Využití MATLABu při práci s Poissonovým rozložením
Základní poznatky o Poissonově rozložení Po()
Náhodná veličina X ~ Po() udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém
intervalu případně v jednotkové oblasti, jestliže k událostem dochází náhodně, jednotlivě a
vzájemně nezávisle. Parametr  je střední hodnota počtu těchto událostí. Pokud sledujeme
náhodnou veličinu, která udává počet událostí v intervalu délky t, pak uvedená náhodná veličina
má rozložení Po(t).
Pravděpodobnostní funkce:
 









jinak0
0,1,2,...xproe
!xx
x
Distribuční funkce:
  


x
0t
t
e
!t
x
Střední hodnota: E(X) = , rozptyl: D(X) = 
Aproximace binomického rozložení pomocí Poissonova rozložení:
Nechť náhodná veličina X ~ Bi(n, ). Za předpokladu, že n  30 a   0,1, lze
pravděpodobnostní funkci této náhodné veličiny uspokojivě aproximovat pravděpodobnostní
funkcí rozložení Po(n ):
    
 n
x
e
!x
n
xXP
Interval spolehlivosti pro střední hodnotu: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení Po() a
nechť m je realizace výběrového průměru. Pak meze 100(1-)% přibližného empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu  jsou:
2/12/1 u
n
m
mh,u
n
m
md  
MATLAB počítá meze 100(1-)% přibližného empirického intervalu spolehlivosti pro střední
hodnotu  podle vzorce:
 nm2
n2
1
d 2/
2

,
  1nm2
n2
1
h 2/1
2
 
a) Kreslení grafu pravděpodobnostní a distribuční funkce rozložení Po(2)
x=[0:10]';
pf=poisspdf(x,2);
plot(x,pf,'o')
df=poisscdf(x,2);
figure
stairs(x,df)
(Samostatný úkol: Jak nakreslit graf distribuční funkce bez svislých čar?)
Jedno z možných řešení:
hold on
for i=1:(length(x)-2) plot([i,i],[0,1],'w'); end
b) Generování 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Po(2) a kreslení histogramu
r=poissrnd(2,100,1);
hist(r,x)
c) Odhad střední hodnoty a výpočet mezí intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu na základě
proměnné r
Hodnoty uložené v proměnné r považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100 z
rozložení Po(2)
[m,meze]=poissfit(r)
d) Výpočet střední hodnoty a rozptylu rozložení Po(2)
[m,v]=poisstat(2)
Příklady na využití Poissonova rozložení
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí
rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
Řešení: X - počet poruch během směny, X ~ Po(2), P(X  1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = =
1 -
2
0
e
!0
2 
= 0,8647.
V MATLABu: p = 1 - poisspdf(0,2)
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě jeden hovor, b) aspoň dva hovory?
Řešení: X - počet zapojených hovorů během 4 minut = 1/15 hodiny, X ~ Po(t), kde t = 1/15 a 
= 15, tedy X ~ Po(1).
ad a)   36788,0e1XP 1
 
,
ad b)         264242,036788,021e211011XP12XP 1
 
V MATLABu: a) p = poisspdf(1,1), b) p = 1 - poisscdf(1,1)
Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků
zmetkových. Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo
zmetkových. Lze takto vysoký počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?
Řešení: Budeme počítat pravděpodobnost, že pracovník vyrobil aspoň 11 zmetků za
předpokladu, že stroj je obsluhován správně.
X - počet vyrobených zmetků za týden, X ~ Bi(5000, 0,001). Při splnění podmínek dobré
aproximace lze rozložení veličiny X aproximovat rozložením Po(5).
    .0137,09863,01e
!t
5
110XP111XP
10
0t
5
t
 

Je zřejmé, že nový pracovník nepracuje správně.
V MATLABu: p = 1 - poisscdf(10,5)
Přesný výpočet v MATLABu: p = 1 - binocdf(10,5000,0.001)
Příklad 4.: Pro n = 30 a  = 0,1 ilustrujte aproximaci binomického rozložení Bi(n,  )
Poissonovým rozložením Po(n ). Vypočtené hodnoty obou pravděpodobnostních funkcí v
bodech x = 0, 1, ..., 30 zapište do tabulky.
Řešení:
x=[0:1:30]';
pf1=binopdf(x,30,0.01);
pf2=poisspdf(x,0.3);
[x pf1 pf2]
Příklad 5.: Na výrobní lince se zhruba každé dvě hodiny vyskytne porucha. Sestrojte tabulku
uvádějící, s jakou pravděpodobností se na této lince během osmihodinové pracovní směny
nevyskytne žádná porucha, vyskytne jedna porucha, vyskytnou dvě poruchy atd. až vyskytne
deset poruch. S jakou pravděpodobností nastane více než deset poruch? Určete
nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny.
Řešení:
X - počet poruch během osmi hodin, X ~ Po(t), kde t = 2 a  = 4 , tedy X ~ Po(4).
    0183,0e
!0
4
00XP 4
0
 
    0733,0e
!1
4
11XP 4
1
 
.........................................
    0053,0e
!10
4
1010XP 4
10
 
Přehledný zápis všech výsledků viz následující tabulka (včetně kumulovaných hodnot čili
distribuční funkce). Všimněte si, že ačkoli jsme samozřejmě nevyčerpali všechny možné počty
poruch (těch je nekonečně mnoho), dosahuje součet všech vypočtených pravděpodobností téměř
1. Najdeme ho jako hodnotu distribuční funkce (10)=0,9972 a jde o pravděpodobnost, že počet
poruch bude nejvýše deset. Celková pravděpodobnost, že by byl počet poruch naopak větší než
deset, je tedy 1-(10) a činí pouze necelá tři promile (1-0,9972 = 0,0028).
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(n) 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132 0,0053
(n) 0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972
Nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny je tři až čtyři (hledáme modus,
jde o bimodální případ).
V MATLABu:
x=[0:10]';
pf=poisspdf(x,4);
df=poisscdf(x,4);
[x pf df]
Grafické znázornění:
plot(x,pf,'o')
stairs(x,df)
Příklad 6.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo,
že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele. Vypočítejte
pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) Nebude žádný plevel,
b) Vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) Vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
Výsledek: ad a) 0,0183, ad b) 0,4335, ad c) 0,32.