Příklady na Poissonův proces
Příklad 1.: Proud zákazníků směřujících do banky tvoří Poissonův proces s parametrem . Je
známo, že během jedné hodiny přijdou do banky v průměru 2 zákazníci. Jaká je pravděpodobnost,
že
a) přijdou právě 2 zákazníci během prvních 20 minut, kdy má banka otevřeno
b) přijde aspoň jeden zákazník během prvních 20 minut?
Řešení: Zavedeme Poissonův proces
 Tt;Xt 
, kde náhodná veličina Xt udává počet zákazníků,
kteří přijdou do banky v intervalu
t,0
. Přitom
    t
j
t e
!j
t
jXP 

. Intenzita procesu
30
1
60
2

.
ad a)
  1141,0e
9
2
e
!2
20
30
1
2XP 3
2
20
30
1
2
20 









Řešení pomocí MATLABu: poisspdf(2,2/3)
(Funkce poisspdf(x, lambda) počítá hodnotu v bodě x pravděpodobnostní funkce Poissonova
rozložení s parametrem lambda.)
ad b)
    4866,0e10XP11XP 3
2
2020 

Řešení pomocí MATLABu: 1- poisscdf(0,2/3)
(Funkce poisscdf(x, lambda) počítá hodnotu v bodě x distribuční funkce Poissonova rozložení s
parametrem lambda.)
Příklad 2.: Předpokládáme, že poruchy určité součástky tvoří Poissonův proces. V průměru
připadá jedna porucha na 200 hodin provozu, tj. na 25 osmihodinových směn. Na skladě jsou dvě
náhradní součástky. Po době odpovídající 60 směnám budou dodány další. Jaká je
pravděpodobnost, že stroj nebude pro nedostatek náhradních součástek vyřazen z provozu do
dodávky dalších náhradních součástek?
Řešení: Zavedeme Poissonův proces
 Tt;Xt 
, kde náhodná veličina Xt udává počet poruch
stroje v intervalu
t,0
. Přitom
    t
j
t e
!j
t
jXP 

, kde intenzita
005,0
200
1

. Zajímá nás
pravděpodobnost, že v časovém okamžiku t = 60.8 = 480 bude náhodná veličina Xt nabývat
hodnoty nejvýše 2 (přitom t =
4,2
200
480

), tj. počítáme
    5697,0e
!k
4,2
2XP
2
0k
4,2
k
480  

.
Řešení pomocí MATLABu: poisscdf(2,2.4)
Příklad 3.: Předpokládáme, že na telefonní ústřednu přicházejí v určité denní době hovory s
neměnnou intenzitou 3 hovory za 1 minutu.
a) Jaká je pravděpodobnost, že za 1 minutu dojde na ústřednu méně než 5 hovorů?
b) Určete střední hodnotu délky intervalu mezi dvěma po sobě následujícími příchody hovorů.
c) Jaká je pravděpodobnost, že délka intervalu mezi dvěma po sobě následujícími příchody
hovorů je delší než 1 minuta?
Řešení: Zavedeme Poissonův proces
 Tt;Xt 
, kde náhodná veličina Xt udává počet hovorů,
které přijdou do ústředny v intervalu
t,0
. Přitom
    t
j
t e
!j
t
jXP 

. Intenzita procesu
3 .
ad a)
  8153,0e
!k
3
4XP
4
0k
3
k
1  

Řešení pomocí MATLABu: poisscdf(4,3)
ad b) Podle věty 7.6. se délka S tohoto intervalu řídi exponenciálním rozložením s parametrem
3 , tedy střední hodnota délky tohoto intervalu je
s20min
3
1

.
ad c) Zajímá nás       0498,0ee111SP11SP 313
 
Řešení pomocí MATLABu: 1-expcdf(1,1/3)
Simulace Poissonova procesu
Zadání:
V sobotu v době od 8 do 20 h sledujeme provoz v klidné ulici ve vilové čtvrti města. V tomto
období vjíždějí auta do této ulice v průměru každých 8 minut. Předpokládejme, že intervaly mezi
příjezdy aut se řídí exponenciálním rozložením. Pomocí MATLABu simulujte vjezd 20 aut do této
ulice.
a) Zjistěte celkovou dobu simulace.
b) Vypočtěte průměrnou, maximální a minimální délku intervalu mezi vjezdy dvou aut.
c) Vypočtěte směrodatnou odchylku délek intervalů.
d) Porovnejte tvar histogramu délek intervalů (volte 5 třídicích intervalů) s tvarem hustoty
exponenciálního rozložení s patřičným parametrem.
e) Znázorněte nasimulovaný Poissonův proces graficky.
Návod:
Zavedeme Poissonův proces
 Tt;Xt 
, kde
jXt 
, když v intervalu
t,0
vjede do ulice právě
j aut, j = 0, 1, 2, ... Parametr 8
1

.
Pomocí funkce exprnd vygenerujeme 20 náhodných čísel z exponenciálního rozložení s
parametrem 1/8:
x=exprnd(8,20,1);
Upozornění: Pokud bychom neměli k dispozici statistický toolbox MATLABu, postupujeme
takto:
r = unifrnd(0,1,20,1);
Proměnnou r transformujeme vztahem
 r1ln
1
x 


:
x = -8*log(1-r);
V proměnné x jsou nyní uloženy délky intervalů mezi vjezdy aut.
Celková doba simulace:
doba = sum(x)
Průměrná délka intervalu:
prumer = mean(x)
Maximální délka intervalu:
maximum = max(x)
Minimální délka intervalu:
minimum = min(x)
Směrodatná odchylka délek intervalů:
so = std(x)
(Teoretická celková doba simulace by měla být 20.8 = 160 min, průměr = 8 min, směrodatná
odchylka = 8 min.)
Histogram délek intervalů s pěti třídicími intervaly znázorníme příkazem hist(x,5).
Znázornění hustoty exponenciálního rozložení s parametrem 1/8:
plot([0:0.01:maximum],exppdf([0:0.01:maximum],8))
Znázornění nasimulovaného Poissonova procesu:
Do proměnné počet uložíme celkový počet aut:
pocet = [1:20]';
Do proměnné t uložíme kumulované délky intervalů:
t = cumsum(x);
Pomocí funkce stairs znázorníme Poissonův proces:
stairs(t,pocet)
Celý postup můžeme zopakovat s větším počtem aut a sledovat, jak se zvyšujícím se počtem
simulací se empirické charakteristiky procesu blíží teoretickým.