MATEMATICKÁ ANALÝZA 2, učitelské studium
26. května 2010
I. část
1. Vyjádřete diferenciál funkce f(x) = arcsin x v bodě 3/5 jako funkci přírustku h
nezávisle proměnné x. V odpovědi nesmí být goniometrická nebo cyklometrická
funkce, ani odmocnina.
2. Určete Taylorův mnohočlen druhého stupně pro funkci f : y = (x2
− 2)4
se
středem v bodě −1. (Mocniny příslušného lineárního dvojčlenu neroznásobujte.)
3. Určete první tři nenulové členy v Maclaurinových mnohočlenech pro každou
z funkcí f(x) = ln(1 − x3
) a g(x) = x5
cos(x2
).
4. K funkci f(x) = |x| sestavte horní a dolní integrální součet na intervalu −3, 5
pro dělení tvořené dělicími body −3, −1, 0, 2, 5.
5. Nechť χ(x) = 1 pro každé racionální x a χ(x) = 0 každé pro iracionální x.
Určete dolní a horní integrál pro funkci f(x) = x · χ(x) přes interval −2, 2 .
Postup: načrtněte grafy dvou spojitých funkcí g a h, pro něž s(f, D) = s(g, D) a
S(f, D) = S(h, D) pro každé dělení D intervalu −2, 2 ; integrály z funkcí g a h
pak můžete určit geometricky.
6. Ukažte výpočtem, že všechny lineární funkce f, pro něž
2
0
f(x) dx = 4, mají
tutéž hodnotu f(1). Jakou?
7. Nechť funkce F je primitivní k funkci f na intervalu I. Jaká vlastnost funkce F
plyne z podmínky, že f(x) > 0 pro každé x ∈ I?
8. K funkci f(x) = sin x · cos x určete jednu primitivní funkci na (−∞, +∞).
9. Zapište jedním integrálem obsah rovinného útvaru, který je omezen dvěma křivkami
y = sin
πx
2
, kde x ∈ 0, 1 , a x =
√
y, kde y ∈ 0, 1 (integrál nepočítejte).
10. Určete neznámé číslo a > 0 a neznámou (spojitou) funkci f, které splňují rovnici
x
a
f(t) dt = x2
+ 3x − 10 pro každé x ∈ R.
II. část
1. Vypočtěte
6 dx
(x + 1)(x2 + 1)(x3 + 1)
.
2. Vypočtěte
4
0
dx
1 +
√
2x + 1
a výsledek určete na dvě desetinná místa pomocí hodnoty ln 2
.
= 0,69.
3. Vypočtěte objem tělesa v R3
vzniklého rotací podgrafu funkce f : y = tg x, kde
x ∈ 0, π/4 , kolem osy x.
Typeset by AMS-TEX