Příklady na systémy hromadné obsluhy
Následující příklady řešte v MATLABu pomocí programů na SHO.
Příklad 1.: Do půjčovny aut, která vlastní pět vozidel, přijde za den průměrně 3,8 zákazníků,
kteří si chtějí půjčit auto. Poku není volné auto, zákazník je odmítnut. Průměrná doba vypůjčení
auta je 1,6 dne. Vypočtěte, na kolik procent je půjčovna využívaná.
Řešení:
Jedná se o systém M/M/5/5/FIFO,
kde 125
152
n
,
25
152
,
8
5
6,1
1
,8,3 





          0053,0
120
25152
24
25152
6
25152
2
25152
25
152
1
!j
25152
a
154321
5
0j
j
0 















3649,00053,0
125
152
!5
5
a
!n
n
P
55
0
m
n
Z 






    771,03649,01
125
152
P1 Z 
Půjčovna aut je využita na 77,1%.
Příklad 2.:V autoservisu jsou 3 mycí rampy a jeden pracovník, jemuž mytí auta trvá v průměru
12 min. Za 1 h přijedou průměrně 3 auta. Jsou-li však v okamžiku příjezdu auta všechny rampy
obsazeny, auto nečeká a vrací se později.
a) Jaká je pravděpodobnost, že v autoservisu budou 0, 1, 2, 3 auta?
b) Vypočtěte střední hodnotu počtu zákazníků v autoservisu a ve frontě.
c) Vypočtěte střední hodnotu doby čekání ve frontě.
d) Jaká je pravděpodobnost, že bude volná aspoň jedna rampa?
e) Vypočtěte využití systému.
Řešení:
Jde o systém M/M/1/3/FIFO,
kde 5
3
,
5
3
,5,3 
ad a) 272
27
a,
272
45
a,
272
75
a,
272
125
a 3210 
ad b)
   
272
99
NE,
272
246
NE Q 
ad c)
  s18min7
272
33
WE Q 
ad d) 272
245
a1 3 
ad e)
54,0
272
147

Příklad 3.: V dílně je 6 strojů, které v náhodných okamžicích vyžadují seřízení. Doba mezi
výskyty požadavků na seřízení se řídí exponenciálním rozložením, přičemž během jedné hodiny
vyžaduje každý ze strojů průměrně jedno seřízení. K seřízení strojů je určen jeden opravář. Doba,
kterou opravář potřebuje k seřízení jednoho stroje, se řídí exponenciálním rozložením se střední
hodnotou 6 minut. V kolika procentech své pracovní doby je opravář průměrně využit?
Řešení:
Jedná se o uzavřený systém M/M/1/6/FIFO, kde
1,0
n
,1,0,6m,1n,10
6
60
,1 





001 a6,0a1,0
1
6
a 






  00
2
2 a3,0a1,0
!26
!6
a 


  00
3
3 a12,0a1,0
!36
!6
a 


  00
4
4 a036,0a1,0
!46
!6
a 


  00
5
5 a0072,0a1,0
!56
!6
a 


  00
6
6 a00072,0a1,0
!66
!6
a 


a0(1+0,6+0,3+0,12+0,036+0,0072+0,00072) = 1,
a0 = 0,4845, a1 = 0,2907, a2 = 0,1454, a3 = 0,0581, a4 = 0,0174, a5 = 0,0035, a6 = 0,0003
E(N) = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 = 0,8447
E(NR) = 6 - E(N) = 5,1553
κ = ρ E(NR) = 0,5155
Opravář je průměrně využit v 51,55% své pracovní doby.
Příklad 4.: Do pokladny na železniční stanici přichází v průměru 1 zákazník za 2 min. Obsluha
trvá v průměru 1 min. Předpokládáme, že vstupní proud zákazníků je Poissonův proces a doba
obsluhy se řídí exponenciálním rozložením. Zjistěte, zda se systém může stabilizovat. Pokud ano,
řešte následující úlohy:
a) Na kolik procent je pokladna využita?
b) Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě?
c) Vypočtěte všechny střední hodnoty.
Řešení: viz příklad 11.2. z přednášek
Příklad 5.: V laboratoři pracují 3 laborantky. V průměru přichází do laboratoře 15 požadavků za
1 h. Zpracování jednoho požadavku trvá v průměru 10 min. Předpokládáme, že vstupní proud
zákazníků je Poissonův proces a doba zpracování jednoho požadavku se řídí exponenciálním
rozložením.
a) Může se systém, stabilizovta?
b) Jaký je průměrný počet požadavků čekajících na zpracování?
c) Jaká je průměrná doba, která uplyne od předání požadavku po jeho zpracování?
Řešení: viz příklad 11.4. z přednášek
Příklad 6.: Na parkoviště s maximální kapacitou 40 míst přijíždí v období ustáleného provozu
průměrně 20 aut za 1 h. Střední hodnota doby pobytu na parkovišti je 2,5 h. Za předpokladu, že
příjezdy aut na parkoviště tvoří Poissonův proces a doba pobytu na parkovišti se řídí
exponenciálním rozložením, vyřešte následující úlohy:
a) Na kolik procent je parkoviště využíváno?
b) Jaký je průměrný počet volných parkovacích míst?
c) Jaký je průměrný počet odmítnutých vozidel za 1 h provozu parkoviště?
Řešení: viz příklad 12.2. z přednášek
Příklad 7.: V uzavřeném systému M/M/1/2/FIFO, kde 2,3  vypočtěte stacionární
rozložení a základní charakteristiky systému.
Řešení: viz příklad 12.4. z přednášek