Fyzika pro chemiky II
P. Klang, J. Novák, R. Štoudek,
Ústav fyziky kondenzovaných látek, PřF MU Brno
18. února 2004
1 Optika
1. Rovinná elektromagnetická vlna o frekvenci f = 5.45 × 1014
Hz polarizo-
vaná v rovině x, y se šíří ve směru osy x ve vakuu (0 = 8.854×10-12
Fm-1
,
0 = 4 × 10-7
Hm-1
). Intenzita elektrického pole má amplitudu E0.
(a) Určete rychlost elektromagnetického vlnění c, vlnovou délku  a bar-
vu, která této vlnové délce odpovídá.
(b) Napište rovnice elektromagnetické vlny E = E(r, t), B = B(r, t), kde
r(x, y, z) je polohový vektor.
(c) Ověřte, zda tyto funkce vyhovují vlnové rovnici.
2. Paprsek se šíří prostředím s indexem lomu na = 1 podél osy kolmé na
rozhraní ve vzdálenosti y od ní. Dopadá na rozhraní s prostředím o indexu
lomu n, které má tvar kulové plochy o poloměru r (r y). Ve kterém
bodě protne paprsek optickou osu?
1

3. Předmět, který zobrazujeme tenkou čočkou s ohniskovou vzdáleností f,
má velikost Y = 2 cm a je umístěn ve vzdálenosti a = 10 cm od čočky.
Ohnisková vzdálenost je: A) f = -4 cm, B) f = 5 cm.
(a) Proved'te grafickou konstrukci obrazu.
(b) Vypočítejte vzdálenost obrazu od čočky.
(c) Vypočítejte zvětšení obrazu m.
(d) Určete zda je obraz skutečný nebo zdánlivý.
4. Stínítko se dvěma malými otvory vzdálenými d = 0.1 mm je osvětleno
rtut'ovou výbojkou. Ze spektra Hg je přes filtr propuštěno pouze zelené mo-
nochromatické světlo s vlnovou délkou  = 546 nm. Na rovinném stínítku
ve vzdálenosti D = 2 m od prvního stínítka pozorujeme interferenční jev
(Youngův pokus). Určete polohu (úhlovou i délkovou na stínítku):
(a) prvního minima m1, ym1
(b) desátého maxima M10, yM10.
(c) Nakreslete závislost intenzity světla I na vzdálenosti y od středu
stínítka.
5. Při Youngově interferenčním pokusu prochází jeden paprsek kyvetou 2 cm
dlouhou s planparalelními skleněnými stěnami. Je-li kyveta vyplněna vzdu-
chem, pozorujeme interferenční jev. Je-li kyveta naplněna chlórem, posune
se interferenční jev o 20 proužků. Celé uspořádání je v termostatu, který
udržuje konstantní teplotu. Pokus provádíme se světlem D čáry sodíku
( = 589 nm).
(a) Vypočítejte index lomu chlóru, je-li index lomu vzduchu
n = 1.000276.
(b) Kterým směrem se posunují interferenční proužky při plnění kyvety
chlórem?
6. Mýdlová bublina vytvoří uvnitř drátěného oka vodní film o tloušt'ce
320 nm. Index lomu vody je n = 1.33 a index lomu vzduchu je n0 = 1.00.
(a) Jakou barvu bude mít bílé světlo po kolmém odrazu od tohoto filmu?
(b) Vypočítejte vlnové délky M1, M2, m1, m2 pro první dvě maxima
a pro první dvě minima intenzity odraženého světla.
(c) Určete změnu fáze 1 při odrazu na prvním a 2 při odrazu na
druhém rozhraní.
7. Antireflexní vrstva na skleněné čočce s indexem lomu nS = 1.5 je vyro-
bena napařením tenké vrstvy MgF2, která má index lomu n = 1.38, na
povrch skla. Vypočítejte tloušt'ku d antireflexní vrstvy tak, aby minimální
intenzita odraženého světla ležela uprostřed viditelného spektra (vlnová
délka  = 550 nm). Index lomu vzduchu je n0 = 1.00.
2

8. Pozorujeme-li Newtonovy kroužky ( = 450 nm), které vznikají mezi
ploskovypuklou čočkou a rovnou destičkou, je poloměr třetího světlého
kroužku 1.06 mm. Nahradíme-li modrý filtr červeným, je poloměr pátého
světlého kroužku 1.77 mm. Určete poloměr křivosti R čočky a vlnovou
délku c červeného světla.
9. Mřížka má 1000 vrypů na milimetr. Jaká je šířka vrypu, když interferenční
maximum pátého řádu vymizí?
2 Základy kvantové fyziky
1. Teplota Slunce je na většině jeho povrchu T = 5800 K, v oblasti slunečních
skvrn je však pouze 4000 K. Vypočtěte poměr intenzity záření Slunce
v oblasti skvrn a normálního povrchu Slunce. Jaká je intenzita záření
emitovaného Sluncem v oblasti skvrn?
2. Výstupní práce následujících kovů jsou: cesium Cs = 2.1 eV; měd' Cu =
4.7 eV; zinek Zn = 4.3 eV.
(a) Jaká je mezní vlnová délka fotonů, které ještě způsobí emisi elektronů
z těchto kovů?
(b) Které z těchto kovů nemohou emitovat elektrony pokud jsou ozářeny
viditelným světlem (400 -- 700 nm)?
(c) Jaká může být max. kin. energie elektronu emitovaného krystalem
zinku ozářeným UV zářením  = 200 nm?
3. RTG záření o vlnové délce 0.0665 nm se rozptyluje na volných elektronech
(Comptonův jev).
(a) Jakou největší vlnovou délku záření lze pozorovat u rozptýlených
fotonů?
(b) Pod jakým úhlem rozptylu toto záření pozorujeme?
4. -částice je vyslána přímo na jádro atomu zlata. -částice má 2 protony.
Jádro zlata má 79 protonů. Jaká je minimální kinetická energie, aby se
-částice přiblížila k jádru Au na vzdálenost 5×10-14
m? Předpokládejte
že jádro Au setrvává po celou dobou srážky v klidu.
5. S použitím Bohrova modelu vypočtěte poloměr oběžné dráhy elektronu v
atomu vodíku pro stavy n = 1 a n = 3. Určete také rychlost elektronů a
jejich energii v těchto stavech. Jaká bude vlnová délka fotonu vyzářeného
při přechodu elektronu ze stavu n = 3 do stavu n = 1?
6. Elektron má de Broglieho vlnovou délku 2.8 × 10-10
m. Určete:
(a) velikost jeho hybnosti
(b) jeho kinetickou energii v Joulech a eV.
3

7. Najděte nejnižší energetickou hladinu částic:
(a) elektronu me = 9.11 × 10-31
kg v nekonečně hluboké kvantové jámě
o šířce 5 × 10-10
m ( rozměr atomu)
(b) protonu mp = 1.67 × 10-27
kg v nekonečně hluboké kvantové jámě
o šířce 1.1 × 10-14
m (průměr jádra střední velikosti).
Výsledky dávají řádový odhad energií elektronů na elektronových slupkách
a nukleárních částic vázaných v jádře.
8. Najděte energie elektronu v 3 rozměrné kvantové jámě pro 3 nejnižší ener-
giové stavy. Jáma má tvar krychle o stranách délky L = 5 × 10-10
m.
Energie spočtěte v elektronvoltech.
9. Uvažte atom vodíku ve stavu n = 4.
(a) Jaká je maximální velikost orbitálního momentu L jeho elektronu?
(b) Jaká je maximální hodnota velikosti z-složky orbitálního momentu
Lz jeho elektronu?
(c) Jaký je minimální úhel mezi L a osou z?
10. Spočítejte energiový rozdíl mezi stavy ms = 1
2 (spin up) a ms = -1
2 (spin
down) atomu vodíku ve stavu 1s, když je umístěn do mg. pole 1.45 T
paralelního s negativním směrem osy z. Který stav, ms = 1
2 nebo ms =
-1
2 , má nižší energii?
11. K čára RTG záření detekovaného ze vzorku odstřelovaného elektrony má
energii 7.46 keV. Atomy jakého prvku obsahuje vzorek?
12. Spočtěte frekvenci, energii a vlnovou délku spektrální čáry K pro
(a) Ca (Z=20)
(b) Cd (Z=48)
3 Základy fyziky kondenzovaných látek
1. (a) Najděte úhel  mezi nejbližšími sousedními vazbami v mřížce křemí-
ku. Zvažte, že každý atom křemíku je vázán ke čtyřem nejbližším sou-
sedům, a ty jsou ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu, jehož všechny
stěny jsou rovnostranné trojúhelníky.
(b) Najděte délku vazby z údaje, že atomy ve vrcholech čtyřstěnu jsou
od sebe vzdáleny 388 pm.
2. (a) Vypočtěte mřížkový parametr a mědi, víte-li že hustota mědi je
8940 kgm-3
, hmotové číslo je 63.55 a elementární buňka mědi je ku-
bická plošně centrovaná (atomy mědi se nachází ve vrcholech krychle
a ve středech stěn ­ viz. obrázek 1).
4

Obrázek 1: Krystalová struktura mědi
(b) Ukažte, že koncentrace vodivostních elektronů je
n = 8.4310 × 1028
m-3
.
3. Pomocí následujícího vztahu určete Fermiho energii mědi a poté ověřte,
že Fermiho rychlost je vF = 1.6 × 106
ms-1
.
EF =
3
16

2
2/3
h2
m
n2/3
4. Vypočtěte driftovou rychlost elektronů v měděném drátu o průměru 1 mm,
víte-li, že drátem teče proud o velikosti 1 mA. Tento výsledek porovnejte
s Fermiho rychlostí z předchozího příkladu.
5. Určete relaxační dobu  elektronů v mědi, je-li její měrný odpor mědi
1.7 × 10-8
m.
6. Porovnejte plazmovou frekvenci mědi s plazmovou frekvencí ionosféry.
Elektronová hustota elektronů v nejnižší vrstvě ionosféry ­ vrstvě D je
v poledne nD = 1 × 109
m-3
a v nejvyšší vrstvě F2 je nF = 1 × 1012
m-3
.
Jak souvisí vypočtené hodnoty s pásmy radiové komunikace?
7. Jaká je pravděpodobnost, že stav 0.062 eV nad Fermiho energií bude ob-
sazen při
(a) T = 0 K,
(b) T = 320 K?
8. (a) Jaká je maximální vlnová délka světla, které vybudí elektron z va-
lenčního pásu diamantu do vodivostního pásu? Pás zakázaných ener-
gií je 5.5 eV.
5

(b) V jaké části elektromagnetického spektra tato vlnová délka leží?
9. Krystal chloridu draselného (KCl) má šířku zakázaného pásu 7.6 eV. Je
tento krystal průhledný, nebo neprůhledný pro světlo o vlnové délce  =
140 nm?
10. Čistý křemík má za pokojové teploty koncentraci elektronů ve vodivostním
pásu 5×1015
m-3
a stejnou koncentraci děr ve valenčním pásu. Předpoklá-
dejme, že jeden atom z každých 107
atomů křemíku je nahrazen atomem
fosforu.
(a) Jaký typ vodivosti bude mít tento dotovaný polovodič, n nebo p?
(b) Jakou koncentraci nosičů náboje přidá fosfor?
(c) Jaký je podíl koncentrace nosičů náboje (elektronů ve vodivostním
pásu a děr ve valenčním pásu) v dotovaném křemíku a v čistém
křemíku?
6