Matematická analýza II M2100 •Přírodovědecká fakulta jaro 2010 Předpoklady M1100 Matematická analýza I || M1101 Matematická analýza I Znalosti diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné proměnné, tj. kursu Matematická analýza I (M1100). Omezení zápisu do předmětu Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory. Mateřské obory Matematika (program PřF, B-MA) Matematika (program PřF, M-MA) Matematika - ekonomie (program PřF, M-AM) Matematika (program PřF, N-MA) Typ výuky a zkoušky Přednáška 4 + cvičení 2 hod. týdně: - 2 kontrolní písemky (ze 30% min. 10%) ve cvičeních, - písemná (40% min. 10%) a - ústní část (30% min. 10%) zkoušky s celkovým hodnocením daným součtem dílčích výsledků (min. 30%) Informace učitele V porovnání s kursem Matematická analýza I, kurs Matematická analýza II je poněkud abstraktnější (metrické prostory). Písemka ke zkoušce má podobnou strukturu jako v kursu Matematická analýza I. Navazující předměty M3100 Matematická analýza III Anotace Druhá část základního kursu matematické analýzy, kde jsou nejprve probrány elementární metody řešení diferenciálních rovnic, v další části je probrána teorie metrických prostorů a diferenciální počet funkcí více proměnných. Osnova I.Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic: -metody řešení rovnic 1. řádu, -lineární rovnice s vyšších řádů s konstantními koeficienty, -systémy lineárních diferenciálních rovnic. II. Metrické prostory: -pojem metrického prostoru, konvergence, uzavřené a otevřené množiny, -spojité zobrazení, úplné prostory, kompaktní prostory, -Banachova věta o pevném bodu. III. Diferenciální počet funkcí více proměnných: -limita, spojitost, parciální derivace, -Taylorův mnohočlen, extrémy funkcí, zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí, -věta o implicitní funkci, vázané extrémy. Literatura [1] Ráb, Miloš Metody řešení diferenciálních rovnic. I, Obyčejné diferenciální rovnice, 1. vyd. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1989. 68 s. [2] Ráb, Miloš Diferenciální rovnice 1. vyd. Státní pedagogické nakladatelství, Praha, 1980. 196 s. [3] Ráb, Miloš - Kalas, Josef Obyčejné diferenciální rovnice 1. vyd. Masarykova univerzita v Brně, 1995, 207 s. ISBN 80-210-1130-0. 2. vyd. Masarykova univerzita v Brně, 2001, 207 s. ISBN 80-210-2589-1. [4] Došlá, Zuzana - Došlý, Ondřej. Metrické prostory: teorie a příklady. 2. přep. vyd., Brno, Masarykova univerzita, 2000, 83 s., ISBN 80-210-1328-1. [5] Došlá, Zuzana - Došlý, Ondřej. Diferenciální počet funkcí více proměnných. 1. vyd. Brno, Masarykova univerzita, 1994, 130 s., ISBN 80-210-0992-6. [6] Novák, Vítězslav Diferenciální počet funkcí více proměnných UJEP, Brno, 1986 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Metrické prostory 1.Metrický prostor 2.Konvergence, otevřené a uzavřené množiny 3.Úplné a kompaktní prostory 4.Zobrazení metrických prostorů 5.Banachův princip pevného bodu a jeho použití 6.Další vlastnosti metrických prostorů 7.Topologické, normované a unitární prostory 8. 8. • • • 1. Metrický prostor •Metrický prostor, metrika •Rn s různými metrikami, En s •C([a,b]) s různými metrikami •lp s různými metrikami •R, R2, R3 se spec. Metrikami •vzdálenost množin, průměr množiny •ohraničená (omezená) množina •izometrické množiny 2. Konvergence, otevřené a uzavřené množiny •konvergence, cauchyovskost posloupnosti •v prostoru R = E •Věta o jednoznačnosti limity, o cachyovskosti konvergentní posloupnosti a posloupnosti vybrané z konvergentní •příklady v Rn •ekvivalence metrik a ekvivalence metrik v Rn a C[a,b] • •okolí bodu, topologické charakteristiky podmnožin (vnitřní, hraniční, hromadný a isolovaný bod, vnitřek, hranice, derivace množiny), otevřená a uzavřená množina, pravidla pro počítání s nimi, vzájemné vztahy •topologické charakteristiky, uzavřenost,… a konvergence •hustá množina •příklady 3. Úplné a kompaktní prostory •úplnost •příklady – Q, intervaly, Rn , C[a,b], lp, •zobecněný princip vložených intervalů •úplný obal •kompaktní prostor •Věta o ohraničenosti a uzavřenosti kompaktní množiny – obecně, v Rn 4. Zobrazení metrických prostorů •spojité zobrazení M-prostorů v bodě, na množině •Věta Heineho o spojitosti a konvergenci •příklady – vzdálenost od bodu, od mn.,… •Lipschitzovskost a kontraktivnost •Věta o spojitosti lipschitzovského zobrazení •Příklady – stejnolehlost, integrál,… •Věta o kompaktnosti spojitého obrazu kompaktní množiny 5. Banachův princip pevného bodu a jeho použití •pevný bod •Banachova věta a metoda postupných aproximací •příklady – stejnolehlost s posunutím, Cauchyova úloha pro ODR, systém lineárních rovnic, … • 6. Další vlastnosti metrických prostorů •souvislá množina •příklady •Věta o souvislosti spojitého obrazu souvislé množiny •separabilní prostor •příklady – v Rn, lp, C[a,b],… •homeomorfní zobrazení a prostory •epsilonová síť a Věta o existenci konečné sítě kompaktní množiny v úplném M-prostoru •otevřené pokrytí a Heina-Borelovo lemma •Arzelaova věta 7. Topologické, normované a unitární prostory •Minkovského, Holderova a Cauchy-Buňakovského nerovnost pro konečný a nekonečný součet, v integrálním tvaru •topologický prostor, topologie a okolí bodu •normovaný lineární prostor a v něm indukovaná metrika, Banachův prostor •příklady – v Rn, lp, C[a,b],… •Prostor se skalárním součinem - unitární - a v něm indukovaná norma, Hilbertův prostor •příklady - v Rn, lp, C[a,b],… Diferenciální počet funkcí více proměnných 1.Funkce více proměnných 2.Limita a spojitost 3.Parciální derivace 4.Diferenciál 5.Derivace složené funkce, Taylorův vzorec 6.Lokální a absolutní extrémy 7.Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 8.Funkce daná implicitně 9.Vázané extrémy 1.Funkce více proměnných •Reálná funkce n-reálných proměnných, definiční obor • Př.: ilustrační příklady •Graf funkce, vrstevnice • Př: ilustrační příklady • • 2. Limita a spojitost •Okolí bodu v Rn a R*n, jeho vlastnosti •Limita (vl. i nevl.), zvláštní případy •Věta: o jednoznačnosti limity •Věta: pravidla pro počítání limit •Věta: o 3 limitách •Věta: o spec. limitě součinu • (Důkazy: analogicky s DP I, viz též teorie metrických prostorů a limity zobrazení mezi nimi) •Př.: přímé výpočty, zavedení polární soustavy souřadnic, závislost limity „na cestě“ a neexistence limity • •Spojitost v bodě •Věta: pravidla pro počítání se spojitými funkcemi (racionální operace, skládání) • Důkaz: Z pravidel pro počítání s limitami. •Spojitost na množině • (s využitím limity vzhledem k podmnožině) •Věty o vlastnostech funkcí spojitých na kompaktních a souvislých množinách: • Věta: Weierstrasseova 1. a 2. • Věta: Bolzanova • Důkazy: Analogicky s větami v DP I, příp. plyne z obecnějších tvrzení o vlastnostech spojitých zobrazení mezi metrickými prostory. •Př.: včetně množin poruch spojitosti • 3. Parciální derivace •Parciální derivace 1. řádu • označení, pravidla pro počítání, geometrický význam, vztah ke spojitosti (protipříklady) •Parciální derivace vyšších řádů •Věta: Schwarzova věta (n = 2, n – obecné) • Důkaz: Dvojnásobné použití Lagrangeovy věty o střední hodnotě. •Směrová derivace • 1. řádu - označení, pravidla pro počítání, vztah k parciální derivaci a spojitosti, směrové derivace vyšších řádů - Schwarzova věta • •Věta: Lagrangeova věta o střední hodnotě • (pro parciální i směrové derivace) • 4.Diferenciál •Diferencovatelnost funkce a diferenciál 1.řádu • (n = 2, později n - obecné) ekvivalentní definice •Věta: o spojitosti diferencovatelné funkce • Důkaz: Přímým využitím diferencovatelnosti v definici spojitosti (pomocí limity). •Věta: o výpočtu diferenciálu • Důkaz: Nulovánim druhého z přírůstků ve formuli definice diferencovatelnosti •Pozn: geometrický smysl, numerická aplikace, výpočet tečné roviny (nadroviny), normálového vektoru • •Věta: postačující podmínka diferencovatelnosti •Gradient •Diferenciály vyšších řádů (formálně) •Kmenová funkce a její smysl (m.j. exaktní DR) • 5. Derivace složené funkce, Taylorův vzorec •Věta: o derivaci složené funkce • (n = 2 a derivace 1. a 2. řádu, transformování výrazů, n - obecné) • Důkaz: Využitím diferencovatelnosti vnější složky při výpočtu limit určujících příslušné parciální derivace. •Věta: Taylorova věta • (n = 2, různé formy zápisu, numerická aplikace, n - obecné) • Důkaz: S využitím Taylorovy věty funkce jedné proměnné – parametru popisujícím úsečku mezi uvažovanými body • • • 6. Lokální a absolutní extrémy •Lokální extrémy, stacinární bod • (ilustrativní příklady možností) •Věta: o stacionárních bodech • Důkaz: sporem •Věta: o charakteru stacionárního bodu • (pro n = 2 a s diferenciálem 2.řádu) • Důkaz: S použitím Taylorovy věty a spojitosti 2. derivací. •Pozitivní a negativní definitnost, semidefinitnost a indefinitnost kvadratických forem a matic je representujících •Věta: kriterium pozitivní a negativní definitnosti • (pomocí vlastních čísel, pomocí hlavních minorů – viz algebra) •Absolutní (globální) extrémy na množině •Věta: o metodě výpočtu absolutních extrémů spojité funkce na kompaktní množině • Důkaz: důsledek Weierstrasseovy věty 7. Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí •Zobrazení z R2 do R2 •(příklady – transformace proměnných) •Spojitost a diferencovatelnost zobrazení, Jacobiova matice a jacobián zobrazení (n = 2) •Věta: o derivaci složeného zobrazení • Důkaz: Aplikace věty o derivaci složené funkce prostřednictvím komponent zobrazení •Věta: o derivaci inverzního zobrazení • Důkaz: Aplikace předchozí věty na kompozici zobrazení a zobrazení k němu inverznímu, tj. rovné identickému zobrazení. • • •Spojitost a diferencovatelnost obecného zobrazení, Jacobiova matice a jacobián zobrazení (n - obecné) •Věta: o derivaci složeného zobrazení •Věta: o derivaci inverzního zobrazení • •Diferenciální operátory matematické fyziky –Vektorové pole a jeho souřadnice F=(P,Q,R) – ( f: R3 do R3 a grad f) –Hamiltonův „nabla“ operátor, divergence, rotace vektorového pole –operace s diferenciálními operátory ya jejich použití ve fyzice – 8. Funkce dané implicitně •Implicitně daná funkce jedné proměnné •ilustrativní příklady •Věta: o jednoznačné existenci a spojitosti… • Důkaz: S pomocí věty Banachovy věty o pevném bodě: –konstrukce vhodného úplného prostoru P spojitých funkcí a zobrazení T, jehož pevný bod je implicitně danou funkcí –vlastnosti zobrazení T – je kontrakcí P do sebe a proto i obraz spojité funkce je spojitou funkcí •Věta: o výpočtu derivace… • Důkaz: S použitím předchozí věty a věty o derivaci složené funkce •Pozn.: –Konstrukce tečny a normály –Aplikace – výpočet extrémů, užití Taylorovy věty –Výpočet derivací vyšších řádů – opakováním postupu – •Implicitně daná funkce více proměnných (intuitivně) •Věta: o existenci, spojitosti a výpočtu parciálních derivací… • Důkaz: neuveden – je analogický… •Věta: o konstrukci tečné nadroviny… •Pozn.: –Aplikace – výpočet extrémů, užití Taylorovy věty –Výpočet derivací vyšších řádů – opakováním postupu • • •Implicitně dané zobrazení (analogie, vektorový zápis) •Věta: o lokální jednoznačné existenci, spojitosti a derivaci… • Důkaz: analogicky jednodužšímu případu • •Normálový a tečný prostor k množině bodů daných m implicitními rovnicemi •Pozn.: metoda konstrukce v definici 9. Vázané extrémy •Lokální extrémy funkce f vzhledem k množině M • (M dána implicitním systémem rovnic) •Věta: o existenci Lagrangeových multiplikátorů • Důkaz: Sporem - 1. pro lineární vazebné podmínky, s využitím jejich „regularity“ a diferencovatelnosti funkce f; • 2. pro nelineární vazebné podmínky – navíc s využitím jejich diferencovatelnosti •Stacionární bod funkce f na množině M •Věta: o charakteru stacionárního bodu… • Důkaz: S využitím Taylorovy věty na Lagrangeovu funkci •Pozn.: Vázané extrémy a nerovnosti • Písemná část zkoušky z MA 2 •6 příkladů z tématických okruhů: 1.ODR 1.řádu 2.ODR vyššího řádu 3.Úvodní partie MA 2 (limita, 1. derivace a diferenciál - geometrická a numerická aplikace) 4.Derivace složené funkce, vyšších řádů a jejich užití (včetně transformace výrazů) 5.Extrémy (lokální, absolutní, vázané) 6.Implicitní funkce, jejich analýza a užití – •Čas řešení 2x50 minut •Hodnocení maximum 40 b. • (k získání zápočtu přepočítáváno na 30 b.) •K písemce povoleno –použití neprogramovatelných kalkulátorů –„taháku“ formátu A4 s podstatnými formulemi… • • Ústní část zkoušky •2 otázky – 1 z okruhu MP a 1 z DP II: • •1) Uveďte Definici x.y.z: • - definici (definovaný pojem) vysvětlete • - ilustrujte na příkladě, příp. náčrtem • - presentujte přehled základních vlastností • - charakterizujte teoretický význam a případné praktické užití •2) Formulujte Větu x.y.z: • - vysvětlete předpoklady • - vysvětlete tvrzení • - větu ilustrujte příkladem, příp. náčrtem • - uveďte základní kroky důkazu, příp. podrobně dokažte • - presentujte teoretický a příp. praktický význam •3) Vyřešte příklad x.y.z: • - popište jednotlivé kroky postupu • - citujte použitá tvrzení • - postup i jeho jednotlivé kroky zdůvodněte •