Masarykova univerzita Zuzana Došlá Matematika pro chemiky II Brno 2009 Obsah 1 Plošný integrál 1 1.1 Plochy v prostoru................................... 1 1.2 Plošný integrál prvního druhu............................ 2 1.3 Plošný integrál druhého druhu............................ 3 1.4 Gauss-Ostrogardského véta ............................. 6 Cvičení ........................................... 7 2 Diferenciální operýtory matematické fyziky 8 ii 1 Kapitola 1 Plošný integrál 1.1 Plochý v prostoru Plochou S v prostoru budeme rozumět graf funkce S: z = /(x,y), [x,y] G D, kde /(x, y) je spojitá funkce, která má spojitě parciální derivace prvního rádu. Takovýmto plochám budeme ríkat hladké. Normálový vektor Mame-li rovnici roviny g: ax + by + cz + d = 0, pak její normaiový vektor je n = (a, b, c). Pripomenme, ze tečná rovina k plose S v bode [x0, yo] má rovnici z = / (x0,y0) + fx(x0,y0)(x - x0) + /y(x0,y0)(y - y0)- Odtud vidíme, Ze tecím rovina nm normalový vektor n = (/x, /y, —1) nebo n = (—/x, — /y, 1). Pro velikost tohoto vektoru platí \n\ = f% + fy + 1. Velikost plochý Pro obsah m(S) plochy platí následující vztah Príklad 1.1. Vypoctete obsah povrchu parabolicke plochy z = x2 + y2, kde 0 < z < 9. Ré.šéni. Máme f(x,y) = x2+ y2, fx(x,y) = 2x, fy(x,y) = 2y, dS = \j\ + 4x2 + 4y2 dxdy. a odtud m(S) = J J \J\ + Ax2 + 4y2 áxáy. 2 Plošný integrál Rovina z = 9 protíná paraboloid v kružnici x2 + y2 = 9. Proto daná plocha leží nad oblastí D, která je kruhem se středem v poCatku a poloměrem r = 3 a pro výpoCet využijeme s váhodu polarních souradnic /f _ /*27ľ í'3 / \A + Ax2 + 4y2 dxdy = / dtp- rVl + 4r2 dr = 11 + 4r2 = í | = 37 r 37 1 í37 /r,. vr L Orientace plochy Orientaci plochy v danem bode definujeme volbou smeru vektoru normály n takto: a) svíra-li n ostrá uhel s kladnám smerem osy z, ríkáme, že plocha je orientovana nahoru a n = ("/x,-fy, 1), b) svíra-li n tupy uhel s kladnym smerem osy z, ríkame, že plocha je orientována dolu a n = c) pokud je vektor n kolmy na osu z, pak n = (fx, fy, 0) a plocha je rovnobežná s rovinou xy. 1.2 Plosny integrál prvního druhu Jedná se o analogii krivkoveho integralu prvního druhu, tedy o integral že skalární funkce pres plochu S. Definice 1.2. Necht' S je hladka plocha, která je grafem funkce z = f (x, y) definovane na množine D a necht' F (x, y, z) je funkce spojita na plose S. Plosnym integrálem prvního druhu rozumíme j j F(x,y,z)dS = j j F(x,y,f(x,y))^l + fl + /2 dxdy. V prípade, že funkce F (x, y, z) = 1 udává daná integral obsah m(S) plochy S. Fyžikalní interpretace opet žávisí na vážnamu funkce F (x, y, z). Príkladem aplikace je napríklad urcení hmotnosti M plochy S, jestliže žnáme hustotu p(x, y,z) v libovolnem bode (x, y, z) plochy. Ze vžorce M P=m(Š) ^' M=Qm{S), dostavame M = JI,(., y, A äS = 11 o (X, y, /(,. y)) fTfíTT^ Príklad 1.3. Vypoctete integra^JS xyz dS, kde S je cast roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu (tedy pro x > 0, y > 0 a z > 0). 1.3 Plošný integrál druhého druhu 3 Rešeni. Nejprve vyjádříme plochu S: z = 1 — x — y, kde 0 < x < 1, 0 < y < 1 — x. Platí fx(x,y) = -l, fy(x,y) = -l, dS = \J\ + (-1)2 + (-l)2dxdy = VŠdxdy. Dostávame tak -1—x xyz dS = V3 / / xy (1 — x is JJd jo jo x íi yí a ^ (I — x) nx = ... = 6 / / xyz dS = VŠ / / xy (1 — x — y) dxdy = VŠ / dx xy (1 — x — y) dy JJs JJd J o J o r 1 r„ ,2 ™,2 „,31 1-x r 1 „, -\/3 /" x-------— dx = VŠ f — (1 — x)3 dx = ... =-. Jo [ 2 2 3 L Jo $ 120 o ./o Příklad 1.4. Vypočtěte hmotnost kuželové plochy S : z = \Jx<2 + 2/2> 0 < z < 2, je-li hustota plochy p konstantní. Rešeni. Platí / = x / = y V x2 + y2 Vx<2 + y2 odtud Pro hmotnost tak dostávame M = p(x,y,z) dS = / / p-\/2dxdj/ = -\/2p / / dxdy = 4-\/27rp. J Js JJd JJd Při vápoctu jsme užili skutečnosti, že poslední integrai vyjadřuje obsah oblasti D, tedy kruhu o polomeru 2. Á 1.3 Plošný integrál druhého druhu Protože nejdůležitejší aplikací plosneho integrálu 2. druhu je vypočet toku vektoroveho pole orientovanou plochou, provedeme váklad tohoto integrálu na vypočtu teto veličiny. Pritom si predstavíme, že cast prostoru je vyplnena nestlacitelnou proudící kapalinou, pri-cemž rychlost každe castice je urcena jen její polohou a nežavisí na case. Pole rychlosti tohoto proudení je popsáno vektorovou funkcí F (x,y, z) = (P (x,y, z),Q(x,y, z), R(x,y, z)). Ve žkoumane casti prostoru se nachaží orientovana plocha S. Chceme žjistit, jake množství tekutiny prote ce plochou ža jednotku casu ve sm eru jejáí orientace, tj. na tu stranu plochy, kam sm e rujáí její normalove vektory urcující orientaci. I v tomto prípade budeme uvažovat plochu, která je grafem funkce z = f (x, y) na nejake oblasti D. 4 Plošný integrál Definice 1.5. Necht' S je hladká plocha orientovaná tak, ze normálové vektory „směřují nahoru", tj. svírají s kladnám smerem osy z ostry uhel, pak plosnám integrálem druheho druhu rozumíme jj F (x,y,z) • dS? = jj F (x,y,z) -n(x,y,z) dS, kde n je jednotková normalová vektor plochy S í ~U ~fy 1 ^ V v'1 ■ /* ■ f í v'1 ■ /* ■ -If v'1 ■ /* ■ fi) V prápade, Ze je plocha S orientovana tak, Ze normálove vektory „smeruj á dolu", tj. svárajá s kladným smerem osy z tupy uhel, pak normalová vektor plochy S vezmeme n í U fy -1 ^ V v'1 • /* • -i f v'1 • f; • f ť v'1 • f; • Vezmeme-li vektorovou funkci F ve tvaru F (x,y, z) = (P (x,y, z),Q(x,y, z), R(x,y, z)), dostaneme z predchozí definice pro plochu orientovanou vzhůru: FT ( x, y, z) • dST iD Odtud JI (P(x, y,Q(x, y,,,,,)). ( ^ + fí ,^ "A + /?, ^ + ^ + j dS // (P(x, y, f(x, y», Q(x,y, f(x,y)),R(x,y, f(x,yfí) ■ ^/''^Ijl+fí + fídxdy = J J D y 1 + fx + /y JJ (P (x,y,/ (x,y)),Q(x,y,/ (x,y)),R(x,y,/ (x,y))) ^ "/y, 1) dxdy- FT ( x, y, z) • dST = = [-P(x, y, / (x, y))/x(x, y) " Q(x, y, / (x, y))/y(x, y) + R(x, y, / (x, y))] dxdy. Pro plochu orientovanou dolu, dostaneme ve váslednem vzorci opačne znamenko, ale tvar zustane nezmenen. Specialní prípady plosneho integralu 2. druhu jsou: a) Vektorove pole F = (0, 0,R(x,y)) a S: z = /(x, y), pro (x, y) G D. Pro tok T platí T = ILF (x,y,z) ^dS = ±//D(°'0,R(x,y,/ (x,y)) ^ (x,y),-/y(x,y), 1)dxdy- 1.3 Plošný integrál druhého druhu 5 A odtud T jestliže normála plochy „míří nahoru" (svírá ostrý Uhel s kladným směrem osy z), nebo JJ (x'y))dxdy T J j D jestliže normála plochy „mín dolu" (svírá tupý áhel s kladným smerem osy z). b) Vektorove pole F = (P(x y' z)' Q(X' y' z)' 0) a z = konst. V tomto prípade n = (0' 0' ±1) a J J F (X' y' z) • dS = ^£ (P (X' y' z)' Q(X' y' z)' 0) • (0' 0' ±1) dxdy = 0. Příklad 1.6. Vypočtete tok vektoroveho pole F(x^z) = (0' 0' 2) plochou S, ktera je oriento-vana tak, že normalove vektory svírají s kladnym smerem osy z ostry uhel nebo pravý uhel. Rešeni. a) S: z = 2 — y, kde 0 < x < 4, y > 0a z > 0. Platí n = (—fx' —fy' 1) = (0' 1' 1). Dostavame T =11 F • d5 =11 (0' 0' 2) • (0' 1' 1)dxdy =2 II dxdy =16. JJs JJd JJd Vísledek dvojneho integralu jsme získali ívahou, protože se jední o obsah plochy D, kterou je obdélník o stranách 4 a 2 délkové jednotky. Tok plochou je tedy 16 jednotek toku. b) S : z = ^4 - y2, 0 < x < 4, y > 0, z > 0. I v tomto prípade svírají normílove vektory plochy ostry uhel s kladnym smerem osy z a platí n = {-fx,-fy, 1) = (0, jZy2, !)• Dostáváme T = j j F-dŠ= j j (0,0,2) • (0,^-2,1) dxdy = 2 j j dxdy = 16. Take v tomto prípade je oblast D stejny obdelník jako v císti a). Tok plochou je tedy opet 16 jednotek toku. c) S je vílcoví plocha x2 + y2 = 4, y > 0,0 < z < 2. V tomto pnríípadne jsou normíalovíe vektory kolmíe na kladníy smner osy z, a tedy takíe na vektor F = (0' 0' 2) V každem bode vílcove plochy platí F •n = 0. Tok vektorovíeho pole plochou je tedy v tomto pnrípadne roven nule. ▲ Příklad 1.7. Vypočtěte tok vektorového pole F = (2, —1,1) kuželovou plochou z = 2\Jx2 + y2, 0 < z < 4, kteraí je orientovanaí tak, nže její normíalovíe vektory svírají s kladníym smnerem osy z tupíy uíhel. 6 Plošný integrál Rešeni. Platí 2x 2y \J x2 + y2 \J x2 + y2 odtud 2x 2y \J x2 + y2 ' ^x2 + y2 Pro tok T pak dostáváme V V x2 + y2 y x2 + y2 y = í í í X =--^ — 1 ) dx dy = í í ^ ^- dx dy — í í dx dy. JJd\ y x2 + y2 y x2 + y2 J JJd\J x2 + y2 .//d Získaný dvojná integrál jsme rozdelili na dva integrály pouze z důvodu výpočtu. První integrál vypočteme transformaci' do polarnách souradnic, ve kterých je oblast D určena nerovnicemi 0 < Q < 2 a 0 < p < 2n. Dostávame ľ 4x - 2y , , ľ\ f2n 4q cos p - 2q sin p / . = dxdy = dg . j 'dv x2 + y2 Jo Jo v q2 cos2 p + q2 sin2 t/ = / Q dQ • / (4 cos p — 2 sin p) dt/ o /*2 /*2n / Q dQ • / (4 cos p — 2 sin t/) oo r 21 2 = — [4 sin p + 2 cos p]2,77 = 0. 2o Druhá integrál, pokud neuvaZujeme znamenko, vyjadruje obsah kruhu, jehoZ polomer je 2. Máme tedy — JJ dxdy = —4n. Celková tok T pres plochu S je roven —4n jednotek toku. Á 1.4 Gauss-Ostrogardskeho veta Věta 1.8. Necht F = (P, Q, R) je vektorová funkce definovaná na oblasti Q c R3 a G C Q je uzavřena ohraničená oblast, jejíž hranici je uzavřena plocha S orientovaná podle vnej normal. Necht P, Q, R, Px, Qy a Rz jsou na Q .spojité. Pak platí j j F • dS = j j j div F dx dy dz = j j j (Px + Qy + Rz) dx dy dz. ' S G G Cvičení 7 Výpočet toku vektoru přes uzavřenou plochu tedy převádíme na trojný integrál přes vnitřek teto plochy. Inteřpřetujeme-li ploSný integřál jako tok T vektořoveho pole uzavřenou plochou, pak T = Ti — T2, kde Ti je množství tekutiny, kteře z G vyteče za jednotku času, a T2 je množství tekutiny, kteře do G za stejny čas přiteče. Je-li T = 0, pak z oblasti vyteka přáve tolik tekutiny, kolik do ní vteká. Je-li T > 0, pak z oblasti vyteka za jednotku času víče tekutiny, nez kolik do ní vteka. Dá se to vysvetlit tak, ze uvnitř oblasti G se načhazejí tzv. zřídla, tj. body, ve kteřýčh nejakym zpusobem přibýva tekutiny. Kdyz T < 0, pak z oblasti vyteká mene tekutiny, nez kolik do ní vteká. To se dá vysvetlit tím, ze v oblasti se načhazí tzv. nory, ve kteřyčh se tekutina ztřačí. Příklad 1.9. Vypočtete tok T = JJS F • dS, kde F (P,Q, R) = (y2, z2 , x2), přes povřčh křyčhle — 1 < x < 1, —1 < y < 1a —1 < z < 1 orientovaná tak, ze nořmala míří zvnitřku ven. Rešení. Jsou splneny předpoklady Gaussovy-Ostřogřadskeho vety. Přitom div F = Px + Qy + Rz = 0. Platí tedy T = /íF ■dš =///div F dxdydz = 0 G Cvičení 1. Pomocí plošného integrálu spočtěte obsah plochy S, která je grafem funkce z = \J x2 + y2 na oblasti D: x2 + y2 < 4. 2. Vypočtěte obsah části plochy z = \{x? + y2) ležící uvnitř válcové plochy x2 + y2 = 1. 3. Vypočtěte integrál f Js.(2x + \y + z) dS, kde S je část roviny v 1. oktantu. 4. Vypočtěte tok vektorového pole F = (0; 0; 1) plochou S: z = \J\ — y2, kde 0 < x < 4, y > 0, z > 0, a kteřá je orientovaná tak, ze nořmálovy vektoř svířa s osou z ostřá uhel. 5. Vypočtete tok vektořoveho pole F = (x, y, z) orientovanou pločhou S, kteřou je čast řoviny | + | + | = lv 1.oktantu a jejíž normálové vektory svírají s osou z ostrý úhel. 6. Vypočtete tok vektořoveho pole F = (x, y, z) orientovanou pločhou S, kteřou je kulova pločha x2 + y2 + z2 = 9, z > 0, jejíz nořmalove vektořy svířají s osou z ostřy uhel. Výsledky: 1. AirVŽ 2. §^(2-^/2-1) 3. iVěl 4. 4 5. 12 6. 54vr 8 Kapitola 2 Diferenciální operátory matematické fyziky Do ted' jsme se setkávali hlavne s tzv. skaláry, tj. funkcemi, které určovali pouze velikost nějaké veličiny. V teto časti se seznamáme s vektorovou funkcí, ktera krome informaci o velikosti, poskytuje i informaci o smeru pusobení nejake veličiny. Definice 2.1. Necht' D je otevrena množina v R2 a necht' P (x, y), Q(x,y) jsou funkce definovane v D. Pak tato dvojice definuje vektorovou funkci F (x,y). Množina D spolu s funkcí F se nazýva vektorové pole. Funkce F je tak dvousložková vektor, která mužeme napsat pomocí funkcí P (x, y), Q(x,y), ktere nažívame složky vektorové funkce: F (x,y) = P (x,y)i + Q(x,y)j = (P (x,y),Q(x,y)), kde i = (1, 0), j = (0,1) jsou jednotkove vektory ve smeru souradnách os. Nejjednodussí žpusob jak si dane pole predstavit, je v nekolika bodech nakreslit sipky repre-žentující vektor F (x,y), ktery žacína v bode (x,y). Príklad 2.2. Pomocí nakreslení nekolika vektoru popiste vektorove pole definovane funkcí F (x,y) = (—y,x). Rešeni. Protože napnklad F(1, 0) = (0,1), nakresláme vektor j = (0,1) zaCínající v bode [1, 0]. Podobne napráklad F(2, 2) = (—2, 2), proto v bode [2, 2] nakresláme vektor (—2, 2). Stejnám žpusobem vybereme i dalsá reprežentanty a nakresláme pnslusne vektory. Á Podobne mužeme definovat vektorovou funkci F (x,y, z) na množine V C R3. Bude pak F (x, ^ z) = P 0^ y, z)i + Q(x, ^ z)j + R(x, y, z)k trásložkova funkce, ktera bude bodum v prostoru priražovat vektory v prostoru. Vektorova pole v prostoru pak mužeme reprežentovat analogicky jako vektorova pole v rovine. 9 / S S s is-/ S S s s J / S s / / / / \ \ N \\\^-\ N N. ~>» ^> ~ v N N \ \ V \ \ \ ^\\\ N \ \ \ 1 M 1 i ii i il i t i ti 2 f f; x - / / / / ' s / / / s S / / • y S s / .-- ..^ ."" ,'■ 2 I 1*1 I *■. *-. "v SN s\ /■v SN NS w SN w S\ /s /s SN SN (a) F = {—y, x) (b) F = (y, 2) (c) F = (sin x, sin y) Obřázek 2.1: Přáklady vektořováčh polá 4 4 y y y -2 4 -4 -2 -4 --2 4 -2 -2 -2 "-, ~. -4 -4 -4 Příklad 2.3. Newtonův gravitační zákon říká, že velikost gravitační síly mezi dvěma tělesy s hmotnostmi m1 a m2 je dána vztahem i ři mim2 kde r je vzdalenost mezi telesy a k je gravitační konstanta. Popiste příslůsne vektorove pole. Resení. Umásteme jedno z teles do počatku soustavy souřadnič a označme polohová vektoř dřuheho telesa x = (x, y, z). Potom vzdalenost r je řovna velikosti tohoto vektořu, tj. r = |x|. Gřavitační sála vztazena k dřuhemu telesu smeřuje do počátku a jednotkovy vektoř v tomto smeřu je Sx Sx 10 Diferenciální operátory matematické fyziky Obrázek 2.3: Gravitační silové pole Dostaneme tak gravitační sílu, ktera působí na téleso v x = (x, y, z) dánu vztahem ť (X) = —k x. |x|3 Dostávame tak príklad vektoroveho pole, ktere se nazýva gravitační silové pole. Pomoci slozek můžeme predchazející rovnici zapsat ve tvaru -xm1 m2 F -ym1 m2 F -zm1 m2 f r {x, y, z) = k-3-z + k-j j + ŕc-3- k, (x2 + y2 + z2) 2 (x2 + y2 + z2) 2 (x2 + y2 + z2) 2 kde y x2 + y2 + z2 je velikost vektoru x. Á Gradient funkce V kapitole o diferenciálním poctu jsme se setkali s pojmem gradient funkce f, který býl definován pro funkci dvou promennách gradf (x,y) = (fx(x,y),fy(x,y)), prápadne pro funkci trá promenných gradf (x,y,z) = (fx(x,y,z),fy (x,y,z),fz (x,y,z))- Gradient funkce je tak prikladem vektoroveho pole. Toto pole v kazdem bode ukazuje smer nejvetsáho rustu funkce. Ve fýzice se vektorove pole F, ktere je gradientem nejake skalárná funkce f (tj. F = gradf), nazáva konzervativní vektorové pole a danou funkci f nazývame potenciálovou funkci (potencialem) pole F. Príklad 2.4. Najdete gradientove vektorove pole funkce f (x, y) = x2y — y3. Riešené,. Vzhledem k tomu, ze gradf je dán vztahem gradf (x,y) = (fx(x,y),fy(x,y)) 11 Obrázek 2.4: Gradient a vrstevnice dostáváme grad/(x,y) = (2xy,x2 - 3y2). Ná obrázku 2.4 je prásluSne pole spolecne s vrstevnicemi. Můžeme si povSimnout, že vektory gradientu jsou kolme na vrstevnice a vetsí Cím jsou vrstevnice blíže. ProC je tomu tak? Á Na vektorovích polích mužeme definovat dve operace, které nam umožní popis jejich chovaní. Jde o divergenci a rotaci vektoroveho pole. Divergence Jestliže F = Pi + Qj + Rk je vektorove pole na R3 a existují parciální derivace Px, Qy, Rz, pak divergencí vektoroveho pole F rožumíme funkci divF (x,y,z) = Px(x,y,z) + Qy (x,y,z) + Rz (x,y,z). Vsimneme si, že divergence je skalarní velicina, její vyžnam mužeme vysvetlit napríklad takto. Popisuje-li F rychlost proudení kapaliny nebo plynu, pak divF popisuje míru žmeny množství teto kapaliny (plynu), ktera proudí ž bodu [x,y,z]. Jinymi slovy, divergence merí schopnost kapaliny divergovat („rožbíhat se") ž bodu [x, y, z]. Je-li v nejakem bode P divF(P) > 0, ríkíme bodu P ždroj nebo žrídlo (napríklad bod [0, 0, 0] v 2.2c), v opacnem prípad, tj. divF(P) < 0, ríkame, že bod je propad nebo vípust' (napríklad bod [0,0,0] v 2.3). Rotace Jestliže F = Pi + Qj + Rk je vektorove pole na R3 a existují vsechny parcialní derivace 1. rídu, které jsou navíc spojité, pak rotací vektoroveho pole F rožumíme funkci rotF(x,y,z) = (Ry(x,y,z) - Qz(x,y,z),Pz(x,y,z) - Rx(x,y,z),Qx(x,y,z) - Py(x,y,z)). Na roždíl od divergence je rotace vektorove funkce opet vektorova funkce, její vížnam je napríklad nísledující. Uvažujme castici blížko bodu [x,y,z], ta ma v kapaline tendenci rotovat kolem osy prochížející bodem [x,y,z] ve smeru rotF(x,y,z). Rychlost teto rotace žavisí na velikosti vektoru rotF(x,y,z). Jestliže v každem bode platí rot_P = 0, pak toto pole nažívame nevirové. 12 Diferenciální operátory matematické fyziky Rotace nám též umožňuje určit, je-li dané pole konzervativní. V případě, že F je vektorové pole definovane na jednoduše souvisle množine E G R3, jehož složky jsou spojite diferencovatelne funkce, pak rot F = 0 prave tehdy, když F je konžervativní. Hamiltonův operátor Všechny předchozí pojmy (gradient, divergence, rotace) můžeme snadno definovat pomocí tzv. Hamiltonova operátorů V: V I d_ d_ d_\ \dx' dy'1 d z / Tento operátor je tedy vektorem skládajícím se že trí symbolum pro parcialní derivace. Pro gradient platí grad/ = v/= /dl dl cV\ \dx' dy'1 dz / Divergenci mužeme definovat jako skalární soucin I d_ d_ d_\ \dx' dy} d z / V-F a rotaci jako vektorovíy souňcin - / d d d \ Vx F= (— — —) x (P,Q,R) \ dx dy d z / (P,Q,R) dP dQ dR --h — H-- dx dy dz i j k d d d dx dy dz PQR 1 JL JL d_ d_ JL JL = = dy dz dz dx dx dy R Q P R Q P ) (Ry(x,y,z) - Qz(x,y,z),Pz(x,y,z) - Rx(x,y,z),QxXx,y,z) - Py(x,y,z)}-