vektorů = |a| = a2 1 + a2 2 + a2 3, = |b|, . . . -- velikost vektorů a0 = 1 a, . . . -- jednotkový vektor stejné orientace, jako vektor a i, , k -- báze vektorového prostoru R3 (a = a1i + a2 + a3k) Pokud nebude hrozit nedorozumění, nebudeme rozlišovat mezi vektorem a jeho umístěním. Úhlem vektorů rozumíme orientovaný dutý úhel, která tyto vektory svírají. = ab -- úhel vektorů a, b v tomto pořadí. 2. Skalární součin vektorů a, b: a b = cos ab = cos ab = cos = ( cos ) = ( cos ): Skalární součin vektorů a, b je součin velikosti jednoho z vektorů a velikosti kolmého průmětu druhého z vektorů do směru prvního. Pro libovolné vektory a, b, c platí: (i) a b = 0 a = o nebo b = o nebo ab (ii) a a = 2 cos 0 = 2 , = a a, a0 a0 = 1 (iii) cos = a b = a0 b0 (iv) a b = b a, s(a b) = (sa) b = a (sb) pro libovolný skalár s (v) a (b + c) = a b + a c Je-li i, , k ortonormální báze, tj. i i = = k k = 1, i = i k = k = 0 (a tak tomu bude v tomto odstavci vždy), pak a b = (a1i + a2 + a3k) (b1i + b2 + b3k) = = a1b1i i + a1b2i + a1b3i k + a2b1 i + a2b2 + +a2b3 k + a3b1k i + a3b2k + a3b3k k = = a1b1 + a2b2 + a3b3 3. Pravotočivý systém tří vektorů: Systém vektorů a, b, c v tomto pořadí je pravotočivý, jestliže ab (0, ), bc (0, ). 241 4. Vektorový součin vektorů a, b: a×b = v, kde |v| = sin ab, av = bv = 0 a systém vektorů a, b, v je pravotočivý. (Je to vektor kolmý k rovině určené vektory a, b, jehož velikost je číselně rovna ploše rovnoběžníku určeného vektory a, b a orientovaný podle pravidla pravé ruky.) Pro libovolné vektory a, b, c platí: (i) |a × b| = sin = ( sin ) = , ( = ab). Je-li tedy b kolmý průmět vektoru b do roviny kolmé k vektoru a, je a × b = a × b (ii) a × b = -b × a (iii) s(a × b) = (sa) × b = a × (sb) pro libovolný skalár s (iv) a × (b + c) = a × b + a × c D.: geometricky. a kolmý k rovině papíru, b , c kolmé průměty vektorů b, c. Označme 1 = c b , 2 = b (a × c), 3 = (a × c)(a × b) (a × b + a × c) (b + c ) = (a × b) b + (a × c) b + (a × b) c + (a × c) c = = 0 + cos(-2) + cos(1 + 2 + 3) + 0 = = (cos 2 + cos( - 2)) = (cos 2 - cos 2) = 0 a tedy (a × b + a × c)(b + c ), což znamená a × (b + c )0 = (a × b + a × c)0 . Dále rovnoběžník určený vektory c a b je podobný rovnoběžníku určenému vektory a×c a a×b a poněvadž |a × b| = , |a × c| = , platí |a × b + a × c| = |b + c | = |a × (b + c )|. Tedy a × (b + c ) = a × b + a × c a vzhledem k (i) je tvrzení dokázáno. (v) a × b = 0 a = 0 nebo b = 0 nebo a b (tj. a = b pro nějaký skalár ) (vi) Je-li ortonormální báze i, , k navíc pravotočivá (tj. i × = k, × k = i, k × i = ) pak a × b = (a1i + a2 + a3k) × (b1i + b2 + b3k) = = a1b1 i × i + a2b1 × i + a3b1 k × i + a1b2 i × + a2b2 × + a3b2 k × + +a1b3 i × k + a2b3 × k + a3b3 k × k = = -a2b1 k + a3b1 + a1b2 k - a3b2 i - a1b3 + a2b3 i = = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1) + (a1b2 - a2b1)k = = a2 a3 b2 b3 i a1 a3 b1 b3 + a1 a2 b1 b2 k Vektorový součin lze tedy symbolicky zapsat a × b = i k a1 a2 a3 b1 b2 b3 5. Ještě jedna interpretace vektorového součinu: Nechť nějaké těleso rotuje kolem pevné osy s úhlovou rychlostí . Zavedeme vektor tak, aby byl rovnoběžný s osou rotace, měl velikost a byl orientován tak, že položíme-li na osu rotace pravou ruku s prsty ve směru rotace, bude směřovat na stranu palce. Na ose rotace zvolíme vztažný bod O a polohu libovolného bodu tělesa popíšeme směrovým vektorem r. Nechť r = b + a, kde b leží v ose rotace a a je na něj kolmý. Velikost rychlosti bodu určeného polohovým vektorem r je |v| = |a|. Vektor v je kolmý k vektoru i k vektoru a a systém vektorů , a, v je pravotočivý. Lze tedy psát v = ×a = ×(r-b) = ×r-×b = ×r, neboť b . 6. Smíšený součin vektorů a, b, c: [abc] = a (b × c). 242 Označme = bc, = a(b × c). Pak |b × c| = sin , a (b × c) = sin cos = ( cos )( sin ), tedy |[abc]| je objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b, c. Úhel může být větší než pravý. V tom případě by vektor a směřoval na opačnou stranu, než na obrázku, systém vektorů a, b, c by nebyl pravotočivý. Platí: (i) Jestliže [abc] = a (b × c) > 0 pak je systém vektorů a, b, c pravotočivý. (ii) a (b × c) = (a × b) c. D.: Podle 4.(vi) je a (b × c) = a1 b2 b3 c2 c3 - a2 b1 b3 c1 c3 + a3 b1 b2 c1 c2 = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 (a × b) c = a2 a3 b2 b3 c1 a1 a3 b1 b3 c2 + a1 a2 b1 b2 c3 = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 14.1.2 Definice Zobrazení f : R R3 , f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) = f1(t)i + f2(t) + f3(t)k nazýváme vektorovou funkcí. Reálnou funkci jedné reálné proměnné budeme někdy nazývat skalární funkce. Poznámky: f je spojitá v t0 právě tehdy, když f1, f2, f3 jsou spojité v t0 lim tt0 f(t) = a právě tehdy, když lim tt0 f1(t) = a1, lim tt0 f2(t) = a2, lim tt0 f3(t) = a3. Derivace: df dt (t0) = f (t0) = lim tt0 f(t) - f(t0) t - t0 = f1(t0)i + f2(t0) + f3(t0)k. Má-li vektorová funkce f derivaci v bodě t0 je v t0 spojitá. 14.1.3 Věta Buďte f, g vektorové funkce mající derivaci, skalární funkce mající derivaci. Pak 1. d(f g) dt = df dt dg dt 2. d(f) dt = d dt f + df dt 3. d(f g) dt = df dt g + f dg dt 4. d(f × g) dt = df dt × g + f × dg dt D.: 1. a 2. jsou přímé důsledky 2.3.5. 3. d dt (f g) = d dt (f1g1 + f2g2 + f3g3) = f1g1 + f1g1 + f2g2 + f2g2 + f3g3 + f3g3 = df dt g + f dg dt 4. d dt (f × g) = d dt (f2g3 - f3g2)i - (f1g3 - f3g1) + (f1g2 - f2g1)k = = (f2g3 + f2g3 - f3g2 - f3g2)i - (f1g3 + f1g3 - f3g1 - f3g1) + (f1g2 + f1g2 - f2g1 - f2g1)k = = (f2g3 - f3g2)i - (f1g3 - f3g1) + (f1g2 - f2g1)k + (f2g3 - f3g2)i - (f1g3 - f3g1) + (f1g2 - f2g1)k = = f × g + f × g 243 14.1.4 Věta Buď f nekonstantní jednotková funkce, tj. f(t) f(t) = 1 pro každé t Dom f, která má v každém t Dom f derivaci. Pak vektory f(t) a f (t) jsou kolmé pro každé t Dom f. D.: f f = 1 / d dt df dt f + f df dt = 0 2 df dt f = 0 z čehož plyne tvrzení. Podle 14.1.3.2 je df dt = d(f0) dt = d dt f0 + df0 dt a podle 14.1.4 je f0 df0 dt . Dostali jsme tedy rozklad derivace vektorové funkce na složku rovnoběžnou s touto funkcí a na složku na ni kolmou. 14.1.5 Poznámka Graf spojité vektorové funkce r je křivka v prostoru R3 . Má-li funkce r v bodě t0 derivaci různou od o, pak přímka o parametrické rovnici p(t) = r(t0) + (t - t0)r (t0) je tečnou ke křivce r = r(t) v bodě r(t0): lim tt0 r(t) - p(t) t - t0 = lim tt0 r(t) - r(t0) - (t - t0)r (t0) t - t0 = r (t0) - r (t0) = 0 . 14.1.6 Definice Funkci f : R3 R nazýváme skalární pole, zobrazení g : R3 R3 nazýváme vektorové pole. r = (x, y, z) -- polohový vektor bodu (x, y, z) f(x, y, z) = f(r), g(x, y, z) = g(r) Složky vektorového pole jsou skalární pole. 14.1.7 Diferenciální operátory Hamiltonův operátor (symbolický vektor) = x i + y + z k. (čte se ,,nabla ) Je-li f skalární pole, definujeme jeho gradient: grad f = f = f x i + f y + f z k. Gradient skalárního pole je vektorovým polem. Je-li f vektorové pole, definujeme jeho divergenci: div g = g = ( x i + y + z k) (g1i + g2 + g3k) = g1 x + g2 y + g3 z rotaci: rot g = × g = i k x y z g1 g2 g3 = g3 y - g2 z i - g3 x - g1 z + g2 x - g1 y k 244 gradient: grad g = g = g1 x g1 y g1 z g2 x g2 y g2 z g3 x g3 y g3 z Divergence vektorového pole je skalární pole, rotace vektorového pole je vektorové pole. Laplaceův operátor = = 2 x2 + 2 y2 + 2 z2 přiřadí skalárnímu poli skalární pole, vektorovému poli vektorové pole. 14.1.8 Věta Nechť , jsou skalární a u, v vektorová pole. Pak platí 1. grad() = grad + grad . D.: grad() = x ()i + y () + z ()k = x i + x i + y + y + z k + z k 2. div(v) = grad v + div v D.: div(v) = v1 x + v2 y + v3 y = x v1 + v1 x + y v2 + v2 y + z v3 + v3 z 3. div(u × v) = v rot u - u rot v D.: div(u × v) = x (u2v3 - u3v2) - y (u1v3 - u3v1) + z (u1v2 - u2v1) = = u2 x v3 + v3 x u2 - u3 x v2 - v2 x u3 - u1 y v3 - v3 y u1 + u3 y v1 + v1 y u3+ + u1 z v2 + v2 z u1 - u2 z v1 - v1 z u2 = = v1 u3 y - u2 z + v2 u1 z - u3 x + v3 u2 x - u1 y + +u1 v2 z - v3 y + u2 v3 x - v1 z + u3 v1 y - v2 x 4. grad(u v) = v grad u + u grad v. Přitom na pravé straně rovnosti značí maticové násobení, vektory považujeme za řádkové. D.: grad(u v) = grad(u1v1 + u2v2 + u3v3) = grad 3 i=1 uivi = = 3 i=1 ui x vi + ui vi x , 3 i=1 ui y vi + ui vi y , 3 i=1 ui z vi + ui vi z = = 3 i=1 vi ui x , 3 i=1 vi ui y , 3 i=1 vi ui z + 3 i=1 ui vi x , 3 i=1 ui vi y , 3 i=1 ui vi z = = (v1, v2, v3) u1 x u1 y u1 z u2 x u2 y u2 z u3 x u3 y u3 z + (u1, u2, u3) v1 x v1 y v1 z v2 x v2 y v2 z v3 x v3 y v3 z 245 14.1.9 Definice Vektorová čára vektorového pole g = g(r) je křivka v R3 taková, že vektor g(r) je tečným vektorem k této křivce v bodě určeném polohovým vektorem r. Je-li vektorové pole modelem proudění kapaliny, vektorové čáry se nazývají proudnice. Je-li vektorové pole modelem silového pole (gravitačního, elektromagnetického, ...), vektorové čáry se nazývají siločáry. Má-li vektorová čára pole g parametrické rovnice r = r(t) = x(t)i + y(t) + z(t)k, pak podle 14.1.5 je dx dt = g1, dy dt = g2, dz dt = g3, neboli dx g1 = dy g2 = dz g3 . Tato rovnice se nazývá diferenciální rovnice vektorové čáry. Naopak, jestliže diferenciály složek vektoru r = r(t) splňují předchozí rovnici, pak g2dx - g1dy = 0, g3dy - g2dz = 0, g3dx - g1dz = 0 . Odtud o = (g3dy - g2dz)i - (g3dx - g1dz) + (g2dx - g1dy)k = i k dx dy dz g1 g2 g3 = dr × g , tedy vektory dr a g jsou rovnoběžné. 14.1.10 Definice Buď g = g(r) vektorové pole. Existuje-li skalární pole f = f(r) takové, že g = - grad f, pak se g nazývá potenciálové pole a f se nazývá potenciál vektorového pole g. 14.1.11 Věta Vektorové pole g = g(r) je potenciálové s potenciálem třídy C2 právě tehdy, když rot g = o v každém bodě Dom g. D.: Nechť g je potenciálové pole a f je jeho potenciál. Pak g1 = - f x , g2 = - f y , g3 = - f z a tedy g1 y = g2 x , g1 z = g3 x , g2 z = g3 y . Odtud rot g = g3 y - g2 z i - g3 x - g1 z + g2 x - g1 y k = o. Opačná implikace plyne z 12.3.9. 14.1.12 Poznámka (ospravedlnění pojmu rotace) Nechť tuhé těleso rotuje kolem pevné osy procházející počátkem soustavy souřadnic úhlovou rychlostí . (sr. 14.1.1.5) Rychlost každého bodu tělesa o polohovém vektoru r = xi + y + zk je v = × r, neboli v1 = 2z - 3y, v2 = 3x - 1z, v3 = 1y - 2x . Úhlová rychlost nezávisí na r a tedy v2 z = -1, v3 y = 1, 1 = 1 2 v3 y - v2 z v1 z = 2, v3 x = -2, 2 = 1 2 v1 z - v3 x v1 y = -3, v2 x = 3, 3 = 1 2 v2 x - v1 y 246 Odtud plyne, že = 1 2 v3 y - v2 z i - v3 x - v1 z + v2 x - v1 y k = 1 2 rot v . Úhlová rychlost rotace (ve významu ,,otáčení ) tuhého tělesa je rovna polovině rotace (ve významu ,,diferenciální operátor ) rychlosti jeho bodů. Představíme-li si vektorové pole jako proudící kapalinu a je-li alespoň v jednom bodě rotace tohoto pole nenulová, lze si okolí tohoto bodu představit jako tuhé těleso, které rotuje. Neboli že v kapalině je vír. Proto pole g, které má (alespoň v jisté oblasti) nenulovou rotaci, se nazývá vírové. Potenciálové pole se někdy nazývá nevírové. 14.1.13 Příklady 1. Buďte , skalární pole. Vypočítejte div ( grad ). Řešení: + . 2. Buď v vektorové pole. Vypočítejte grad div v. Řešení: rot rot v + v. 247 248 Část V Integrální počet funkcí n proměnných 249 Kapitola 15 Jordanova míra Pojem míry podmnožiny prostoru Rk sjednocuje a zobecňuje pojem obsahu rovinných obrazců a objemu prostorových těles. Např. obsah rovinného obrazce je mírou v R2 . Pro A Rn označme m(A) míru množiny A; lze ji chápat jako zobrazení z množiny podmnožin Rk do množiny nezáporných reálných čísel. Míra by měla splňovat následující přirozené podmínky: (i) Jsou-li množiny A, B shodné, pak m(A) = m(B). (ii) Je-li A B, pak m(A) m(B). (iii) Je-li A B = , pak m(A b) = m(A) + m(B). Obecnou míru v prostoru Rn jako první zkonstruoval Camille Jordan (1838­1922). Pro názornost podrobně ukážeme konstrukci Jordanovy míry v R2 . 15.1 Jordanova míra v R2 15.1.1 Definice Nechť n, j, k Z, n 0. Čtverec řádu n definujeme jako množinu Wn j,k = (x, y) R2 : j 2n x j + 1 2n , k 2n y k + 1 2n . Množinu všech čtverců řádu n nazveme síť řádu n a síť řádu 0 nazveme základní síť. Konečné sjednocení čtverců řádu n nazveme elementární množina řádu n. Reálné číslo m Wn j,k = m (Wn ) = 1 2n 2 = 1 4n nazveme mírou čtverce řádu n. Dále klademe m() = 0. Je-li M = (j,k)I Wn j,k elementární množina řádu n, pak klademe m(M) = m (j,k)I Wn j,k = (j,k)I m Wn j,k , tj. míra elementární množiny řádu n je součtem měr všech čtverců, které ji tvoří. Poznámky: Pokud nebude záležet na umístění čtverce, tedy na dolních indexech j, k, budeme je často vynechávat. Poněvadž každý čtverec řádu n je sjednocením čtyř čtverců řádu n + 1, platí m(Wn ) = 4m(Wn+1 ). Snadno ověříme, že míra elementárních množin splňuje podmínky (i)­(iii) z úvodu kapitoly. 251 15.1.2 Definice Buď A R2 ohraničená množina. Jádro řádu n množiny A značené Kn(A) definujeme jako největší (vzhledem k množinové inkluzi) elementární množinu řádu n, která je obsažena ve vnitřku množiny A, tj. Kn(A) = {Wn : Wn A } . Obal řádu n množiny A značený Cn(A) definujeme jako nejmenší (vzhledem k množinové inkluzi) elementární množinu řádu n, jejíž vnitřek obsahuje uzávěr množiny A, tj. Cn(A) = Wn : A Wn = . Neexistuje-li čtverec řádu n, který by byl částí A , klademe Kn(A) = . Je-li A = , klademe Cn(A) = . Poznámky: Z definice bezprostředně plynou inkluze Kn(A) A A A Cn(A). Dále zřejmě platí: Ke každé ohraničené množině A R2 lze sestrojit posloupnosti měr {m (Kn(A))} n=0 a {m (Cn(A))} n=0 . 15.1.3 Věta Buď A R2 ohraničená množina. Pak platí m (Cn(A)) = m (Cn(A)) - m (Kn(A)). D.: Čtverce, které tvoří elementární množinu Cn(A) můžeme rozdělit do dvou disjunktních skupin: ty, které obsahují hraniční body množiny A a ty, které je neobsahují. Čtverce z první skupiny tvoří elementární množinu Cn(A) a čtverce z druhé skupiny tvoří elementární množinu Kn(A). Z vlastnosti (iii) míry elementárních množin nyní plyne m (Kn(A)) + m (Cn(A)) = m (Cn(A)), a tedy i dokazovaná rovnost. 15.1.4 Věta Buď A R2 ohraničená množina. Pak pro každé n N {0} platí m (Kn(A)) m (Kn+1(A)) , m (Cn(A)) m (Cn+1(A)) . D.: Nerovnosti plynou ze zřejmých inkluzí Kn(A) Kn+1(A), Cn(A) Cn+1(A). 15.1.5 Důsledek Posloupnosti měr {m (Kn(A))} n=0 a {m (Cn(A))} n=0 mají (vlastní) limitu. D.: Plyne z věty o monotonních posloupnostech 1.3.9, neboť {m (Kn(A))} n=0 je neklesající a shora ohraničená hodnotou m (K0(A)); {m (Cn(A))} n=0 je nerostoucí a zdola ohraničená hodnotou 0. Toto tvrzení nás opravňuje k následující definici: 15.1.6 Definice Buď A R2 ohraničená množina. Číslo m(A) = lim n m (Kn(A)) se nazývá vnitřní Jordanova míra množiny A a číslo m (A) = lim n m (Cn(A)) se nazývá vnější Jordanova míra množiny A. Jestliže m(A) = m (A), pak řekneme, že množina A je Jordanovsky měřitelná a číslo m(A) = m(A) = m (A) se nazývá Jordanova míra množiny A. Poznamenejme, že vždy platí 0 m(A) m (A). 252 15.1.7 Příklad Položme A = (x, y) Q2 : 0 x 1, 0 y 1 . Pak A = a tedy také Kn(A) = pro libovolné n N. To znamená, že m(A) = 0. Dále A = [0, 1] × [0, 1] = W0 0,0 a tedy m (C0(A)) = 1 + 8 1 = 1 + 2 4 20 , m (C1(A)) = 1 + 12 1 4 = 1 + 3 4 22 , m (C2(A)) = 1 + 20 1 16 = 1 + 5 4 24 , ... m (Cn(A)) = 1 + (4 2n + 4) 1 2n 2 = 1 + (2n + 1)4 22n = 1 + 4 1 2n + 1 22n . Tedy m (A) = lim n 1 + 4 1 2n + 1 22n = 1. Poněvadž m(A) = 0 < 1 = m (A), není množina A měřitelná. 15.1.8 Věta Je-li m (A) = 0, pak množina A je měřitelná a platí m(A) = 0. D.: Plyne bezprostředně z poznámky za definicí 15.1.6. 15.1.9 Věta Buďte A, B R2 ohraničené množiny. Pak platí 1. Je-li A B pak m(A) m(B) a m (A) m (B). 2. m (A B) m (A) + m (B). 3. Je-li A B = pak m(A) + m(B) m(A B). D.: První tvrzení plyne z 11.2.2.4, druhé z 11.2.2.5 a třetí z faktu, že Kn(A) Kn(B) Kn(A B). 15.1.10 Věta Buďte A, B R2 měřitelné množiny. Pak platí 1. Je-li A B pak m(A) m(B). 2. Je-li A B = pak množina A B je měřitelná a platí m(A B) = m(A) + m(B). D.: První tvrzení plyne z 15.1.9.1. Je-li A B = pak s využitím 15.1.9.3 a 15.1.9.2 dostaneme m(A) + m(B) m(A B) m (A B) m (A) + m (B), tedy m(A) + m(B) = m(A B) = m(A B) = m(A) + m(B). Jordanova míra tedy má vlastnosti (ii) a (iii) z úvodu kapitoly. 253 15.1.11 Věta Konečná množina A R2 je měřitelná a platí m(A) = 0. D.: Nechť A = {a} je jednoprvková množina. Bod a je prvkem nejvýše čtyř čtverců řádu n, tedy m (A) = lim n 4 1 4n = 0. Podle 15.1.8 je A měřitelná a m(A) = 0. Důkaz nyní dokončíme indukcí. Poznámka: Opačné tvrzení samozřejmě neplatí; z m(A) = 0 neplyne, že by množina A byla konečná. Př.: A = {(x, 0) : 0 x 1}, m (A) = lim n (2 2n + 4) 1 4n = lim n 1 2n-1 + 1 4n-1 = 0 a tedy m(A) = 0. 15.1.12 Věta Ohraničená množina A R2 je měřitelná právě tehdy, když m(A) = 0. D.: Podle 15.1.3 platí m (A) = m (A) - m(A). Odtud plyne tvrzení. 15.1.13 Věta Jsou-li množiny A, B měřitelné, pak také množiny A B, A B, A \ B jsou měřitelné. D.: Podle 15.1.12 je m(A) = m(B) = 0. Poněvadž (A B) A B, s využitím 15.1.9.1 a 15.1.9.2 dostaneme 0 m ((A B)) m (A B) m (A) + m (B) = 0. Podobně, poněvadž (A B) A B, dostaneme m ((A B)) = 0. Dále (A \ B) = A R2 \ B A R2 \ B = A B, takže opět m ((A \ B)) = 0. 15.1.14 Věta Jsou-li A, B měřitelné množiny, pro něž m(A B) = 0, pak m(A B) = m(A) + m(B). D.: Poněvadž A B = A (B \ A) a A (B \ A) = , z 15.1.10 plyne m(A B) = m(A) + m(B \ A). Dále B = (B \ A) (A B) a (B \ A) (A B) = , takže m(B) = m(B \ A) + m(A B). Odečtením těchto rovnic dostaneme m(A B) = m(A) + m(B) - m(A B), z čehož plyne tvrzení. Z této věty také plyne vlastnost (iii) z úvodu kapitoly. 15.1.15 Věta (míra obdélníku) Buďte a1, b1, a2, b2 reálná čísla taková, že a1 b1, a2 b2. Obdélník Q = (x, y) R2 : a1 x b1, a2 y b2 je měřitelnou množinou a m(Q) = (b1 - a1)(b2 - a2). D.: Připomeňme, že [x] označuje celou část čísla x. Platí m (Kn(Q)) b1 - a1 1 2n - 1 b2 - a2 1 2n - 1 1 4n (2n (b1 - a1) - 2) (2n (b2 - a2) - 2) 1 4n = = (b1 - a1) - 1 2n-1 (b2 - a2) - 1 2n-1 = (b1 - a1)(b2 - a2) - 1 2n-1 (b1 + b2 - a1 - a2) + 1 4n-1 , 254 m (Cn(Q)) b1 - a1 1 2n + 2 b2 - a2 1 2n + 2 1 4n (b1 - a1)(b2 - a2) + 1 2n-1 (b1 + b2 - a1 - a2) + 1 4n-1 . Tedy m(Q) (b1 - a1)(b2 - a2) m (Q), avšak m(Q) m (Q), z čehož plyne m(Q) = m (Q) = (b1 - a1)(b2 - a2). 15.1.16 Lemma Buď A R2 ohraničená množina, F : A R2 lipschitzovské zobrazení (tj. existuje nezáporná konstanta L taková, že pro každé dva body (x1, y1), (x2, y2) R2 platí (F(x1, y1), F(x2, y2)) L ((x1, y1), (x2, y2)) kde je euklidovská metrika nebo metrika s euklidovskou ekvivalentní). Pak m (F(A)) 4L2 m (A). D.: Buď ln počet čtverců řádu n tvořících obal množiny A. Míra čtverce řádu n je 1 4n . Tedy m (Cn(A)) = ln 1 4n ; odtud ln = 4n m (Cn(A)). Euklidovská vzdálenost každých dvou bodů (x1, y1), (x2, y2) ležících ve čtverci řádu n je nejvýše rovna úhlopříčce tohoto čtverce, tj. ((x1, y1), (x2, y2)) 2 2n . Pro vzdálenost jejich obrazů platí (F(x1, y1), F(x2, y2)) L ((x1, y1), (x2, y2)) L 2 2n < L 2n-1 . Část množiny A, která leží ve čtverci řádu n se zobrazí do kruhu o průměru L 2n-1 , tedy do čtverce Kn se stranami délky L 2n-1 a rovnoběžnými se souřadnými osami. Podle 15.1.15 je míra tohoto čtverce rovna m(Kn) = L2 22n-2 = L2 4n-1 . Množina K = F (Cn(A)) je sjednocením všech čtverců Kn. Podle 15.1.9.2 je m (K) lnm(Kn) = 4n m (Cn(A)) L2 4n-1 = 4L2 m (Cn(A)) . Dále, poněvadž F(A) F (Cn(A)) = K, podle 15.1.9.1 je m (F(A)) 4L2 m (Cn(A)). Odtud limitním přechodem n dostaneme tvrzení věty. 15.1.17 Důsledky 1. Má-li množina A R2 míru 0 a zobrazení F : A R2 je lipschitzovské, pak m (F(A)) = 0. 2. Buď f funkce definovaná na uzavřeném intervalu [a, b], která je lipschitzovská s konstantou l. Pak graf této funkce má míru 0, tj. m {(x, y) R2 : a x b, y = f(x)} = 0. D.: Označme A = (x, 0) R2 : a x b a definujme zobrazení F : A R2 předpisem F(x, 0) = (x, f(x)). Pak pro libovolná x1, x2 [a, b] platí (F(x1, 0), F(x2, 0)) = ((x1, f(x1)), (x2, f(x2))) = (x2 - x1)2 + (f(x2) - f(x1))2 (x2 - x1)2 + l2(x2 - x1)2 = 1 + l2 (x2 - x1)2 + 02 = 1 + l2 ((x1, 0), (x2, 0)) . Zobrazení F je tedy lipschitzovské s konstantou 1 + l2 . Podle 15.1.16 pro míru grafu funkce f platí m (F(A)) 4(1 + l2 )m (A). Dále platí m (A) m (Cn(A)) 2 [2n (b - a) + 2] 1 4n < b - a 2n-1 . Poněvadž poslední výraz má pro pro n limitu 0, je m (A) = 0. Tím je důkaz úplný. 255 Obrazec v rovině je nějaká podmnožina R2 , jejíž hranice je rovinná křivku. Tuto křivku lze obvykle rozdělit na konečně mnoho částí, z nichž každou lze vyjádřit jako graf nějaké funkce jedné proměnné x nebo y. Je-li každá z takových funkcí lipschitzovská, je míra hranice obrazce podle posledního tvrzení nulová a to podle 15.1.12 znamená, že takový obrazec je měřitelnou množinou. 15.2 Závislost míry na transformaci souřadnic 15.2.1 Věta Buď A R2 měřitelná množina, F : R2 R2 isometrické zobrazení. Pak je množina F(A) měřitelná a platí m (F(A)) = m(A). D.: Poněvadž F je isometrické, tj. (F(x1, y1), F(x2, y2)) = ((x1, y1), (x2, y2)), je toto zobrazení také lipschitzovské s konstantou 1 a zejména je tedy spojité. Ze spojitosti zobrazení F plyne F(A) = F(A) a z měřitelnosti množiny A plyne m(A) = 0. Podle 15.1.17.1 je tedy také m (F(A)) = 0, což podle 15.1.12 znamená, že množina F(A) je měřitelná. Analogicky ukážeme, že pro čtverec Wn řádu n je množina F(Wn ) měřitelná. (Pozn.: Množina F(Wn ) je zase čtverec o straně délky 2-n , ale jeho strany obecně nejsou rovnoběžné s osami, takže jeho míru nelze vypočítat podle 15.1.15.) Je-li m(A) = 0, je m (F(A)) = 0 podle 15.1.17. Nechť m(A) > 0. Položme F = m (F(Wn )) m (Wn) . Číslo F nezávisí na n, neboť podle 15.1.14 je m (F(Wn )) m (Wn) = 4m F(Wn+1 ) 4m (Wn+1) . Počet množin F(Wn ) tvořících množinu F (Kn(A)) je stejný jako počet čtverců Wn tvořících množinu Kn(A), neboť zobrazení F je podle 11.1.11 prosté. Tedy m (F (Kn(A))) m (Kn(A)) = F . Podobnou úvahou dostaneme m (F (Cn(A))) m (Cn(A)) = F . Odtud m (F (Kn(A))) = F m (Kn(A)) F m(A) = F m (A) F m (Cn(A)) = m (F (Cn(A))) . Limitním přechodem n dostaneme F m(A) = lim n m (F(Kn(A))) lim n m (F(Cn(A))) = F m(A), tedy lim n m (F(Kn(A))) = lim n m (F(Cn(A))). Poněvadž F (Kn(A)) F(A) F (Cn(A)), dále platí m (F (Kn(A))) m (F(A)) m (F (Cn(A))) , takže z předchozí rovnosti a a z věty o třech posloupnostech 1.3.7 dostaneme m (F(A)) = F m(A). Tento vztah platí pro libovolnou měřitelnou množinu A, zejména tedy pro jednotkový kruh. Avšak isometrické zobrazení převádí jednotkový kruh na jednotkový kruh. Z toho plyne, že F = 1. Z věty zejména plyne, že Jordanova míra splňuje požadavek (i) z úvodu kapitoly. 15.2.2 Lemma Jordanova míra rovnoběžníku P o straně a a výšce v na ni spuštěné je m(P) = av. D.: Nejprve poznamenejme, že hranice rovnoběžníku je tvořena čtyřmi úsečkami, což jsou podle 15.1.17 množiny Jordanovy míry 0, takže podle 15.1.12 je rovnoběžník měřitelnou množinou. Označme jeden vnitřní úhel rovnoběžníku a dále = tg . Rotace a posunutí jsou isometrická zobrazení. Podle 15.2.1 tedy stačí určit míru rovnoběžníku P s vrcholy (0, 0), (a, 0), (v, v), (v + a, v). Buď n N. Do uvažovaného rovnoběžníku lze vepsat soustavu obdélníků (i + 1) v n , i v n + a × i v n , (i + 1) v n , i = 0, 1, . . . , (n - 1) 256 a lze mu opsat soustavu obdélníků i v n , (i + 1) v n + a × i v n , (i + 1) v n , i = 0, 1, . . . , (n - 1). Podle 15.1.15 je míra každého vepsaného obdélníku v n a - v n a míra každého opsaného obdélníku je v n a + v n . Označme Un sjednocení všech opsaných obdélníků a Vn sjednocení všech vepsaných obdélníků. Množiny Un a Vn jsou měřitelné a platí Un P Vn, m(Un) = n v n a - v n = v a - v n , m(Vn) = v a + v n . Podle 15.1.10.1 je av - v2 n m(P) av + v2 n pro každé n N a tedy m(P) = av. 15.2.3 Lemma Míra rovnoběžníku P určeného vektory u = (x1, x2) a v = (x2, y2) je rovna absolutní hodnotě determinantu x1 x2 y1 y2 . D.: Podle 15.2.2 je Jordanova míra rovnoběžníku dána formulí známou ze střední školy. Označíme-li tedy úhel vektorů u a v, můžeme psát m(P) = |u| |v| | sin |. Označme dále úhel vektorů (0, 1) a u, úhel vektorů (0, 1) a v. Pak je sin = y1 |u| , cos = x1 |u| , sin = y2 |v| , cos = x2 |v| , a tedy |sin | = |sin( - )| = |sin cos - sin cos | = y2 |u| x1 |v| - y1 |u| x2 |u| = 1 |u| |v| |x1y2 - x2y1| , což je dokazované tvrzení. 15.2.4 Věta (o závislosti míry množiny na lineární transformaci) Buď L : R2 R2 regulární lineární zobrazení s maticí ( ij) (tj. D = det ( ij) = 0). Je-li A R2 měřitelná množina, pak je i L(A) měřitelná množina a platí m (L(A)) = |det ( ij)| m(A) = | 11 22 - 12 22| m(A). D.: Označme (u1, u2) = L(x, y), tedy u1 = 11x + 12y, u2 = 21x + 22y. Poněvadž zobrazení L je lineární, transformuje systém rovnoběžných, stejně vzdálených přímek na jiný systém rovnoběžných stejně vzdálených přímek. To znamená, že zobrazení L transformuje síť čtverců řádu n na soustavu shodných rovnoběžníků. Určíme m L Wn 0,0 . Čtverec Wn 0,0 je určen vektory 1 2n (1, 0), 1 2n (0, 1), rovnoběžník L Wn 0,0 je určen vektory u = (u1, u2), v = (v1, v2), kde u1 = 1 2n 11, u2 = 1 2n 21, v1 = 1 2n 12, v2 = 1 2n 22. Tedy podle 15.2.3 je m L Wn 0,0 = 1 2n 11 1 2n 12 1 2n 21 1 2n 22 = 1 22n |det( ij)| = |det( ij)| m (Wn ) . 257 Nechť jádro Kn(A) množiny A se skládá z k čtverců řádu n, tj. Kn(A) = (p,q)I Wn p,q, kde I je nějaká k-prvková množina dvojic celých čísel. Pak platí m (L(A)) m (L (Kn(A))) = m L (p,q)I Wn p,q , neboť z inkluze Kn(A) A plyne stejná inkluze pro obrazy množin, tj. L (Kn(A)) L(A) a nerovnost tedy vyplývá z 15.1.9.1. Dále snadno ověříme, že (p,q)I L Wn p,q L (p,q)I Wn p,q . Každá z množin L Wn p,q je měřitelná a tyto množiny mají společnou nejvýše hranici, tedy množinu Jordanovy míry 0. Z předchozí inkluze a z 15.1.10.2 dostaneme m (L(A)) m L (p,q)I Wn p,q m (p,q)I L Wn p,q = (p,q)I m L Wn p,q = = (p,q)I |det( ij)| m Wn p,q = |det( ij)| (p,q)I m Wn p,q = |det( ij)| m (Kn(A)) . Celkem tedy m (L(A)) |det( ij)| m (Kn(A)). Analogicky ověříme platnost nerovnosti m (L(A)) |det( ij)| m (Cn(A)). Platí tedy nerovnosti |det( ij)| m (Kn(A)) m (L(A)) m (L(A)) |det( ij)| m (Cn(A)) , ze které limitním přechodem n a s využitím 1.3.7 dostaneme tvrzení. 15.3 Jordanova míra v Rk Jordanovu míru v Rk , k = 1, 2, 3, . . . , lze konstruovat stejně jako míru v R2 . Místo čtverců řádu n se uvažují k-rozměrné krychle řádu n Wn m1,...,mk = (x1, x2, . . . , xk) Rk : m1 2n x1 m1 + 1 2n , m2 2n x2 m2 + 1 2n , . . . , mk 2n xk mk + 1 2n . Jejich Jordanovu míru definujeme vztahem m (Wn ) = 1 2kn . Krychle řádu n obsahuje 2k krychlí řádu n + 1. Všechny věty z předchozích dvou odstavců po příslušné úpravě předpokladů zůstávají v platnosti. Tentýž geometrický útvar může mít různou míru v prostorech různé dimenze. Např. jednotková úsečka * v prostoru R1 = R je krychlí řádu 0 a její míra je tedy 1; * v prostoru R2 je podle poznámky za 15.1.11 její míra 0. Všechny známé plochy obrazců a objemy těles vyjadřují příslušnou Jordanovu míru. Míru m na prostoru Rk se nazývá aditivní, má-li následující vlastnost: Jsou-li množiny A1, A2, . . . , Am měřitelné a po dvou disjunktní, pak i množina A = m i=1 A1 je měřitelná a platí m(A) = m i=1 m(Ai). Jordanova míra je podle 15.1.10.2 aditivní. 258 Kapitola 16 Riemannův integrál funkcí n proměnných 16.1 Riemannův integrál 16.1.1 Definice Buďte i1, i2, . . . , ik Z. Množinu Cn i1,i2,...,ik = (x1, x2, . . . , xk) Rk : i1 2n x1 < i1 + 1 2n , . . . , ik 2n x1 < ik + 1 2n nazýváme krychlová množina řádu n. Krychlová množina řádu n se liší od krychle řádu n tím, že není uzavřená. Krychlové množiny pokrývají celý prostor Rk a jsou po dvou disjunktní, tj. každý bod x Rk je prvkem právě jedné z nich. Každá krychlová množina řádu n je měřitelná a její míra je m (Cn ) = 1 2kn , sr. 15.1.12, 15.1.13. 16.1.2 Definice Buď A Rk měřitelná množina a buďte Cn 1 , Cn 2 , . . . , Cn m všechny krychlové množiny řádu n takové, že Dn 1 = Cn 1 A = , . . . , Dn m = Cn m A = . Systém množin Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} nazveme pokrytím řádu n množiny A. Každá z množin Dn j je podle 15.1.13 měřitelná, neboť je průnikem dvou měřitelných množin. Míra množiny A je podle 15.1.14 rovna m(A) = m j=1 m Dn j . Jsou-li p, q N, p < q, je pokrytí Sq zjemněním pokrytí Sp v tom smyslu, že ke každé množině Dq Sq existuje množina Dp Sp tak, že Dq Dp . 16.1.3 Definice Buď A Rk měřitelná množina, f : A R ohraničená funkce a Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A. Označme j = inf f(x) : x Dn j , j = sup f(x) : x Dn j . Pak číslo sn(A, f) = m j=1 jm Dn j resp. Sn(A, f) = m j=1 jm Dn j nazýváme dolní, resp. horní, součet řádu n příslušný k množině A a funkci f. Poněvadž j j, j = 1, 2, . . . , m, platí sn(A, f) Sn(A, f). 259 16.1.4 Věta Posloupnost {sn(A, f)} n=1 je neklesající, posloupnost {Sn(A, f)} n=1 je nerostoucí. D.: Nechť Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m}, Sn+1 = Dn+1 1 , Dn+1 2 , . . . , Dn+1 l . Ke každému k {1, 2, . . . , m} vybereme z pokrytí Sn+1 ty prvky, které jsou podmnožinou množiny Dn k . Označíme je Dn+1 k1 , Dn+1 k2 , . . . , Dn+1 kh , tj. Dn k = h j=1 Dn+1 kj . Pak k = inf {f(x) : x Dn k } inf f(x) : x Dn+1 kj pro každé j {1, 2, . . . , h}, neboť Dn+1 kj Dn k . Označme ~kj = inf f(x) : x Dn+1 kj . Platí km (Dm k ) = k h j=1 m Dn+1 kj h j=1 ~kj m Dn+1 kj . Sečtením těchto rovnic pro k = 1, 2, . . . , m dostaneme sn(A, f) sn+1(A, f), což je první tvrzení. Druhé dokážeme analogicky. 16.1.5 Věta Pro všechna p, q N platí sp(A, f) Sq(A, f). D.: Je-li p q, pak sp(A, f) sq(A, f) Sq(A, f), je-li p > q, pak Sq(A, f) Sp(A, f) sp(A, f). 16.1.6 Důsledek Pro všechna p, q N platí s1(A, f) sp(A, f) Sq(A, f) S1(A, f). Tvrzení 16.1.4 a 16.1.6 říkají, že posloupnosti {sn(A, f)} n=1, {Sn(A, f)} n=1 jsou monotonní a ohraničené. Tato skutečnost spolu s 1.3.9 nás opravňuje k následující definici. 16.1.7 Definice Buď A Rk měřitelná množina, f : A R ohraničená funkce. Definujme dolní, resp. horní, integrál z funkce f přes množinu A jako A f(x)dx = lim n sn(A, f), resp. A f(x)dx = lim n Sn(A, f). Je-li A f(x)dx = A f(x)dx, řekneme, že funkce f je na množině A integrovatelná (integrabilní) v Riemannově smyslu. Společnou hodnotu horního a dolního integrálu nazýváme Riemannovým integrálem z funkce f přes množinu A. Značíme jej A f(x)dx; podrobněji A f(x1, x2, . . . , xk)dx1dx2 dxk nebo v případě k = 2 A f(x, y)dxdy. 16.1.8 Poznámka Uvedená definice je v souladu s definicí 5.1.6. D.: Nechť k = 1, A = [a, b]. Nechť funkce f je integrovatelná podle definice 16.1.7. Položme Dn = [a, b] i 2n : i Z {a, b} . 260 Pak Dn je dělením uzavřeného intervalu [a, b], Dn ([a, b]) a {Dn} n=1 je nulová posloupnost dělení intervalu [a, b]. Podle 5.1.9 tedy platí lim n s(Dn, f) = b a f(x)dx = lim n S(Dn, f). Avšak s(Dn, f) = sn([a, b], f), S(Dn, f) = Sn([a, b], f), jak vidíme porovnáním definic 5.1.2 a 16.1.3, tedy lim n sn([a, b], f) = lim n Sn([a, b], f), což znamená, že funkce f je integrovatelná i podle definice 16.1.7. Nechť je nyní funkce f integrovatelná podle definice 16.1.7. Poněvadž {sn([a, b], f) : n N} {s(D, f) : D ([a, b])} , platí [a,b] f(x)dx = lim n sn([a, b], f) = sup {sn([a, b], f) : n N} sup {s(D, f) : D ([a, b])} = b a f(x)dx. Analogicky ukážeme platnost nerovnosti b a f(x)dx [a,b] f(x)d(x), takže celkem máme [a,b] f(x)d(x) b a f(x)dx b a f(x)dx [a,b] f(x)d(x). Odtud plyne b a f(x)dx = b a f(x)dx, takže funkce f je integrovatelná i podle definice 5.1.6. 16.1.9 Příklady 1. Funkce konstantní na měřitelné množině A Rk , tj. f(x) = pro x A, je integrovatelná na A a platí A f(x)dx = m(A). D.: Je-li Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A, pak A dx = lim n sn(A, f) = lim n n j=1 m Dn j = lim n n j=1 m Dn j = m(A). Analogicky A dx = m(A). 2. Buď k = 2, A = [0, 1] × [0, 1], f : A R, f(x, y) = 1, x Q, y Q 0, jinak . Pak funkce f není integrovatelná, neboť sn(A, f) = 4n j=1 0 1 4n = 0, Sn(A, f) = 4n j=1 1 1 4n = 1. 261 16.2 Vlastnosti Riemannova integrálu Všechny funkce uvažované v tomto odstavci jsou funkcemi k proměnných, tj. Rk R. Množinami rozumíme podmnožiny prostoru Rk . 16.2.1 Věta (aditivita integrálu vzhledem k integrovaným funkcím) Jsou-li funkce f a g integrovatelné na množině A, pak také funkce f + g je integrovatelná na A a platí A (f(x) + g(x)) dx = A f(x)dx + A g(x)dx. D.: Buď Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množininy A. Označme uj = inf f(x) : x Dn j , vj = inf g(x) : x Dn j , wj = inf f(x) + g(x) : x Dn j . Pak je uj + vj f(x) + g(x) pro každé x Dn j , tedy uj + vj wj. Odtud dostaneme ujm Dn j + vjm Dn j wjm Dn j . Sečtením těchto rovností pro j = 1, 2, . . . , m dostaneme sn(A, f) + sn(A, g) sn(A, f + g) a tedy podle 1.3.5.1 je A f(x)dx + A g(x)dx A (f(x) + g(x)) dx. Analogicky ukážeme, že A f(x)dx + A g(x)dx A (f(x) + g(x)) dx. Celkem máme A f(x)dx + A g(x)dx = A f(x)dx + A g(x)dx A (f(x) + g(x)) dx A (f(x) + g(x)) dx A f(x)dx + A g(x)dx = A f(x)dx + A g(x)dx 16.2.2 Věta (homogenita integrálu vzhledem k integrovaným funkcím) Je-li funkce f integrovatelná na množině A Rk a c R je konstanta, pak také funkce cf je integrovatelná na A a platí A cf(x)dx = c A f(x)dx. D.: Buď Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množininy A. Označme uj = inf f(x) : x Dn j , vj = inf cf(x) : x Dn j , Uj = sup f(x) : x Dn j , Vj = sup cf(x) : x Dn j . Nechť nejprve c 0. Pak cuj = vj, cUj = Vj, takže sn(A, cf) = csn(A, f), Sn(A, cf) = cSn(A, f). Odtud plyne A cf(x)dx = c A f(x)dx = c A f(x)dx, A cf(x)dx = c A f(x)dx = c A f(x)dx. Pokud c < 0, pak cuj = Vj, cUj = vj, takže sn(A, cf) = cSn(A, f), Sn(A, cf) = csn(A, f). Odtud plyne A cf(x)dx = c A f(x)dx = c A f(x)dx, A cf(x)dx = c A f(x)dx = c A f(x)dx. 262 16.2.3 Důsledek (linearita integrálu) Buďte c1, c2, . . . , cm R konstanty a f1, f2, . . . , fm funkce integrovatelné na měřitelné množině A. Pak je i funkce c1f1 + c2f2 + + cmfm integrovatelná na množině A a platí A (c1f1(x) + c2f2(x) + + cmfm(x)) dx = c1 A f1(x)dx + c2 A f2(x)dx + + cm A fm(x)dx. D.: Úplnou indukcí s využitím 16.2.1 a 16.2.2. 16.2.4 Věta (monotonie integrálu vzhledem k integrovaným funkcím) Jsou-li funkce f, g integrovatelné na měřitelné množině A a platí-li f(x) g(x) pro každé x A, pak A f(x)dx A g(x)dx. D.: Podle 16.2.3 je funkce g - f integrovatelná na množině A. Poněvadž g(x) - f(x) 0 pro každé x A, je každý dolní součet sn(A, g - f) 0. Odtud plyne 0 lim n sn(A, g - f) = A (g(x) - f(x)) dx = A g(x)dx - A f(x)dx. 16.2.5 Věta Je-li funkce f integrovatelná na měřitelné množině A, pak je i funkce |f| integrovatelná na množině A a platí A f(x)dx A |f(x)| dx. D.: Buď Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A. Položme uj = inf f(x) : x Dn j , Uj = sup f(x) : x Dn j , vj = inf |f(x)| : x Dn j , Vj = sup |f(x)| : x Dn j . Buďte x1, x2 Dn j . Pak je |f(x1) - f(x2)| Uj - uj, |f(x1)| = |f(x1) - f(x2) + f(x2)| |f(x1) - f(x2)| + |f(x2)| Uj - uj + |f(x2)| . Nechť x2 je zvoleno libovolně ale pevně. Poslední nerovnost platí pro každé x1 Dn j a tedy Vj Uj - uj + |f(x2)| . Poslední nerovnost platí pro každé x2 Dn j a tedy platí Vj Uj - uj + vj, neboli Vj - vj Uj - uj. Odtud plyne 0 Sn (A, |f|) - sn (A, |f|) = m j=1 Vjm Dn j - m j=1 vjm Dn j = m j=1 (Vj - vj) m Dn j m j=1 (Uj - uj) m Dn j = Sn (A, f) - sn (A, f) 0 pro n a tedy funkce |f| je integrovatelná. Z nerovnosti -|f| f |f| a z věty 16.2.5 plyne - A |f(x)| dx A f(x)dx A |f(x)| dx, což je dokazovaná nerovnost. 263 16.2.6 Věta Jsou-li unkce f, g integrovatelné na měřitelné množině A, pak je i funkce fg integrovatelná na množině A. D.: Nechť nejprve jsou obě funkce nezáporné na množině A. Buď Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A. Označme uj = inf f(x) : x Dn j , Uj = sup f(x) : x Dn j , vj = inf g(x) : x Dn j , Vj = sup g(x) : x Dn j , wj = inf f(x)g(x) : x Dn j , Wj = sup f(x)g(x) : x Dn j , Pak je ujvj wj Wj UjVj. Odtud Wj - wj UjVj - ujvj = UjVj - Vjuj + ujVj - ujvj = Vj(Uj - uj) + uj(Vj - vj). Poněvadž funkce f, g jsou ohraničené na množině A, existuje > 0 tak, že |f(x)| < , |g(x)| < pro x A. Tedy Wj - wj < (Uj - uj) + (Vj - vj) = (Uj - uj + Vj - vj). Odtud plyne 0 Sn(A, fg)-sn(A, fg) (Sn(A, f) - sn(A, f) + Sn(A, g) - sn(A, g)) . Pravá strana pro n konverguje k 0, z čehož vyplyne tvrzení. Vynechejme nyní předpoklad, že funkce f, g jsou na množině A nezáporné. Poněvadž jsou omezené, existuje číslo > 0 takové, že funkce - f, - g jsou nezáporné. Tyto funkce jsou podle 16.2.3 integrovatelné a tedy podle již dokázaného tvrzení, příkladu 16.1.9.1 a důsledku 16.2.3 také funkce ( - f)( - g) - 2 - (f + g) = fg je integrovatelná. 16.2.7 Věta (o střední hodnotě) Buďte f, g funkce integrovatelné na měřitelné množině A takové, že f(x) , 0 g(x) pro x A. Pak existuje konstanta , taková, že A f(x)g(x)dx = A g(x)dx. D.: Pro x A platí: g(x) f(x)g(x) g(x). Podle 16.2.6 je funkce fg integrovatelná na množině A; podle 16.2.4 platí: A g(x)dx A f(x)g(x)dx A g(x)dx. Je-li A g(x)dx = 0, pak také A f(x)g(x)dx = 0 a za lze vzít libovolné číslo. Je-li A g(x)dx > 0, položíme = A f(x)g(x)dx A g(x)dx . 16.2.8 Věta (monotonie integrálu vzhledem k integračnímu oboru) Je-li funkce f integrovatelná na množině A, pak je integrovatelná na každé měřitelné podmnožině B A. D.: Buď Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A. Pak {Dn 1 B, Dn 2 B, . . . , Dn m B} je pokrytí řádu n množiny B a 264 {Dn 1 (A \ B), Dn 2 (A \ B), . . . , Dn m (A \ B)} je pokrytí řádu n množiny A \ B. Pro příslušné horní a dolní součty platí sn(A, f) sn(B, f) + sn(A \ B, f), Sn(A, f) Sn(B, f) + Sn(A \ B, f). Limitním přechodem n dostaneme B f(x)dx + A\B f(x)dx A f(x)dx B f(x)dx + A\B f(x)dx, neboli 0 B f(x)dx - B f(x)dx A\B f(x)dx - A\B f(x)dx 0, což je možné jen tak, že B f(x)dx = B f(x)dx, A\B f(x)dx = A\B f(x)dx. 16.2.9 Věta (aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru) Buďte A, B disjunktní měřitelné množiny, f funkce integrovatelná na množině A i na množině B. Pak je funkce f integrovatelná také na množině A B a platí AB f(x)dx = A f(x)dx + B f(x)dx. D.: Poněvadž obě množiny A i B jsou měřitelné, je podle 15.1.14 také množina A B měřitelná. Poněvadž funkce f je ohraničená na množině A i na množině B, je ohraničená i na sjednocení množin A B. Označme = sup {|f(x)| : x A B}. Buď Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A B. Dále nechť jsou Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn p všechny prvky pokrytí Sn takové, že jsou současně prvky pokrytí řádu n množiny A, Dn p+1, Dn p+2, . . . , Dn q všechny prvky pokrytí Sn takové, že jsou současně prvky pokrytí řádu n množiny B, Dn q+1, Dn q+2, . . . , Dn m ostatní prvky pokrytí Sn. Každá z množin Dn q+1, Dn q+2, . . . , Dn m má neprázdný průnik jak s množinou A tak i s množinou B, každá z nich obsahuje některé hraniční body společné množinám A a B. Buď H množina všech hraničních bodů společných množinám A a B. Množina H je průnikem hranic dvou měřitelných množin, tedy podle 15.1.12 průnikem dvou množin nulové míry, takže podle 15.1.13 a 15.1.10.1 je sama měřitelná a její míra je m(H) = 0. Poněvadž Dn q+1 Dn q+2 Dn m C(H), platí také lim n m Dn q+1 Dn q+2 Dn m = lim n m i=q+1 m (Dn i ) = 0. Nyní platí |Sn(A B, f) - (Sn(A, f) + Sn(B, f))| = m i=q+1 sup {f(x) : x Dm i } m (Dm i ) m i=q+1 |sup {f(x) : x Dm i }| m (Dm i ) m i=q+1 m (Dm i ) 0 pro n . To znamená, že AB f(x)dx = A f(x)dx + B f(x)dx. Analogicky lze ukázat, že AB f(x)dx = A f(x)dx + B f(x)dx. 265 16.2.10 Věta Buď f funkce ohraničená na množině A míry nula. Pak je funkce f na množině A integrovatelná a platí A f(x)dx = 0. D.: Buď |f(x)| pro x A, Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} pokrytí řádu n množiny A. Pak je - m j=1 m Dn j m j=1 m Dn j inf f(x) : x Dn j = sn(A, f) Sn(A, f) = m j=1 m Dn j sup f(x) : x Dn j m j=1 m Dn j , a poněvadž lim n m j=1 m Dn j = m(A) = 0, máme tvrzení věty. 16.2.11 Důsledek Buďte A, B měřitelné množiny takové, že jejich průnik je měřitelný a platí m(A B) = 0. Je-li funkce f integrovatelná na množině A i na množině B, pak je integrovatelná také na množině A B a platí AB f(x)dx = A f(x)dx + B f(x)dx. D.: Plyne z 16.2.9 a 16.2.10, neboť A B = (A \ B) (A B) (B \ A), přičemž sjednocení na pravé straně je disjunktní. 16.2.12 Věta Je-li ohraničená funkce f spojitá na měřitelné množině A, pak je na množině A integrovatelná. D.: Je-li m(A) = 0, tvrzení plyne z 16.2.10. Nechť m(A) > 0 a buď > 0 takové číslo, že |f(x)| < pro x A. Dále buď (0, 4m(A)) libovolné číslo. Poněvadž m(A) = lim n m (Kn(A)), existuje jádro B = Kn0 (A) takové, že m(B) > m(A) - 4 , tedy m(A \ B) = m(A) - m(B) < m(A) - m(A) + 4 = 4 . Množina B je uzavřená a ohraničená, tedy podle 11.4.8 kompaktní. Podle 11.5.8 je funkce f na množině B spojitá stejnoměrně. To znamená, že ke zvolenému kladnému číslu existuje číslo takové, že pro libovolné body x1, x2 B, (x1, x2) < ( označuje některou metriku ekvivalentní s euklidovskou) platí |f(x1) - f(x2)| 2m(B) . (16.1) Buď n1 N takové číslo, že pro n > n1 je průměr krychle Wn řádu n menší než . Pak předchozí nerovnost platí na libovolné krychli Wn B pro libovolné n > n1. Označme B0 množinu, kterou dostaneme z jádra množiny B, když v něm každou krychli Wn nahradíme krychlovou množinou Cn , B0 = m j=1 Cn j . Označme dále uj = inf f(x) : x Cn j , Uj = sup f(x) : x Cn j . Z nerovnosti (16.1) plyne, že Uj - uj 2m(B) , a tedy pro n > n1 platí 0 Sn(B0, f) - sn(B0, f) = m j=1 (Uj - uj)m(Cn j ) 2m(B) m j=1 m(Cn j ) = 2 , 266 neboť m(B) = m(B0) = m j=1 m Cn j . Celkem pro n > max {n0, n1} dostáváme 0 Sn(A, f) - sn(A, f) = Sn(B0, f) + Sn(A \ B0, f) - sn(B0, f) - sn(A \ B0, f) 2 + 2m(A \ B0) < 2 + 2 4 = , což znamená, že funkce f je na množině A integrovatelná. 16.2.13 Definice Řekneme, že funkce f : A R má skoro všude na množině A vlastnost V, jestliže existuje podmnožina B A taková, že m(B) = 0 a funkce f má vlastnost V ve všech bodech množiny A \ B. Příklad: Funkce f(x, y) = n, 1 n+1 < x2 + y2 1 n , n N 0, x2 + y2 > 1 je spojitá skoro všude na R2 . Přitom je nespojitá v každém bodě každé z kružnic (x, y) : x2 + y2 = 1 n , n N a v bodě (0, 0) dokonce není definována. 16.2.14 Věta Je-li funkce f ohraničená na měřitelné množině A a skoro všude na množině A je f(x) = 0, pak je funkce f na množině A integrovatelná a platí A f(x)dx = 0. D.: Buď B = {x A : f(x) = 0}. Podle předpokladu je m(B) = 0 a tedy podle 16.2.10 je B f(x)dx = 0. Na množině A \ B, která je podle 15.1.13 měřitelná, je f(x) = 0 a tedy podle 16.1.9 je A\B f(x)dx = 0. Podle 16.2.9 nyní je A f(x)dx = B f(x)dx + A\B f(x)dx = 0. 16.2.15 Věta Nechť nezáporná funkce f je integrovatelná na měřitelné množině A a platí A f(x)dx = 0. Pak f(x)dx = 0 skoro všude na množině A. D.: Buď B = {x A : f(x) > 0} a připusťme, že m(B) > 0. Kdyby pro každé přirozené číslo n a každou krychli Wn řádu n platilo, že Wn Rk \ B = , pak by jádro Kn(B) řádu n množiny B bylo prázdné pro každé n N a platilo by m(B) = 0. To by byl spor s předpokladem m(B) > 0. Existuje tedy číslo n1 a krychle Wn1 m řádu n1 tak, že Wn1 m Kn1 (B). Množina Wn1 m je podle 11.4.8 kompaktní a tedy podle 11.5.4 existuje m = min {f(x) : x Wn1 m }. Je m > 0, neboť v opačném případě by Wn1 m Rk \ B = , což by bylo ve sporu s inkluzí Wn1 m B . Nyní podle 16.2.4, 16.2.8 a 16.2.11 platí 0 = A f(x)dx = W n1 m f(x)dx + A\W n1 m f(x)dx mm (Wn1 m ) = m 1 2kn1 > 0, což je spor. Poznámka: Analogické tvrzení platí i pro nekladnou funkci. 267 16.2.16 Věta Je-li funkce f integrovatelná na měřitelné množině A a funkce g je ohraničená na A a skoro všude na A platí f(x) = g(x). Pak funkce g je integrovatelná na množině A a platí A g(x)dx = A f(x)dx. D.: Buď B A taková, že m(B) = 0 a f(x) = g(x) pro x B. Pak s využitím 16.2.9 a 16.2.10 dostaneme A g(x)dx = B g(x)dx + A\B g(x)dx = 0 + A\B f(x)dx = B f(x)dx + A\B f(x)dx = A f(x)dx. 16.2.17 Věta Je-li funkce f ohraničená na měřitelné množině A a skoro všude na A spojitá, pak je funkce f na množině A integrovatelná. D.: Označme B množinu bodů nespojitosti funkce f. Podle předpokladu je B měřitelná a podle 15.1.14 je m(A \ B) = m(A) - m(B) = m(A). Funkce f je na množině A\B podle 16.2.12 integrovatelná a na množině B je integrovatelná podle 16.2.10. Podle 16.2.9 je tedy f integrovatelná na množině A = (A \ B) B. 16.3 Fubiniova věta Buďte p, q N, p + q = k. Prostor Rk lze chápat jako součin prostorů Rp × Rq . Je-li z Rk , pak z = (x, y) = (x1, x2, . . . , xp, y1, y2, . . . , yq), x Rp , y Rq . 16.3.1 Definice Buď A Rk . Definujeme množiny Ax = {y Rq : (x, y) A} -- řez množinou A pro konstantní x, A x = {x Rp : existuje y Rq , že (x, y) A} -- průmět množiny A do prostoru Rp . Označení: mp(B), resp. mq(C) -- míra množiny B Rp , resp. C Rq , v prostoru Rq , resp. Rq . Pro A Rk je m(A) = mk(A). 16.3.2 Věta (Guido Fubini, 1879­1943) Buď A Rk měřitelná množina, f : A R funkce integrovatelná na množině A. Buďte p, q N, p + q = k. Označme z = (x, y) = (x1, x2, . . . , xp, y1, y2, . . . , yq). Pak platí A f(z)dz = A x Ax f(x, y)dy dx = A x Ax f(x, y)dy dx. D.: Buď nejprve A množina, která je sjednocením konečného počtu krychlových množin nultého řádu. Pokrytím Cn je pro každé n N konečný počet krychlových množin řádu n. Každou krychlovou množinu Zn i,j, i I, j J řádu n v Rk lze považovat za kartézský součin Zn i,j = Xn i × Y n j krychlových množin Xn i řádu n v Rp a Y n j řádu n v Rq . Přitom 1 2kn = m Zn i,j = m (Xn i ) m Y n j = 1 2pn 1 2qn . Zvolme A x , kde x Rq a uvažujme funkci f(, ) : A R danou předpisem y f(, y). Položme F(x) = Ax f(x, y)dy , G(x) = Ax f(x, y)dy. 268 Pak je F() sn (A, f(, )) = jJ inf f(, y) : y Y n j mq Y n j . Poněvadž pro Xn i platí inf f(, y) : y Y n j inf f(x, y) : (x, y) Zn i,j , platí také nerovnost F() jJ inf f(x, y) : (x, y) Zn i,j m(Y n j ). Odtud plyne inf {F() : Xn i } jJ inf f(x, y) : (x, y) Zn i,j mq Y n j , takže sn A x , F iI jJ inf f(x, y) : (x, y) Zn i,j mq Y n j mq (Xn i ) = = (i,j)I×J inf f(x, y) : (x, y) Zn i,j m Zn i,j = sn(A, f). Odtud limitním přechodem pro n dostaneme nerovnost A x F(x)dx A f(z)dz. Analogickým způsobem dokážeme nerovnost A x G(x)dx A f(z)dz. Poněvadž F(x) G(x) pro každé x A x , platí pro tato x nerovnosti A x G(x)dx A x F(x)dx A f(z)dz A x G(x)dx A x F(x)dx, z nichž plyne integrovatelnost funkcí F, G i dokazovaná rovnost. Buď nyní A Rk libovolná měřitelná množina a W množina popsaná v první části důkazu a obsahující množinu A. Definujme funkci g předpisem g(x, y) = f(x, y), (x, y) A, 0, (x, y) W \ A . Podle 15.1.13 je i W \A měřitelná množina a podle předchozí části důkazu, podle 16.2.10 a 16.2.9 je funkce g integrovatelná na množině A i na množině W \ A. Proto platí A f(z)dz = A g(z)dz + W \A g(z)dz = W g(z)dz = W x Wx g(x, y)dy dx = W x Wx g(x, y)dy dx. Dále je W x Wx g(x, y)dy dx = A x (W x \A x ) Wx g(x, y)dy dx = A x Wx g(x, y)dy dx, 269 neboť pro každé x W x \ A x je g(x, y) = 0 a tedy podle 16.2.14 je i Wx g(x, y)dy = 0 pro tato x. Pokračujme v úpravách A x Wx g(x, y)dy dx = A x Ax(Wx\Ax) g(x, y)dy dx = A x Ax f(x, ydy dx. Tím je dokázáno A f(z)dz = A x Ax f(x, y)dy dx. Analogicky dokážeme A f(z)dz = A x Ax f(x, y)dy dx. 16.3.3 Poznámky 1. Z toho, že funkce f je integrovatelná na množině A Rk , neplyne, že tato funkce je integrovatelná v Rq na každé podmnožině množiny Ax. Z věty 16.3.2 však plyne, že rozdíl horního a dolního integrálu je tak malý, že integrál z něho přes množinu A x je nulový. 2. Ve větě 16.3.2 není podstatné to, že se za x bere (x1, x2, . . . , xp), tj. prvních p souřadnic. Stejně bychom mohli volit libovolných p přirozených čísel 1 i1 < i2 < < ip k a položit x = (xi1 , xi2 , . . . , xip ). 16.3.4 Důsledky 1. Buďte , funkce spojité na intervalu [a, b], (x) < (x) pro každé x (a, b). Nechť A = (x, y) R2 : a x b, (x) y (x) je měřitelná množina. Buď f : A R funkce spojitá. Pak je A f(x, y)dxdy = b a (x) (x) f(x, y)dy dx. D.: Ax = [(x), (x)], A x = [a, b]. Funkce f(x, ) je na množině Ax ohraničená a spojitá, tedy podle 16.2.17 je integrovatelná. 2. Buďte , funkce spojité na intervalu [a, b], (x) < (x) pro každé x (a, b). Nechť množina A = (x, y) R2 : a x b, (x) y (x) je měřitelná v R2 . Dále buďte , funkce spojité na množině A takové, že (x, y) < (x, y) pro každé (x, y) A. Nechť množina B = (x, y, z) R3 : (x, y) A, (x, y) z (x, y) = = (x, y, z) R3 : a x y, (x) y (x), (x, y) z (x, y) je měřitelná v R3 . Buď f funkce spojitá na množině B. Pak je B f(x, y, z)dxdydz = b a (x) (x) (x,y) (x,y) f(x, y, z)dz dy dx. 270 D.: B f(x, y, z)dxdydz = B xy Bxy f(x, y, z)dz dxdy = B xy (x,y) (x,y) f(x, y, z)dz dxdy = = b a (x) (x) (x,y) (x,y) f(x, y, z)dz dy dx. 16.4 Transformace integrálu 16.4.1 Heuristická úvaha Buď A Rk měřitelná množina, Sn = {Dn 1 , Dn 2 , . . . , Dn m} její pokrytí řádu n. Označme pro stručnost jednu libovolnou množinu z Sn symbolem D a buď u0 D. Dále nechť G : Rk Rk je diferencovatelné zobrazení takové, že G(u0) = x0. Definujme lineární zobrazení ~G : Rk Rk předpisem ~G(u) = x0 + G (u0)(u - u0), kde G značí Jacobiho matici zobrazení G (sr. 13.2.4). Pak ~G je nejlepší lineární aproximací zobrazení G (sr. 13.2.3). Je-li tedy množina D malá, budou se na ní zobrazení G a ~G lišit málo, G(u) ~G(u) pro u D a tedy také bude m (G(D)) m ~G(D) . Podle 15.2.4 je m ~G(D) = |det G (u0)| m(D) = |J (G(u0))| m(D), kde J (G(u0)) je Jacobián zobrazení G v bodě u0. Buď f : G(A) R spojitá funkce. Na malé množině G(D) lze tuto funkci považovat za přibližně konstatntní, f(x) f(x0) pro x G(D); na malé množině D lze považovat za přibližně konstantní funkci f G |J(G)|, f(G(u)) |J(G(u))| f(G(u0)) |J(G(u0))| pro u D. Platí tedy přibližné rovnosti G(D) f (x) dx f (x0) m (G(D)) f (G(u0)) |J (G(u0))| m(D) D f (G(u)) |J (G(u))| du. Je-li zobrazení G na množině A prosté, tj. když platí J (G(u)) = 0 pro u A (podle 13.2.7), pak G(A) = G (Dn 1 ) G (Dn 2 ) G (Dn m) a toto sjednocení je disjunktní. Tedy podle 16.2.9 a předchozí přibližné rovnosti platí G(A) f (x) dx = n i=1 G(Dn i ) f (x) dx n i=1 G(Dn i ) f (G(u)) |J (G(u0))| du = A f (G(u)) |J (G(u0))| du. 16.4.2 Věta (o transformaci integrálu) Buď A Rk měřitelná množina, G : A Rk diferencovatelné zobrazení, f funkce integrovatelná na množině G(A). Nechť existuje množina P A taková, že m(P) = 0 a že pro zobrazení G platí: 1) G je prosté na množině M \ P, 2) J (G(u)) = 0 na množině M \ P. Pak je funkce f G integrovatelná na množině A a platí G(A) f (x) dx = A f (G(u)) |J (G(u))| du. D.: Viz např. M. Ráb: Riemannův integrál v En , str. 70­74 nebo D. Krupka, J. Musilová: Integrální počet na euklidovských prostorech a diferencovatelných varietách, str. 75­79. 271 16.4.3 Transformace integrálu v R2 do polárních souřadnic Zobrazení G : R2 R2 je dáno předpisem x y = G(r, ) = r cos r sin , stručněji x = r cos y = r sin . J (G(r, )) = cos -r sin sin r cos = r cos2 + r sin2 = r = 0 pro r = 0. 16.4.4 Transformace integrálu v R3 do cylindrických (válcových) souřadnic Zobrazení G : R3 R3 je dáno předpisem x y z = G(r, , z) = r cos r sin z , stručněji x = r cos y = r sin z = z . J (G(r, , z)) = cos -r sin 0 sin r cos 0 0 0 1 = r = 0 pro r = 0. 16.4.5 Transformace integrálu v R3 do sférických (kulových) souřadnic Zobrazení G : R3 R3 je dáno předpisem x y z = G(r, , ) = r cos cos r sin cos r sin , stručněji x = r cos cos y = r sin cos z = r sin . J (G(r, , )) = cos cos -r sin cos -r cos sin sin cos r cos cos -r sin sin sin 0 r cos = = sin -r sin cos -r cos sin r cos cos -r sin sin + r cos cos cos -r sin cos sin cos r cos cos = = r2 sin2 cos sin2 + cos2 + r2 cos3 cos2 + sin2 = r2 cos sin2 + cos2 = r2 cos = 0 pro r = 0 a = (2m + 1) 2 , m Z. 16.5 Aplikace Riemannova integrálu 16.5.1 Míra množiny -- plocha obrazce, objem tělesa m(A) = A dx 16.5.2 Aplikace v mechanice Buď A Rk kompaktní měřitelná množina, : A R spojitá funkce. Fyzikálně lze A chápat jako těleso mající v bodě x hustotu (x). V mechanice mají základní význam pojmy: * Hmotnost m tělesa A m = A (x)dx. V rovině: 272 ˇ statické momenty Mx, My rovinného tělesa vzhledem k osám x a y Mx = A y(x)dx a My = A x(x)dx, * momenty setrvačnosti Jx, Jy rovinného tělesa vzhledem k osám x a y Jx = A y2 (x)dx a Jy = A x2 (x)dx, * těžiště T = (x0, y0) rovinného tělesa x0 = My m , y0 = Mx m . V prostoru * statické momenty tělesa vzhledem k souřadným osám Myz = A x(x, y, z)dxdydz, Mzx = A y(x, y, z)dxdydz, Mxy = A z(x, y, z)dxdydz, * momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k souřadným osám Jx = A (y2 + z2 )(x, y, z)dxdydz, Jy = A (x2 + z2 )(x, y, z)dxdydz, Jz = A (x2 + y2 )(x, y, z)dxdydz, * těžiště T = (x0, y0, z0) tělesa x0 = Myz m , y0 = Mzx m , z0 = Mxy m . 16.6 Cvičení 1) Zaměňte pořadí integrace: 1 0 1-y - 1-y2 f(x, y)dx dy. 2) Dvojný integrál x2+y2x f y x dxdy vyjádřete pomocí integrálu jednoduchého. 3) Vypočítejte A f(x, y)dxdy, jestliže A = {(x, y) R2 : a x A, b y B}, f(x, y) = Fxy(x, y). 4) A dxdy 4 - x , A = {(x, y) R2 : (x - 2)2 + (y - 2)2 4}. 5) A (x2 + y2 )dxdy, A je vnitřek kružnice x2 + y2 = 2ax. 6) a 0 a2-x2 0 x2 + y2 dy dx, a > 0. 7) x2y4 [y - x2]dxdy; [a] je celá část čísla a. 8) Vypočítejte míru množiny A = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 1, x + y < 1}. 273 9) Vypočítejte souřadnice těžiště homogenního rovinného tělesa ohraničeného čarami y2 = 4x + 4, y2 = -2x + 4. 10) Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose x homogenního rovinného tělesa ohraničeného čarami x + y = 2, x = 2, y = 2. 11) Zaměňte pořadí integrace: 1 -1 1-x2 - 1-x2 1 x2+y2 f(x, y, z)dz dy dx. 12) Trojnásobný integrál 1 0 1 0 x+y 0 f(z)dz dy dx nahraďte integrálem jednoduchým. 13) A dxdydz (1+x+y+z)3 , A = {(x, y, z) R3 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. 14) A x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 dxdydz, A = {(x, y, z) R3 : x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 < 1}. 15) A zdxdydz, A = {(x, y, z) R3 : z 0, z v, z2 v2 R2 (x2 + y2 )}. 16) A z2 dxdydz, A = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 R2 , x2 + y2 + z2 2Rz}. 17) A (x + y + z)2 dxdydz, A = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 2az, x2 + y2 + z2 3a2 }. 18) Vypočítejte objem tělesa = {(x, y, z) R3 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1, x2 + y2 1 2 }. 19) Jak mnoho kapaliny zůstane v nádobě válcového tvaru výšky v, jejíž základna má poloměr r, nakloníme-li ji tak, že hladina kapaliny prochází středem základny? 20) Vypočítejte souřadnice těžiště části elipsoidu x2 + y 2 2 + z 3 3 1 ležící v prvním oktantu. Výsledky: 1) 0 -1 1-x2 0 f(x, y)dy dx + 1 0 1-x 0 f(x, y)dy dx 2) 1 2 /2 -/2 cos2 f(tg )d 3) F(A, B) + F(a, b) - F(a, B) - F(A, b) 4) 32 3 5) 3a4 2 6) a3 6 7) 16 3 (1 + 3) - 4 2 8) 1 4 (3 + 2) 9) 2 5 , 0 10) 4 11) 1 -1 1 |x| z2-x2 - z2-x2 f(x, y, z)dy dz dx = 1 0 z -z z2-y2 - z2-y2 f(x, y, z)dx dy dz 12) 1 0 1 - z2 2 f(z)dz + 1 2 2 1 (2 - z)2 f(z)dz 13) 1 2 ln 2 - 5 8 14) 4 5 abc 15) 4 R2 v2 16) 59 480 R5 17) a5 5 18 3 - 97 6 18) 8 - 2 6 19) 2 3 r2 v 20) 3 8 , 3 4 , 9 8 274 16.7 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 275 276 Část VI Diferenciální rovnice 277 Kapitola 17 Obyčejné diferenciální rovnice 17.1 Základní pojmy 17.1.1 Definice Buď G R2 množina s neprázdným vnitřkem, f : G R. Rovnice x = f(t, x) (17.1) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci. Řešením této rovnice se rozumí diferencovatelná funkce x : J R, kde J R je interval, která splňuje podmínky (t, x(t)) G, x (t) = f(t, x(t)) pro každé t J. Graf řešení rovnice (17.1) se nazývá integrální křivka. 17.1.2 Příklad G = {(t, x) R2 : t > 0}, f(t, x) = x t . Funkce x(t) = kt, kde k R je řešením rovnice x = x t na intervalu J = (0, ). Diferenciální rovnice může mít více řešení. 17.1.3 Definice Nechť G, f mají stejný význam jako v 17.1.1 a nechť (t0, x0) G je libovolný bod. Úloha najít řešení rovnice (17.1), které splňuje podmínku x(t0) = x0 (17.2) se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka (17.2) se nazývá počáteční nebo Cauchyova podmínka. Příklad: Nechť t0 > 0, x0 R. Funkce x(t) = x0 t0 t je řešením úlohy x = x t , x(t0) = x0 na intervalu J = (0, ). 279 17.1.4 Definice Nechť x = x(t) je řešením úlohy (17.1) (17.2) na intervalu J a ~x = ~x(t) je řešením úlohy (17.1) (17.2) na intervalu ~J, t0 J ~J. Jestliže ~J J a pro každé t ~J je x(t) = ~x(t), řekneme, že řešení x = x(t) je prodloužením řešení ~x = ~x(t) a že řešení ~x = ~x(t) je zúžením řešení x = x(t). Jestliže řešení x = x(t) úlohy (17.1) (17.2) není zúžením žádného jiného řešení této úlohy, řekneme, že x = x(t) je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy (17.1) (17.2). V dalším budeme pod pojmem ,,řešení rozumět úplné řešení. 17.1.5 Příklad x(t) 0, x(t) = t3 , x(t) = 0, x < a (x - a)3 , x a , kde a 0 je libovolné číslo, jsou tři různá úplná řešení úlohy x = 3 3 x2, x(0) = 0. 17.1.6 Definice Buď g funkce dvou proměnných. Řekneme, že g je obecným řešením rovnice (17.1), jestliže ke každému (t0, x0) G existuje C0 R takové, že x = x(t) = g(t, C0) je řešením úlohy (17.1) (17.2). Řešení úlohy (17.1) (17.2) se nazývá partikulární řešení rovnice (17.1). Příklad: x = Ct je obecným řešením rovnice z příkladu 17.1.2. Rovnice z příkladu 17.1.5 nemá obecné řešení. 17.1.7 Geometrická interpretace Rovnice (17.1) přiřazuje každému bodu z G právě jednu hodnotu x = f(t, x), tedy každému bodu (t0, x0) G lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě (t0, x0), tj. přímky x - x0 = f(t0, x0)(t - t0). Tento vektor má souřadnice (1, f(t0, x0)). To znamená, že rovnice (17.1) definuje na G vektorové pole. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice (17.1). Každá integrální křivka rovnice (17.1) je vektorovou čárou směrového pole (sr. 14.1.9). Směrové pole tedy poskytuje představu o průběhu řešení rovnice (17.1). Vrstevnice funkce f, (tj. křivky zadané rovnicí f(t, x) = c) se nazývají izokliny rovnice (17.1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr. 17.1.8 Definice Buď G Rn+1 množina s neprázdným vnitřkem, f : G Rn . Rovnice x = f(t, x), kde x = (x1, x2, . . . , xn) (17.3) se nazývá systém n obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo n-vektorová obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Počáteční podmínku k rovnici (17.3) lze zadat: x(t0) = x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n). (17.4) Pojmy řešení, obecné řešení, partikulární řešení, úplné řešení rovnice (17.3) jsou analogiemi těchto pojmů z jednorozměrného případu. Obecné řešení závisí na n parametrech. 280 17.1.9 Definice Buď G Rn+1 množina s neprázdným vnitřkem, f : G R. Rovnice x(n) = f(t, x, x , x , . . . , x(n-1) ) (17.5) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci. Řešením této rovnice se rozumí n-krát diferencovatelná funkce x : J R, kde J R je interval, která splňuje podmínky (t, x(t), x (t), x (t), . . . , x(n-1) (t)) G, x(n) (t) = f(t, x(t), x (t), x (t), . . . , x(n-1) (t)) pro každé t J. Počáteční (Cauchyovu) podmínku pro rovnici (17.5) zadáváme ve tvaru x(t0) = x0, x (t0) = x1 0, x (t0) = x2 0, . . . , x(n-1) (t0) = xn-1 0 , (17.6) kde (t0, x1 0, x2 0, . . . , xn-1 0 ) G. Úplné řešení, obecné řešení, partikulární řešení rovnice (17.5) definujeme analogicky jako u rovnic prvního řádu. Obecné řešení závisí na n parametrech. 17.1.10 Poznámka Řešení počáteční úlohy (17.5), (17.6) je ekvivalentní s řešením počátečního problému pro systém n diferenciálních rovnic prvního řádu: x1 = x2 x2 = x3 ... xn-1 = xn xn = f(t, x1, x2, . . . , xn) (17.7) x1(t0) = x0, x2(t0) = x2 0, . . . , xn(t0) = xn-1 0 , (17.8) v tomto smyslu: Je-li x = x(t) řešením úlohy (17.5), (17.6), pak n-tice funkcí x1 = x, x2 = x , x3 = x , . . . , xn = x(n-1) je řešením úlohy (17.7), (17.8) a je-li n-tice funkcí x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t) řešením úlohy (17.7), (17.8), pak je funkce x = x(t) = x1(t) řešením úlohy (17.5), (17.6). 17.2 Elementární metody řešení ODR 17.2.1 Exaktní rovnice x = f(t, x) g(t, x) , přičemž f(t, x) x = g(t, x) t 0 = f(t, x)dt - g(t, x)dx . Za uvedených podmínek je f(t, x)dt - g(t, x)dx totálním diferenciálem nějaké funkce F dvou proměnných (sr. 12.3.9), přičemž platí dF(t, x) = 0. Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně zadáno rovnicí F(t, x) = C, kde C je reálná konstanta. 17.2.2 Rovnice se separovanými proměnnými x = f(t)g(x) Rovností g(x) = 0 je implicitně zadáno singulární (konstantní) řešení. Rovností dx g(x) = f(t)dt je implicitně zadáno obecné řešení dané rovnice. Rovností x x0 d g() = t t0 f()d je implicitně zadáno partikulární řešení této rovnice, které splňuje počáteční podmínku (17.2). 281 17.2.3 Homogenní rovnice x = f x t Zavedeme funkci u = u(t) = x(t) t . Pak x(t) = tu(t), x = u + tu . Dosazením do původní rovnice dostaneme u = f(u) - u t , což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u. 17.2.4 Rovnice typu x = f at + bx + c t + x + 1. c = = 0. Pak f at + bx t + x = f a + bx t + x t a daná rovnice je homogenní. 2. c2 + 2 = 0, a = b = k. Zavedeme funkci u = u(t) = at + bx. Pak u = a + bx a tedy x = u - a b . Dosazením do původní rovnice dostaneme u = a + bf u + c ku + , což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u. 3. c2 + 2 = 0, a = b. Nechť m a n jsou řešením soustavy lineárních algebraických rovnic am + bn = -c m + n = - . Zavedeme funkce u = u(t) = t - m v = v(t) = x - n. Pak dt = du, dx = dv, at + bx + c = a(u + m) + b(v + n) + c = au + bv + (am + bn) + c = au + bv, t + x + = (u + m) + (v + n) + = u + v + (m + bn) + = u + v Daná rovnice přejde na tvar dv du = f au + bv u + v , což je rovnice typu 1. pro neznámou funkci v = v(u). 17.2.5 Lineární rovnice x = a(t)x + b(t) 1. b(t) 0 (homogenní rovnice) Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení počátečního problému (s podmínkou (17.2)) je: x x0 d = t t0 a()d ln x - ln x0 = t t0 a()d x = x0 exp t t0 a()d 282 Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat x = C exp t t0 a()d . 2. b(t) 0 (nehomogenní rovnice) Řešení hledáme ve tvaru x(t) = C(t) exp t t0 a()d (metoda variace konstanty). Pak x = (C (t) + a(t)C(t)) exp t t0 a()d. Dosazením do dané rovnice dosta- neme (C (t) + a(t)C(t)) exp t t0 a()d = a(t)C(t) exp t t0 a()d + b(t) C (t) = b(t) exp t0 t a()d C(t) - C(t0) = t t0 b() exp t0 a()d d Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je x(t) = const + t t0 b() exp t0 a()d d exp t t0 a()d . Partikulární řešení splňující počáteční podmínku (17.2) je x(t) = x0 + t t0 b() exp t0 a()d d exp t t0 a()d . Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) A, b(t) B, pak x(t) = x0 + B A eA(t-t0) - B A . Jiný postup při řešení nehomogenní rovnice: x - a(t)x = b(t) / e- a(t)dt x e- a(t)dt - a(t)xe- a(t)dt = b(t)e- a(t)dt d dt xe- a(t)dt = b(t)e- a(t)dt xe- a(t)dt = b(t)e- a(t)dt dt x = e a(t)dt b(t)e- a(t)dt dt 283 17.2.6 Bernoulliova rovnice x = a(t)x + b(t)xr , r R Zavedeme funkci u = u(t) = x(t)1-r . Pak x = u 1 1-r , x = 1 1 - r u 1 1-r -1 u . Dosadíme do dané rovnice: 1 1 - r u r 1-r u = a(t)u 1 1-r + b(t)u r 1-r / (1 - r)u r r-1 u = (1 - r)a(t)u + (1 - r)b(t) , Což je lineární rovnice pro neznámou funkci u. Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) A, b(t) B, lze použít substituci x = y - B A - 1 r-1 . pak x = - 1 r - 1 y - B A - 1 r-1 y a tedy - 1 r - 1 y - B A - 1 r-1 y = A + B y - B A -1 y - B A - 1 r-1 - 1 r - 1 y = A + B A Ay - B Ay - B A 1 1 - r y = A2 y - AB + AB Ay - B Ay - B A y = (1 - r)Ay, což je lineární homogenní rovnice. 17.2.7 Rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci F(t, x, x ) = 0 Zavedeme funkci p = p(t) = x (t). 1. Rovnice autonomní F(x, x ) = 0 Rovnicí F(x, p) = 0 může být implicitně zadána funkce p = p(x). Rovnici F(x, p(x)) = 0 derivujeme podle proměnné x: F x (x, p) + F p (x, p) dp dx = 0 dp dx = - F x (x, p) F p (x, p) , což je rovnice pro neznámou funkci p nezávisle proměnné x rozřešená vzhledem k derivaci. Je-li p = p(x) řešením poslední rovnice, pak rovnice se separovanými proměnnými x = p(x) je řešením původní rovnice; její obecné řešení je tedy implicitně zadáno rovnicí dx p(x) = t + const . 2. Rovnice nezávisející na neznámé funkci F(t, x ) = 0. Rovnici F(t, p) = 0 derivujeme podle proměnné t: F t (t, p) + F p (t, p) dp dt = 0 dp dt = - F t (t, p) F p (t, p) , 284 což je rovnice pro neznámou funkci p = p(t) rozřešená vzhledem k derivaci. Je-li p = p(t) řešením poslední rovnice, je funkce x = x(t) = p(t)dt obecným řešením dané rovnice. 3. Clairautova rovnice x = tx + g(x ). Rovnici x = tp + g(p) derivujeme podle proměnné t: p = p + t dp dt + g (p) dp dt 0 = (t + g (p)) dp dt Musí tedy být dp dt = 0 nebo t = -g (p). Z první rovnosti a dané rovnice dostaneme obecné řešení x(t) = ct + g(c), kde c R je libovolná konstanta; z druhé rovnice dostaneme parametrické vyjádření singulárního řešení t = -g (p) x = -pg (p) + g(p) , kde p je parametr. 4. Lagrangeova rovnice x = tf(x ) + g(x ). Rovnici x = tf(p) + g(p) derivujeme podle proměnné t: p = f(p) + tf (p) dp dt + g (p) dp dt p - f(p) = (tf (p) + g (p)) dp dt Má-li rovnice p-f(p) = 0 řešení p c, pak x(t) = ct+c1 je singulárním řešením dané rovnice. Konstantu c1 určíme dosazením do dané rovnice: ct + c1 = tf(c) + g(c) c1 = t(f(c) - c) + g(c) a poněvadž f(c) = c, je c1 = g(c). Singulární řešení Lagrangeovy rovnice tedy je x(t) = ct + g(c) , kde c je řešením rovnice c = f(c) (je pevným bodem funkce f). Pro p = f(p) dostaneme dt dp = tf (p) + g (p) p - f(p) , což je lineární rovnice pro neznámou funkci t nezávisle proměnné p. Označíme-li její řešení t = t(p) = (p), pak t = (p) x = f(p)(p) + g(p) je parametrickým vyjádřením obecného řešení Lagrangeovy rovnice. 17.2.8 Rovnice typu x = f(x) Rovnici vynásobíme 2x : 2x x = 2x f(x) d dt x 2 = 2 dx dt f(x) 285 Položíme-li p = x , máme d dt p2 = 2 dx dt f(x) dp2 dx dx dt = 2f(x) dx dt dp2 dx = 2f(x) p2 = 2 f(x)dx . Položíme dále F(x) = 2 f(x)dx a dostaneme p = F(x) dx dt = F(x) , což je rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými. 17.2.9 Rovnice typu F(t, x(k) , x(k+1) , . . . , x(n) ) = 0, k {1, 2, . . . , n - 1} Položíme y = y(t) = x(k) (t) a dostaneme rovnici F(t, y, y , y , . . . , y(n-k) ) = 0 , což je rovnice řádu o k nižšího, než daná rovnice. 17.2.10 Autonomní rovnice typu F(x, x , x , . . . , x(n) ) = 0 Položíme p = p(t) = x (t). Pak x = dp dt = dp dx dx dt = p dp dx x = d dt p dp dx = d dx p dp dx dx dt = dp dx 2 + p d2 p dx2 p . Postupujeme-li tak dále, vidíme, že x(k) = fk p, dp dx , . . . , dk-1 dxk-1 pro každé k N. (fk je nějaká funkce k proměnných.) Dosazením do původní rovnice tedy dostaneme F x, p, p dp dx , f3 p, dp dx , d2 p dx2 , . . . , fn p, dp dx , . . . , dn-1 dxn-1 = 0 , neboli G x, p, dp dx , . . . , dn-1 p dxn-1 = 0 , což je rovnice řádu o jedna nižšího, než daná rovnice. 17.2.11 Rovnice homogenní v x, x , x , . . . , x(n) Nechť F je funkce n + 1 proměnných splňující podmínku F(z0, cz1, cz2, . . . , czn) = cF(z0, z1, z2, . . . , zn) (17.9) 286 pro každé c R a každé (z0, z1, z2, . . . , zn) Dom F. Řešení rovnice F(t, x, x , x . . . , x(n) ) = 0 lze hledat ve tvaru x(t) = e y(t)dt , kde y = y(t) je nová neznámá funkce. Je totiž x = ye y(t)dt x = y e y(t)dt + y2 e y(t)dt = (y + y2 )e y(t)dt x = (y + 2yy )e y(t)dt + (y + y2 )y e y(t)dt = (y + 3yy + y3 )e y(t)dt ... Dosadíme-li z těchto rovnic do dané rovnice, vypadne vzhledem k podmínce (17.9) faktor e y(t)dt a dostaneme rovnici řádu o 1 nižšího, než byla daná rovnice. 17.2.12 Ekvidimensionální rovnice Řekneme, že rovnice F(t, x, x , . . . , x(n) ) = 0 je ekvidimensionální v nezávisle proměnné, jestliže změna měřítka nezávisle proměnné t at pro každé a R \ {0} nezmění její tvar. Transformace t = e převede danou rovnici na rovnici autonomní (typ 17.2.10). 17.3 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR Budeme se zabývat úlohou (17.3), (17.4). Pro vektor x = x1 x2 ... xn definujeme normu |x| = n i=1 |xi|. Poznamenejme, že funkce definovaná na (Rn ) 2 předpisem (x, y) = |x-y| je metrikou na Rn . (Je to taxíkářská metrika, 11.1.2.3.) 17.3.1 Lemma Buď f spojitá na G Rn+1 . Funkce x = x(t) je řešením úlohy (17.3), (17.4) na intervalu J právě tehdy, když pro každé t J je (t, x(t)) G a x(t) = x0 + t t0 f(s, x(s))ds . (17.10) D.: ,, Nechť x = x(t) je řešením úlohy (17.3), (17.4) na J. Pak d ds x(s) = f(s, x(s)) na J. Integrací této rovnosti podle s v mezích [t0, t] dostaneme: [x(s)]t t0 = t t0 f(s, x(s))ds x(t) - x(t0) = t t0 f(s, x(s))ds a vzhledem k (17.4) funkce x = x(t) splňuje (17.10). 287 ,, Nechť funkce x = x(t) splňuje (17.10). Pak x(t0) = x0 + t0 t0 f(s, x(s))ds = x0 , tedy je splněna podmínka (17.4). Derivováním (17.10) podle t dostaneme (17.3). Nechť C1 (J) je množina (vektorových) funkcí x = x(t) diferencovatelných na uzavřeném intervalu J takových, že x(t0) = x0 . Na této množině zavedeme metriku (x, y) = max{|x(t) - y(t)| : t J} (metrika stejnoměrné konvergence, sr. 11.1.2.4). Prostor (C1 (J), ) je úplný (sr. 11.4.2.4). Dále definujme zobrazení F : C1 (J) C1 (J) předpisem: F(x)(t) = x0 + t t0 f(s, x(s))ds . Řešení úlohy (17.3), (17.4), tedy funkce, která splňuje (17.10), je zřejmě pevným bodem zobrazení F. Podaří-li se tedy ukázat, že F je kontrakce úplného metrického prostoru (C1 (J), ) (sr. 11.5.9), z Banachovy věty 11.5.14 vyplyne, že existuje jediný pevný bod tohoto zobrazení, tedy že existuje jediné diferencovatelné řešení úlohy (17.3), (17.4). 17.3.2 Věta (Picard [1856 ­ 1941] ­ Lindelöf [1870 ­ 1946]) Buďte a, b R, a, b > 0, t0 R, x0 Rn . Označme ~J = [t0, t0 + a], D = {x Rn : |x - x0 | b}, m = max{|f(t, x)| : (t, x) ~J × D}, = min a, b m . Nechť funkce f : ~J × D Rn je spojitá a vzhledem k x Lipschitzovská (tj. existuje L R tak, že platí |f(t, x) - f(t, y)| L|x - y| pro všechna t ~J, x, y D). Pak existuje právě jedno řešení počátečního problému (17.3), (17.4) definované na intervalu J = [t0, t0 + ]. Toto řešení je (stejnoměrnou) limitou posloupnosti funkcí {xn(t)} n=1, kde x1 = x0 xk+1 = x0 + t t0 f(s, x(s))ds, k = 1, 2, 3, . . . D.: Funkce y(t) = F(x)(t) je podle 5.3.3 diferencovatelná, y (t) = f(t, x(t)). To znamená, že zobrazení F definované před větou zobrazuje C1 (J) do sebe. Buď K > L. Na C1 (J) zavedeme metriku vztahem (x, y) = max e-K(t-t0) |x(t) - y(t)| : t J . Tato metrika je na C1 (J) ekvivalentní s metrikou stejnoměrné konvergence , neboť e-K (x, y) (x, y) (x, y) . Prostor (C1 (J), ) je tedy úplný. Položme P = {x C1 (J) : |x(t) - x0 | b pro každé t J}. Podle 11.4.3 je (P, ) úplný prostor. Zobrazení F zobrazuje množinu P do sebe, neboť pro každou funkci x P platí |F(x)(t) - x0 | = t t0 f(s, x(s))ds t t0 |f(s, x(s))|ds (t - t0)m m b . 288 Ukážeme, že F je kontrakcí prostoru (P, ): (F(x), F(y)) e-K(t-t0) |F(x)(t) - F(y)(t)| = e-K(t-t0) t t0 f(s, x(s))ds - t t0 f(s, y(s))ds e-K(t-t0) t t0 |f(s, x(s)) - f(s, y(s))|ds e-K(t-t0) t t0 L|x(s) - y(s)|ds = = L t t0 e-K(t-s) e-K(s-t0) |x(s) - y(s)|ds L t t0 e-K(t-s) (x, y)ds = = L (x, y) 1 K e-K(t-s) t s=t0 = = L K (x, y) 1 - e-K(t-t0) L K (x, y) . Poněvadž L < K, je L K < 1, což znamená, že F je kontrakce. 17.3.3 Poznámky 1. Posloupnost funkcí zavedená v 17.3.2 se nazývá Picardova posloupnost postupných aproximací. 2. Analogické tvrzení platí, nahradíme-li v 17.3.2 interval ~J = [t0, t0+a] intervalem [t0-a, t0] nebo intervalem [t0 - a, t0 + a]. 3. Má-li funkce f(t, x) = f1(t, x1, x2, . . . , xn) f2(t, x1, x2, . . . , xn) ... fn(t, x1, x2, . . . , xn) ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn na množině ~J × D (zavedené v 17.3.2), pak jsou předpoklady Picardovy Lindelöfovy věty splněny. D.: Množina ~J × D je podle 11.4.8 kompaktní. Z ohraničenosti parciálních derivací funkce f plyne existence čísla M = max fi(t, x) xj : i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, (t, x) ~J × D . 289 Podle 12.2.4 je pro všechna t ~J a x, y D: |f(t, x) - f(t, y)| = n i=1 |fi(t, x) - fi(t, y)| = = n i=1 n k=1 fi xk (t, x1, x2, . . . , xk-1, k, yk+1, . . . , yn)(xk - yk) n i=1 n k=1 fi xk (t, x1, x2, . . . , xk-1, k, yk+1, . . . , yn) |xk - yk| n i=1 n k=1 M|xk - yk| = n i=1 M|x - y| = nM|x - y| , takže funkce f je vzhledem k x Lipschitzovská s konstantou nM. 17.3.4 Důsledky 1. Má-li (vektorová) funkce f(t, x) = f1(t, x1, x2, . . . , xn) f2(t, x1, x2, . . . , xn) ... fn(t, x1, x2, . . . , xn) ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém okolí bodu (t0, x0 ), pak počáteční problém (17.3), (17.4) má v okolí t0 jediné řešení. 2. Má-li (skalární) funkce f(t, x1, x2, . . . , xn) v jistém okolí bodu (t0, x0, x1 0, x2 0, . . . , xn 0 ) ohraničené parciální derivace podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn, pak počáteční problém (17.5), (17.6) má v okolí t0 jediné řešení. 17.3.5 Věta (Peano [1890]) Buďte a, b R, a, b > 0, t0 R, x0 Rn . Označme ~J = [t0, t0 + a], D = {x Rn : |x - x0 | b}, m = max{|f(t, x)| : (t, x) ~J × D}, = min a, b m . Nechť funkce f : ~J × D Rn je spojitá. Pak existuje alespoň jedno řešení počátečního problému (17.3), (17.4) definované na intervalu J = [t0, t0 + ]. D.: Viz Kalas, Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice, str. 67­70. 17.4 Globální vlastnosti řešení systému ODR 17.4.1 Věta (o existenci úplného řešení) Nechť funkce f : G Rn je spojitá na otevřené množině G Rn+1 . Je-li x = x(t) řešení rovnice (17.3), pak je toto řešení buď úplné, nebo existuje úplné řešení y = y(t), které je prodloužením řešení x. D.: Viz Kalas, Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice, str. 73­76. 17.4.2 Definice Buď G Rn+1 . Řekneme, že funkce f : G Rn je lokálně lipschitzovská v G vzhledem k x, jestliže ke každému (, a) G existuje okolí O,a G a číslo L,a R tak, že pro všechna (t, x), (t, y) O,a platí |f(t, x) - f(t, y)| L,a|x - y|. 290 17.4.3 Věta (o globální jednoznačnosti) Nechť funkce f : G Rn je spojitá a lokálně lipschitzovská v G vzhledem k x a nechť x = x(t), y = y(t) jsou dvě řešení (17.3). Jestliže existuje t0 takové, že x(t0) = y(t0), pak x(t) = y(t) pro všechna t, v nichž jsou řešení x, y definována. D.: Připusťme, že existuje b > t0 takové, že x(b) = y(b). Označme c = inf{t : x(t) = y(t)}. Funkce x, y jsou spojité (poněvadž jsou diferencovatelné). Ukážeme, že x(c) = y(c): Připusťme, že x(c) = y(c). Položme = |x(c) - y(c)|. K 4 > 0 existuje > 0 tak, že pro každé t (c - , c) je |y(t) - y(c)| < 4 a |x(t) - x(c)| < 4 . Poněvadž pro t (c - , c) je x(t) = y(t), platí pro t (c - , c): = |x(c) - y(c)| = |x(c) - x(t) + y(t) - y(c)| |x(c) - x(t)| + |y(t) - y(c)| 4 + 4 = 2 , což je spor a tedy x(c) = y(c). Podle 17.3.2 existuje takové, že pro t [c, c + ] je x(t) = y(t), což je spor. 17.4.4 Definice Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (17.3) definované na intervalu (S, T), kde - S < T . Řekneme, že Rn je -limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk} k=1 taková, že tk < T pro všechna k N, lim k tk = T a lim k x(tk) = . Řekneme, že Rn je -limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk} k=1 taková, že tk > S pro všechna k N, lim k tk = S a lim k x(tk) = . Řekneme, že Rn je limitní bod řešení x, jestliže je -limitním bodem nebo -limitním bodem. Množina všech -limitních bodů řešení x se nazývá -limitní množina řešení x, množina všech -limitních bodů řešení x se nazývá -limitní množina řešení x, množina všech limitních bodů řešení x se nazývá limitní množina řešení x. 17.4.5 Příklady 1. x = eat je úplné řešení rovnice x = ax definované na intervalu (-, ). Je-li a > 0, je 0 -limitním bodem tohoto řešení a -limitní body toto řešení nemá. Je-li a < 0, je 0 -limitním bodem tohoto řešení a -limitní body toto řešení nemá. Je-li a = 0, je 1 - i -limitním bodem tohoto řešení. 2. x = sin 1 t je úplné řešení rovnice x = cos 1 t t2 definované na intervalu (-, 0). Interval [-1, 1] je -limitní množinou tohoto řešení. 3. x = cos tg t y = sin tg t je úplné řešení soustavy rovnic x = - y cos2 t y = x cos2 t definované na intervalu - 2 , 2 . Limitní množina tohoto řešení je {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}. 17.4.6 Věta Nechť funkce f : G Rn je spojitá na otevřené množině G Rn+1 a x = x(t) je úplné řešení rovnice (17.3) definované na intervalu (S, T). Pak platí: T = nebo každý -limitní bod řešení x leží na hranici G. S = - nebo každý -limitní bod řešení x leží na hranici G. D.: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (17.3) definované na intervalu (S, T), T < a buď jeho -limitní bod. Kdyby (T, ) G, pak by existovalo okolí OT, bodu (T, ) takové, že OT, G, neboť G je otevřená. 291 Podle 17.3.5 by existovalo řešení y = y(t) rovnice (17.3) s počáteční podmínkou y(T) = definované na [T, T + ], kde je vhodné (malé) číslo. Funkce z = z(t) = x(t), S < t < T y(t), T + by byla řešením rovnice (17.3), které by bylo prodloužením řešení x, což by byl spor s úplností řešení x. Pro -limitní bod se důkaz provede analogicky s využitím ,,levostranné varianty věty 17.3.5. 17.4.7 Důsledek Nechť J = [t0, ), D = {x Rn : |x| < a}, kde t0 R a 0 < a a nechť funkce f : J × D Rn je spojitá. Jestliže existuje spojitá funkce g : J R taková, že úplné řešení x = x(t) rovnice (17.3) definované na (S, T) splňuje pro každé t [t0, T) podmínku |x(t)| g(t) < a, pak T = . 17.4.8 Důsledek Nechť J = [t0, ) a funkce f : J × Rn Rn je spojitá. Jestliže existuje m R takové, že pro každé (t, x) J ×Rn Rn platí |f(t, x)| m, pak každé úplné řešení rovnice (17.3) je definováno pro všechna t t0. D.: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (17.3). Podle 17.3.1 je x(t) = x(t0) + t t0 f(s, x(s))ds . Pro každé t, pro něž je x(t) definováno, platí |x(t)| = x(t0) + t t0 f(s, x(s))ds |x(t0)| + t t0 |f(s, x(s))|ds |x(t0)| + m(t - t0) . Tvrzení tedy plyne z 17.4.7, položíme-li g(t) = |x(t0)| + m(t - t0). Toto tvrzení umožňuje rozhodnout, zda lze každé řešení rovnice (17.3) prodloužit do nekonečna, aniž bychom toto řešení znali. 17.4.9 Věta (o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech) Buď otevřená množina v R1+n+m a nechť funkce g : Rn je taková, že pro všechna (, , ) , R, Rn , Rm má počáteční problém x = g(t, x, ), x() = právě jedno úplné řešení x = x(t) = x(t; , , ). Pak toto řešení, chápané jako zobrazení R1+1+n+m Rn , je spojité. D.: Viz Kalas, Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice, str. 82­83. Tato věta říká, že změní-li se málo funkce f v rovnici (17.3) a málo se změní počáteční podmínka (17.4), pak se řešení nového -- změněného -- problému liší na konečném intervalu málo od řešení původního problému. 292 17.5 Systémy lineárních ODR 17.5.1 Poznámky 1. Normy vektorů a matic Normu vektoru x = x1 x2 ... xn definujeme předpisem |x| = n i=1 |xi|. Normu matice A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . ann definujeme předpisem |A| = n i,j=1 |aij|. Na množině vektorů zavádíme metriku (x, y) = |x - y|, na množině matic zavádíme metriku (A, B) = |A - B|. 2. Platí: |A x| |A| |x|. D.: Pro libovolné i, k {1, 2, . . . , n} je |aik| n j=1 |aij|. Odtud plyne |Ax| = n k=1 aikxk = n i=1 n k=1 aikxk n i=1 n k=1 |aik| |xk| = n k=1 |xk| n i=1 |aik| n k=1 |xk| n i=1 n j=1 |aij| = n k=1 |xk| n i=1 n j=1 |aij| . 3. Vektorové a maticové funkce x(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) = (xi(t)), dx dt (t) = x (t) = (xi(t)) , t t0 x(s)ds = t t0 xi(s)ds A(t) = a11(t) a12(t) . . . a1n(t) a21(t) a22(t) . . . a2n(t) ... ... ... ... an1(t) an2(t) . . . ann(t) = (aij(t)) , dA dt (t) = A (t) = aij(t) , t t0 A(s)ds = t t0 ai,j(s)ds Vektorová (maticová) funkce je spojitá, jsou-li všechny její složky spojité. Systém lineárních obyčejných diferenciálních rovnic je tvaru x1(t) = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . . + a1n(t)xn + b1(t) x2(t) = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . . + a2n(t)xn + b2(t) ... ... ... ... ... ... xn(t) = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . . + ann(t)xn + bn(t) 293 Při označení A(t) = a11(t) a12(t) . . . a1n(t) a21(t) a22(t) . . . a2n(t) ... ... ... ... an1(t) an2(t) . . . ann(t) , b(t) = b1(t) b2(t) ... bn(t) , x(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) lze tento systém zapsat v maticovém tvaru x = A(t) x + b(t) . (17.11) Tuto rovnici nazýváme nehomogenní lineární rovnicí. Spolu s rovnicí 17.11 budeme uvazovat počáteční pod- mínku x(t0) = x0 . (17.12) 17.5.2 Věta o existenci a jednoznačnosti řešení Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová funkce b = b(t) jsou spojité na intervalu J R. Pak má počáteční problém (17.11), (17.12) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu J. D.: Vzhledem k 17.3.2 a 17.4.3 stačí ukázat, že ke každému J existuje okolí O J takové, že funkce A(t)x + b(t) je Lipschitzovská vzhledem k x na Rn × O . Je-li vnitřní bod intervalu J, existuje a R, a > 0 takové, že [ - a, + a] J. Položme L = max{|A(t)| : t [ - a, + a]} (toto maximum existuje podle 2.2.12), O = ( - a, + a). Pak pro každé t O a každé dva vektory x, y Rn platí podle 17.5.1.2 |A(t)x + b(t) - (A(t)y + b(t))| = |A(t)x - A(t)y| = |A(t)(x - y)| |A(t)| |x - y| L |x - y| . Je-li pravý krajní bod intervalu J, položíme O = ( - a, ], L = max{|A(t)| : - a t } a provedeme analogickou úvahu. Pro levý krajní bod intervalu J provedeme důkaz podobně. 17.5.3 Poznámka Řešení problému (17.11), (17.12) lze hledat jako limitu Picardovy posloupnosti postupných aproximací. Zejména pro A(t) = A = (aij) (konstantní matice) a b(t) 0 je (označíme-li E jednotkovou matici): x0 (t) = x0 = (x0 i ) x1 (t) = x0 + t t0 A x0 ds = x0 i + t t0 n j=1 aijx0 j ds = x0 i + n j=1 aijx0 j (t - t0) x2 (t) = x0 + t t0 n k=1 aik x0 k + n j=1 akjx0 j (s - t0) ds = = x0 + n k=1 aikx0 k(t - t0) + n k=1 n j=1 aikakjx0 j (t - t0)2 2 = = x0 + A x0 (t - t0) + (A A) x0 (t - t0)2 2 = E + A(t - t0) + A2 2 (t - t0)2 x0 ... xk (t) = E + A(t - t0) + A2 2! (t - t0)2 + + Ak k! (t - t0)k x0 ... 294 Rovnici x = A(t) x (17.13) nazýváme lineární homogenní rovnicí přidruženou k (17.11). 17.5.4 Věta (princip superpozice) Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení rovnice (17.13), pak také c1x(t) + c2y(t), kde c1, c2 jsou konstanty, je řešením rovnice (17.13). D.: d dt (c1x + c2y) = c1x + c2y = c1A(t) x + c2A(t) y = A(t) (c1x) + A(t) (c2y) = A(t) (c1x + c2y) 17.5.5 Věta Je-li maticová funkce A = A(t) = (aij(t))n i,j=1 spojitá na intervalu J, pak množina všech řešení rovnice (17.13) tvoří n-rozměrný vektorový prostor. D.: x(t) o je řešením rovnice (17.13). Podle 17.5.4 je libovolná lineární kombinace řešení (17.13) řešením (17.13). Je-li x1 , x2 , . . . , xn báze n-rozměrného vektorového prostoru a yk = yk (t) jsou řešení rovnice (17.13) s počátečními podmínkami yk (t0) = xk , k = 1, 2, . . . , n, pak y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) jsou lineárně nezávislé pro každé t J: Kdyby existovalo t1 J a konstanty c1, c2, . . . , cn ne všechny rovny nule takové, že c1y1 (t1) + c2y2 (t1) + + cnyn (t1) = o, pak by podle 17.5.4 také z = z(t) = c1y1 (t)+c2y2 (t)+ +cnyn (t) bylo řešením rovnice (17.13) s počáteční podmínkou z(t1) = o. Poněvadž ale x(t) o je řešením (17.13), vzhledem k jednoznačnosti řešení (sr. 17.5.2) by z(t) o. Zejména tedy z(t0) = c1y1 (t0) + c2y2 (t0) + + cnyn (t0) = c1x1 + c2x2 + + cnxn = o, což by byl spor s lineární nezávislostí vektorů x1 , x2 , . . . , xn . Dimense prostoru všech řešení je tedy alespoň n. Buď ~y = ~y(t) libovolné řešení rovnice (17.13) a položme ~x = ~y(t0). Pak ~x = 1x1 + 2x2 + + nxn pro vhodné konstanty 1, 2, . . . , n, neboť x1 , x2 , . . . , xn je báze. To znamená, že ~y(t0) = 1y1 (t0) + 2y2 (t0) + + nyn (t0). Podle principu superpozice je z(t) = ~y(t) - 1y1 (t) - 2y2 (t) - - nyn (t) také řešením rovnice (17.13); přitom z(t0) = o. Vzhledem k jednoznačnosti řešení rovnice (17.13) je z(t) = o pro všechna t J a tedy ~y(t) = 1y1 (t) + 2y2 (t) + + nyn (t) pro všechna t J. To znamená, že funkce y1 = y1 (t), y2 = y2 (t), . . . , yn = yn (t) tvoří bázi prostoru všech řešení rovnice (17.13). 17.5.6 Definice Libovolná báze prostoru všech řešení rovnice (17.13) se nazývá fundamentální systém řešení rovnice (17.13). Nechť y1 = y1 (t), y2 = y2 (t), . . . , yn = yn (t) je fundamentální systém řešení rovnice (17.13). Obecné řešení této rovnice je y = y(t) = c1y1 (t) + c2y2 (t) + + cnyn (t) . Označme Y = Y (t) = y1 1(t) y2 1(t) . . . yn 1 (t) y1 2(t) y2 2(t) . . . yn 2 (t) ... ... ... ... y1 n(t) y2 n(t) . . . yn n(t) , c = c1 c2 ... cn . Matice Y = Y (t) se nazývá fundamentální matice řešení systému (17.13). Tato matice je v důsledku lineární nezávislosti sloupců regulární, det Y (t) = 0 pro každé t J. Obecné řešení rovnice (17.13) lze zapsat y = y(t) = Y (t) c . 295 Partikulární řešení počátečního problému (17.11), (17.12) je y = y(t) = Y (t) c0 , kde c0 = Y (t0)-1 x0 . Tedy y = y(t) = Y (t) Y (t0)-1 x0 . Pro fundamentální matici řešení systému (17.13) Y = Y (t) zřejmě platí Y (t) = A(t) Y (t). 17.5.7 Věta Obecné řešení rovnice (systému) (17.11) je součtem obecného řešení přidružené homogenní rovnice (17.13) a nějakého partikulárního řešení rovnice (17.11): x(t) = Y (t) c + ~x(t) , kde Y (t) je fundamentální matice řešení rovnice (17.13) a ~x(t) je libovolné řešení rovnice (17.11). D.: x(t) = Y (t)c+~x(t) je řešením rovnice (17.11), neboť x = Y c+~x = AY c+A~x+b = A(Y c+~x)+b. Řešení problému (17.11), (17.12) je x(t) = Y (t) c0 + ~x(t), kde c0 = Y (t0)-1 (x0 - ~x(t0)). 17.5.8 Nalezení partikulárního řešení rovnice (17.11) -- metoda variace konstant Řešení rovnice (17.11) hledáme ve tvaru ~x = ~x(t) = Y (t) c(t), kde c = c(t) je nějaká vektorová funkce. Pak ~x = Y c + Y c = A Y c + Y c ~x = A ~x + b = A Y c + b Odtud Y (t) c (t) = b(t) c (t) = Y (t)-1 b(t) c(t) = + t t0 Y (s)-1 b(s)ds , kde je konstantní vektor. Obecným řešením rovnice (17.11) je tedy x(t) = Y (t) + t t0 Y (t) Y (s)-1 b(s)ds . Aby toto řešení splňovalo počáteční podmínku (17.12), musí platit x0 = Y (t0) , neboli = Y (t0)-1 x0 . Řešení počátečního problému (17.11), (17.12) je tedy x(t) = Y (t) Y (t0)-1 x0 + t t0 Y (t) Y (s)-1 b(s)ds . 17.6 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu x(n) + an-1(t)x(n-1) + an-2(t)x(n-2) + + a1(t)x + a0(t)x = f(t) , (17.14) funkce an-1, an-2, . . . , a1, a0, f jsou definované na nějakém intervalu J R. Je-li f(t) 0, rovnice se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní. Rovnice x(n) + an-1(t)xn-1 + an-2(t)xn-2 + + a1(t)x + a0(t)x = 0 (17.15) 296 se nazývá přidružená homogenní rovnice k rovnici (17.14). Spolu s rovnicí (17.14) uvažujeme počáteční podmínky x(t0) = x0, x (t0) = x1 0, . . . , x(n-1) (t0) = xn-1 0 . (17.16) Podle 17.1.10 je rovnice (17.14) ekvivalentní s vektorovou rovnicí (se systémem rovnic) x1 = x2 x2 = x3 ... xn-1 = xn xn = -an-1(t)xn - an-2(t)xn-1 - - a1(t)x2 - a0(t)x1 + f(t) Odtud a z 17.5.2, 17.5.4 a 17.5.5 plynou 17.6.1 Věta (o existenci a jednoznačnosti řešení) Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an-1, f spojité na intervalu J R a t0 J, pak má počáteční problém (17.14), (17.16) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu J. 17.6.2 Věta (princip superpozice) Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešením homogenní lineární rovnice (17.15) a c1, c2 jsou libovolné konstanty, pak také z = z(t) = c1x(t) + c2y(t) je řešením této rovnice. 17.6.3 Věta Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an-1 spojité na intervalu J R, pak množina všech řešení rovnice (17.15) tvoří n-rozměrný vektorový prostor. 17.6.4 Definice Báze x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t) vektorového prostoru všech řešení rovnice (17.15) se nazývá fundamentální systém řešení rovnice (17.15). Řešení x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xk = xk(t) rovnice (17.14) jsou lineárně nezávislá na intervalu J, jsou-li vektory x1(t) x1(t) ... x (n-1) 1 (t) , x2(t) x2(t) ... x (n-1) 2 (t) , . . . , xk(t) xk(t) ... x (n-1) k (t) , lineárně nezávislé pro každé t J. Tvoří-li funkce x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t) fundamentální systém řešení rovnice (17.15), pak obecné řešení této rovnice je x = x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + + cnxn(t), kde c1, c2, . . . , cn jsou konstanty. 17.6.5 Definice Buďte 1, 2, . . . , m funkce. Funkce W = W(t) = W(t; 1, 2, . . . , m) = det 1(t) 2(t) . . . m(t) 1(t) 2(t) . . . m(t) ... ... ... ... (m-1) 1 (t) (m-1) 2 (t) . . . (m-1) m (t) se nazývá wronskián funkcí 1, 2, . . . , m. 297 17.6.6 Věta Funkce x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice (17.15) právě tehdy, když každé z nich je řešením této rovnice a jejich wronskián je v nějakém bodě intervalu J nenulový. D.: plyne z poznámek za 17.5.6. Z jednoznačnosti řešení rovnice (17.15) také plyne, že je-li wronskián řešení rovnice 17.15 nenulový v jednom bodě intervalu J, pak je nenulový ve všech bodech intervalu J. 17.6.7 Věta Buď x1, x2, . . . , xn fundamentální systém řešení rovnice (17.15). Obecné řešení rovnice (17.14) je x = x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + + cnxn(t) + ~x(t) , kde c1, c2, . . . , cn jsou konstanty a ~xn je libovolné partikulární řešení rovnice (17.14). D.: plyne z 17.5.7. 17.6.8 Metoda variace konstant Řešení rovnice (17.14) hledáme ve tvaru ~x = ~x(t) = c1(t)x1(t) + c2(t)x2(t) + + cn(t)xn(t) , kde c1(t), c2(t), . . . , cn(t) jsou funkce a x1(t), x2(t) . . . , xn(t) je fundamentální systém řešení rovnice (17.15). O funkcích c1, c2, . . . , cn budeme předpokládat, že splňují systém rovnic c1x1 + c2x2 + + cnxn = 0 c1x1 + c2x2 + + cnxn = 0 ... c1x (n-2) 1 + c2x (n-2) 2 + + cnx (n-2) n = 0 (17.17) Pak ~x = c1x1 + c1x1 + + cnxn + cnxn = c1x1 + + cnxn ~x = c1x1 + c1x1 + + cnxn + cnxn = c1x1 + + cnxn ... ~x(n-1) = c1x (n-1) 1 + + cnx(n-1) n ~x(n) = c1x (n-1) 1 + c1x (n) 1 + cnx(n-1) n + cnx(n) Současně ale platí ~x(n) = -an-1(t)~x(n-1) - an-2(t)~x(n-2) - - a1(t)~x - a0(t)~x + f(t) = = -an-1(c1x (n-1) 1 + + cnx(n-1) n ) - - a1(c1x1 + + cnxn) - a0(c1x+ 1 + cnxn) + f = = c1(-an-1x (n-1) 1 - - a1x1 - a0x1) + + cn(-an-1x(n-1) n - - a1xn - a0xn) + f = = c1x (n) 1 + + cnx(n) n + f . (Poslední rovnost plyne z toho, že x1, x2, . . . , xn jsou řešeními přidružené homogenní rovnice.) Celkem tedy dostaneme c1x (n-1) 1 + + cnx(n-1) n = f (17.18) Systém rovnic (17.17) a (17.18) je soustava n lineárních rovnic pro n neznámých c1, c2, . . . , cn. Determinant této soustavy je wronskián fundamentálního systému řešení rovnice (17.15), je tedy podle 17.6.6 různý od 0 a systém rovnic (17.17), (17.18) má jediné řešení c1(t) = 1(t), c2(t) = 2(t), . . . , cn(t) = n(t). Integrací těchto rovnic určíme c1(t), c2(t), . . . , cn(t). 298 17.6.9 Homogenní lineární rovnice s konstatntními koeficienty x(n) + an-1xn-1 + an-2xn-2 + + a1x + a0x = 0 . (17.19) Řešení předpokládáme ve tvaru x(t) = et . Pak x (t) = et , x (t) = 2 et , . . . , x(n) (t) = n et a tedy n et + an-1n-1 et + an-2n-2 et + + a1et + a0et = 0 n + an-1n-1 + an-2n-2 + + a1 + a0 = 0 . Poslední rovnice se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice (17.19) (i) Jsou-li 1, 2 dva různé kořeny charakteristické rovnice, pak x1(t) = e1t , x2(t) = e2t jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (17.19). D.: Že to jsou řešení, je vidět z předchozí úvahy, lineárně nezávislé jsou proto, že vektory 1 1 2 1 ... n-1 1 a 1 2 2 2 ... n-1 2 jsou pro 1 = 2 lineárně nezávislé. (ii) Je-li 0 k-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce x1(t) = e0t , x2(t) = te0t , x3(t) = t2 e0t , . . . , xk(t) = tk-1 e0t jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (17.19). D.: Jsou-li e0t , e1t řešení rovnice (17.19), pak podle 17.6.2 je také funkce e0t - e1t 0 - 1 řešením rovnice (17.19). Limitním přechodem 1 0 s využitím 2.5.6 dostaneme, že 0 - te0t -1 = te0t je také řešením (17.19) (sr. 17.4.9). Analogicky lze ukázat, že také t2 e0t , t3 e0t , . . . , tk-1 e0t jsou řešení rovnice (17.19). Dále je W(0; e0t , te0t , t2 e0t , . . . , tk-1 e0t ) = = det 1 0 0 . . . 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 . . . 0 2 0 20 2 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... k-1 0 (k - 1)k-2 0 2 k - 1 2 . . . ! k - 1 k- -1 0 . . . (k - 1)! = 0 , takže funkce x1(t) = e0t , x2(t) = te0t , x3(t) = t2 e0t , . . . , xk(t) = tk-1 e0t jsou lineárně nezávislé. (iii) Jsou-li 1 = + i, 2 = - i k-násobné komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice, pak x1(t) = et cos t, x2(t) = tet cos t, x3(t) = t2 et cos t, . . . , xk(t) = tk-1 et cos t, xk+1(t) = et sin t, xk+2(t) = tet sin t, xk+3(t) = t2 et sin t, . . . , x2k(t) = tk-1 et sin t jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (17.19). D.: t e(+i)t , t e(-i)t , 0 < k jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (17.19) podle (ii). Tedy také x +1(t) = 1 2 t e(+i)t + t e(-i)t = t et cos t xk+ +1(t) = 1 2 t e(+i)t - t e(-i)t = t et sin t jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (17.19). 299 17.6.10 Eulerova rovnice tn x(n) + an-1tn-1 xn-1 + an-2tn-2 xn-2 + + a1tx + a0x = f(t) Zavedeme substituci t = e , tj. = ln t. Pak x = dx dt = dx d d dt = 1 t dx d x = d dt 1 t dx d = - 1 t2 dx d + 1 t d2 x d2 d dt = 1 t2 d2 x d2 - dx d x = d dt 1 t2 d2 x d2 - dx d = - 2 t3 d2 x d2 - dx d + 1 t2 d3 x d3 - d2 x d2 d dt = 1 t3 d3 x d3 - 3 d2 x d2 + 2 dx d ... Dosadíme-li do dané rovnice, vypadnou faktory t, t2 , . . . , tn , takže dostaneme rovnici s konstantními koeficienty. 17.6.11 Riccatiho rovnice x = P(t)x2 + Q(t)x + R(t) Zavedeme substituci x(t) = y (t) P(t)y(t) . Pak x = Pyy - (P y + Py )y P2y2 = - y Py + P y P2y + y 2 Py2 a tedy - y Py + P y P2y + y 2 Py2 = Py 2 P2y2 - Qy Py + R - y Py + 1 Py P P + Q y - R = 0 y - P P + Q y - PRy = 0 , což je lineární homogenní rovnice druhého řádu. 17.6.12 Nalezení fundamentálního systému řešení rovnice x + P(t)x + Q(t)x = 0 v případě, že jedno řešení je známé Předpokládejme, že známe jedno nekonstantní řešení x1 = x1(t) dané rovnice. Zavedeme substituci x(t) = x1(t)y(t). Pak x = x1y + x1y , x = x1 y + 2x1y + x1y , tedy x1 y + 2x1y + x1y + Px1y + Px1y + Qx1y = 0 x1y + (2x1 + Px1)y + (x1 + Px1 + Qx1) y = 0 y + P + 2 x1 x1 y = 0 , což je rovnice typu 17.2.9 pro neznámou funkci y = y(t). Položíme z(t) = y (t). Pak z = - P(t) + 2 x1(t) x1(t) z ln z = dz z = - P(t) + 2 x1(t) x1(t) dt = - P(t)dt - ln(x1(t))2 z(t) = 1 (x1(t))2 e- P (t)dt . Odtud plyne, že y(t) = 1 (x1(t))2 e- P (t)dt dt 300 a tedy druhé řešení dané rovnice je x2(t) = x1(t) 1 (x1(t))2 e- P (t)dt dt . Poněvadž platí W(t, x1, x2) = x1 x1 1 x2 1 e- P x1 x1 1 x2 1 e- P + 1 x1 e- P = e- P (t)dt > 0 , tak x1 = x1(t), x2 = x2(t) tvoří fundamentální systém řešení dané rovnice. 17.7 Cvičení Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy) 1) 2t(2x - 3)dt + (t2 + 1)dx = 0 2) dx dt = et-x 3) tex dx + t2 + 1 x dt = 0 4) 1 + t2 dx + x2 - 1 dt = 0 5) t2 dx + (x2 - tx)dt = 0 6) dt dx = t + x x - t 7) t sin x t - x cos x t dt + t cos x t dx = 0 8) 2 dx dt - x = et/2 9) tdx + xdt = sin tdt 10) (t - 1)3 x + 4(t - 1)2 x = t + 1 11) e2x dt + 2(te2x - x)dx = 0 12) (x2 + 1)dt + (2tx + 1)dx = 0 13) (t + x)dt + (t + x2 )dx = 0 14) tdx - xdt + t3 dt = 0 15) (t2 + t - x)dt + tdx = 0 16) (cos t + x cos t)dt + dx = 0; x(/2) = 0 17) x + 2x = t; x(0) = 2 18) (t + 2x)dt + (x + 2t)dx = 0; x(1) = 1 19) Určete konstanty a, b, c tak, aby rovnice (at2 + bx2 )dt + ctx dx = 0 byla exaktní a vyřešte ji. Řešte rovnice 20) d2 x dt2 + dx dt = 0 21) x + tx = 0 22) tx - 2x = 0 23) Předmět o hmotnosti m je v čase t0 = 0 shozen s věže. Odpor vzduchu je přímo úměrný rychlosti jeho pádu. Určete, jakou dráhu urazí za čas t. Ukažte, že x = u(t) je řešením dané rovnice a rovnici vyřešte. 24) u = t2 ; t2 x - 2x = 0 25) u = t; x + x 4t2 = 0 (t > 0) Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy) 26) x + 2x = 0 27) x + 6x + 5x = 0 28) x + 6x + 9x = 0 29) x - 2x + 4x = 0 30) x - x = 0; x(0) = 1, x (0) = -2 31) x + 4x = 0; x(0) = 0, x (0) = 2 32) x + x = t 33) x + x = sin t 34) x - x = et 35) x - 3x - 10x = -3 36) x - x = sin t 37) x - 3x = e3t - 12t 38) x + x = cotg t 39) x - 8x = e8t 40) x + 2x = t2 - et Řešte systémy rovnic 41) x = -2x + y 42) x = -x - 2 3 y + 1 3 et y = 3x - 4y y = 4 3 x + y - t 43) x + 3x + 2y = 5 sin t 44) 4x + 9y + 2x + 31y = et y - 2x + 7y = 8 cos t 3x + 7y + x + 24y = 3 Výsledky: 1)x = 3 2 + C (t2 + 1)2 2)ex = et +C 3)ex (x-1)+ t2 2 +ln |t| = C 4)(x+ x2 - 1 )(t+ t2 + 1 ) = C 5)x = t ln |t| + C 6) 1 2 ln(t2 + x2 ) + arctg x t = C 7)x = t arcsin C t 8)x = t + C 2 et/2 9)x = C - cos t t 10)x = t3 - 3t + C 3(t - 1)4 11)t = x2 + C 2 e-2x 12)t = C - x x2 + 1 13) t2 2 +tx+ x3 3 = C 14)x = Ct- t3 2 15)x = Ct-t2 -t ln |t| 16)x = e1-sin t - 1 17)x = t 2 + 9 4 e-2t - 1 4 18)t2 + 4tx + x2 = 6 19)c = 2b; at3 3 + btx2 = C 20)x = C1e-t + C2 301 21)x = C1 e-t2 /2 dt + C2 22)x = C1t4 + C2t + C3 23)t = mgt k + m2 g k2 (e-kt/m - 1) 24)x = C1 t + C2t2 25)x = t (C1 ln |t| + C2) 26)x = C1 + C2e-2t 27)x = C1e-t + C2e-5t 28)x = (C1 + C2t)e-3t 29)x = et (C1 cos 3 t + C2 sin 3 t) 30)x = 3e-t - et 2 31)x = sin 2t 32)x = C1 + C2e-t + t2 2 - t 33)x = C1 cos t + C2 sin t t cos t 2 34)x = C1et + C2e-t + tet 2 35)x = C1e5t + C2e-2t + 3 10 36)x = C1 +C2et + cos t - sin t 2 37)x = C1 +C2e3t +2t2 + te3t + 4t 3 38)x = C1 cos t+C2 sin t-sin t ln 1 + cos t sin t 39)x = C1 + C2 + t 8 e8t 40)x = C1 + C2e-2t + t3 6 - t2 4 + t 4 - et 3 41)x = Ae-t + Be-5t , y = Ae-t - 3Be-5t 42)x = Aet/3 + Be-t/3 - 6t, y = -2Aet/3 - Be-t/3 + 9t + 1 2 et + 9 43)x = Ae-5t + Bte-5t + 365 338 sin t - 307 338 cos t, y = 2A-B 2 e-5t + Bte-5t + 144 338 sin t + 278 338 cos t 44)x = e-4t (A cos t + B sin t) + 31 26 et - 93 17 , y = e-4t ((B - A) cos t - (B + A) sin t) - 2 13 et + 6 17 17.8 Kontrolní otázky 1) Uveďte Definici x.y.z; - definici (definovaný pojem) vysvětlete - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem - presentujte přehled základních vlastností - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití 2) Formulujte Větu x.y.z; - vysvětlete předpoklady - vysvětlete tvrzení - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte - presentujte teoretický a případně praktický význam 3) Vyřešte příklad x.y.z; - popište jednotlivé kroky postupu - citujte použitá tvrzení - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte 302 Kapitola 18 Doplněk 18.1 Eulerova numerická metoda řešení ODR Uvažujme počáteční problém (17.3), (17.4). Pro malé h > 0 platí f(t, x(t)) = x (t) x(t + h) - x(t) h . Označme x0 = x(t0), x1 = x(t0 + h), x2 = x(t0 + 2h), . . . , xk = x(t0 + kh), . . . Pak je x1 x0 + hf(t0, x0 ) = ~x1 x2 x1 + hf(t0 + h, x1 ) ~x1 + f(t0 + h, ~x1 ) ... xk xk-1 + hf(t0 + kh, xk-1 ) ~xk-1 + f(t0 + kh, ~xk-1 ) ... Konečná posloupnost ~xk K k=0 definovaná rekuretně ~x0 = x0 ~xk = ~xk-1 + hf t0 + kh, ~xk-1 , k = 1, 2, . . . , K aproximuje řešení úlohy (17.3), (17.4) v bodech t0, t0 + h, . . . , t0 + Kh. 303