MATEMATICKÁ ANALÝZA 2, učitelské studium
2. června 2010
I. část
1. Ukažte, jak pomocí diferenciálu vypočíst hodnotu tg 44◦
s přesností na dvě desetinná
místa, víte-li, že postačuje vzít π
.
= 3.
2. Určete Taylorův mnohočlen třetího stupně pro funkci f : y = x4
se středem
v bodě −1. (Mocniny příslušného lineárního dvojčlenu neroznásobujte.)
3. Určete první dva členy s nenulovými koeficienty v Maclaurinově vzorci pro funkci
f : y = (x − sin x)(1 − cos x). (Faktoriály ve výsledku nemusíte vyčíslovat.)
4. K funkci f(x) = |x + 2| sestavte horní a dolní integrální součet na intervalu
−3, 0 pro dělení tvořené všemi celými čísly z daného intervalu.
5. Udejte příklad funkce f integrovatelné na intervalu 1, 6 , pro kterou zároveň
platí
4
1
f(x) dx = 3 a
6
2
f(x) dx = 8.
6. Vypočtěte
2
−2
|x3
| dx.
7. Nechť funkce F a G jsou primitivní k téže funkci f na témže intervalu I. Ke
které funkci je primitivní na I funkce 1
3 F + 2
3 G? Zdůvodněte.
8. K funkci f : y = x9
(1 − x20
) určete primitivní funkci na (−∞, +∞).
9. Zapište jedním integrálem obsah rovinného útvaru, který je omezen částmi křivek
y = x2
− 3 a y = 2x (integrál nepočítejte).
10. Určete číslo a a spojitou funkci f splňující
x
a
f(t) dt = (x − 1)3
pro každé x ∈ R.
II. část
1. Vypočtěte
3 dx
x4 − x3 − x + 1
.
2. Vypočtěte
π/4
0
dx
1 + 2 sin2
x
a výsledek určete na dvě desetinná místa pomocí hodnot π
.
= 3,14 a
√
3
.
= 1,73.
3. Vypočtěte délku křivky y = ln(x2
−1), 2 ≤ x ≤ 5. Výsledek vyjádřete s přesností
na dvě desetinná místa pomocí hodnoty ln 2
.
= 0,69.
Typeset by AMS-TEX