ML ODHAD (1 A S
Pomocné tvrdenia
Lema 1.  Platí
<9m'x <9x
dx'Ax <9x
= m,
2Ax.
Dôkaz. Urobte ako cvičenie.
Nech B je regulárna nxn matica, ktorej prvky sú diferencovatelnými funkciami premennej t, čiže {B}jj = b^ = hj(t), i, j = 1, 2,..., n,
dB                              ,                          dbiAt)
^—  je n x n matica, ktorej prvky su   —^—, öt                                                             ot
hi = 1,2,...,n
dtfeíB                              ,               ,       ,   ddetB
je n x n matica, ktorej prvky su   ——----, i,j = 1, 2, ...,n,
dB
dbij
diagB
Lema 2.  Platí
/{B}i,i        0 0        {B}2,2
V     0
9B-1

m
B   l9BB-i
Dôkaz. Prvky matice B x označme 6^. , i, j = 1,2, ...,n. Tiež sú diferencovatelnými funkciami premennej t, čiže b\- ' = b\- (t), i, j = 1,2,..., n. Pre i,j = 1,2,...,n je
n
{BB-1}iJ = ^6ifc(t)6Í71)(t) = (5iJ. fc=i
(6ij je tzv. Kroneckerovo delta, čiže 5i j = 0 pre i ^ j a Jjj = 1 pre i = j.) Preto
0 = ž{BB~1}^ = Ž ž h^&^w =
fc=i
= £^<-.>(i) + £M();OÍ)
fc=i
fc=i
oí
*,Í = 1,2, ...,n,
1
2
čo v maticovom zápise je
cize
<9B„   ,     „9B-1
-    B"1—B"1.      D
dt                   dt
Lema 3.  Nech C je n x n matica konštánt. Platí
dTrBC =         dB
dt                   dt '
Dôkaz. dTrBC       9"    "                  "  f í%W        T dB              dB
i=l j=l                          i=l j=l
Z predchádzajúcich dvoch liem priamo dostávame
Dôsledok 4.  Platí
dTrB      ^ dB -------- = 1 r----.
dt              dt
Dôsledok 5.  Platí
^rB-H*)C                 ggg)
dt                                  dt
Lema 6.  Platí
ddetB       í (det B)(B-1)',                       ak je B nesymetrická
dB         { (detB)(2B-1-diagB-1),    ak je B symetrická.
Dôkaz. Determinant regulárnej n x n matice B sa dá písať ako
detB = {B}MBťil + {B}ij2Bij2 + ... + {B}i<nBitn
pre i G {1, 2, ...,n}, pričom Bst je doplnok (n — l)-ho stupňa determinantu detB patriaci k prvku {B}sŕ (pozri napr. [Kořínek, V., Základy algebry, Nakladatelství ČSAV, Praha, 1953], str. 270). Preto
({Bj^iB^i + {B}ji2£>i,2 + ••• + {B}jin£>jin).
d{B}itj      d{B}itj Dostávame
ddetB   _
3
ddetB dB
Bi,i    -Bi,2
-B2 1       -B2j2
Bh -B2,„
■ £>n,l      Bn,2      ■ ■ ■      Bnn ,
lebo
/ ßl
B
ß
2,1
det B     det B
£>1,2          ^2,2
det B     det B
-Bi, n       -B2,n
V det B     det B
(detB)(B-1)'
Sn,i \ det B
ßn,2
det B
ß„
det B/
(pozri napr.   [Kořínek, V., Základy algebry, Nakladatelství ČSAV, Praha, 1953], str. 320). Toto platí o nesymetrickej matici B. V prípade, že B je symetrická, teda
{B/r,s = {B(&11, &12, ..., bln, 522, b23, . . . , &2nj • • • j &n-l n-1; &n-l n, i'imlKs =
6r„,    ak r < s,
ak r > s.
Pre symetrickú maticu teda
B
/{B}M    {B}lj2    ...    {B}lin\         /bn    612 {B}2jl    {B}2,2    ...    {B}2
n    I        I   012       022 MB}n,l       {B}„,2       ...      {B} n,n'
bln\ b2n
\ bin      b2n      ■ ■ ■      bnn /
Preto
d
0{B}M Pre i < j je
ddetB
ddetB _ v^v^  9detB  <9{B}M _   ddetB <9{B}M _ 96ii    ~ f^f^ d{B}kJ    dbu'   ~ d{B}i,i    dbu
[{B}iiißjii + {B}ii2ßij2 + ... + {B}iinßjin] .1 = Bij,    i = 1,2,.
ddetB <9{B}M _   dtfeíB d{B}^       ddetB d{B}
dbij
f-^f-^ d{B}ktl    dbij          d{B}itj    dhj      '   d{B}jti    dhj
d{B}i
[{Bj^ißj,! + {B}i2ßi2 + ... + {B}ijnßijn] .1-
d
9{B},-
[{B}j,l-^j,l + {B}j,2-^j,2 + ••• + [B}j,nBj,n] -1 —
*)J "^      JA'
4
Úplne rovnako pre i > j dostaneme
ddetB
dbij
ddetB     ddetB
ddetB dB
dbii         dbi2
ddetB     ddetB
db12
db
22
ddetB     ddetB \   dbln        db2„
ddetB
dbin ddetB
~ďb
2n
ddetB dbnn   '
= (det B)(2B_1 - diagB-1).        D
Lema 7.  Pre symetrickú regulárnu n x n maticu B platí
dlndetB(t) _           l(9B(ŕ)
dt
dt
Dôkaz. Ak si uvedomíme, že B aj B   x sú symetrické matice, teda pre i > j platí
{B-^-ÍB-1}
dostávame
dt
dB
ddetB
= tm
, dt J ..
a tvrdenie predchádzjúcej lemy, čiže
dhj
2{B   1}ijdetB,    ak i < j, {B^1}iiidetB,      aki=j,
dlndetBít) _     1    ddetB _     1     ^^ ddetB dbió
detB     dt
detB

dbi-i     dt
TrB
_ľdB ~dt'
D
Lema 8.  Pre symetrickú regulárnu n x n maticu B a symetrickú maticu C platí dTrB-iC
dC
= -2B ^CB
-1/-.TJ-1
diag(B-LCB-L)
Dôkaz. Podľa Dôsledku 5 je
dTrB-^C
-TrCB-1
dbn
(\    0    0    ...\ 0    0    0 0    0    0
Vo  o  o      /
= -TrCB   ^B   !
dbn
B-1
-T r
/l    0    0    ...\
0    0    0
0    0    0
Vo   o   o      /
B   XCB-1
5
= -{B-1CB-1}11,
dT^c = _TrCBl™Bl
= -TrCB-
db12
/O    1    O    ...\ 1   O   o 0    0    0
Vo  o  o      /
B"1 = -Tr
db12
/O    1    O
1    o    o
0    0    0
-1/-.D-1
B ^CB
\0    O    O         /
-{B-1CB-1}21 - {B-1CB-1}21 = 2{B-1CB-1}12
Úplne analogicky dostávame
dTrB-^C
dbi.
FiB -TrCB-1—-B_1 obu
{B-iCB-1^
a pre i ^ j
teda
^5 = -»CB-.»B-. = -í{B-.CB-.)(),
dTrB-^C OČ
^B-^B-^dia^B-^B"1).    D
Lema 9.  Pre symetrickú n x n maticu B platí
2B - diagB = O & B = 0.
Dôkaz. Spravte ako cvičenie.
V skriptičkách Multivariátna analýza 2 v 5. kapitole sme dostali, že logaritmus vierohodnostnej funkcie je
/(x; /x, E) = -| In I27TSI - \Tt {e^S^} _ |Tr {S-i(s _ ^(x - M)'} = In2tt - - ln(deí(S)) - -Tr {s-1 [s<reaí) - (x - /i)(x - /i)'l } .
"Y
Teda vierohodnostné rovnice sú
dl_ d/j,
M=|a(reai)iS = Š(reai)
9/
= 0.
M=0(r-ea!)   S = Š(r-ea!)
6
Pomocou Lemy 1 dostávame z prvého systému vierohodnostných rovníc
-2(S(reaí))"1x + 2(S(reaí))"V(rea0 = 0,
čiže
ß(real*> = x,
teda
ß = X.
Ďalej budeme pokračovať bez komplikovaného značenia a využijeme Lemy 7,8 a 9. Dostávame z druhého systému vierohodnostných rovníc
T)     (j
- 2 äš {ln(det(s)) + Tr [s_1(s + (* - M* - /*)')]} = °>
2 {S"1 - S-X(S + (x - /x)(x - /i)')£_1} --dia^E"1 -S-^S + íx-^íx-//)')!:"1} = 0,
čiže
S"1 -S-^S+íx-zi)^-//)')!:"1 =o.
Výsledné
E = S.