Užití vektorů při řešení planimetrických úloh
JAROSLAV ŠVRČEK
Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc
Součástí semináře z didaktiky matematiky na PřF MU v Brně (19. 4. 2010)
bude mj. prezentace využití vektorů při řešení následujících planimetrických úloh.
Příklad 1 (W. R. Hamilton)
Nechť S značí střed kružnice opsané trojúhelníku ABC a V jeho
ortocentrum (průsečík výšek). Dokažte, že platí
SV
=
SA
+
SB
+
SC
.
Příklad 2 (G. W. Leibniz)
Nechť T je těžiště trojúhelníku ABC. Dokažte, že pro libovolný
bod M roviny trojúhelníku ABC platí rovnost
|AM|2
+ |BM|2
+ |CM|2
= 3 |MT|2
+ |AT|2
+ |BT|2
+ |CT|2
.
Příklad 3
V konvexním šestiúhelníku ABCDEF jsou splněny podmínky:
|AD| = |BC| + |EF|, |BE| = |AF| + |CD|, |CF| = |DE| + |AB|.
Dokažte, že platí
|AB|
|DE|
=
|CD|
|AF|
=
|EF|
|BC|
.