Aplikace integrálního počtu 

Délka křivky 

Určete délku grafu funkce  

> k:=ln(x);
 

(Typesetting:-mprintslash)([k := ln(x)], [ln(x)]) 

> plot(ln(x), x=sqrt(3)..sqrt(15));
 

Plot 

> diff(ln(x), x);
 

1/x 

> plot(%, x=sqrt(3)..sqrt(15));
 

Plot 

> l:=Int(sqrt(1+(Diff(k,x))^2), x=sqrt(3)..sqrt(15));
 

(Typesetting:-mprintslash)([l := Int((1+(Diff(ln(x), x))^2)^(1/2), x = 3^(1/2) .. 15^(1/2))], [Int((1+(Diff(ln(x), x))^2)^(1/2), x = 3^(1/2) .. 15^(1/2))]) 

> l:=Int(sqrt(1+(diff(k,x))^2), x=sqrt(3)..sqrt(15));
 

(Typesetting:-mprintslash)([l := Int((1+1/x^2)^(1/2), x = 3^(1/2) .. 15^(1/2))], [Int((1+1/x^2)^(1/2), x = 3^(1/2) .. 15^(1/2))]) 

> with(student):
 

> simplify(changevar(x^2+1=t^2, l, t));
 

Int(t^2/(-1+t^2), t = 2 .. 4) 

> value(%);
 

2+ln(3)-1/2*ln(5) 

Určete délku kružnice o poloměru r = 1.Kružnici zadejte parametricky. 

> plot([cos(t), sin(t), t=0..2*Pi],scaling=constrained);
 

Plot 

> m:=Int(sqrt((Diff(cos(t),t)^2)+(Diff(sin(t), t))^2), t=0..2*Pi);
 

(Typesetting:-mprintslash)([m := Int(((Diff(cos(t), t))^2+(Diff(sin(t), t))^2)^(1/2), t = 0 .. 2*Pi)], [Int(((Diff(cos(t), t))^2+(Diff(sin(t), t))^2)^(1/2), t = 0 .. 2*Pi)]) 

> value(m);
 

2*Pi 

Určete délku asteroidy. 

> plot([(cos(t))^3, (sin(t))^3, t=0..2*Pi], scaling=constrained);
 

Plot 

> d:=4*Int(sqrt(Diff((cos(t))^3,t)^2+ Diff((sin(t))^3,t)^2), t=0..Pi/2);
 

(Typesetting:-mprintslash)([d := 4*Int(((Diff(cos(t)^3, t))^2+(Diff(sin(t)^3, t))^2)^(1/2), t = 0 .. 1/2*Pi)], [4*Int(((Diff(cos(t)^3, t))^2+(Diff(sin(t)^3, t))^2)^(1/2), t = 0 .. 1/2*Pi)]) 

> simplify(value(d));
 

6 

>  
 

Objem, obsah pláště rotačního tělesa 

Určete objem rotačního tělesa V, které vznikne rotací podgrafu Pfunkce kolem osy  

> f:=x->1+1/2*sin(3*x);
 

(Typesetting:-mprintslash)([f := proc (x) options operator, arrow; 1+1/2*sin(3*x) end proc], [proc (x) options operator, arrow; 1+1/2*sin(3*x) end proc]) 

Nejprve znázorníme těleso V, k vytvoření grafu použijeme proceduru rotxplot. 

> read "rotuj.txt";
 

> rotxplot(f(x), x=Pi/3..13*Pi/6, y=0, scaling=constrained);
 

Plot 

Pro objem tělesa V dostáváme použitím známého vzorce 

> v:=Pi*Int((f(x))^2, x=Pi/3..13*Pi/6);
 

(Typesetting:-mprintslash)([v := Pi*Int((1+1/2*sin(3*x))^2, x = 1/3*Pi .. 13/6*Pi)], [Pi*Int((1+1/2*sin(3*x))^2, x = 1/3*Pi .. 13/6*Pi)]) 

> expand(value(v));
 

33/16*Pi^2-1/3*Pi 

Určete objem rotačního tělesa Va obsah jeho pláště Těleso vznikne rotací podgrafu funkce kolem osy  

> f:=x->2*abs(sin(x));
 

(Typesetting:-mprintslash)([f := proc (x) options operator, arrow; 2*abs(sin(x)) end proc], [proc (x) options operator, arrow; 2*abs(sin(x)) end proc]) 

> rotxplot(f(x), x=0..2*Pi, y=0, scaling=constrained);
 

Plot 

> v:=Pi*Int(f(x)^2, x=0..2*Pi);
 

(Typesetting:-mprintslash)([v := Pi*Int(4*abs(sin(x))^2, x = 0 .. 2*Pi)], [Pi*Int(4*abs(sin(x))^2, x = 0 .. 2*Pi)]) 

> value(v);
 

4*Pi^2 

> s:=2*Pi*Int(f(x)*sqrt(1+(Diff(f(x), x))^2), x=0..2*Pi);
 

(Typesetting:-mprintslash)([s := 2*Pi*Int(2*abs(sin(x))*(1+(Diff(2*abs(sin(x)), x))^2)^(1/2), x = 0 .. 2*Pi)], [2*Pi*Int(2*abs(sin(x))*(1+(Diff(2*abs(sin(x)), x))^2)^(1/2), x = 0 .. 2*Pi)]) 

> expand(value(s));
 

8*Pi*5^(1/2)+2*Pi*ln(2+5^(1/2))-2*Pi*ln(-2+5^(1/2)) 

Určete objem a povrch koule o poloměru 0 < r. 

> assume(r>0);
 

> f:=x->sqrt(r^2-x^2);
 

(Typesetting:-mprintslash)([f := proc (x) options operator, arrow; sqrt(r^2-x^2) end proc], [proc (x) options operator, arrow; sqrt(r^2-x^2) end proc]) 

> v:=Pi*Int((f(x))^2, x=-r..r);
 

(Typesetting:-mprintslash)([v := Pi*Int(r^2-x^2, x = -r .. r)], [Pi*Int(r^2-x^2, x = -r .. r)]) 

> value(v);
 

4/3*Pi*r^3 

> s:=2*Pi*Int(f(x)*sqrt(1+(Diff(f(x), x))^2), x=-r..r);
 

(Typesetting:-mprintslash)([s := 2*Pi*Int((r^2-x^2)^(1/2)*(1+(Diff((r^2-x^2)^(1/2), x))^2)^(1/2), x = -r .. r)], [2*Pi*Int((r^2-x^2)^(1/2)*(1+(Diff((r^2-x^2)^(1/2), x))^2)^(1/2), x = -r .. r)]) 

> value(s);
 

4*Pi*r^2 

 

>